Joseph Fourier, initiateur de la physique mathématique

15/07/2018
Auteurs : Marc Leconte
Publication REE REE 2018-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:1301:2018-3:23120
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Joseph Fourier, initiateur de la physique mathématique

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REE N°3/2018 Z 93 RETOUR SUR ❱❱❱❱❱❱❱❱❱ Marc Leconte Thales Sysyemes Aeroportes Tous les scientifiques connaissent aujourd’hui les séries de Fourier et la transformation de Fourier qui est l’outil de base de l’analyse harmonique d’un si- gnal analogique. Le traitement du signal numérique a étendu la transformée de Fourier au domaine du dis- cret avec la transformation de Fourier discrète (TFD) et l’algorithme de transformation de Fourier rapide (FFT : Fast Fourier Transform) utilisé pour son calcul (1965). Plus récemment, Peter Shor a proposé une transformée de Fourier quantique, au cœur de l’algo- rithme éponyme qui pourrait casser le code RSA. Le dernier tiers du XVIIIe siècle et les trois premières décennies du XIXe siècle encadrent la vie de Joseph Fourier. Ces années correspondent, pour la France, à une période troublée, avec la fin de la monarchie, la Révolution, l’Empire et la Restauration. Et pourtant, cette période a vu naître, produire et s’exprimer un grand nombre de savants qui ont laissé leur nom à un théorème, une loi, une observation ou encore un principe. Les étapes de la vie et l’œuvre de Fourier, qui sont assez peu connues, sont un voyage dans le temps et les espaces où il exerça ses talents, partant d’Auxerre sa vie natale, de l’Ecole normale à l’Acadé- mie française, en passant par Polytechnique et l’Aca- démie des sciences. La jeunesse et la formation La famille Fourier est modeste, les origines lor- raines des ancêtres remontent à des laboureurs, artisans, charpentiers, bourreliers avant que le père de Fourier, se retrouve tailleur d’habits à Auxerre au cours du XVIIIe siècle. Veuf d’un premier mariage, il se marie en 1859 avec Edmée Lebègue. L’époque veut qu’il y ait beaucoup d’enfants dans la famille Fourier. Jean Joseph naît le 21 mars 1868 et est le dixième enfant d’une fratrie qui en comptera treize. Mais il n’y aura que peu de descendants, la vie est difficile dans cette petite ville pour un modeste artisan. Alors qu’il n’a que huit ans, Jean Joseph perd sa mère et, trois jours après, son père confie ses derniers fils à l’hôtel de ville puis disparaît. Il sera donné pour mort deux années après. Jean Joseph change alors son prénom double en Joseph. Orphelin de ses deux parents, son ave- nir semble tout tracé vers le métier de son père. La chance lui sourit quand Joseph Pallais, organiste à la cathédrale d’Auxerre, l’accueille dans le pension- nat dont il est le directeur et qu’un membre de la famille, prêtre béatifié sous le nom de Pierre Fourier, le fait entrer au collège militaire d’Auxerre. Les écoles militaires en France dispensent un bon enseignement pour les sciences. L’Ecole militaire d’Auxerre est la dé- centralisation de l’Ecole militaire royale du champ de Mars parisien. L’école est dirigée par des Bénédictins Joseph Fourier Initiateur de la physique mathématique Photo 1 : Portrait de Joseph Fourier par André Dutertre, dessinateur de la campagne d’Egypte - Source : Athena Review Image Archive. 94 ZREE N°3/2018 ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱ RETOUR SUR et Fourier fait partie des premières promotions. Il se révèle vite un très bon élève, aussi bon dans les disciplines littéraires que scientifiques qui se résument à cette époque aux mathématiques. Fourier passe des soirées entières à étudier les manuels de mathématiciens comme Bezout ou Clairaut et se passionne pour les problèmes mathématiques. En 1782, à 14 ans, Fourier termine son année de rhétorique et remporte le premier prix de ver- sion latine et les deuxièmes prix pour l’amplifica- tion latine et la versification. Etant en avance, il est envoyé à Paris au collège de Montaigu pour une deuxième année de rhétorique. Il revient ensuite à Auxerre et, de manière surprenante, il est nommé à seize ans et demi professeur à l’Ecole militaire d’Auxerre. Les cursus scolaires de cette époque étaient donc très courts. Fourier est alors confronté à un choix de carrière entre le sabre ou le goupillon, l’église ou l’armée. Il opte pour les armes et, compte tenu de son cursus déjà brillant, fait une demande pour être autorisé à passer le concours d’entrée dans l’artillerie. Il est appuyé dans cette démarche par le mathématicien Legendre, membre du corps des inspecteurs. En cette fin du siècle des Lumières et avant les grands bouleversements de la Révolution, la préférence accordée aux nobles explique le refus du ministère de la guerre qui est opposé à sa demande. Il lui reste alors le noviciat dans une abbaye que lui proposent les Bénédictins qui gèrent l’Ecole militaire d’Auxerre. Fourier entre à l’abbaye bénédictine de Saint Benoît-sur-Loire comme novice. Cette nouvelle vie présente l’avantage d’un rythme régulier favo- rable à sa santé et à la réflexion. Mais elle pré- sente l’inconvénient d’un isolement scientifique presque absolu que seule une correspondance avec Bonard, son ancien professeur de mathé- matiques, vient rompre. A Saint-Benoît, l’abbaye fait office d’école primaire et un peu secondaire. Les élèves reçoivent le même enseignement qu’au collège et c’est gratuit pour ceux qui veulent poursuivre ensuite une carrière religieuse. Les Bénédictins qui connaissent les qualités d’enseignant de Fou- rier, le chargent de l’enseignement des mathématiques aux autres novices et aux élèves de l’abbaye. Son magistère est relativement élémentaire mais cela lui permet déjà de réfléchir à quelques problèmes et c’est ainsi qu’il rédige un mémoire Photo 2 : Etienne Bezout (1739-1783), algébriste, auteur d'un ouvrage de vulgarisation très répandu. Source : Wikipédia. Photo 3 : Abbaye de St Benoît-sur-Loire - Source : Salinolembo (Wikipedia). REE N°3/2018 Z 95 Joseph Fourier sur les équations algébriques qu’il envoie en 1788 à plusieurs contacts. Au cours de l’année 1789, il cherche à nouer contact avec les plus grands mathématiciens de l’époque comme Monge et Legendre pour leurs présenter ses travaux. Mais en cette année 1789, le monde et la France en particulier s’ap- prêtent à changer de manière radicale. La période révolutionnaire Après la chute de la monarchie et l’abolition des privilèges, l’Assemblée décide de mettre à disposition de la Nation les biens du clergé. Fourier quitte l’abbaye et revient à Auxerre qui vient d’être promu au rang de chef- lieu du département de l’Yonne. Il revient alors enseigner dans l’établissement qu’il a fréquenté quelques années auparavant. Il ne semble pas vraiment s’impliquer dans la Révolution, du moins jusqu’en 1793, car elle lui apparaît comme la prise de pouvoir par un groupe, ce qui le laisse indif- férent. Cependant, il exerce une activité sociale et culturelle en participant, avec une dizaine de jeunes gens de la ville, à la création de la société d’émulation de la ville d’Auxerre dont il sera le premier président. La communication de cette société révèle des centres d’intérêt très divers al- lant de l’histoire aux voyages et à des problèmes pratiques mais les sciences sont aussi présentes avec les mathématiques et la physique. Fourier s’y illustrera par un éloge de Benjamin Franklin et d’Isaac Newton. Le collège, où enseigne Fourier, s’installe à la faveur de la constitution civile du clergé dans l’abbaye d’Auxerre. Les enseignants sont pour la plupart des prêtres y compris Fou- rier qu’on appelle « abbé Fourier » bien qu’il n’ait jamais prononcé ses vœux. L’implication de Fourier dans la Révolution débute véritablement au début de l’année 1793. Le 10 septembre 1792, c’est la Convention qui s’installe au pouvoir. La royauté est abolie, le roi est exécuté le 20 janvier 1793 et une vaste coalition se forme contre la France. C’est probablement ce dernier fait, représentant une menace pour le pays, qui fera entrer Fourier dans la révolution de manière active. Lors d’une assemblée de la société populaire, Fourier se fait remarquer par sa volonté de répondre pour le département à la demande de levée en masse de combattants pour la défense de la patrie. Il est bientôt nommé commissaire pour le recrutement, pour le département de l’Yonne. Son engagement est donc patent et il scelle son appartenance au mouvement des Jacobins. Dans le tumulte de la Terreur qui interviendra à l’été 1793, Fourier sera arrêté deux fois et il devra sa deuxième libération à la chute de Robespierre, le 9 thermidor de l’an II (27 juillet 1794). Il est chargé par le Comité révolutionnaire d’Auxerre de la surveillance du district et comme la loi l’oblige à choisir entre cette fonction et celles d’enseignant, Fourier souhaite revenir à son métier d’enseignant. Mais sa vie va changer à l’occasion de la création de nouvelles institutions. A l’Ecole normale En effet, Fourier est remarqué par le mathématicien Jean Guillaume Garnier, venu faire passer à Auxerre les premiers oraux du concours d’entrée à l’École centrale des travaux publics, la future École polytechnique. La Convention a décidé de créer une école généraliste pour la forma- tion de cadres, aussi bien civils que militaires. Les régions de France sont sollicitées et des examinateurs sont envoyés dans plusieurs villes ou bien sont nommés sur place. Jean Guillaume Garnier est examinateur pour la première pro- motion de la nouvelle école et il vient à Auxerre où il rencontre Fourier, l’un des professeurs des candidats qu’il examine et saura se souvenir de lui. Le 30 octobre 1794, la Convention crée une autre école, l’Ecole normale dont le but est de former au plus haut niveau des enseignants. Le recrutement est réservé aux instituteurs et aux professeurs. La sélection est basée à la fois sur les connaissances du candidat et sur son patrio- tisme. Il est clair que par ses fonctions dans les comités révolutionnaires, Fourier remplissait ces deux conditions. Fourier quitte donc Auxerre à la fin de l’année 1794 pour Paris, une page se tourne pour lui. A l’ouverture de la nouvelle école, en janvier 1795, Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace lancent ensemble un programme en- thousiasmant qui est un appel à la recherche dans toutes les disciplines. Les élèves sont conviés à suivre des cours de mathématiques, physique, chimie mais aussi géogra- phie, histoire littérature et philosophie, sans spécialisation. Les travaux en groupes et les discussions et débats avec les professeurs sont encouragés. Fourier qui a appris l’art de la rhétorique classique dans les comités révolutionnaires se fait rapidement remarquer dans le domaine scientifique en par- ticulier par Monge et d’Haüy, homme d’église et physicien. Un statut particulier lui est accordé quand les professeurs de mathématiques constituent des groupes de travail où sont approfondies les notions techniques des cours. Fourier est Photo 4 : Joseph-Louis Lagrange. Source : Wikipédia. Photo 5 : Pierre-Simon de Laplace. Portrait de Paulin Guérin, au Château de Versailles. Source : Wikipédia. 96 ZREE N°3/2018 ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱ RETOUR SUR nommé à la direction d’un de ces groupes avec le titre de « directeur des conférences de mathématiques ». Cela lui permet d’approcher Lagrange et Laplace. Mais la nouvelle école fonctionne mal, certains profes- seurs s’entredéchirent, proposent des réformes irréalistes et finalement l’école s’arrêtera le 18 juin 1795. Fourier à ce moment a d’autres soucis car il est rattrapé par ses actions passées comme commissaire à Auxerre. Il est l’objet d’une dénonciation, arrêté et emprisonné le 8 juin 1795. Il est libéré peu de temps après et le 30 août lavé de toutes les accusations. La future Ecole polytechnique a ouvert ses cours et procure un poste à Fourier en tant que substitut de l’administration, chargé de la police de l’école, ce qui était destiné provisoirement à lui assurer un revenu modeste. Grâce à l’action de Monge, Fourier progresse dans la hiérarchie de l’école et, le 28 octobre, il obtient une promotion im- portante car il est chargé du cours d’analyse al- gébrique préparatoire au calcul infinitésimal. En janvier 1796, c’est une partie du cours d’ana- lyse de Prony et, en mai, il enseigne le cours de calcul différentiel et intégral pour tous les étudiants. Fourier est alors un enseignant spé- cialisé en mathématiques, avec la possibilité de faire de la recherche, et a peu de différence d’âge avec ses élèves. Proche de ces derniers, Fourier est un excellent professeur et en sui- vant les maîtres Laplace et Lagrange, il attache une grande importance à l’histoire du dévelop- pement des mathématiques et des connais- sances scientifiques en général. Il publie dans la revue de l’école des articles consacrés à des problèmes théoriques qui se posent alors. Travailleur acharné, Il pour- suivra cette activité à Polytechnique jusqu’en 1798 où il va alors rencontrer un général ambitieux. L’expédition d’Egypte Le général, c’est bien sûr Bonaparte qui après la campagne victorieuse d’Italie, continue la guerre contre l’Angleterre. Le Directoire, au pouvoir après la Convention, a nommé Bona- parte à la tête d’une armée destinée à envahir l’Angleterre. En février 1798, il déclare que cette opération nécessite la maî- trise de la mer et qu’il convient donc de frapper la Grande- Bretagne à la source de ses revenus en occupant l’Egypte, ce qui menacerait la route des Indes. Le Directoire accepte la proposition de Bonaparte, pen- sant l’éloigner des affaires françaises. A la tête de l’expédi- tion militaire, Bonaparte emmène une « Commission des sciences et des arts » composée de 160 ingénieurs et sa- vants. Ainsi Fourier reçoit-il une lettre circulaire du minis- tère de l’Intérieur qui requiert ses talents et son zèle pour cause de service public. Une cinquantaine d’enseignants et étudiants de l’école ou anciens élèves sont ainsi sollici- tés. La plupart à l’instar de Fourier acceptent car, outre les attraits scientifiques qui leur sont proposés, ils conservent leurs soldes. C’est donc à une expédition inédite que tout ce monde est convié. Fourier quitte Paris en diligence le 20 avril 1798 pour Toulon. Une fois à Toulon, tout le monde s’installe dans des navires mouillant dans la rade. Certains bateaux sont remplis d’instruments scientifiques ou de bocaux pour les naturalistes. Le confort est militaire, sauf peut-être dans le navire amiral, l’Orient, qui embarquera Berthol- let et Monge. Fourier, sur le Franklin, bénéficie lui aussi de bonnes conditions et se lie d’amitié avec le général Kléber embarqué avec lui. Ce sont quelques 13 vaisseaux de ligne à la tête du corps expéditionnaire s’étalant sur 10 kilo- mètres qui quittent Toulon le 19 mai 1798 avec 36 000 hommes et une poignée de scientifiques de haut niveau. Fourier débarque à Rosette et sera éloigné des premières batailles. Il est très vite sollicité par Bonaparte pour s’occuper de la publication d’une lettre, Le courrier de l’Egypte, car le géné- ral en chef veut disposer d’une publication rela- tant les faits militaires mais aussi les bienfaits de la mission civilisatrice française. Aux traditionnels missionnaires religieux, la logique de la Révolu- tion a en effet substitué un groupe de scienti- fiques. Le 1er août 1798, l’amiral Nelson encercle la flotte française dans le port d’Aboukir et en détruit une bonne partie dont presque tous les vaisseaux de ligne. Cette victoire maritime aura pour conséquence de bloquer l’armée de Bonaparte en Egypte. La victoire des Pyramides permet à la Commission scien- tifique de s’installer au Caire fin août 1798. Afin de donner un cadre de travail à la Commission, Bonaparte crée, le 23 août 1798, l’institut d’Egypte destiné à apporter à ce pays les lumières de la civilisation française. L'institut comprend 36 membres, Gaspard Monge en est le président, Bonaparte le vice-président et Fourier le secrétaire perpétuel. Le secré- taire ne reste pas enfermé au Caire car il visite et explore le pays. Par la suite en organisant les visites et en présen- tant les sites archéologiques, Fourier deviendra un expert en méthodes archéologiques et effectuera des relevés rigoureux et objectifs des monuments. Quand Bonaparte, par diploma- tie ou par calcul, quitte brusquement l'Egypte en août 1799, Fourier fait accepter cette nouvelle inquiétante à la commu- Photo 6 : Récit de la campagne d'Egypte et des cent jours par le très bonapartiste Champollion-Figeac, frère ainé de Jean-François Champollion, tous deux amis proches de Fourier. Source : BNF (Gallica). REE N°3/2018 Z 97 Joseph Fourier nauté des scientifiques. Dès lors, Kléber remplaçant le général en chef, Fourier voit ses responsabilités d’administrateur civil augmentées. La moisson de connaissances et d’observations accumulée impose la composition d’un ouvrage qui marque la date de naissance d’une science, l’Egyptologie. L’ouvrage aura pour titre : Description de l’Egypte ou recueil des ob- servations et des recherches qui ont été faites en Egypte pendant l’expédition de l’armée française. Fourier en ré- dige la préface et l’organisation de l’ouvrage porte sa marque. Vers la fin de l’année 1800, les choses se gâtent au plan militaire, car les Anglais débarquent à Aboukir. Il faut penser au rapatriement et négocier, les Anglais garderont la pierre de Rosette. La cam- pagne est terminée et, le 10 juin 1801, la Com- mission scientifique quitte le Caire pour Paris. Riche de cette expérience, Fourier retrouve la France à Toulon le 19 novembre 1801. Préfet à Grenoble Rentré à Paris, Fourier espère pouvoir retrou- ver des fonctions d’enseignant à Polytechnique et pouvoir continuer ses travaux sur la résolution des équations. Il a désormais le titre de professeur chargé du cours d’analyse. Si Fourier tient beau- coup à poursuivre une carrière scientifique, il s’est fait aussi quelques amis en Egypte qu’il retrouve à Paris, des proches de Bonaparte devenu Premier consul. Ce dernier a entamé une importante réor- ganisation de l’administration française et nombre de ses collègues et amis qui ont participé à l’ex- pédition en Egypte se retrouvent à des postes importants. C’est dans ce cadre que Fourier est nommé préfet de l’Isère à Grenoble. Sur le moment, Fourier n’est pas spéciale- ment heureux de cette nomination qu’il n’a pas demandée. En effet, cela l’éloigne des activités scientifiques dont le centre est à cette époque à Paris, il en est conscient, mais peut-il refuser un tel poste au premier consul ? Ce dernier a vu, en Egypte, un travailleur acharné, un organisateur et un négociateur habile, doté d’un grand sens de la diplomatie. Le futur empereur nourrit de surcroît une grande admiration pour les hommes de science. Mais surtout la fonction de préfet, loin d’être honorifique, est un rouage indispensable entre le Gouvernement et la région. Fourier peut considérer, à juste titre, que c’est une promotion sociale alors qu’il est issu d’un milieu très modeste et qu’il n’a que 32 ans. Il arrive et s’installe à Grenoble le 17 avril 1802 et se met tout de suite en fonction. Il s’occupe donc de l’administration locale, des règlements de l’éducation, des grands travaux. Il sera préfet durant tout l’empire, restant loyal à Napoléon presque jusqu’au bout. Pendant son exercice, il se verra attribué deux distinctions, la Légion d’honneur en 1904 et le titre de baron de l’empire en 1809. C’était rompre avec l’esprit de la Révolution mais Napoléon voulait créer une noblesse de mérites acquis et non hérités, ce qu’on a appelé la noblesse d’empire. Fourier, bien que très occupé par sa fonction, n’en ou- blie pas ses objectifs scientifiques. Il s’absente à plusieurs reprises pour aller à Paris, tout en fournissant une justifica- tion valable à chaque fois. L’une d’entre elles concerne la supervision du compte rendu scientifique de l’expédition d’Egypte, un gros ouvrage dont l’empereur a demandé la rédac- tion pour l’année 1809. Durant près de sept ans, Fourier consacre beaucoup de temps et d’énergie à des études historiques pour la pré- face de l’ouvrage mais aussi à l’étude de l’astro- nomie égyptienne. Ces travaux sont facilités de manière inattendue car il existe à Grenoble un foyer d’égyptologues reconnus, parmi lesquels on trouve les deux frères Champollion dont le plus jeune s’illustrera quelques années après. Le texte final du rapport est arrêté le 28 juin 1809, après avoir été validé par Napoléon. C’est à Grenoble également que Fourier éla- bore les fondements de ce qui deviendra son maître ouvrage sur la Théorie analytique de la chaleur. En décembre 1807 il soumet un mé- moire, Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides, à l’Académie des sciences, avec une copie envoyée à Biot1 et Poisson car il sait qu’ils ont travaillé sur le sujet. Il n’y a dans le jury de l’Académie aucun spécialiste de la chaleur2 , Biot n’y est pas encore et Lagrange membre du jury est très négatif sur ce travail qu’il considère sans valeur. Un compte rendu en est fait, proba- blement rédigé par Poisson, dans le bulletin des sciences de la société philomathique de Paris, sans critique positive ou négative et surtout sans mentionner la nouveauté du mémoire. Il y a aussi quelques phrases qui indiquent qu’il subsiste des imprécisions. Fourier est déçu et après un échange d’arguments avec Laplace, il convient de revoir son texte. Cela lui prendra plusieurs années, compte tenu de ses autres activités. Un nouveau texte bien amélioré est envoyé en septembre 1811. 1 Voir plus loin sur la première contribution de Biot à la théorie de la chaleur. 2 Ils sont tous mathématiciens. Photo 7 : Joseph Fourier en habit de préfet. Source : Musée d’Auxerre. Photo 8 : Siméon Denis Poisson, polytechnicien, 13 ans plus jeune que Fourier, qui ne lui par- donnera jamais d'avoir utilisé son manuscrit sans le citer. Source : Bibm@th.net. 98 ZREE N°3/2018 ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱ RETOUR SUR Mais l’Histoire, comme souvent dans la vie de Fourier, vient perturber ses travaux. La fin de l’Empire approche et le pré- fet doit gérer une situation délicate alors que les troupes autrichiennes approchent de la ville au mois de mars 1814. L’empereur est déposé par le gouvernement provisoire de Talleyrand, Fourier suit le mouvement de retour à la mo- narchie. Il reste donc en place, montrant une fois de plus sa faculté d’adaptation et son pragmatisme. Un peu moins d’un an après, c’est le retour de Napoléon pour cent jours. Fourier, cette fois, ne suit pas Napoléon qui le destitue mais après une rencontre dramatique avec lui, le nomme préfet du Rhône. Mais Fourier refusera peu après de pratiquer une épuration écartant les opposants à l’empereur réinstallé au pouvoir. Il est à nouveau révoqué le 3 mai 1815. Sa mission de préfet s’achève donc dans les turbulences de la fin de l’Empire et aussi de la Révolution. Fourier rentre à Paris, peu de temps avant Waterloo. De l’Académie des sciences à l’Académie française. De retour à Paris le 28 juin 1815, Fourier est amer. Sans doute n’a-t-il rien commis d’irréparable qui ferait qu’il ris- quât d’être emprisonné par la monarchie restaurée, mais il se trouve pris dans la réaction contre tout ce qui a marqué son adhésion au pouvoir napoléonien. Sa pension est sup- primée par le régime qui refuse ses réclamations. Il trouve heureusement assez rapidement une aide de la part de l’un de ses anciens élèves de Polytechnique et collaborateur de la description de l’Egypte, Chabrol de Volvic, maintenant préfet de la Seine. Ce dernier le charge de la direction d’un bureau de statistique au sein de la préfecture. Fourier s’y consacre avec intérêt et il contribuera par la suite à une somme en quatre volumes sur les Recherches statistiques sur la ville de Paris et le département de la Seine. Ayant repris une activité, Fourier va s’employer à publier ses travaux sur l’algèbre et sur la chaleur qu’il avait commen- cés à Grenoble. En 1816, il publie une nouvelle version de sa théorie intitulée Théorie de la chaleur, hébergée dans une revue prestigieuse créée par Lavoisier, les Annales de physique et de chimie. Fidèle à lui-même, il n’a pas appré- cié la tiédeur – pour ne pas dire plus – de l’accueil de son ouvrage en 1812 par l’Académie des sciences. Ce sentiment est d’autant plus accentué que Poisson vient de publier un mémoire sur la distribution de chaleur et qu’il reprend les réserves et critiques formulées par l’Académie en 1812. Fou- rier écrit alors à Laplace et y ajoute quelques brèves notes critiques du traitement de la chaleur par Poisson. Laplace est enfin convaincu, d’autant que Fourier l’a placé habilement au- dessus de ses querelles avec Biot et Poisson. C’est à ce moment que Fourier pense à une candidature à l’Académie des sciences. L’institution a subi les consé- quences des bouleversements politiques de l’époque. Une épuration a commencé sous la première restauration, continuée après les cent jours et l’Académie est dissoute puis reconstituée le 21 mars 1816 après avoir éliminé quelques-uns de ses membres éminents, comme Napo- léon lui-même, Carnot et Monge. Une nouvelle génération de mathématiciens et physiciens forme la nouvelle Acadé- mie avec une autre conception des sciences. Le 11 avril 1816, quand deux places libres occasionnent de nouvelles élections sans qu'aucune spécialité ne soit requise, Fourier présente sa candidature. Malgré quelques refus, Fourier arrive à recueillir quelques soutiens après avoir présenté certains des éléments de sa carrière. L’élection se déroule le 27 mai 1816 : éliminé pour le premier poste, il est élu au titre du deuxième poste avec 38 voix contre 17 sur un total de 58. Le vote est soumis à l’approbation du Roi. Les royalistes s’empressent de rappeler les états de service de Fourier sous l’Empire ce qui fait que lors de l’approbation du Roi pour cette élection, seul le vainqueur du premier poste est nommé et Fourier n’est pas mentionné. Son expérience de la politique lui soufflant de ne pas pro- tester, Fourier décide d’attendre une nouvelle occasion qui se présente l’année suivante. Cette fois Fourier est opposé à Fresnel et Dulong qui n’ont pas encore publié les travaux qui les rendront célèbres. Fourier est ainsi élu triomphalement le 5 mai 1817 et cette fois son élection sera validée par le Roi, le 26 mai 1817. Il a 49 ans et cette élection marque un tournant dans sa vie qui sera désormais essentiellement scientifique, occupée par la recherche et par la publication dans diverses sociétés d’articles et de mémoires. En 1822, paraît l’œuvre majeure Théorie analytique de la chaleur qui reprend son manuscrit de 1811, agrémenté d’une introduction à caractère philosophique. La même an- née, Fourier se présente au poste de secrétaire perpétuel de l’Académie et sera élu le 18 novembre 1822. Quelques années après, il se présente à l’Académie française lors d’un renouvellement et est élu, bien que son œuvre littéraire ne soit pas très importante. Jusqu’à la fin de sa vie, Fourier va travailler sur des sujets divers mais les derniers mois, il est frappé par des rhumatismes qui l’obligent à vivre très chaude- ment habillé. Il meurt dans les honneurs le 17 mai 1830 juste avant la deuxième révolution. François Arago prononcera son éloge funèbre. Q REE N°3/2018 Z 99 Joseph Fourier La théorie de la chaleur et la transformée de Fourier La notion de chaleur remonte aux périodes les plus anciennes de l’antiquité. Sa propagation est étudiée par Newton qui publie en 1701 de manière anonyme un article dans lequel il fait état d’expériences sur des blocs de fer dont il étudie le refroidissement à l’air ambiant. De manière purement expérimentale, il établit une loi temporelle qui énonce que le refroidissement est une fonction exponentielle décroissante du temps. Il dépend aussi de la forme géométrique des blocs considérés. Mais son étude est trop simplifiée car elle admet une température unique pour un bloc alors que la température interne n’est pas la même qu'en surface. Guillaume Amontons, connu pour avoir fabriqué des baromètres et des thermomètres, réalise deux ans après des expériences qui font date, avec une barre de fer. Ce sont ces données qui sont reprises à la fin du XVIIIe siècle par Lam- bert, Rumford, Biot et Fourier pour déterminer quantitativement la répartition de la température dans une barre. En 1736, l’Académie propose un sujet de prix sur l’étude de la nature de la « propagation du feu ». Sur les 30 manus- crits reçus, aucun ne répond pleinement à la question. L’Académie couronne néanmoins trois papiers, dont celui de Léonard Euler qui décrit le feu comme un fluide élastique présent dans les corps, ce qui montre que le sujet était encore mal compris au milieu du XVIIIe siècle. En Allemagne, sous Frédéric II, un jeune savant, J. H. Lambert, fils d’un pauvre tailleur, étudie la propagation de la chaleur. Il la distingue de la température et reconnaît la notion de chaleur spécifique propre à un corps. Il énonce la loi logarithmique du décroissement de la température. En 1804, Jean Baptiste Biot présente à l’Académie ses recherches sur la propagation de la chaleur qui sont le résultat d’expériences sur une barre, hérité d’Amontons. Il mesure la température à différents endroits de la barre, il ne donne pas d’équations de propagation mais indique qu’il arrive à une équation différentielle du second ordre entre deux variables : l’accroissement de température et la distance à la source de chaleur. Cette équation peut selon lui être intégrée par des méthodes connues à l’époque. Cette dernière contribution est la plus élaborée quand Fourier commence à s’y intéresser. A partir de ce travail, Fourier va élaborer son premier manuscrit soumis en 1807 à l’Académie. Il ne se prononce pas sur la question de la nature de la chaleur qui connaît à l’époque deux explications différentes. Pour les uns, c’est un fluide qui pénètre tous les corps, pour les autres, c’est l’agitation de molécules qui sont vues comme des éléments de masse dans les corps. Fourier n’abordera pas ces questions fondamentales. Un deuxième manuscrit est élaboré en 1811 et, en 1822, paraît l’édition définitive de la Théorie analytique de la chaleur. L’ouvrage est volumineux : près de 700 pages, neuf chapitres et 433 articles. A partir de très nombreuses expériences et mesures effectuées sur des barres avec des thermomètres, Fourier commence à établir, à partir de diverses géométries, quelle est la température en chaque point d’un corps à un instant donné, les températures initiales étant données. Il modélise les mécanismes de transfert de chaleur à l’intérieur et à la surface en les situant à une échelle microscopique et en utilisant des éléments de volume dif- férentiels. En 1807 le premier volume est cubique et évoluera dans les versions suivantes en armille (anneau de section carrée), sphère, cylindre et prisme. Les solides n’exigent pas d’autres principes que ceux du départ mais la géométrie influe sur la complexité de l’équation de base et le calcul des constantes. Après de longs développements où tous ces cas sont traités, Fourier arrive à l’expression générale de la propagation de la chaleur qui est une équation différentielle aux dérivées partielles par rapport au temps et à l’espace. Cette équation donne la température T en fonction du temps t et des coordonnées d’espace cartésiennes. K est la conductibilité, C la chaleur spécifique et D la densité du corps considéré. Si la dérivée partielle par rapport au temps était une dérivée seconde, l’équation serait identique à l’équation des cordes vibrantes établie par d’Alembert en 1749. Les deux piliers de l’œuvre de Fourier sont donc l’établissement de l’équation de la chaleur qui est un problème typique de physique, mais aussi la résolution des équations qui ouvre un domaine nouveau dans l’histoire des mathé- matiques. Il affirme que la propagation de la chaleur est un phénomène ondulatoire et il détermine l’équation différen- tielle qui régit le phénomène de propagation. C’est ensuite en cherchant les solutions générales et particulières de cette équation qu’il montre que ce sont des séries trigonométriques. Comme pour les cordes vibrantes, il existe une oscillation du flux de chaleur qui peut être décomposé en série de sinus et de cosinus. 100 ZREE N°3/2018 ❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱❱ RETOUR SUR Daniel Bernoulli avait déjà proposé comme solutions pour l’équation des ondes, des fonctions qui étaient des sommes trigonométriques mais cela n’avait pas été accepté à l’époque, vers 1750. En particulier, cela avait été critiqué par Lagrange, ce qui explique probablement son opposition au pre- mier manuscrit de Fourier en 1807. Ce dernier, averti des problèmes posés à Bernoulli, va cependant continuer dans cette voie et il va réussir à déterminer les conditions aux limites qui définissent les coefficients des séries solutions de l’équation de la chaleur. C’est en passant à un objet de dimension infini pour terminer son étude de 1822 que Fourier franchira un pas de plus en proposant ce qui deviendra la transformée de Fourier qui posera aux mathé- maticiens des problèmes d’existence et de convergence. La place de Fourier dans les mathématiques… Dans l’histoire des mathématiques, Fourier n’apparaît pas seul mais ac- compagné par un ensemble de mathématiciens qui ont traité au XVIIIe et au XIXe siècle de l’analyse fonctionnelle, c'est-à-dire des équations dont les solutions sont des fonctions. Les trois équations de Laplace, des ondes et de la chaleur, donnent naissance à la théorie des séries et intégrales de Fourier, à la théorie du potentiel newtonien et des fonctions harmoniques ainsi qu’à la théorie de Strum Liouville pour les équations différentielles ordinaires. Il restait des difficultés à prouver la convergence de la série d’une fonction continue que Dirichlet établit en 1829. Mais le problème de savoir si la série de Fourier d’une fonction continue est convergente vers la valeur de la fonction tout au moins en certains points n’a été résolu de façon définitive qu’en 1966 par le mathématicien Jean-Pierre Kahane qui a montré que ce résultat était le meilleur possible. L’apport de Fourier en mathématiques a donc été de définir un outil très fécond qui, de plus, a fait l’objet de nombreuses recherches jusqu’à aujourd’hui … et dans la physique Le discours préliminaire à l’ouvrage de 1822 sur la théorie analytique de la chaleur, est une présentation philoso- phique, au fond très inhabituelle venant d’un mathématicien ou d’un physicien. Il n’y a en effet pas de préface philo- sophique chez d’Alembert, Cauchy ou Lagrange. Le début du préliminaire est très caractéristique de l’épistémologie de Fourier où il indique que l’étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des mathématiques. C’est probablement cette préface qui a attiré l’attention d’Auguste Comte qui a pu comparer Fourier à Newton dans son cours de philosophie positive. Le maître de la philosophie positiviste appréciait que la théorie de Fourier traitât de ce qui était obser- vable sans s’occuper de la structure intime de la chaleur. Pourtant Fourier n’écrira jamais d’ouvrage de philosophie pure comme par exemple Laplace sur les probabilités mais, dans son œuvre majeure, il justifie sa démarche par des arguments philosophiques. La position de Fourier est à l’opposé de la vision Bourbaki qui considère les mathématiques comme un monde en soi. Au fond, ce qui intéresse Fourier c’est la résolution analytique d’un problème, ce qui peut amener à affirmer qu’il est le créateur de la physique mathématique qui invente des méthodes et outils mathéma- tiques pour résoudre un problème de physique, ceux-ci devenant à leur tour un domaine important des mathématiques. C’est l’opinion de Gaston Bachelard qui consacra un livre à L’évolution d’un problème de physique avec en sous-titre La propagation thermique dans les solides. Bien plus que la chaleur, c’est le phénomène de la propagation qui est au cœur de la pensée de Fourier. Ce faisant, il n’est pas étonnant que la postérité des séries et de l’analyse harmonique soit aujourd’hui bien loin du traitement de la chaleur, mais plus proche de tout ce qui est ondulatoire, soit la quasi majorité des phénomènes physiques. Les séries de Fourier sont aujourd’hui utilisées en théorie du signal et la transformée de Fourier est devenu l’outil privilégié pour passer de la variable temps à la variable fréquence. Photo 9 : Théorie analytique de la chaleur parue en 1822 – Source : BNF (Gallica). Photo 10 : Auguste Comte fondateur du positivisme. Source Wikipédia. REE N°3/2018 Z 101 Joseph Fourier Marc Leconte est secrétaire du club RSSR de la SEE (radars, sonars et systèmes radioélectriques), membre du comité de rédaction de la REE, membre émérite SEE et médaillé Ampère. Au sein de Dassault Electronique il a passé une quinzaine d’an- nées à l’étude, au développement et aux essais en vol du radar RDI du Mirage 2000. Ensuite pendant trois ans, il a participé à l’étude d’un démonstrateur laser franco-britannique CLARA. A partir de 1995, il a élargi son activité aux domaines des études concurrentielles et stratégiques dans les domaines des radars aéroportés et de la guerre électronique. Il a exercé les mêmes activités dans la division aéronautique de Thales après la fusion de Dassault Electronique et de Thomson-CSF. A partir des an- nées 90 et en parallèle, il s’est intéressé à l’histoire des sciences et des techniques et a publié plusieurs articles s’y rapportant. L'AUTEUR Bibliographie s &OURIER CRÏATEURDELAPHYSIQUEMATHÏMATIQUE *EAN$HOMBRES et Jean-Bernard Robert, éditions Belin, coll. « Un savant, une époque », 1998 (ISBN 978-2-7011-1213-8). s ¡TUDE SUR LgÏVOLUTION DgUN PROBLÒME DE PHYSIQUE  LA PRO
pagation thermique dans les solides, Gaston Bachelard, J. Vrin, 1927 - 182 pages. s !BRÏGÏDgHISTOIREDESMATHÏMATIQUES
 *EAN$IEU
donné Hermann, 1986. s %LÏMENTS DHISTOIRE DES MATHÏMATIQUES .ICOLAS "OURBAKI Masson 1984. s 4HÏORIEANALYTIQUEDELACHALEURCONSULTABLESURLESITE'ALLICA s #ONFÏRENCE DE JEAN $HOMBRES  HTTPSNUMERIQUEUNIV
LORRAINEFRJOSEPH
FOURIER
UN
SCIENTIFIQUE
PRODIGIEUX
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UN
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