Stabilisation quadratique de systèmes linéaires incertains par optimisation convexe et optimisation non convexe

08/04/2012
Publication e-STA e-STA 2011-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2011-2:2376
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Résumé

 Dans cet article, une comparaison sur le plan efficacité  entre  l’approche  LQ  (linear-quadratic)  utilisant l’optimisation convexe et celle non convexe est élaborée pour la stabilisation de systèmes linéaires incertains, l’incertitude étant de type bornée en norme.
L’approche non convexe constitue pour des systèmes linéaires invariants  dans  le  temps,  une  extension  du  cas  convexe.Malgré  qu’elle  nécessite  la  résolution  d’une  équation  de Riccati cette approche a l’avantage de faciliter la synthèse en conservant la structure d’un problème LQ standard. Le cas d’un système du second ordre est traité pour illustrer l’étude envisagée.

Stabilisation quadratique de systèmes linéaires incertains par optimisation convexe et optimisation non convexe

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L’approche non convexe constitue pour des systèmes linéaires invariants  dans  le  temps,  une  extension  du  cas  convexe.Malgré  qu’elle  nécessite  la  résolution  d’une  équation  de Riccati cette approche a l’avantage de faciliter la synthèse en conservant la structure d’un problème LQ standard. Le cas d’un système du second ordre est traité pour illustrer l’étude envisagée.
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STABILISATION QUADRATIQUE DE SYSTÈMES LINÉAIRES INCERTAINS PAR OPTIMISATION CONVEXE ET OPTIMISATION NON CONVEXE Khira DCHICH, Abderrahmen ZAAFOURI e-mail:dchich_houda@yahoo.fr, abderrahmen.zaafouri@isetr.rnu.tn C.3.S Unité de recherche Commande, Surveillance et Sûreté de fonctionnement des Systèmes. Ecole Supérieure des Sciences et Techniques de Tunis-Université de Tunis. Résumé - Dans cet article, une comparaison sur le plan efficacité entre l’approche LQ (linear-quadratic) utilisant l’optimisation convexe et celle non convexe est élaborée pour la stabilisation de systèmes linéaires incertains, l’incertitude étant de type bornée en norme. L’approche non convexe constitue pour des systèmes linéaires invariants dans le temps, une extension du cas convexe. Malgré qu’elle nécessite la résolution d’une équation de Riccati cette approche a l’avantage de faciliter la synthèse en conservant la structure d’un problème LQ standard. Le cas d’un système du second ordre est traité pour illustrer l’étude envisagée. Mots clés - stabilisabilité quadratique, optimisation convexe, optimisation non convexe, incertitude bornée en norme, équation de Riccati, retour d’état, LMI. I. INTRODUCTION La stabilisation de systèmes linéaires incertains à incer- titudes bornées en normes utilisant les méthodes Lyapunov, peut être effectuée par élaboration de conditions de stabilité quadratique [3, 7] exprimées sous forme d’une équation de Riccati [12]. Peu de travaux relatifs à la stabilisation par retour d’état dans le cas non convexe avec des entrées bornées en normes [1], sont traités dans la littérature. Après l’élaboration d’une condition nécessaire et suffisante de stabilité quadratique [3, 4], par Barmish dans les années 80, Petersen [8] en 1987 a établi un algorithme de stabilisation quadratique par retour d’état pour des systèmes à matrice d’état est incertaine ; une année après, Zhou et Khargonekar [9] ont ensuite étendu les résultats aux matrices d’état et de commande incertaines. Cet article est organisé comme suit. Après avoir formulé le problème de la stabilisabilité quadratique d’un système linéaire incertain dans la deuxième section, des algorithmes spécifiques ont été appliqués dans la troisième section pour l’optimisation convexe et celle non convexe. Une commande par retour d’état d’un système linéaire incertain à incertitude de type bornée en norme, élaborée dans la section quatre, a permis la stabilisabilité quadratique de ce système. Le cas d’un système du deuxième ordre est envisagé, dans la dernière section, pour illustrer la mise en oeuvre des approches développées. II. STABILISATION DE SYSTÈMES LINÉAIRES INCERTAINS PAR L’APPROCHE QUADRATIQUE Considérons le système linéaire incertain suivant : { ˙x (t) = Ax (t) + Bu (t) y (t) = Cx (t) (1) où A ∈ Rn×n est la matrice caractéristique du système en boucle ouverte, B ∈ Rn×m la matrice de commande et C ∈ Rp×n la matrice de sortie, u (t) et y (t) les signaux d’entrée et de sortie respectivement et x (t) ∈ Rn le vecteur des variables d’état. Ce système dans le cas incertain, l’incertitude étant de type bornée en norme, peut être décrit par : ˙x (t) = (A + ∆A) x (t) + Bu (t) (2) avec : ∆A = DF (t) E (3) où ∆A représente l’incertitude du système, D et E sont des matrices constantes de dimensions appropriées, et F est une matrice qui vérifie l’inégalité suivante : FT (t) F (t) ≤ I (4) c’est-à-dire, dont une norme de F est bornée par l’identité. Pour stabiliser le système incertain (2), il est envisagé de mettre en oeuvre une loi de commande linéaire par réaction d’état de la forme u(t) = −Kx(t) dont l’élaboration nécessite la résolution soit d’une fonction de Lyapunov quadratique soit d’une équation de Riccati. A. CONDITIONS DE STABILITÉ QUADRATIQUE Le système (2) est stabilisable quadratiquement, s’il existe une loi de commande linéaire u(t) = −Kx(t), une matrice symétrique définie positive P ∈ Rn×n et une constante α positive telles que la condition suivante soit vérifiée [8] : L (x, t) = xT [ AT P + PA ] x + 2xT PDFEx ≤ −α ∥x∥ 2 (5) ∀ (x, t) ∈ Rn × R. L’algorithme relatif à la synthèse d’une telle loi de commande, proposé dans [8], est basé sur la résolution d’une équation de Riccati algébrique, et donne une condition nécessaire et suffisante de stabilisabilité quadratique par retour d’état linéaire. Théorème 1 Le système décrit par l’équation (2) est quadratiquement stabilisable par une loi de commande linéaire u(t) = −Kx(t) [8] si et seulement s’il existe une constante réelle ε > 0 telle que, pour une matrice quelconque R symétrique définie positive, l’équation de Riccati : AT P +PA−PBR−1 BT P +εPDDT P +ε−1 ET E +Q = 0 (6) avec Q est la matrice de pondération constante, symétrique et définie positive. Ou : AT P +PA−PBR−1 BT P +εPDDT P +ε−1 ET E < 0 (7) a une solution P symétrique définie positive ; de plus, une loi de commande stabilisante peut être exprimée par : u = −Kx (8) K = R−1 BT P B. CAS DE L’OPTIMISATION CONVEXE ET DE L’OPTI- MISATION NON CONVEXE Un grand nombre de problèmes concernant les systèmes incertains peuvent être résolus par l’intermédiaire d’outils d’optimisation convexe. La convexité d’un problème d’opti- misation a un double avantage [20] : – le temps de calcul pour trouver une solution, est raison- nable, – le résultat obtenu correspond à un minimum global unique de la fonction coût. Dans le cas de l’optimisation convexe, la solution locale est globale. x f(x) Fig. 1. Fonction convexe . Soit une fonction f : E ⊂ Rn → R où E est un ensemble convexe, f est convexe si et seulement si : ∀λ ∈ [0, 1] ⊂ R, ∀ (x1, x2) ∈ E2 , f (λx1 + (1 − λ) x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ) f (x2) λ étant un paramètre constant. Dans le cas non convexe, les résultats correspondent à plusieurs minimums et l’optimisation non convexe est une optimisation globale. x f(x) Fig. 2. Fonction non convexe III. ALGORITHMES D’OPTIMISATION CONVEXE ET NON CONVEXE DÉVELOPPÉS 1) Algorithme dans le cas convexe La stabilisation du processus (2) par la commande définie par (8) nécessite pour la résolution de l’équation de Riccati (6), de suivre les étapes suivantes : i. choisir les matrices de pondérations Q et R tels que R = Q = I, et prendre ε = ε0, ii. résoudre l’équation (6) ; s’il existe P = PT > 0 le système est quadratiquement stabilisable ; et calculer K. Sinon, passer à (iii), iii. remplacer ε par ε/2, si ε < ε0, stop, le système n’est pas quadratiquement stabilisable ; sinon ε > ε0, mettre i = i + 1 et revenir à (ii). 2) Algorithme dans le cas non convexe La stabilisation du processus (2) par la commande définie par (8) nécessite pour la résolution de l’équation de Riccati (6), de suivre les étapes suivantes : i. choisir les matrices de pondérations Q et R tels que R = Q = I, ii. Retrouver la matrice P en fonction de ε, avec P symétrique définie positive sous la forme P = {pij}, les pij et ε étant des paramètres inconnus, AT P + PA − PBR−1 BT P + εPDDT P + ε−1 ET E + Q = 0 Après calcul avec ses inconnues, on trouve quatre équations à quatre inconnues, iii. déterminer la valeur de ε telle que P = PT > 0 le système est alors quadratiquement stabili- sable. Sinon le système n’est pas stabilisable quadratiquement. IV. COMMANDE PAR RETOUR D’ÉTAT Considérons le système certain à étudier décrit par : { ˙x = Ax + Bu z = Cx (9) Théorème 2 Le système (9) est quadratiquement stabilisable par retour d’état u = −Kx s’il existe une matrice P = PT > 0 solution de l’équation de Riccati suivante : AT P + PA − PBR−1 BT P + Q = 0 (10) ou encore : AT P + PA − PBR−1 BT P ≤ 0 (11) L’inégalité matricielle, (11) peut être résolue par application d’une approche LMI (Linear Matrix Inequality) [22], telle qu’indiqué dans le lemme suivant : Lemme de Schur L’inégalité matricielle linéaire, donnée par : ( Q (x) S (x) ) ≤ 0 (12) avec : Q = QT , R = RT ≤ 0 et S (x) affine en x, est équivalente à : Q (x) − S (x) R−1 (x) ST (x) ≤ 0 (13) Il vient que l’inégalité (11) est équivalente à la suivante : ( AT P + PA PB (BP) T R ) ≤ 0 (14) Condition de stabilisabilité quadratique Considérons le système (9) qui, dans le cas incertain, est décrit par l’équation suivante : { ˙x = (A + ∆A) x + Bu z = Cx (15) ∆A = D1F (t) E1 étant une matrice représentant les incerti- tudes sur A telles que FT (t) F (t) ≤ I Le système (15) est quadratiquement stabilisable par retour d’état linéaire s’il existe une matrice constante K ∈ Rm×n , une matrice P ∈ Rn×n symétrique définie positive et une constante α > 0, telles que, pour toute incertitude admissible F(t), le système bouclé par le retour d’état : u (t) = −Kx (t) est tel que : L (x, t) = xT [ AT P + PA ] x + 2xT PD1FE1x ≤ −α ∥x∥ 2 (16) pour tout (x, t) ∈ Rn × R, la fonction de Lyapunov exploitée étant : V (x) = xT Px (17) Soient Q ∈ Rn×n et R ∈ Rm×m deux matrices de pondéra- tions symétriques définies positives données. On suppose qu’il existe ε, ε > 0, tel que l’équation de Riccati suivante : AT P +PA−PBR−1 BT P +εPD1DT 1 P +ε−1 ET 1 E1+Q = 0 (18) ou : AT P + PA − PBR−1 BT P + εPD1DT 1 P + ε−1 ET 1 E1 ≤ 0 (19) admet une solution symétrique définie positive P. Alors le système incertain (15) est stabilisable par la loi de commande stabilisante suivante : u (t) = −R−1 BT Px (t) (20) V. CAS D’UN SYSTÈME DU SECOND ORDRE Le système du deuxième ordre étudié est incertain l’incertitude étant de type borné en norme. Le modèle est caractérisé par les matrices constantes suivantes : A = ( −1.82 17.76 0.17 −0.75 ) B = ( −91.24 0 ) E1 = ( 0.2 2 0.4 2 ) D1 = ( 1.6 0 0 −0.5 ) Q = ( 1 0 0 1 ) C = ( 1 0 ) R = 1 Dans cet exemple, nous avons présenté l’évolution pour chacune des variables d’état du système incertain. En effet, les procédures numériques fournissent les résultats suivants : – dans le cas non convexe, la matrice de Riccati conduit à la solution P définie par : P = ( 0.0400 0.0259 0.0259 0.0889 ) relative à la réaction d’état de gain de retour K suivant : K = ( −0.0400 −0.0259 ) – dans le cas convexe, la matrice de Riccati conduit à la solution P définie par : P = ( 1.2439 14.9268 14.9268 204.9270 ) relative à la réaction d’état de gain de retour K suivant : K = ( −1.2439 −14.9268 ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 xetx t(s) 12 x1 x2 1.2 Fig. 3. Evolutions de x1 et x2 dans le cas convexe 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 u t(s) Fig. 4. Evolution de la commande u dans le cas convexe 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 xetx x x 1 2 12 t(s) 1.2 Fig. 5. Evolutions de x1 et x2 dans le cas non convexe 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −0.03 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 u t(s) Fig. 6. Evolution de la commande u dans le cas non convexe Les figures 3 et 5 nous permettent de constater que pour les deux cas, convexe et non convexe, la convergence est assurée à des dynamiques différentes, le cas convexe répondant plus rapidement que celui non convexe, tandis que les figures 4 et 6 montrent que l’énergie de commande nécessaire pour stabiliser le cas convexe est moins importante que celle déployée pour le cas non convexe. Les gains K obtenus dans les deux cas, ont garanti la stabilité de ce système. VI. CONCLUSION Dans cet article, nous avons proposé pour des systèmes linéaires incertains à incertitude de type bornée en norme, des conditions et suffisantes de stabilisabilité quadratique, par retour d’état. Elles utilisent la méthode de Lyapunov, tout en restant subordonnées à l’existence de l’approche LQ dans le cas non convexe. L’étude relative à un système du deuxième ordre a montré l’efficacité des approches proposées. VII. ANNEXE Démonstration du théorème 1 Condition suffisante : Le système (2) est quadratiquement stabilisable par une loi de commande u = −Kx, si et seulement s’il existe P = PT > 0 telle que : (A + DFE − BK) T P + P (A + DFE − BK) < 0 (21) ou : xT ( AT P + PA − 2PBK + 2PDFE ) x < 0 (22) ∀x ∈ Rn , x ̸= 0. Cependant, nous avons : ( √ εDT P − 1 √ ε FE )T ( √ εDT P − 1 √ ε FE ) ≥ 0 (23) pour tout ε > 0, et donc : εN + ε−1 V ≥ εN + ε−1 J ≥ M (24) avec : M = PDFE + ET FT DT P J = ET FT FE N = PDDT P V = ET E Si l’on définit K = R−1 BT P, alors (7) implique (22). Condition nécessaire : Le système est quadratiquement stabilisable, alors ∃Pi > 0 telle que : xT ( AT Pi + PiA − 2PiBK + 2PiDFE ) x < 0 (25) ∀x ∈ Rn , x ̸= 0. Ce qui implique que : xT ( AT Pi + PiA + 2PiDFE ) x < 0 (26) ∀x ∈ N ( BT P ) Selon le théorème de Finsler [8], (26) est équivalente à : xT ( AT Pi + PiA − PiBRi −1 BT Pi + 2PiDFE ) x < 0 (27) ∀x ∈ Rn , x ̸= 0 Pour une matrice Ri > 0, il vient par conséquent : xT Tix < −2 max { xT PiDFEx : FT F ≤ I } ≤ 0 (28) avec : Ti = ( AT Pi + PiA − PiBR−1 i BT Pi ) pour tout x ∈ Rn , x ̸= 0 (il faut noter, cependant, que dans chaque cas le maximum dépend du x choisi). De (28), nous avons ( xT Tix )2 > 4 ( max { xT PiDFEx : FT F ≤ I })2 (29) or [8] : ( max { xT PiDFEx : FT F ≤ I })2 = xT PiDDT PixxT ET Ex (30) et donc : ( xT Tix )2 > 4xT PiDDT PixxT ET Ex (31) Si (24) est satisfaite, il existe alors une constante réelle εi, εi > 0 telle que [8] : AT Pi + PiA − PiBR−1 i BT Pi + εiPiDDT Pi + 1 εi ET E < 0 (32) Quelque soit R > 0, il existe ε∗ > 0 tel que la condition 1 ε∗ PiBR−1 BT Pi ≥ PiBR−1 i BT Pi (33) est satisfaite. En fait, c’est également vrai quelque soit ε ∈ (0, ε∗ ]. En substituant le terme de gauche de l’inégalité (32) dans (31), nous obtenons : AT Pi +PiA− 1 ε∗ PiBR−1 i BT Pi +εiPiDDT Pi + 1 εi ET E < 0 (34) La division par ε∗ , en posant P = Pi/ε∗ et ε = εiε∗ , permet de finir aisément la démonstration du théorème 1. Remarque En se basant sur le fait que s’il existe une solution à (7) pour Ri > 0 et εi données, il en existera, également, pour R > 0 quelconque et un intervalle de valeurs ε ∈ (0, ε∗ ]. Dans [8] est proposée une stratégie de recherche itérative de P > 0 par valeurs décroissantes de ε. En fait, Petersen propose [8] un algorithme itératif portant sur une équation de type Riccati : AT P +PA−PBR−1 BT P +εPDDT P +ε−1 ET E +Q = 0 (35) La solution de cette équation de Riccati est indépendante du choix de la matrice définie positive Q. RÉFÉRENCES [1] E. Pérez, C. Arino, F. Xavier Blasco, et A. Martinez. 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