Stabilité et stabilisation exponentielle robuste des systèmes neutres à retards multiples et avec perturbations non linéaires

08/04/2012
Publication e-STA e-STA 2011-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2011-2:2374
DOI :

Résumé

Ce papier traite le problème de stabilité et de   stabilisation   exponentielle   pour   les   systèmes neutres comportant des retards multiples variant dans le   temps   avec   perturbations   non   linéaires.   Une nouvelle  condition  de  test  de  stabilité  et  ceci  dans dépendant   du   retard   est   établie   dont   le   but   est l’estimation  de  taux  de  convergence  et  le  retard maximum  admissible  pour  garantir  la  stabilité  du système tout en se basant sur les Inégalités Linéaires 
Matricielles  (LMIs).  Des  exemples  illustratifs  sont présentés  dans  ce  papier  afin  de  mettre  en  évidence l’efficacité de l’approche proposée. 

Stabilité et stabilisation exponentielle robuste des systèmes neutres à retards multiples et avec perturbations non linéaires

Métriques

1606
238
140.36 Ko
 application/pdf
bitcache://e490ad193010c683eba9034de5e51c85c934f8f7

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2011-2/2374</identifier><creators><creator><creatorName>Issam Amri</creatorName></creator><creator><creatorName>Sahbi Mezlini</creatorName></creator><creator><creatorName>Dhaou Soudani</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Stabilité et stabilisation exponentielle robuste des systèmes neutres à retards multiples et avec perturbations non linéaires</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2012</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sun 8 Apr 2012</date>
	    <date dateType="Updated">Mon 25 Jul 2016</date>
            <date dateType="Submitted">Mon 19 Nov 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">e490ad193010c683eba9034de5e51c85c934f8f7</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>9674</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract">Ce papier traite le problème de stabilité et de   stabilisation   exponentielle   pour   les   systèmes neutres comportant des retards multiples variant dans le   temps   avec   perturbations   non   linéaires.   Une nouvelle  condition  de  test  de  stabilité  et  ceci  dans dépendant   du   retard   est   établie   dont   le   but   est l’estimation  de  taux  de  convergence  et  le  retard maximum  admissible  pour  garantir  la  stabilité  du système tout en se basant sur les Inégalités Linéaires 

Matricielles  (LMIs).  Des  exemples  illustratifs  sont présentés  dans  ce  papier  afin  de  mettre  en  évidence l’efficacité de l’approche proposée. 
</description>
        </descriptions>
    </resource>
.

STABILITE ET STABILISATION EXPONENTIELLE ROBUSTE DES SYSTEMES NEUTRES A RETARDS MULTIPLES ET AVEC PERTURBATIONS NON LINEAIRES Issam AMRI, Sahbi MEZLINI, Dhaou SOUDANI amri_issam@yahoo.fr, mezlini.sahbi@yahoo.fr, dhaou.soudani@enit.rnu.tn Laboratoire LA.R.A., Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis, ENIT, BP 37, 1002 Tunis Belvédère, Tunisie Résumé - Ce papier traite le problème de stabilité et de stabilisation exponentielle pour les systèmes neutres comportant des retards multiples variant dans le temps avec perturbations non linéaires. Une nouvelle condition de test de stabilité et ceci dans dépendant du retard est établie dont le but est l’estimation de taux de convergence et le retard maximum admissible pour garantir la stabilité du système tout en se basant sur les Inégalités Linéaires Matricielles (LMIs). Des exemples illustratifs sont présentés dans ce papier afin de mettre en évidence l’efficacité de l’approche proposée. Mots clés - Systèmes à retard multiple ; Stabilité et stabilisation exponentielle ; Condition dépendant du retard ; perturbations non linéaires ; Inégalités Linéaires Matricielles. 1. INTRODUCTION Les systèmes à retard représentent une classe de systèmes de dimension infinie largement utilisée pour la modélisation et l’analyse de phénomènes de transport, de propagation de matière, d’énergie et d’informations. Ils apparaissent naturellement dans la modélisation de nombreux processus rencontrés en physique, mécanique, biologique,... etc. Néanmoins, la présence du retard dans un système dynamique est une cause d’instabilité et de dégradation des performances surtout s’il est commandé en boucle fermée. Ainsi, durant les dernières années, l'étude des systèmes présentant des retards a reçu une attention particulière et de nombreuses recherches fondamentales qui dépendent du type de systèmes considérés et du domaine d'application ont été menées dans la littérature [1-18]. Ces résultats peuvent être classés sur deux approches dépendantes critères de stabilité : le premier est celui où la stabilité est assurée pour n’importe quel retard fini : c’est la stabilité indépendante de la taille du retard, tandis que le deuxième concerne la stabilité dépendante de la taille du retard qui prend en considération l’existence d’un retard maximum non nul qui peut être toléré par le système. Dans le contexte de l'étude de la stabilité de systèmes à retard de type neutre avec perturbations, c'est-à-dire dans le contexte de l'analyse de stabilité robuste pour la classe de systèmes dont la dynamique dépend de la dérivé des états passés, plusieurs approches peuvent être trouvées dans la littérature, on peut citer par exemple les études développées par [8, 9, 12, 15, 17]. D’une autre part, la plupart des résultats existants concernent la stabilité asymptotique des systèmes à retards, mais il peut être plus pertinent pour des problèmes d'observations, de systèmes contrôlés à travers un réseau ou à distance, de garantir une convergence exponentielle qui permet d'assurer une rapidité de cette convergence [5-7, 11, 14, 17]. Dans ce papier, nous présentons une nouvelle approche pour l’étude de la stabilité et stabilisation exponentielle robuste des systèmes neutres à retards multiples pouvant comporter des perturbations non linéaires. Des conditions suffisantes dépendantes du retard basées sur l’utilisation des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii seront développées afin de vérifier la stabilité de ces systèmes, ces conditions sont données sous formes d’inégalités linéaires matricielles. Enfin, des exemples numériques sont présentés selon une étude comparative avec d’autres méthodes afin d’illustrer l’efficacité de l’approche proposée. Notations T A : Transposé de la matrice A 0S > : S matrice définie symétrique positive ( )Max Aλ ( )min ( )Aλ : Maximum (minimum) valeur propre de la matrice A . : Norme vectorielle euclidienne I : Matrice identité * : Les termes symétriques dans une matrice symétrique 2. DESCRIPTION DU SYSTEME ET PRELIMINAIRES Considérons le système neutre à retards multiples et avec perturbations non linéaires décrit par l’équation d’état suivante : ( ) [ ] 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( , ( )) ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) ( ) ( ), ( ) ( ), ,0 m m i i i i i i m m i i i i i i x t A x t A x t t C x t t f t x t g t x t t h t x t t Bu t x t t x t t t τ τ τ τ φ ϕ τ = = = =   = + − + − +    + − + − +     = = ∀ ∈ −  ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ ɺ ɺ (1) où ( ) n x t ∈ℜ est l’état du système, ( ) p u t ∈ℜ est le vecteur de commande. Les matrices 0A , iA et iC , ( 1, , )i m= … , sont supposées constantes et de dimensions appropriées. (.)φ , (.)ϕ représentent les conditions initiales sur l’état et sa dérivée, et ( )i tτ , ( 1, , )i m= … , sont des termes positifs exprimant les retards variables du système satisfaisant la condition suivante : 0 ( )i itτ τ τ< ≤ ≤ , ( )i it dτ ≤ < ∞ɺ , 1, ,i m= … (2) Les fonctions ( , ( ))f t x t , ( , ( ( )))i ig t x t tτ− et ( , ( ( )))i ih t x t tτ−ɺ , 1, ,i m= … , désignent les perturbations non linéaires telles que: ( ,0) 0f t = , ( ,0) 0ig t = , ( ,0) 0ih t = , 1, ,i m= … , et satisfont la majoration décrite par la relation (3) suivante : 0( , ( )) ( ) ( , ( ( ))) ( ( )) , 1, , ( , ( ( ))) ( ( )) , 1, , i i i i i i f t x t x t g t x t t x t t i m h t x t t x t t i m β τ β τ τ λ τ ≤ − ≤ − = − ≤ − = … ɺ … (3) telles que les constantes 0β , iβ et iλ sont des réels positifs donnés. Dans la suite du papier, on note : ( , ( ))f f t x t= , : ( , ( ( )))i ig g t x t tτ= − , et : ( , ( ( )))i ih h t x t tτ= −ɺ . Les définitions et les lemmes suivants seront nécessaires pour le développement de nos principaux résultats. Définition 1. [17] Pour tout 0α > , le système autonome (1) (c.à.d. (.) 0u = ) est dit α -stable, ou exponentiellement stable et de degré de convergence α , s'il existe un réel δ , 1δ ≥ tel que pour tout ( )x t , on a: ( ) t x t e α τ δ ψ− ≤ , 0t∀ ≥ (4) avec 2 2 0 sup ( ) ( )τ τ θ ψ ϕ θ φ θ − ≤ ≤ = + . Définition 2. Le système (1) est dit exponentiellement stabilisable s'il existe une loi de commande ( ) ( )u t Kx t= tel que le système soit α -stable en boucle fermée. Lemme 1. (Complément de Schur)[2] Soient les matrices 1S , 2S , 3S telles que 1 1 T S S= , 3 3 T S S= . La LMI suivante : 1 2 2 3 0T S S S S   >     est équivalente à 3 1 1 2 3 2 0 0T S S S S S− >  − > (5) Lemme 2. [3] Soit la matrice définie positive T Y Y= , pour tout scalaire 0τ > , l’inégalité suivante est vérifiée: ( ) ( ) ( ) ( ) t t t T T t t t x s Y x s ds x s ds Y x s ds τ τ τ τ − − − ≥∫ ∫ ∫ (6) Lemme 3. (S-procédure) [16] Soient les fonctions non négatives ( )f x , 1( )y x ,..., ( )ky x , considérons les conditions suivantes : (a) ( ) 0f x ≥ (b) 1 0,..., 0,kτ τ≥ ≥ tel que 1 ( ) ( ) 0 k j j j f x y xτ = − ≥∑ alors l’intégralité (b) implique l’inégalité (a). 3. ANALYSE DE STABILITE EXPONENTIELLE ROBUSTE Dans cette section, nous nous intéressons au problème de stabilité d’un système neutre à retard multiple et pouvant être avec perturbations non linéaires, régi par l’équation d’état de la forme : [ ] 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( , ( )) ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) ( ) ( ), ( ) ( ), ,0 m m i i i i i i m m i i i i i i x t A x t A x t t C x t t f t x t g t x t t h t x t t x t t x t t t τ τ τ τ φ ϕ τ = = = =   = + − + − +    + − + −     = = ∀ ∈ −  ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ ɺ ɺ (7) Le théorème 1 présente une condition de stabilité exponentielle robuste dépendante du retard. THEOREME 1. Etant donné des scalaires positifs iτ et id , le système (7) est exponentiellement stable avec un taux de convergence 0α > s’il existe des matrices symétriques définies positives de dimensions n n× , P , 1,iw , 3,iw , 1,iQ , 3,iQ , 0H , iH , iR , et des matrices quelconques de dimensions n n× , 2,iw , 2,iQ , telles que l’inégalité matricielle suivante est vérifiée pour 1, ,i m= … : 1 m m 22 12 1 i 2,i 1 2,i 1 3,1 i 1 i 1 PA w A Q A e wατ Σ τ − = = = + + +∑ ∑ m m m 22 1,m 1 m i 2,i m 2,i m 3,m i 1 i 1 PA w A Q A e wατ Σ τ − + = = = + + +∑ ∑ , m m 2 1,m 2 1 i 2,i 1 2,i 1 i 1 i 1 PC w C Q CΣ τ+ = = = + +∑ ∑ , m m 2 1,2m 1 m i 2,i m 2,i m i 1 i 1 PC w C Q CΣ τ+ = = = + +∑ ∑ , 11 12 1, 1 1, 2 1,2 1 1,2 2 1,3 1 1,3 2 1,3 3 1,4 2 1,4 3 1,5 2 0 3,1 0 3, 1 0 3,1 0 3, 22 2, 2 2,2 2 2,3 2 2,3 3 2,4 2 2,4 3 2,5 2 1 3,1 1 3, 1 1 3,1* 0 0 0 T T T T m m m m m m m m m m m m m T T T m m m m m m m m AQ AQ Aw Aw AQ AQ Aw τ τ τ + + + + + + + + + + + + + + + + + Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ= … … … … … … … … … … … … … … 1 3, 1, 1 1,2 1 1,3 1 1,3 2 1,3 3 1,4 2 1,4 3 1,5 2 3,1 3, 1 3,1 3, 2, 2 2,3 2 2,3 3 2,4 2 2,4 3 * * * * * 0 0 * * * * 0 0 0 T m m T T T T m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m Aw AQ AQ Aw Aw τ τ τ+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ … … … … ⋱ … … … 2,5 2 1 3,1 1 3, 1 1 3,1 1 3, 2 1,2 1 2 1,3 2 2 1,3 3 2 1,4 2 2 1,4 3 2 1,5 2 3,1 3, 1 3,1 3, 2 2,2 2 * * * * * * * * * * * 0 0 * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T T T m m m m m T T T T m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m CQ CQ Cw Cw CQ CQ Cw Cw τ τ τ τ + + + + + + + + + + + + + + + + Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ … … ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … … … … … ⋱ … … … 3 1,3 1 3 2,3 2 3 3,3 3 4 2,4 2 4 3,4 3 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * * * * 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * m m m m m m m m m m + + + + + + + + + + Σ Σ Θ Θ Θ Θ Σ Θ Θ Θ Σ Θ Θ Σ … ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ … … … ⋯ … … … ⋱ … … … ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … … … … 5 2,5 2 3,1 3, 3,1 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 * * * * * * * * * * * m m m Q Q w + + Θ Σ − − − … … ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … … ⋱ … ⋱ … ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ 3, 0 * * * * * * * * * * * mw                                     <                                    −   (8) 1,i 2,i T 2,i 3,i w w 0 w w   >     , 1,i 2,i T 2,i 3,i Q Q 0 Q Q   >     (9) avec: i m m T 2 2 T 2 T 11 0 0 i 1,i 0 i 2 ,i i 1 i 1 m m m m 2 T T T i 2 ,i 0 2 ,i 0 0 2 ,i 1,i i 1 i 1 i 1 i 1 m 2 2 3 ,i 0 0 i 1 2 P PA A P w A w w A Q A A Q Q e w H ,ατ Σ α τ τ τ β = = = = = = − = = + + + + + + + + − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 12 T 1,2m 2 2 ,2m 2 2 ,1e wατ Σ Σ − + += = − , m2 T 1,3m 1 2,me wατ Σ − + = − , m m T 2 T 1,3 m 2 1,3m 3 1,4 m 3 0 i 3 ,i 0 3 ,i i 1 i 1 m m 2 2 ,i i 2 ,i i 1 i 1 P A w A Q Q w , Σ Σ Σ τ τ + + + = = = = = = = + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ m m m T 2 T 1,4m 2 1,5m 2 m i 3,i m 3,i 2,i i 1 i 1 i 1 m 2 i 2,i i 1 P A w A Q Q w , Σ Σ τ τ + + = = = = = = + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ 1 12 2 22 3 ,1 1 1 ,1e w ( 1 d )e Qατ ατ Σ − − = − − − , 12 2,m 2 1 2,1(1 d )e Qατ Σ − + = − − m2 m 1,2m 1 m 2,m(1 d )e Qατ Σ − + + = − − , m2 T m 1,3m 1 2,me wατ Σ − + + = − , 2,3m 2 2,3m 3 2,4m 2 2,4m 3 m m T 2 T 2,5m 2 1 i 3,i 1 3,i i 1 i 1 A w A Q , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + = = = = = = = +∑ ∑ m 1,3m 2 m 1,3m 3 m 1,4m 2 m 1,4m 3 m m T 2 T m 1,5 m 2 m i 3,i m 3,i i 1 i 1 A w A Q , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + + + + + + = = = = = = = +∑ ∑ m m2 2 m 1,m 1 3,m m 1,me w (1 d )e Qατ ατ Σ − − + + = − − − , 1 m 2,m 2 1 3,1(1 d )e Qατ Σ − + + = − − , m 2m 1,2m 1 m 3,m(1 d )e Qατ Σ − + + = − − , 12 2m 2,2m 2 1,1e wατ Σ − + + = − , m2 3m 1,3m 1 1,me wατ Σ − + + = − , m 2 ,3 m 2 m 2 ,3 m 3 m 2 ,4 m 2 m 2 ,4 m 3 m m T 2 T m 2 ,5 m 2 1 i 3 ,i 1 3 ,i i 1 i 1 C w C Q , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + + + + + + = = = = = = = +∑ ∑ 2m 1,3m 2 2m 1,3m 3 2m 1,4m 2 2m 1,4m 3 m m T 2 T 2m 1,5 m 2 m i 3,i m 3 ,i i 1 i 1 C w C Q , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + + + + + + = = = = = = = +∑ ∑ 1,5 4 0 3 1 m T m i i A Q+ = Σ = ∑ , 2,5 4 1 3 1 m T m i i A Q+ = Σ = ∑ , 1,5 4 3 1 m T m m m i i A Q+ + = Σ = ∑ , 2,5 4 1 3 1 m T m m i i C Q+ + = Σ = ∑ , 2 1,5 4 3 1 m T m m m i i C Q+ + = Σ = ∑ 5 4,5 4 3 1 m m m i i Q+ + = Σ = −∑ , 2 1,5 3 0 3 1 m T m i i i A wτ+ = Σ = ∑ , 2 2,5 3 1 3 1 m T m i i i A wτ+ = Σ = ∑ , 2 1,5 3 3 1 m T m m m i i i A wτ+ + = Σ = ∑ , 2 2,5 3 1 3 1 m T m m i i i C wτ+ + = Σ = ∑ , 2 2 1,5 3 3 1 m T m m m i i i C wτ+ + = Σ = ∑ , 2 5 4,5 4 3 1 m m m i i i wτ+ + = Σ = −∑ , 2 3 2,3 2 3, 3, 0 1 1 m m m m i i i i i w Q Hτ+ + = = Σ = + −∑ ∑ , 2 3 3,3 3 3, 3, 1 1 1 m m m m i i i i i w Q Hτ+ + = = Σ = + −∑ ∑ , 2 4 2,4 2 3, 3, 1 1 m m m m i i i m i i w Q Hτ+ + = = Σ = + −∑ ∑ , 2 4 3,4 3 3, 3, 1 1 1 m m m m i i i i i w Q Xτ+ + = = Σ = + −∑ ∑ , 2 5 2,5 2 3, 3, 1 1 m m m m i i i m i i w Q Xτ+ + = = Σ = + −∑ ∑ , m m 2 i 3,i 3,i i 1 i 1 w QΘ τ = = = +∑ ∑ . Preuve. Considérons la fonctionnelle de Lyapunov- Krasovskii donnée ci-dessous : 1 2 3V V V V= + + (10) avec 2 t T 1V e x (t )Px(t )α = , i t tm 2 T 2 i i i 1 t s V e ( )W ( )d dsαθ τ τ ζ θ ζ θ θ = − = ∑ ∫ ∫ , (11) i tm 2 T 3 i i 1 t V e ( )Q ( )dαθ τ ζ θ ζ θ θ = − = ∑ ∫ , tels que : T T T ( ) x ( ) x ( )ζ θ θ θ =   ɺ , P 0> , , , , , 1 i 2 i i T 2 i 3 i w w W 0 w w    = >     , , , , , 1 i 2 i i T 2 i 3 i Q Q Q 0 Q Q    = >     (12) La dérivée temporelle de la fonctionnelle de Lyapunov- Krasovskii (9) le long des trajectoires du système (7) s'écrit : 1 2 3V V V V= + +ɺ ɺ ɺ ɺ (13) avec: { } 2 1 0 0 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ( )) 2 ( ) ( ( ))2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) t T T m T i i i m T T i i i m m T T i i i i V e x t P PA A P x t x t P A x t t x t P C x t t x t Pf x t P g x t P h α α τ τ = = = =  = + +   + − + − + + ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ (14) i tm 2 2 t T 2 s T 2 i i i i i 1 t V e (t )W (t ) e ( s )W ( s )dsα α τ τ ζ ζ τ ζ ζ = − = −∑ ∫ɺ Il est notamment clair que pour tout scalaire ,is t tτ∈ −   , on a: 2 2 ( ) 1i s t e eατ α− − ≤ ≤ On en déduit alors que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i t t 2 t2 s T T i i i i t t h t 2 t T i i t t e s W s ds e s W s ds t e s W s ds α τα τ α τ τ τ ζ ζ τ ζ ζ τ ζ ζ − − − − − − ≤ − ≤ − ∫ ∫ ∫ On obtient ainsi, i i tm 22 t 2 T T 2 i i i i i 1 t (t ) V e (t )W (t ) (t )e ( s )W ( s )dsατα τ τ ζ ζ τ ζ ζ− = − ≤ −∑ ∫ɺ L’application de lemme (2) conduit à: i i i i i t t t 2 2T T i i i t (t ) t (t ) t (t) (t)e (s)W (s)ds e (s)ds W (s)dsατ ατ τ τ τ τ ζ ζ ζ ζ− − − − − − ≤−∫ ∫ ∫ d’où, 2Vɺ est majorée par: i i i t tm 22 t 2 T T 2 i i i i 1 t (t) t (t) V e (t)W (t) e (s)ds W (s)dsατα τ τ τ ζ ζ ζ ζ− = − − ≤ −∑ ∫ ∫ɺ T m m m m 0 k k k k k k k 1 k 1 k 1 k 1 m 2 i 3,i i 1 m m m m 0 j j j j j j j 1 j 1 j 1 j 1 A x(t) A x(t (t)) C x(t (t)) f g h w A x(t) A x(t (t)) C x(t (t)) f g h τ τ τ τ τ = = = = = = = = =    + + − + − + + +       ×       × + − + − + + +     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ { m m 2 t T 2 T 2 2 i 1,i i 2 ,i i 1 i 1 m m 0 j j j j j 1 j 1 m m j j j 1 j 1 V e x ( t ) w x ( t ) 2x ( t ) w A x ( t ) A x ( t ( t )) C x ( t ( t )) f g h α τ τ τ τ = = = = = =        ≤ +         × + − + −    + + +   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ i i m m 2 2T T 3,i 3,i i i 1 i 1 x (t) e w x(t ) 2x (t) e w x(t (t ))ατ ατ τ− − = =    − + −    ∑ ∑ i m 2T i 3,i i i 1 x ( t (t ))e w x(t ( t ))ατ τ τ− = − − −∑ i i tm 2T T 2 ,i i 1 t ( t ) 2 x ( t ) e w x ( s )dsατ τ − = − − ∑ ∫ i i tm 2T T i 2 ,i i 1 t ( t ) 2 x ( t ( t ))e w x ( s )dsατ τ τ − = − + −∑ ∫ i i i t tm 2 T 1,i i 1 t (t ) t (t ) e x ( s )ds w x( s)dsατ τ τ − = − − −∑ ∫ ∫ (15) La dérivation de 3V donne : 2 ( )2 3 1 ( ) ( ) (1 ( )) ( ( )) ( ( ))i m tt T T i i i i i i V e t Q t t e t t Q t tατα ζ ζ τ ζ τ ζ τ− = = − − − −∑ɺ ɺ La condition (2) permet de majorer 3Vɺ par: 22 3 1 ( ) ( ) (1 ) ( ( )) ( ( ))i m t T T i i i i i i V e t Q t d e t t Q t tατα ζ ζ ζ τ ζ τ− = ≤ − − − −∑ɺ {2 3 1, 2, 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) m m t T T i i i i m m m m j j j j j j j j j j T m m m m k k k k k k k k k k V e x t Q x t x t Q A x t A x t t C x t t f g h A x t A x t t C x t t f g h α τ τ τ τ = = = = = = = = = =        ≤ −           × + − + − + + +        + + − + − + + +    × ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ ɺ 3, 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ( )) ( ( )) m i i m m m m j j j j j j j j j j Q A x t A x t t C x t t f g hτ τ = = = = =           × + − + − + + +     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ɺ 2 1, 1 (1 ) ( ( )) ( ( ))i m T i i i i i d e x t t Q x t tατ τ τ− = − − − −∑ 2 2, 1 2 (1 ) ( ( )) ( ( ))i m T i i i i i d e x t t Q x t tατ τ τ− = − − − −∑ ɺ }2 3, 1 (1 ) ( ( )) ( ( ))i m T i i i i i d e x t t Q x t tατ τ τ− = − − − −∑ ɺ ɺ (16) D’une autre part, 2 0 2 2 ( ) ( ) 0 ( ( )) ( ( )) 0, 1, , ( ( )) ( ( )) 0, 1, , T T T T i i i i i T T i i i i i x t x t f f x t t x t t g g i m x t t x t t h h i m β β τ τ λ τ τ − ≥ − − − ≥ = − − − ≥ = … ɺ ɺ … (17) D’où, il existe des matrices définies positives 0H , iH , iR , 1, ,i m= … , tels que : 2 0 0 0 2 2 ( ) ( ) 0 ( ( )) ( ( )) 0, 1, , ( ( )) ( ( )) 0, 1, , T T T T i i i i i i i T T i i i i i i i x t H x t f H f x t t H x t t g H g i m x t t R x t t h R h i m β β τ τ λ τ τ − ≥ − − − ≥ = − − − ≥ = … ɺ ɺ … (18) La S-procédure, donnée par le lemme 3, appliquée sur les inégalités (18) et l’expression de Vɺ donne : 2 2 1 2 3 0 0 0 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) t T T m T T i i i i i i i i m T T i i i i i i i i V V V V e x t H x t f H f x t t H x t t g H g x t t R x t t h R h α β β τ τ λ τ τ = = ≤ + + + −   + − − −     + − − −   ∑ ∑ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ En utilisant le complément de Schur, on obtient : 2 ( ) ( )t T V e t tα µ µ≤ Σɺ (19) avec Σ est définie dans le Théorème 1 et : 1 m T T T T T T 1 m 1 m t t T T T T T T T 1 m 1 m t (t) t (t) (t) x (t) x (t (t)) x (t (t)) x (t (t)) x (t (t)) x (s)ds x (s)ds f g g h h τ τ µ τ τ τ τ − − = − − − −      ∫ ∫ ɺ ɺ… … … … … Ainsi, d’après la théorie de Lyapunov-krasovskii Vɺ n’est définie négative que si les inégalités (8) et (9) sont vérifiées. Par conséquent, le système (7) est asymptotiquement stable. Ce résultat conduit à: (0)V V≤ où i i 0 0m T 2 T i i i 1 s 0m 2 T i i 1 ( 0 ) V ( 0 ) x ( 0 )P x( 0 ) e ( )W ( )d ds e ( )Q ( )d αθ τ αθ τ τ ζ θ ζ θ θ ζ θ ζ θ θ = − = − = + + ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ( ) ( ) i 0 0m 2 2 T Max i Max i i 1 s V(0 ) P W e ( ) ( )d dsαθ τ τ λ ψ τ λ ζ θ ζ θ θ = − ≤ + ∑ ∫ ∫ ( ) i 0m 2 T Max i i 1 ( 0 ) Q e ( ) ( )dαθ τ λ ζ θ ζ θ θ = − +∑ ∫ ( ) ( ) ( ) m m 23 Max i Max i i Max i i 1 i 1 V (0) P W Q τ λ τ λ τ λ ψ = =    ≤ + +    ∑ ∑ 2 V(0 ) τ γ ψ≤ (20) avec : ( ) ( ) ( ) m m 3 Max i Max i i Max i i 1 i 1 P W Qγ λ τ λ τ λ = = = + +∑ ∑ . de plus: ( ) 22 min 1( )t e P x t V Vα λ ≤ ≤ (21) ainsi, d’après (20) et (21), on conclut que: ( ) 2 22 t mine P x(t ) Vα τ λ γ ψ≤ ≤ ce qui conduit à : t x(t ) e α τ δ ψ− ≤ (22) avec ( )min 1 P γ δ λ = ≥ . D’après la définition 1, on en déduit que le système (7) est exponentiellement stable avec un taux de convergence α pour toute incertitude (3). 4. STABILISATION EXPONENTIELLE ROBUSTE Dans cette partie, nous allons nous focaliser sur l’étude de stabilisation exponentielle du système (1). Le but est de déterminer un gain K du retour d'état : ( ) ( )u t Kx t= (23) Ainsi, le système (1) avec la loi de commande (23) peut être réécrit comme suit : [ ] 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( , ( )) ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) ( ) ( ), ( ) ( ), ,0 m m i i i i i i m m i i i i i i x t A BK x t Ax t t C x t t f t x t g t x t t h t x t t x t t x t t t τ τ τ τ φ ϕ τ = = = = = + + − + − + + − + − = = ∀ ∈ − ∑ ∑ ∑ ∑ ɺ ɺ ɺ ɺ (24) THEOREME 2. Etant donné des scalaires positifs iτ et id , le système (1) est exponentiellement stabilisable avec un taux de convergence 0α > s’il existe des matrices symétriques définies positives de dimensions n n× , Pɶ , 1,iwɶ , 1,iQɶ , , 0Hɶ , iHɶ , iXɶ et une matrice R quelconque de dimensions n n× , satisfaisant l’inégalité matricielle suivante pour , ,i 1 m= … : 11 12 1, 1 1, 2 1,2 1 1,3 2 1,3 3 1,4 2 1,4 3 1,5 2 1,5 3 1,5 4 22 2,3 2 2,3 3 2,4 2 2,4 3 2,5 2 2,5 3 2,5 4 1, 1 0 0 * 0 0 0 0 0 * * * * * 0 0 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ= ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ… … … … … ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ… … … … … ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ɶ ɶ 1,3 2 1,3 3 1,4 2 1,4 3 1,5 2 1,5 3 1,5 4 2, 2 2,3 2 2,3 3 2,4 2 2,4 3 2,5 2 2,5 3 2,5 4 2 1,2 0 0 0 * * * * 0 0 0 * * * * * * * * * * * m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ⋱ ⋱ … … ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ⋱ … … … ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ɶ 1 2 1,3 2 2 1,3 3 2 1,4 2 2 1,4 3 2 1,5 2 2 1,5 3 2 1,5 4 2 2,2 2 3 1,3 1 0 0 * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * * * * 0 0 * * * * * * * * * * * m m m m m m m m m m m m m m m m m m + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ… … … ɶ ⋱ … … ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ɶ … … ɶ ɶ ɶ ɶ⋯ … ɶ ɶ⋱ 5 3,5 3 5 4,5 4 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 * * * * * * * * * * * * * * 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * m m m m + + + +                     Θ Θ    Θ Θ Θ  Θ Θ    Θ  Σ  Σ ɶ ɶ… ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ɶ ɶ ɶ… ɶ ɶ… ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ɶ ɶ ɶ 0                 <                 (25) 1,iw 0 0 0 P   >    ɶ ɶ , 1,iQ 0 0 0 P   >    ɶ ɶ (26) où i T T T 11 0 0 m m m 22 2 2 i 1,i 1 ,i 0 0 i 1 i 1 i 1 2 P A P PA BR R B w Q P e H ,ατ Σ α τ β− = = = = + + + + + + − +∑ ∑ ∑ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶɶ 12 12 1A P e Pατ Σ − = +ɶ ɶɶ , 1,m 2 1C PΣ + = ɶɶ , m2 1,m 1 mA P e Pατ Σ − + = +ɶ ɶɶ , 1,2m 1 mC PΣ + = ɶɶ , 1,3m 2 1,3m 3 1,4m 3 m m T 2 T T 2 T T T 0 i i 0 i 1 i 1 P PA R B mPA mR B , Σ Σ Σ τ τ + + + = = = = = + + + +∑ ∑ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ m T T 2 1,4m 2 1,5m 2 m m i i 1 P mPA PAΣ Σ τ+ + = = = + + ∑ɶ ɶ ɶɶ ɶ , 1 12 2 2 ,2 1 1,1e P ( 1 d )e Qατ ατ Σ − − = − − − ɶɶɶ , 2 ,3 m 2 2 ,3 m 3 2 ,4 m 2 2 ,4 m 3 m T 2 T 2 ,5 m 2 1 i 1 i 1 PA mPA , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + = = = = = = +∑ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ m 1,3 m 2 m 1,3 m 3 m 1,4 m 2 m 1,4 m 3 m T 2 T m 1,5 m 2 m i m i 1 PA mPA , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + + + + + + = = = = = = +∑ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ m m2 2 m 1,m 1 m 1,me P (1 d )e Qατ ατ Σ − − + + = − − − ɶɶɶ , 1 m 2,m 2 1 3,1(1 d )e Qατ Σ − + + = − − ɶɶ , m 2m 1,2m 1 m(1 d )e Pατ Σ − + + = − − ɶɶ , 12 2m 2,2m 2 1,1e wατ Σ − + + = −ɶ ɶ , m2 3m 1,3m 1 1,me wατ Σ − + + = −ɶ ɶ , m 2 ,3 m 2 m 2 ,3 m 3 m 2 ,4 m 2 m 2 ,4 m 3 m T 2 T m 2 ,5 m 2 1 i 1 i 1 PC mPC , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + + + + + + = = = = = = +∑ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ 2m 1,3m 2 2m 1,3m 3 2m 1,4m 2 2m 1,4m 3 m T 2 T 2m 1,5 m 2 m i m i 1 PC mPC , Σ Σ Σ Σ Σ τ + + + + + + + + + + = = = = = = +∑ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ 1,5 4 0 T T T m mPA mR B+Σ = +ɶɶ , 2,5 4 1 T m mPA+Σ = ɶɶ , 1,5 4 T m m mmPA+ +Σ = ɶɶ , 2,5 4 1 T m m mPC+ +Σ = ɶɶ , 2 1,5 4 T m m mmPC+ +Σ = ɶɶ , 5 4,5 4m m mP+ +Σ = − ɶɶ , 2 2 1,5 3 0 1 1 m m T T T m i i i i PA R Bτ τ+ = = Σ = +∑ ∑ɶɶ , 2 2,5 3 1 1 m T m i i PA τ+ = Σ = ∑ɶ , 2 1,5 3 1 m T m m m i i PA τ+ + = Σ = ∑ɶɶ , 2 2,5 3 1 1 m T m m i i PC τ+ + = Σ = ∑ɶɶ , 2 2 1,5 3 1 m T m m m i i PC τ+ + = Σ = ∑ɶɶ , 2 5 4,5 3 1 m m m i i P τ+ + = Σ = − ∑ɶɶ , m 2 i i 1 P mPΘ τ = = +∑ɶ ɶ ɶ . Ainsi, le gain du retour d'état peut être alors donné par : 1 K RP− = ɶ (27) Preuve. La preuve de ce théorème vient des conditions de stabilité exponentielle du Théorème 1. En premier temps, nous imposons les conditions suivantes: 3,iQ P= , 3,iw P= , 2, 0iQ = , 2, 0iw = Ensuite, on pré- et post-multiplie l’inégalité matricielle (8), dans laquelle 0A est remplacée par 0A BK+ , par { }-1 -1 , ,diag P P… . Pour terminer la démonstration, nous exprimons les matrices suivantes par : 1 P P− =ɶ , 1 1 1, 1,i iQ P Q P− − =ɶ , 1 1 1, 1,i iw P w P− − =ɶ , 1 1 0 0H P H P− − =ɶ , 1 1 i iH P H P− − =ɶ , 1 1 i iX P X P− − =ɶ , 1 R KP− = , pour 0, ,i m= … . Ainsi, la stabilisation exponentielle, avec un degré de convergence 0α > , du système (1) avec la loi de commande par retour d'état (23) tel que le gain K donné par : 1 K RP− = ɶ , est garantie si les conditions LMI (25) et (26) sont satisfaites. 5. EXEMPLES Nous présentons dans cette partie deux exemples illustratifs afin de mettre en évidence l’efficacité de l’approche proposée. Exemple 1. Considérons le système neutre avec retard multiple : 0 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) x t A x t A x t t A x t t C x t t C x t t τ τ τ τ = + − + − + − + − ɺ ɺ ɺ (28) avec 0 3 2 A 1 0 − −  =     , 1 1 0.5 A 0.5 1   =     , 2 0.1 0 A 0 0.1   =     , 1 0.1 0.05 C 0.05 0.1   =     , 2 0.05 0 C 0 0.05   =     , L’application du Théorème 1 permet de calculer le retard maximum garantissant la stabilité exponentielle du système (28). Pour 0α = , 1d 0.3= et 2d 0.2= , nous obtenons 7 1 3. 10τ = et 7 2 3. 10τ = tandis que l’application de la méthode développée par [15] donne 1 0.5429τ = et 2 0.5429τ = . Nous remarquons ainsi que notre approche est moins conservative que celle de [15]. Exemple 2. Soit le système neutre avec perturbations non linéaires décrit par l’équation d’état suivante [9]: ( ) [ ] 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( , ( )) ( , ( ( )) 1 1 ( ) , , 0 2 2 T t t x t A x t A x t t C x t t f t x t g t x t t Bu t t e e t τ τ τ φ τ− = + − + − + + − +   = − ∈ −    ɺ ɺ (29) avec : 0 0 1 A 1 2   =   −  , 1 0 0.5 A 0.2 0.2   =  − −  , 1 0.1 0 C 0 0.2   =     , 0 B 1   =     Les perturbations non linéaires sont telles que: ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 1, cos , sin T f t x t t x t t x tδ δ= ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1, cos , sin T g t x t t x t t x tτ γ τ γ τ− = − − 0 0.1jδ β≤ = , 1 0.1jγ β≤ = ( )1,2j = . Sous les conditions 0α = , 0 0.1β = , 1 0.1β = et 1d 0= , les résultats de simulations sont donnés dans les figures suivantes. La figure 1 montre l’instabilité du système (29) en boucle ouverte. Tandis que, la figure 2 présente la convergence de l’état du système en boucle fermée avec la loi de commande [ ]u( t ) -76.4143 -257.6261 x ( t )= , pour 1τ = . On peut clairement remarquer que le système (29) est stabilisé en appliquant les conditions du Théorème 2. Ainsi, les vecteurs d’état 1( )x t et 2 ( )x t convergent vers le point d’équilibre indépendamment de toutes perturbations. 0 5 10 15 20 25 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 time (sec) x(t) x1(t) x2(t) Fig 1. Réponse du système en boucle ouverte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10 5 time (sec) x(t) x1(t) x2(t) Fig 2. Convergence des états 1( )x t et 2 ( )x t 6. CONCLUSION Dans ce papier, nous avons mis l’accent sur le problème de l’analyse et de la synthèse de loi de commande stabilisante par retour d’état des systèmes neutres à retards multiples et avec perturbations non linéaires. En se basant sur la théorie de Lyapunov- Krasovskii, des conditions suffisantes dépendantes du retard du système sont établies et formulées sous formes d’inégalités matricielles qui garantissent la convergence asymptotique ou exponentielle connaissant la borne maximale du retard. Pour valider les performances de notre méthode, des exemples numériques sont présentés, et des résultats sont nettement meilleurs que ceux obtenus par d’autres auteurs. REFERENCES 1. A. Seuret, T. Floquet, J-P Richard, Observateurs pour systèmes à retard variable et inconnu, e-STA, 3 (4), 2006. 2. Boyed S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V., Linear matrix inequalities in systems and control theory, SIAM, Philadelphia, 1994. 3. DE Souza C.E., Li X., Delay-dependent robust H∞ control of uncertain linear state-delayed systems, Automatica, 35, 1313-1321, 1999. 4. G. Valmorbida, I. Queinnec, Pe. L. D. Peres, S. Tarbouriech, Synthèse de contrôleurs pour des systèmes avec retard et entrée saturée, e-STA, 3 (4), 2006. 5. I. Amri, D. Soudani, “Robust Exponential Stability of Uncertain Perturbed Systems with Time Varying Delays”, IFAC-12th LSS symposium: Theory and Applications, France, 2010. 6. I. Amri, D. Soudani, M. Benrejeb, “Delay dependent robust exponential stability for uncertain systems with time varying delays and nonlinear perturbations”, 10th International Conference on Sciences and Techniques of Automatic Control & Computer Engineering STA’09, Hammamet Tunisie, 2009. 7. I. Amri, D. Soudani, M. Benrejeb, “Exponential stability and stabilization of linear systems with time varying delays”, 6th International Multi- Conference on Systems, Signals and Devices SSD’09, Djerba Tunisie, 2009. 8. J. Zhang and al., Robust stability criteria for uncertain neutral system with time delay and nonlinear uncertainties, Chaos, Solitons and Fractals, 38, 160-167, 2008. 9. Ju H. Park, K. Choi, Guaranteed cost control of uncertain nonlinear neutral systems via memory state feedback, Chaos, Solitons and Fractals, 24, 183-190, 2005. 10. K. Gu, V.L. Kharitonov and J. Chen, Stability of time-delay systems, Boston: Birkhauser, 2003. 11. O. M. Kwon, J.H. Park, Exponential Stability for Time Delay Systems with Interval Time-Varying Delays and Nonlinear Perturbations, Journal of Optimization Theory and Applications, Springer, 139, 277-293, 2008. 12. Q.-L. Han, On robust stability of neutral systems with time varying discrete delay and norm- bounded uncertainty, Automatica, 40, 1087-1092, 2004. 13. S. Elmadssia, K. Saadaoui, M Benrejeb, Synthèse d’une Commande Stabilisante par Retour d’Etat de Systèmes Linéaires à Retard, e-STA, 6 (1), 16-20, 2009. 14. T. N. Phan, N. P. Vu, Robust exponential stability and stabilization of linear uncertain polytopic time delay systems, Journal Control Theory Application, 6 (2),163-170, 2008. 15. Xin-Ge Liu, Min Wu, Ralph Martinc, Mei-Lan Tang, Delay dependent stability analysis for uncertain neutral systems with time-varying delays, Mathematics and Computers in Simulation, 75, 15-27, 2007. 16.Yakubovich V. A., S-procedure in nonlinear control theory, Ser. Matematika: Vestnik Leningradskogo Universiteta, 1971, 62-77. 17.Y. Chen and al., On robustly exponential stability of uncertain neutral systems with time varying delays and nonlinear perturbations, Nonlinear Analysis, 68, 2464-2470. 18.Z. Zou, Y. Wang, New stability criterion for a class of linear systems with time varying delay and nonlinear perturbations, IEE Proceedings Control Theory and Applications, 153 (5), 623-626, 2006.