Les nombres premiers en première ligne

15/11/2013
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OAI : oai:www.see.asso.fr:14389:5289
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Résumé

Les nombres premiers en première ligne

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	    <date dateType="Updated">Mon 25 Jul 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 20 Apr 2018</date>
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  Le 13 novembre 2013  1      Les nombres premiers en première ligne  Jean‐Pierre Hauet  Membre émérite de la SEE    Depuis  des  siècles,  le  mystère  des  nombres  premiers  fascine.  De  grands  noms  des  mathématiques  ont  fait  faire  des  progrès  considérables à leur compréhension : Euclide,  Eratosthène, Euler, Gauss, Riemann, Legendre,  Tchébychev,  Hadamard,  La  Vallée  Poussin,  Hilbert…  sans  oublier  les  mathématiciens  contemporains :  André  Weil,  Hughes  Montgomery, Jean‐Pierre Serre, Alain Connes,  Grigori Perelman et bien d’autres.   Les  nombres  premiers  restent  au  centre  de  grands  défis  et  en  particulier  des  trois  conjectures  qui  constituaient  le  8e   problème  de Hilbert :  ‐ l'hypothèse de Riemann ;  ‐ la conjecture de Goldbach ;  ‐ la  conjecture  des  nombres  premiers  jumeaux.  Aucune  de  ces  trois  conjectures  n’est  formellement  démontrée  aujourd’hui.  Toutefois,  Il  y  a  de  bonnes  raisons  de  s’y  intéresser à nouveau et en particulier à celle  de  Riemann  qui  fait  partie  des  sept  défis  du  Millénaire  lancés  en  2000  par  le  Clay  Mathematical Institute et dont six restent non  résolus à ce jour1 .  On  notera  tout  d’abord  que  des  progrès  importants  ont  été  réalisés  en  2013  sur  les  deux dernières conjectures.   La  conjecture  de  Goldbach  (1742),  selon  laquelle « Tout nombre entier pair supérieur à  3  peut  s’écrire  comme  la  somme  de  deux  nombres  premiers »,  semble  avoir  été  démontrée en mai 2013 dans sa version faible  « Tout nombre impair supérieur ou égal à 9 est  somme  de  trois  nombres  premiers  impairs »                                                               1  La conjecture de Poincaré a été résolue en 2003.  par  le  mathématicien  péruvien  Harald  Helfgott,  chargé  de  recherches  à  l’Ecole  normale  supérieure  de  Paris.  La  démonstration est en cours de validation.  La conjecture des nombres premiers jumeaux  selon  laquelle  il  existerait  une  infinité  de  nombres  premiers  p    et  p’  tels  que  p′=p+2,  n’est  toujours  pas  démontrée  mais  le  mathématicien  chinois  Yitang  Zhang  a  démontré  une  version  faible  de  cette  conjecture  en  établissant  en  mai  2013  qu’il  existait  une  infinité  de  paires  de  nombres  premiers  qui  diffèrent  l’un  de  l’autre  de  70 000 000 au plus.   Evidemment, on voudrait que ces 70 000 000  soient ramenés à 2, mais l’existence même de  cette  preuve  jointe  aux  travaux  d’Helfgott  montre  que  quelque  chose  « bouge »  autour  des nombres premiers et que l’on n’est pas à  l’abri  de  découvertes  plus  importantes.  On  pense  donc  à  nouveau  à  la  fameuse  conjecture de Riemann.  Pures  spéculations  intellectuelles,  dira‐t‐on.  Pas  vraiment,  car  la  conjecture  de  Riemann  débouche sur des considérations qui peuvent  être  d’un  intérêt  primordial  dans  d’autres  domaines  que  les  mathématiques,  la  cryptographie  et  la  physique  quantique  notamment. De quoi s’agit‐il ?  La conjecture de Riemann  La  conjecture  de  Riemann  (1859)  a  trait  à  la  fonction  Zêta  (s)  de  Riemann  qui  étend  au  domaine des nombres complexes (notés s = x  + i y) la classique série d’Euler :    s s s s n 1 1 1 1 1 s 1 ... 2 3 4 n            (1)   2    Il n’est pas possible de calculer directement la  fonction   s pour toutes les valeurs de s. En  particulier, on sait que la série est divergente  si l’on prend s égal à 1sur l’axe des réels. Le  point 1 est une singularité de la fonction. Mais  il est possible de contourner cette singularité  en remplaçant la formulation analytique de la  fonction  (1)  par  une  équation  fonctionnelle  dont  l’expression  fait  sens  pour  toute  valeur  de  s  prise  en  dehors  du  pôle  s=1  et  dont  la  solution  s’identifie  à  l’expression  (1)  lorsque  cette  dernière  peut  être  calculée.  On  parle  alors de prolongement analytique.  Riemann  a  montré  que  l’équation  fonctionnelle  constituant  le  prolongement  analytique de  s  pouvait s’écrire :      s 1 s 2 2 s 1 s s 1 s 2 2                      (2)  formule  dans  laquelle  la  fonction     d’Euler  prolonge la fonction factorielle ! à l'ensemble  des  nombres  complexes.  Elle  a  du  sens  partout  dans  le  plan  complexe  en  dehors  de  s=1.   Pour des raisons explicitées plus loin, Riemann  s’est intéressé aux zéros de la fonction  s .  L’équation fonctionnelle (2) est invariante par  rapport  à  la  transformation   s 1 s  .  La  fonction   s présente donc une symétrie par  rapport  à  la  droite 1 x 2  .  Il  est  facile  de  démontrer  que  la  fonction  ne  peut  pas  s’annuler si la partie réelle x est > 1. Il en ira  donc de même si x < 0. Cela élimine donc deux  demi‐plans  dans  la  recherche  des  zéros  de    s  (figure 1).    Figure 1 : Les zones clés de la recherche des zéros de la fonction Zêta.  Une  exception  importante  cependant :  si  s 2, 4, 6...     le  facteur  s 2         dans  le  membre  de  gauche  de  l’équation  (2)  devient  infini  alors  que  le  membre  de  droite  reste  borné.  Il  faut  donc  que  pour  ces  points  la  fonction    s soit nulle : c’est qu’on appelle  les zéros triviaux de  s .  Mais il existe des zéros non triviaux qui, pour  les raisons exprimées ci‐dessus, ne peuvent se  trouver que dans la bande [0,1]. La conjecture  de  Riemann  consiste  à  affirmer  que  tous  ces  zéros sont situés sur la médiane 1 x 2  . On a  de  fait  calculé  un  nombre  considérable  de  zéros le long de cette droite : des centaines de  milliards,  en  commençant  par  14.1347…,  21.0220…,  25.0108…  etc.  Mais  on  n’a  jamais  pu  trouver  de  zéros  en  dehors  de  la  droite   1 x 2    sans  jamais  parvenir  cependant  à  prouver  qu’il  n’en  existait  pas.  De  plus,  la  statistique de la répartition de ces zéros sur la  fameuse droite a quelque chose de bizarre : le  4 088 664 936 217e   zéro  n’est  distant  de  son    3    suivant  que  0.00001709 sur  l’axe  des  y.  Voilà qui rappelle étrangement le phénomène  des nombres premiers jumeaux…    Figure 2 : Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826  – 1866).  Fonction  de  Riemann  et  nombres  premiers  Depuis fort longtemps, on sait que la fonction  de  Riemann  (et  son  ancêtre  la  fonction  d’Euler)  constitue  un  pont  entre  l’analyse  et  l’arithmétique, c'est‐à‐dire entre le continu et  le discret. Grâce au théorème fondamental de  l’arithmétique2 ,  on  peut  démontrer  assez  facilement  l’identité  d’Euler  permettant  de  transformer  la  somme  de  Riemann  en  un  produit  infini  étendu  aux  seuls  nombres  premiers (3) :    s n 1 p s 1 1 s 1n 1 p           (3)                                                               2   Tout  entier  strictement  positif  peut  être  écrit  comme  un  produit  de  nombres  premiers  d'une  unique  façon,  à  l'ordre  près  des  facteurs.  Par  conséquent, toute fraction  s 1 n  peut s’écrire  s s 1 p q dans laquelle p et q sont premiers.  où les nombres p sont premiers .  On comprend que la fonction d’Euler et celle  de  Riemann  aient  été  perçues  comme  des  moyens de pénétrer le mystère des nombres  premiers  et  en  particulier  celui  de  leur  répartition.  Cette répartition est usuellement caractérisée  par la fonction  (x) qui compte le nombre de  nombres  premiers  inférieurs  ou  égaux  à  un  nombre  x donné. Depuis toujours, on sait que  les nombres premiers se raréfient au fur et à  mesure que  x croit.   En 1808, Legendre avait proposé la relation :  x (x) ln x     (4)  Gauss, pratiquement simultanément, proposa  l’approximation,  qui  devait  se  révéler  plus  précise :     x Li x    (5)  formule dans laquelle   Li x est le logarithme  intégrale de  x défini par :     x 0 dt Li x ln t     (6)  x   (x)    Li x   10  4  6  100  25  30  1 000  168  178  10 000  1 226  1 246  100 000  9 592  9 630  1 000 000  78 498   78 628  10 000 000  664 579   664 918  100 000 000  5 761 455  5 762 209  1 000 000 000  50 847 534  50 849 235  10 000 000 000  455 052 511  455 055 615  100 000 000 000  4 118 054 813  4 118 066 401  1 000 000 000 000  37 607 912 018  37 607 950281  Tableau 1 : Comparaison entre la fonction   et  le  logarithme  intégral.  Dans  cette  table,  le  logarithme  intégral  est  toujours  supérieur  à    mais on sait qu’il n’en va pas ainsi pour des valeurs  de x extrêmement élevées. Source : Gilles Lachaud.    Ces formules (4) et (5) ne seront démontrées  que  beaucoup  plus  tard  et  pratiquement  simultanément,  par  Jacques  Hadamard  et    4    Charles  de  la  Vallée  Poussin  (1896),  après  qu’ils auront établi que   s  ne possédait pas  de zéro sur  x 1 .  Riemann  avait  l’idée  que  la  répartition  des  zéros  non  triviaux  de  la  fonction  Zêta  commandait  celle  des  nombres  premiers.  Il  cherchait  donc  à  réduire  l’écart  subsistant  entre  la  fonction  (x) telle  qu’elle  était  observée  et  la  fonction   Li x telle  qu’elle  pouvait  être  calculée.  Riemann  est  alors  parvenu à un résultat remarquable.   Ce résultat consiste en la démonstration d’une  formule  explicite  qui  est  une  relation  complexe  établissant  une  identité  formelle  entre  une  fonction   f x dérivée  de  la  fonction  (x) et une expression dans laquelle  l’écart  à   Li x s’exprime  comme  la  sommation  d’un  terme  complexe  faite  sur  l’ensemble  des  zéros  non  triviaux  de  la  fonction  s  . Cette formule n’a pas d’intérêt  direct  pour  le  calcul  puisqu’elle  suppose  une  sommation sur un ensemble qu’on ne connait  pas  de  façon  précise.  Mais  elle    établit  de  façon irréfragable un lien entre deux mondes :  la statistique des zéros de la fonction Zêta et  la répartition des nombres premiers.  Partant de là, il a été démontré plus tard (Von  Kock ‐ 1901) que l’écart entre  (x) et   Li x pouvait être majoré par un multiple constant,  aussi petit que l’on veut, de  (ln x x) quand  x    et  que  cette  estimation  était  la  meilleure possible.  Mais…  tous  ces  résultats  demeurent  subordonnés  à  la  validation  de  la  conjecture  de  Riemann !  Cette  validation  viendrait  conforter  bon  nombre  d’hypothèses  faites  jusqu’à présent et permettrait de relancer les  investigations sur les nombres premiers dans  de nouvelles directions.  Quel intérêt pour les technologies qui  nous intéressent ?  La  confirmation  de  l’hypothèse  de  Riemann  ouvrira de nouvelles voies au moins dans deux  domaines.  La cryptographie  On  connait  l’importance  des  nombres  premiers  dans  les  méthodes  de  chiffrement  modernes, en particulier dans l’algorithme de  chiffrement  à  clés  asymétriques  dénommé  RSA  qui  repose  sur  l’extrême  difficulté,  supposée, de factoriser en nombres premiers  des très grands nombres.   Il  n’y  a  pas  de  raisons  de  supposer,  comme  cela a été fait dans certaines publications, que  la démonstration de l’hypothèse de  Riemann  puisse  du  jour  au  lendemain  rendre  facile  cette factorisation et donc caducs bon nombre  de  systèmes  de  protection.  Aujourd’hui,  l’algorithme RSA serait davantage menacé par  la  mise  au  point  d’ordinateurs  quantiques  disposant  d’une  quantité  de  qubits  intriqués  suffisante  (peut‐être  de  l’ordre  de  80)  pour  supporter  des  algorithmes  quantiques,  tels  que  l’algorithme  de  Peter  Shor,  capables  de  factoriser  les  grands  nombres  en  un  temps  beaucoup  plus  court  que  les  algorithmes  classiques. Nous n’en sommes pas là, même si  le sujet est considéré dans beaucoup de pays  comme un très grand thème de recherches.  Par contre, il est probable que la validation de  l’hypothèse  de  Riemann  s’accompagnera  de  progrès importants des connaissances sur les  nombres,  sur  la  distribution  des  nombres  premiers,  sur  les  méthodes  de  factorisation,  etc.  Il  est  vraisemblable  que  de  tels  progrès  auront  des  retombées  considérables  sur  la  conception  des  techniques  de  chiffrement,  éventuellement  sur  les  méthodes  de  craquage,  surtout,  bien  entendu,  si  l’ordinateur  quantique  venait  à  devenir  simultanément opérationnel.     La  théorie  des  nombres  premiers  et  la  physique  Plusieurs  approches  ont  tendu  ces  dernières  années à établir un parallèle entre la théorie  des  nombres  premiers  et  un  certain  nombre  de  phénomènes  physiques.  La  fonction  Zêta  de  Riemann  fournit  un  modèle  de  relations  entre le discret et le continu. N’en va‐t‐il pas  de  même  de  la  mécanique  quantique ?  La  répartition  des  nombres  premiers  ne  serait‐ elle  dès  lors  que  l’une  des  manifestations  d’une  loi  plus  générale  gouvernant  notre    5    univers ? Les travaux d’André Weil et de Pierre  Deligne les ont d’ailleurs conduit à étudier la  transposition de la fonction Zêta sur d’autres  corps que celui des complexes et à conjecturer  puis à montrer que sur ces corps particuliers la  transposée  de  l’hypothèse  de  Riemann  était  vraie.  Revenant  à  la  physique,  Riemann  lui‐même,  en  travaillant  sur  sa  formulation  explicite,  avait montré que le fameux écart entre  (x)   et   Li x pouvait  être  approximé  par  une  série  de  signaux  sinusoïdaux  du  type  n n cos x ,  expression  dans  laquelle n  désignent  l’ensemble  des  coordonnées  des  zéros de   s  sur l’axe imaginaire, ces zéros  étant supposés être de la forme   n n 1 i 2      (7)  On voit ainsi apparaître l’idée que les zéros de  la  fonction  de  Riemann  résulteraient  de  la  combinaison  de  phénomènes  vibratoires  autour de l’axe  1 x 2    dont les  n  seraient les  pulsations propres.  Cette  idée  fut  reprise  par  David  Hilbert  puis  George  Polyà  vers  1930  qui  émirent  l’hypothèse  selon  laquelle  les  n  pouvaient  correspondre  aux  valeurs  propres  d’un  opérateur  hermitien3   appliqué  à  l’espace  de  Hilbert  constitué  par  l’ensemble  des  « vibrations »    associées  aux  zéros  de  s .  Publiée par Hugh Montgomery en 1973, cette  hypothèse  est  connue  sous  le  nom  de  « conjecture de Hilbert‐Polyà ».  Toujours  en  1973,  après  une  conversation  avec  Freeman  Dyson,  Hugh  Montgomery  réalisa que la distribution supputée des écarts  successifs  entre  zéros  non  triviaux  de   s était  asymptotiquement  identique  à  celle  de                                                               3   Dans  une  base  orthonormale,  la  matrice  d'un  opérateur hermitien est égale à la transposée de sa  conjuguée.  Les  opérateurs  hermitiens  jouent  un  rôle  important  en  mécanique  quantique,  car  ils  représentent les grandeurs physiques.  l’espacement  entre  les  valeurs  propres  des  matrices  hermitiennes  aléatoires  qui  sont  utilisées  en  mécanique  quantique  pour  caractériser  les  niveaux  d’énergie  des  systèmes atomiques complexes.  On  sait  en  effet  que  « D’après  la  théorie  quantique, les niveaux d’énergie d’un système  atomique  sont  les  valeurs  propres  d’un  opérateur hermitien dans l’espace de Hilbert :  le Hamiltonien du système. Lorsque le système  atomique  contient  beaucoup  de  particules  élémentaires,  il  y  a  une  profusion  de  niveaux  d’énergie et le Hamiltonien est trop complexe  pour  être  diagonalisé  numériquement.  C’est  dans ce contexte que le physicien E. Wigner a  eu  l’idée  de  modéliser  les  niveaux  d’énergie  d’un  tel  Hamiltonien  par  les  valeurs  propres  d’une matrice hermitienne aléatoire de grande  taille4 .  L’espoir  de  Wigner  était  que  les  propriétés  statistiques  des  niveaux  d’énergie,  par  exemple  la  distribution  de  leurs  écartements,  coïncideraient  avec  celles  des  matrices aléatoires.  Après  de  nombreux  travaux  théoriques  et  expérimentaux  l’intuition  de  Wigner  s’est  révélée fondée.» (Source : Philippe Biane).   Cette proposition qui lie les valeurs propres de   s aux  niveaux  quantiques  des  systèmes  atomiques est désormais connue sous le nom  de  loi  de  Montgomery‐Odlyzko.  Elle  a  fait  l’objet de vérifications par le calcul jusqu’à un  ordre élevé mais elle reste empirique.  Depuis lors, des travaux très importants sont  menés  pour  essayer  de  conforter  cette  relation étrange entre le monde des nombres  et celui des particules. On ne sait pas si c’est la  conjecture  de  Riemann  qui  permettra  de  démontrer  la  conjecture  d’Hibert‐Polyà,  ou  l’inverse.  Mais  on  pressent  qu’il  y  a  là  une  relation  forte  et  d’autres  investigations,  vers  les bruits roses notamment, laisse penser qu’il  existe une forme supérieure d’ordre qui nous  échappe encore.                                                                4   Une  matrice  aléatoire  est  une  matrice  dont  les  coefficients  sont  aléatoires. Si  ceux‐ci  obéissent  à  des  distributions  normales  indépendantes,  les  matrices  correspondantes  constituent  l’ensemble  GUE (Gauss Unitary Ensemble).    6    Ce trop bref article, pour un sujet aussi difficile, ne clôt pas le débat et n’a pas la prétention de la  rigueur  scientifique.  Il  vise  simplement  à  appeler  l’attention  de  nos  lecteurs  sur  une  question  essentielle  où  les  progrès  sont  attendus  dans  les  prochaines  années  viendront  éclairer  notre  compréhension  du  monde,  à  moins  qu’ils  ne  nous  plongent  dans  un  abime  encore  plus  grand  de  perplexité.       Jean‐Pierre Hauet