Sur l'analyse et la synchronisation de systèmes chaotiques Chen

08/04/2012
Publication e-STA e-STA 2011-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2011-2:2373
DOI :

Résumé

Après la caractérisation du chaos par le diagramme de bifurcations, l’exposant de Lyapunov et l’espace des phases, une commande par retour d’état est proposée et appliquée avec succès à la synchronisation de deux systèmes
chaotiques. Les résultats obtenus pour deux systèmes Chen identiques ont montré l’efficacité de l’approche proposée.


Sur l'analyse et la synchronisation de systèmes chaotiques Chen

Auteurs

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SUR L’ANALYSE ET LA SYNCHRONISATION DE SYSTEMES CHAOTIQUES CHEN Rym BEN MAHMOUD, Sonia HAMMAMI, Mohamed BENREJEB e-mail:rymbenmahmoud.enit@gmail.com , sonia.hammami@enit.rnu.tn , mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn LA.R.A Automatique, École Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37, Le Belvédère, 1002 Tunis, Tunisie. Résumé - Après la caractérisation du chaos par le dia- gramme de bifurcations, l’exposant de Lyapunov et l’espace des phases, une commande par retour d’état est proposée et appliquée avec succès à la synchronisation de deux systèmes chaotiques. Les résultats obtenus pour deux systèmes Chen identiques ont montré l’efficacité de l’approche proposée. Mots clés - Systèmes chaotiques, diagramme de bifur- cations, espace des phases, exposants de Lyapunov, stabilité, matrice de forme en flèche, synchronisation. I. INTRODUCTION La théorie du chaos a été appliquée pour la compréhension, la manipulation et l’analyse du comportement de systèmes dans divers domaines dont l’astronomie, la météorologie, l’optique, la biologie, la physique et la transmission sécurisée de l’information par la résolution de problèmes relatifs à la synchronisation de systèmes chaotiques. La synchronisation de tels systèmes, introduite dans [1], nécessite l’étude de la stabilité de l’écart de leurs compor- tements [2, 3]. Les critères de stabilité, pouvant être basés sur l’utilisation de fonction de Lyapunov ou sur le concept des normes vectorielles [4–6], associés à une représentation particulière des matrices caractéristiques des processus étudiés, peuvent conduire à de nouveaux critères de stabilité tout à fait adaptés à la synthèse de larges classes de processus non linéaires [7, 8]. Après avoir formulé le problème de la synchronisation de deux systèmes chaotiques dans la deuxième section de cet article, dans la troisième section, des techniques spécifiques ont été appliquées pour l’analyse et la caractérisation du comportement du système chaotique Chen. Des conditions de stabilité du système écart de deux systèmes Chen identiques couplés, élaborées dans la section quatre, ont permis l’étude de leur synchronisation. II. SYNCHRONISATION DE SYSTEMES CHAOTIQUES - POSITION DU PROBLEME La synchronisation de deux ou plusieurs systèmes chao- tiques équivalents ou non, peut être effectuée par couplage (unidirectionnel ou bidirectionnel) ou / et par forçage [9, 10]. A partir du concept de la synchronisation locale et du concept de la synchronisation identique [11], développés sur la base de circuits chaotiques couplés, l’un maître et l’autre esclave, des applications importantes du chaos ont été développées en télécommunication. Pour étudier la synchronisation de deux systèmes identiques ou non, il est nécessaire de vérifier la convergence de la mesure de l’écart de leurs comportements. Pour y arriver, une solution consiste à mettre en œuvre une condition de stabilité du système relatif à cet écart, constituant une condition d’unicité de la réponse [12]. Parmi les nouvelles techniques envisageables, nous proposons, dans ce papier, d’utiliser la commande par retour d’état et particulièrement la méthode de stabilisation pour garantir la convergences souhaitée pour l’écart des signaux lorsqu’il s’agit de les synchroniser. III. CARACTERISATION DU SYSTEME CHAOTIQUE CHEN A. SYSTEME CHAOTIQUE ETUDIE Considérons le système chaotique Chen de dimension 3, décrit par le système d’équations différentielles suivant [13] :    ˙x(t) = a(y(t) − x(t)) ˙y(t) = (c − a)x(t) + cy(t) − x(t)z(t) ˙z(t) = x(t)y(t) − bz(t) (1) x, y et z étant les variables d’état et a, b et c des paramètres réels constants et positifs. Pour les données numériques suivantes : a = 35, b = 3 et c = 28, le système Chen (1) constitue l’attracteur chaotique de la figure 1. 0 20 40 60 - 40 - 20 0 20 40 - 30 - 20 -10 0 10 20 30 z y x Fig. 1. Attracteur dynamique du système chaotique Chen B. CARACTERISATION DU CHAOS La caractérisation du comportement dynamique du système chaotique étudié [14] peut se faire par divers outils classiques, dont l’exposant de Lyapunov, l’espace des phases et le diagramme de bifurcations. 1) PAR DETERMINATION DES EXPOSANTS DE LYA- PUNOV: L’exposant de Lyapunov sert à mesurer le degré de stabilité d’un système. Un système, sensible à de très petites variations de la condition initiale, aura un exposant positif lorsqu’il est chaotique. En revanche, l’exposant est négatif si le système n’est pas sensible à de petites variations des conditions initiales ; les trajectoires se rapprochent et l’information sur les conditions initiales est donc perdue. Un système de dimension n possède n exposants de Lyapunov qui mesurent le taux de divergence suivant un des axes de l’espace des phases. L’apparition du chaos exige l’existence d’un exposant positif selon au moins un axe [15–17], tout en rendant compte que la somme des exposants est négative (respectivement nulle) pour les systèmes dissipatifs (respecti- vement conservatifs). Le paramètre c introduit dans (1) est le plus sensible dans le système Chen. L’étude envisagée est basée, dans cet article, essentiellement sur la variation de ce paramètre. Pour c = 12, figure 2(α), le système possède trois exposants négatifs, et converge donc vers un point fixe. Lorsque c = 28, figure 2(β), l’exposant λ2 étant positif, le système est donc chaotique. 0 20 40 60 80 100 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 ExposantsdeLyapunov Temps (s) (α) c=12 λ1 λ2 λ3 0 20 40 60 80 100 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 Temps (s) (β) c=28 ExposantsdeLyapunov λ2 λ3 λ1 Fig. 2. Exposants de Lyapunov relatifs au système Chen Les différents comportements du système chaotique Chen en fonction du paramètre c et des exposants de Lyapunov, λ1, λ2, λ3, sont représentés dans la table (1). Table 1. Comportement dynamique en fonction des exposants de Lyapunov c λ1 λ2 λ3 Comportement 12 -3 -11.5 -11.5 stable 28 -3 23.83 -30.83 chaotique 2) PAR LE DIAGRAMME DE BIFURCATIONS: Une ma- nière rapide de représenter la transition vers le chaos est le diagramme de bifurcations [18, 19]. Les changements du comportement dynamique du système, ou bifurcations, peuvent être donc observés en fonction du paramètre dit de bifurcation. Une bifurcation correspond à une sorte de changement d’état du système [20] plus exactement à un changement de stabilité du régime dynamique lorsqu’un des paramètres du système varie. Dans la figure 3, est consigné le diagramme de bifurcations du système chaotique Chen obtenu par simulation. Nous pouvons constater deux états différents de ce système : un régime stable et un régime chaotique. 0 5 10 15 20 25 30 −30 −20 −10 0 10 20 30 y c Fig. 3. Diagramme de bifurcations en fonction du paramètre c Aussi, nous avons remarqué que : – pour c ∈ [0, 17.5[, le système se stabilise sur son point fixe Pf (0, 0, 0), – pour c ∈ ]17.5, 30], le système présente un phénomène chaotique. Cette représentation permet d’avoir une vue globale d’un ensemble de comportements dynamiques différents du système considéré. 3) PAR L’ESPACE DES PHASES - CAS DES ATTRAC- TEURS : La théorie des équations différentielles linéaires à coefficients constants montre que la solution générale est obtenue à partir des valeurs propres de l’équation caracté- ristique (1) déduite de la matrice des dérivées partielles du système, la jacobienne. La méthode de l’espace des phases, une technique qualitative simple et efficace, permet la détermination du type de la stabilité du point d’équilibre. Les figures 4(α) et (β), présentent deux types d’attracteurs du système chaotique étudié : le premier est relatif à un point fixe et le deuxième à un attracteur étrange. Dans les figures 4(γ) et (δ), sont consignées les réponses du système chaotique Chen pour différentes valeurs de c. Pour c = 12, le système est stable, tandis que pour c = 28 le comportement est chaotique. −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x (α) Attracteur pour c=12 −30 −20 −10 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 60 x y (β) Attracteur pour c=28 y 0 2 4 6 8 10 −1 0 1 x 0 2 4 6 8 10 − 1 0 1 y 0 2 4 6 8 10 −0. 5 0 0. 5 z 0 2 4 6 8 10 −50 0 50 x 0 2 4 6 8 10 − 50 0 50 y 0 2 4 6 8 10 0 50 100 z Temps (s) (δ) Réponses temporelles pour c=28 (γ) Réponses temporelles pour c=12 Temps (s) Fig. 4. Attracteurs et réponses temporelles du système Chen IV. SYNCHRONISATION DU SYSTEME CHAOTIQUE A. DESCRIPTION DU SYSTEME ECART Dans cette partie, est envisagée la synchronisation d’un premier système Chen, dit maître (2) :    ˙xm(t) = a(ym(t) − xm(t)) ˙ym(t) = (c − a)xm(t) + cym(t) − xm(t)zm(t) ˙zm(t) = xm(t)ym(t) − bzm(t) (2) et d’un deuxième dit esclave (3) :    ˙xs(t) = a(ys(t) − xs(t)) + u1(t) ˙ys(t) = (c − a)xs(t) + cys(t) − xs(t)zs(t) + u2(t) ˙zs(t) = xs(t)ys(t) − bzs(t) (3) u(t) est la commande active qui est déterminée pour assurer la synchronisation de ces deux systèmes chaotiques identiques, u(t) = [u1(t) u2(t)] T . Pour les écarts dynamiques sur les variables d’état, définis par :    e1s(t) = xs(t) − xm(t) e2s(t) = ys(t) − ym(t) e3s(t) = zs(t) − zm(t) (4) il vient le système écart correspondant suivant : ˙es(t) = Ae(.)es(t) + Bu(t) (5) es(t) = [e1s(t) e2s(t) e3s(t)] T Ae(.) =   −a a 0 c − a − zm(t) c −xs(t) ym(t) xs(t) −b   , B =   1 0 0 1 0 0   Dans la section qui suit, des conditions de synchronisation de deux systèmes chaotiques Chen sont formulées. B. CONDITIONS DE SYNCHRONISATION DE DEUX SYS- TEMES CHAOTIQUES CHEN 1) STABILISATION DU SYSTEME ECART: Dans cette partie, il est envisagé de déterminer une commande par retour d’état afin d’accomplir la synchronisation du chaos de deux systèmes de Chen identiques [21]. Le choix d’une telle loi de commande, caractérisée par une matrice gain instantané K(.) de dimension 2 × 3, K = kij(.), de la forme : u(t) = −K(.)es(t) (6) conduit au système écart bouclé suivant : ˙es(t) = Aes(.)es(t) (7) Aes(.) = Ae(.) − BK(.) Aes(.) =   −a − k11(.) a − k12(.) −k13(.) c − a − zm − k21(.) c − k22(.) −xs(t) − k23(.) ym(t) xs(t) −b   Les gains kij(.), i, j = 1, ..., 2, ∀ i ̸= j, peuvent être choisis tels que Aes(.) soit de forme en flèche de Benrejeb [22], ou encore, vérifiant les relations suivantes : { a − k12(.) = 0 c − a − zm(t) − k21(.) = 0 ⇒ { k12 = a k21(.) = c − a − zm(t) (8) Afin de s’assurer que les non linéarités ne sont présentés qu’au niveau de la dernière ligne de la matrice Aes(.), il suffit de choisir le gain k23(.) tel que : k23(.) = −xs(t) (9) Lorsque le système dynamique (5) est stabilisé par une telle loi de commande (6), le système écart va converger vers zéro quand t → +∞ ; cela implique que les systèmes (2) et (3) sont synchrones. Par application du critère pratique de stabilité de Borne et Gentina [23, 24] au système écart ainsi défini de matrice caractéristique instantanée de forme matricielle en flèche, le processus défini par (5) est stabilisable par la commande définie par (6) si la matrice caractéristique instantanée Aes(.), définie dans (7), est telle que : – toutes les non linéarités sont isolées dans une seule rangée, – les éléments diagonaux de cette matrice sont tels que : { −a − k11(.) < 0 c − k22(.) < 0 (10) – il existe ε > 0, tel que : (c − k22) [(a + k11)b − |ym|| − k13|] < −ε (11) Pour des gains k11 et k22 définis par : { k11 = 1 k22 = 28 (12) et k12, k21(.), k23(.), k11 et k22 définis dans (8), (9) et (12), la condition (11) devient : |ymk13| < 108 (13) soit par exemple k13 = 0.5, avec |ym| < 100, conduit à la solution suivante : K(.) = [ −a + 1 a 0.5 c − a − zm(t) c − 30 −xs(t) ] (14) 2) RESULTATS DE MISE EN ŒUVRE: Afin de dévoiler la propriété de synchronisation pouvant exister entre deux systèmes chaotiques Chen, et ce en mettant en oeuvre une stratégie de commande non linéaire, nous avons cherché à ce que le système maître de Chen (2) impose la même dynamique au système esclave de Chen (3). Dans la figure 5(α), sont consignées les évolutions des composantes des vecteurs état du système maître (2) et du système esclave (3), et ce avant l’application de la stratégie de commande proposée, tandis que la figure 5(β) montre les réponses des deux systèmes chaotiques Chen couplés, suite à l’activation du signal de commande. 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 xmymzm xsyszs Temps (s) Temps (s) (α) Avant l'activation du signal de commande 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 0 1 2 −100 0 100 Temps (s) Temps (s) (β) Suite à l'activation du signal de commande xmymzm xsyszsFig. 5. Réponses des deux systèmes chaotiques Chen couplés Le système écart (5) converge vers zéro, lorsque t → +∞ ; ce qui implique que le système maître (2) se synchronise avec le système esclave (3), une fois le régime transitoire atténué. La figure 6(α) montre les écarts dynamiques dans le cas où (2) et (3) ne sont pas synchrones, tandis que la figure 6(β) montre les évolutions des différents états du système écart, résultant du couplage de (2) avec (3), après l’activation du signal de commande requis à la synchronisation de ces deux systèmes. Ces résultats montrent, l’efficacité de l’approche de synchronisation proposée. V. CONCLUSION Les systèmes chaotiques, caractérisés par son diagramme de bifurcations, ses exposants de Lyapunov et son plan de phases, ont été exploités, dans le cadre de la transmission sécurisée de l’information. En effet, les conditions de syn- chronisation, de mise en oeuvre aisée, de systèmes chaotiques étudiés, élaborées dans cet article, peuvent être à l’origine du développement d’un système de cryptage et de décryptage de l’information considérée. −100 100 0 0 1 21.50.5 −100 100 0 0 1 21.50.5 21.510.50 −100 0 100 e1s 21.510.50 −100 0 100 Τemps (s) (α) Avant l'activation du signal de commande Τemps (s) (β) Suite à l'activation du signal de commande −100 −100 0 0 100 100 2 2 1.5 1.51 1 0.5 0.5 0 0 e2se3s e1s e2se3s Fig. 6. Erreurs dynamiques (e1s, e2s et e3s) de deux systèmes chaotiques de Chen couplés VI. ANNEXE Critère pratique de stabilité de Borne et Gentina [5] Considérons le système continu non linéaire défini dans l’es- pace d’état par : ˙x(t) = A(.)x(t) (15) A(.) étant une matrice de dimension, n × n , à éléments non constants, A(.) = {aij(.)}, et x le vecteur d’état, x = [x1 x2 ... xn] T , x ∈ Rn . Si la matrice caractéristique M(A(.)), définie par : M (A (.)) = {mij (.)} { mii = aii (.) ∀ i = 1, 2, ..., n mij = |aij| ∀i ̸= j (16) a ses éléments non constants isolés dans une seule ligne ou une seule colonne, l’application du lemme de Kotelyanski à cette matrice, permet de conclure à la stabilité de ce système. Ce critère, utilisant les techniques d’agrégation, adaptées à l’étude des systèmes de grande dimension, est basé sur le choix d’une norme vectorielle p(x) telle que : p(x) = [|x1| |x2| ... |xn|] T . En pratique, ce critère est vérifié si les n inégalités suivantes sont satisfaites : a11 < 0, a11 |a12| |a21| a22 > 0, ..., (-1)n a11 |a12| · · · |a1n| |a21| a22 · · · |a2n| ... ... ... ... |an1(.)| |an2(.)| · · · ann(.) > 0 (17) Matrice de forme en flèche de Benrejeb [22, 25] La matrice AF est dite en flèche lorsqu’elle est de la forme : AF =         α1 0 · · · 0 β1 0 α2 ... ... β2 ... ... ... 0 ... 0 · · · 0 αn−1 βn−1 γ1 γ2 · · · γn−1 γn         (18) Son déterminant peut être exprimé aisément par [10] : det(AF ) = [ γn − n−1∑ i=1 βiγi αi ] n−1∏ i=1 αi (19) si les paramètres αi sont différents de zéro. Cette forme en flèche, permet de réduire l’étude de la stabilité, basée sur le critère de Borne et Gentina, à l’étude du signe du déterminant de la matrice AF lorsque les paramètres αi sont choisis, de plus, distincts et négatifs. RÉFÉRENCES [1] L. Pecora et T. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Phys. Rev. Lett., vol. 64, pp. 821-824, 1990. [2] A. M. Lyapunov. Problème general de la stabilité du mouvement. Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. 9, pp. 203-474, 1907, and Ann. Math. Study, Princeton University Press, n˚17, 1949. [3] M. Vidyasagar. Nonlinear systems analysis. Center for A I and Robotics, Second Edition, Prentice Hall, India, 1993. [4] W. Hahn. Stability theory. Prentice Hall International, Series in Systems and Control Engineering, New York, 1992. [5] J. C. Gentina et P. Borne. Sur une condition d’application du critère de stabilité linéaire à certaines classes de systèmes continus non linéaires. CRAS, Paris, T. 275, pp. 401-404, 1972. [6] L. T. Grujic, J. C. Gentina et P. Borne. General aggrega- tion of large scale systems by vector Lyapunov functions and vector norms. International Journal of Control, vol. 24-4, pp. 529-550, 1976. [7] M. Benrejeb et P. Borne. On an algebric est stability crite- rion for nonlinear process. Interpretation in the frequency domain. Proc. of MECO’78 Congress, Athens, vol. 2, pp. 678-682, 1978. [8] M. 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