Jean-Louis Koszul et les structures élémentaires de la Géométrie de l’Information

19/02/2018
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Jean-Louis Koszul et les structures élémentaires de la Géométrie de l’Information

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Jean-Louis Koszul et les structures élémentaires de la Géométrie de l’Information Frédéric Barbaresco, THALES Figure 1. (à gauche) photo de la promotion ENS Ulm 1940, (à droite) Jean-Louis Koszul à la conférence GSI’13 à l’Ecole des Mines de Paris en Aout 2013 « Constater que les théories les plus parfaites sont les guides les plus sûrs pour résoudre les problèmes concrets; avoir assez confiance en sa science pour prendre des responsabilités techniques. Puissent beaucoup de mathématiciens connaître un jour ces joies très saines, quelques humbles qu'ils les jugent ! » - Jean Leray Nous allons dans cet article hommage à une partie de l’œuvre du Professeur Jean-Louis Koszul rappeler les apports fondamentaux des modèles mathématiques de ce grand algébriste et géomètre dans le domaine des sciences géométriques de l’information, qui ont de nombreuses applications dans le domaine des mathématiques appliquées, et dans le domaine émergent de l’Intelligence Artificielle où les algorithmes les plus performants sont bâtis sur le gradient naturel de la géométrie de l’Information déduit de la matrice de Fisher, comme l’a montré récemment Yann Ollivier [112- 113]. Fort de la tradition mathématique française, et des enseignements de son maître Elie Cartan, Jean- Louis Koszul a été un éclaireur et un réel avant-gardiste, si on reprend la définition donnée par Clausewitz « Une avant-garde est un groupe d'unités destiné à se déplacer devant l'armée pour : explorer le terrain afin d'éviter les surprises, occuper rapidement les positions fortes du champ de bataille (points hauts), faire écran et contenir l'ennemi le temps que l'armée puisse se déployer. ». En effet, Jean-Louis Koszul a été un pionnier et a défriché de nombreux domaines des mathématiques, décrits dans l’ouvrage « Selected papers of J.L. Koszul » [3]. Ce que nous exposerons ici n’est donc qu’un volet de son œuvre qui concerne l’étude des domaines bornés homogènes, sur la base des travaux antérieurs d’Elie Cartan sur les domaines bornés symétriques. Dans une lettre d’André Weil à Henri Cartan, publiée dans les actes du colloque « Elie Cartan et les mathématiques d’aujourd’hui » de 1984, on peut lire « Quant aux espaces symétriques, et plus particulièrement aux domaines bornés symétriques à la naissance desquels tu as contribué, j’ai gardé le vif souvenir de la satisfaction que j’éprouvai à en retrouver des incarnations chez Siegel dès ses premiers travaux sur les formes quadratiques, et par la suite à convaincre Siegel de la valeur des idées de ton père sur le sujet. ». A ce colloque de 1984, deux disciples d’Elie Cartan y donnent une conférence, Jean-Louis Koszul [5] et Jean-Marie Souriau. Figure 2. (à gauche) Professeur Elie Cartan, (à droite) la famille Cartan Dans l’ouvrage « Selected papers of J.L. Koszul » [3], Koszul résume ainsi les travaux que nous allons détailler dans la suite : « C’est au problème de la détermination des domaines bornés homogènes posé par E. Cartan vers 1935 que se rattache [mes articles]. L’idée d’aborder la question par les biais des formes hermitiennes invariantes apparaît déjà explicitement chez Cartan. Cela conduit à une approche algébrique qui constitue l’essentiel du travail de Cartan et qui, avec les J-algèbres de Lie, a été poussée beaucoup plus loin par l’Ecole Russe [19-32]. Ce sont les travaux de Piatetski Shapiro sur les domaines de Siegel, puis ceux de de E.B. Vinberg sur les cônes homogènes qui m’ont amené à l’étude des groupes de transformation affines des variétés localement plates et en particulier aux critères de convexité liés aux formes invariantes. ». En particulier, J.L. Koszul a trouvé une des sources de son inspiration dans cette dernière phrase de l’article d’Elie Cartan de 1935 [2] : « Il est clair que si l’on parvenait à démontrer que tous les domaines homogènes dont la forme   j i j i j i dz dz z z z z K Φ      , * 2 , log est définie positive sont symétriques, toute la théorie des domaines bornés homogènes serait élucidée. C’est là un problème de géométrie hermitienne certainement très intéressant ». Il faudra attendre 1953 pour que la classification des espaces symétriques non Riemanniens soit achevée par Marcel Berger [61]. Les travaux de Koszul ont également été étendus et approfondis par l’un de ses étudiant Jacques Vey dans [16] et [17]. Jacques Vey a transposée la notion d’hyperbolicité, développé par W. Kaup pour les surfaces de Riemann, dans la catégorie des variétés différentiables à connexion linéaire plate (variétés localement plates), ce qui permet de caractériser complètement les variétés localement plates admettant comme revêtement universel un ouvert convexe saillant de Rn , lesquelles avaient été étudiées par Koszul dans [11]. Les liens des travaux de Koszul avec ceux de Ernest B. Vinberg [19-26] ont été rappelé récemment, lors de la conférence « Transformation groups 2017 » à Moscou dédiée au 80ème anniversaire du professeur E.B. Vinberg, lors de l’exposé du Professeur Dmitri Alekseevsky « Vinberg's theory of homogeneous convex cones: developments and applications » [18]. Koszul et Vinberg sont effectivement associés à la notion de fonction caractéristique dite de Koszul-Vinberg sur les cônes convexes saillants, que nous développerons dans la suite. De le cadre de cette étude, Koszul a introduit les formes dites de Koszul et une métrique canonique donnée par le hessien de l’opposée du logarithme de cette fonction caractéristique de Koszul-Vinberg, dont nous verrons les liens avec la métrique de Fisher en Géométrie de l’Information, dont elle généralise le domaine d’application. Les articles principaux du Professeur Koszul qui fondent les structures élémentaires de la géométrie de l’information sont les suivants :  « Sur la forme hermitienne canonique des espaces homogènes complexes » [7] de 1955 : Koszul y considère la ferme hermitienne d’une variété homogène G/B (G groupe de Lie connexe et B un sous-groupe fermé de G, associée, à un facteur constant près, à l’unique volume invariant par G, et à la structure complexe invariante par les opérations de G). Koszul précise « L’intérêt que présente cette forme pour la détermination des domaines bornés homogènes a été souligné par E. Cartan : une condition nécessaire pour que G/B soit un domaine borné est en effet que cette forme soit définie positive ». Koszul calcule cette forme canonique à partir des données infinitésimales de l’algèbre de Lie de G, la sous-algèbre qui correspond à B et un endomorphisme de l’algèbre définissant la structure complexe invariante de G/B. Les résultats obtenus par Koszul prouvent que les domaines bornés homogènes dont le groupe des automorphismes est semi-simple sont des domaines bornés symétriques au sens d’Elie Cartan. Koszul fait référence aux travaux d’André Lichnerowicz sur les espaces homogènes Kählériens [37]. Koszul y introduit une forme de degré 1 invariante à gauche sur G :     / . ( ) g b X Tr ad JX J ad X X g          avec J un endomorphisme de l’espace de l’algèbre de Lie et la trace  / . g b Tr correspondant à celle de l’endomorphisme de g/b. La forme de Kähler de la forme hermitienne canonique est donnée par la différentielle de   1 4 X   de cette forme de degré 1.  « Exposés sur les espaces homogènes symétriques » [8] de 1959 est un cours rédigé dans le cadre d’un séminaire tenu en Septembre et Octobre 1958 à l’université de Sao-Paulo, qui détaille la détermination des domaines bornés homogènes. Il revient sur [7] et montre que tout domaine borné symétrique est produit direct de domaines bornés symétriques irréductibles, déterminés par Elie Cartan (4 classes correspondant aux groupes classiques et 2 domaines exceptionnels). Pour l’étude des domaines bornés symétriques irréductibles, Koszul renvoie à Elie Cartan, Carl-Ludwig Siegel et Loo-Keng Hua. Koszul illustre le sujet avec 2 cas particuliers, le demi-plan de Poincaré et le demi-espace de Siegel, et montre qu’avec sa formule de trace de l’endomorphisme de g/b, il retrouve que les formes de Kähler des formes hermitiennes canoniques et les métriques associées sont bien celles introduites par Henri Poincaré et Carl-Ludwig Siegel [35] (qui les ont introduites en cherchant des métriques invariantes par les automorphismes de ces espaces).  « Domaines bornées homogènes et orbites de groupes de transformations affines » [9] de 1961 est écrit par Koszul à l’Institut for Advanced Study à Princeton pendant un séjour financé par la National Science Foundation. Sur un espace homogène complexe, un volume invariant définit avec la structure complexe la forme hermitienne invariante canonique introduite dans [7]. Si l’espace homogène est holomorphiquement isomorphe à un domaine borné d’un espace Cn , cette forme hermitienne est définie positive, car elle coïncide avec la métrique de Bergmann du domaine. Koszul démontre dans cet article la réciproque de cette proposition pour une classe d’espaces homogènes complexes. Cette classe est constituée par certaines orbites ouvertes de groupes de transformation affines complexes et contient tous les domaines bornés homogènes. Koszul adresse à nouveaux le problème de savoir si un espace homogène complexe, dont la forme hermitienne canonique est définie positive est isomorphe à un domaine borné, mais via l’étude de la forme bilinéaire invariante définie sur un espace homogène réel par la donnée d’un volume invariant et d’une connexion plate invariante. Koszul démontre que si cette forme bilinéaire est définie positive alors l’espace homogène muni de sa connexion plate est isomorphe à un ouvert convexe ne contenant pas de droite dans un espace vectoriel réel et l’étend au problème initial pour les espaces homogènes complexes obtenus en définissant une structure complexe dans la variété des vecteurs d’un espace homogène réel muni d’une connexion plate invariante. C’est dans cet article que Koszul utilise la représentation affine des groupes et algèbres de Lie. En étudiant les orbites ouvertes des représentations affines, Il introduit une représentation affine de G dans E , écrite par   q f, et l’équation suivante en posant f la représentation linéaire de l’algèbre de Lie g de G , définie par f et q la restriction à g à la différentielle de q ( f et q les différentielles de f et q respectivement):     ( ) ( ) ( ) ( ) , , avec : ( ) et : f X q Y f Y q X q X Y X Y f gl E q E      g g g  « Ouverts convexes homogènes des espaces affines » [10] de 1962. Koszul s’intéresse dans cet article à la structure des ouverts convexes  non-dégénérés (ne contenant pas de droite) et homogènes (le groupe des transformations affine de E laissant stable  opère transitivement dans ) dans un espace affine réel de dimension finie. Koszul démontre qu’ils se déduisent tous de cônes ouverts convexes non-dégénérés et homogènes construits dans [9]. Il utilise pour cela les propriétés du groupe des transformations affines laissant stable un ouvert convexe non dégénéré et homogène.  « Variétés localement plates et convexité » [11] de 1965. Koszul y établi le théorème suivant : soit M une variété différentiable localement plate connexe. Si le revêtement universel de M est isomorphe en tant que variété plate à un ouvert convexe ne contenant pas de droite dans un espace affine réel, il existe sur M une 1 forme différentielle fermée  telle que D (D dérivation covariante linéaire de torsion nulle) soit définie positive en tout point et qui est invariante par tout automorphisme de M. Si G est un groupe d’automorphismes de M tel que G\M soit quasi-compact et si il existe sur M une 1-forme différentielle fermée  invariante par G et telle que D soit définie positive en tout point, alors le revêtement universel de M est isomorphe en tant que variété plate à un ouvert convexe ne contenant pas de droite dans un espace affine réel.  « Lectures on Groups of Transformations » [12] de 1965. Il s’agit de prises de notes du cours donné par Koszul au « Tata Institute of Fundamental Research » de Bombay sur les groupes de transformation. En particulier dans le chapitre 6, Koszul étudie les groupes linéaires discrets agissant sur des cônes ouverts convexes dans des espaces vectoriels basés sur les travaux de C.L. Siegel (travaux sur les formes quadratiques [34]). Koszul y utilise, ce que nous nommerons dans la suite fonction caractéristique de Koszul-Vinberg sur un cône convexe saillant.  « Déformations des variétés localement plates » [13] de 1968. Koszul redémontre des théorèmes introduits dans [11]. Koszul considère des variétés différentiables connexes de dimension n et TM l’espace fibré des vecteurs de M. Les connexions linéaires sur M constituent un sous-espace de l’espace des applications différentiables du produit fibré TMxTM dans l’espace T(TM) des vecteurs de TM. Toute connexion D localement plate (dont la courbure et la torsion sont nulles) définit une connexion localement plate sur les revêtements de M, et est dit hyperbolique lorsqu’un revêtement universel de M, muni de cette connexion, est isomorphe à un ouvert convexe saillant (ne contenant pas de droite) dans Rn . Koszul montre que, si M est une variété compacte, pour qu’une connexion localement plate sur M soit hyperbolique, il faut et il suffit qu’il existe une forme différentielle fermée de degré 1 sur M dont la différentielle covariante est définie positive.  « Trajectoires Convexes de Groupes Affines Unimodulaires » [14] en 1970. Koszul démontre qu’un ouvert convexe saillant dans Rn qui admet un groupe transitif unimodulaire d’automorphismes affines est un cône auto-dual. Il s’agit d’une démonstration plus géométrique de résultats montrés par Ernest Vinberg [25] sur les automorphismes des cônes convexes. Les structures géométriques élémentaires découvertes par Jean-Louis Koszul constituent les fondations de la Géométrie de l’Information. Ces structures communes ont été pour la première fois mises en regard par le Professeur Hirohiko Shima [42-47]. Ce socle commun a été en particulier cristallisé dans l’ouvrage de Shima de 2007 « The Geometry of Hessian Structures » [48], qui est dédié au Professeur Koszul. L’origine de cet ouvrage fait suite au voyage de Koszul au Japon en 1964, en mission pour le gouvernement français. Koszul donna des cours sur la théorie des variétés plates à l’université d’Osaka. Hirohiko Shima était alors élève et assista à ces cours avec les professeurs Matsushima and Murakami. Ce cours fut à l’origine de la notion de structures hessiennes et le début des travaux de Hirohiko Shima. Henri Cartan nota concernant les liens de Koszul avec le Japon, « Koszul a su attirer à Strasbourg, puis à Grenoble, d’éminents mathématiciens venant de l’étranger. Je voudrais en particulier mentionner les liens qu’il a su établir avec des représentants de l’Ecole Japonaise de Géométrie différentielle ». Le livre de Shima [48] est une introduction systématique à la théorie des structures hessiennes (données par une paire d’une connexion plate D et d’une métrique hessienne g). Koszul a étudié les variétés plates dotées d'une 1-forme fermée , telle que D soit définie positive, selon laquelle D est une métrique de hessienne. Cependant, toutes les métriques hessiennes ne sont pas globalement de la forme g=D. Shima y introduit la notion de structure de Codazzi pour une paire (D,g), avec D une connexion sans torsion, vérifiant les équations de Codazzi      ) , ( , Z X g D Z Y g D Y X  . Une structure hessienne est une structure de Codazzi pour laquelle la connexion D est plate. Il s’agit d’une extension de la géométrie Riemannienne. Il est alors possible de définir une connexion D’ et une structure de Codazzi (D’,g) duales avec D D    ' avec  la connection de Levi-Civita. Pour une structure hessienne   g D, avec  Dd g  , la structure de Codazzi duale   g D , ' est aussi une structure hessienne et ' '  d D g  , ou '  est la transformée de Legendre de  :      i i i x x   ' . Shima observa que la Géométrie de l’Information a pour cadre l’étude de la théorie de l’information du point de vue des connections duales, comme l’avaient initiée Fréchet, Rao et Chentsov [58]. Une structure hessienne (D, g) est de type Koszul, s’il existe une 1-forme fermée  telle que  D g  . En utilisant D et l’élément de volume de g, Koszul a introduit une 2nd forme, qui joue un rôle similaire au tenseur de Ricci pour une métrique Kählérienne. Soit  l’élément de volume de g , on définit une 1-forme fermée  telle que    ) (X DX  et une forme bilinéaire symétrique   D  . Les formes  et  sont appelées 1ère et 2nd formes de Koszul pour une structure hessienne ) , ( g D . On peut considérer les formes associées à la structure hessienne duale ) , ' ( g D par     ' et       2 ' . Dans le cas d’un cône convexe régulier homogène  , les formes de Koszul  et  pour la structure hessienne canonique ) , (  Dd g D  sont données par   log d  et g   . L’élément de volume  déterminé par g est invariant sous l’action du groupe des automorphismes G de  . Jean-Louis Koszul nous avait fait l’honneur de participer à la 1ère conférence GSI « Geometric Science of Information » en Aout 2013 à l’Ecole des Mines de Paris, où il a assisté à l’exposé de Hirohiko Shima, donné en son honneur sur le thème « Geometry of Hessian Structures » [49]. Sur la photo ci-dessous, on voit de gauche à droite, Jean-Louis Koszul, Hirohiko Shima et Michel Nguiffo Boyom. Le professeur Michel Boyom a beaucoup étudié et développé, à l’université de Montpellier, les modèles de Koszul [93-100] relativement aux variétés symplectiques affinement plates et à la cohomologie des algèbres de Koszul-Vinberg (Cohomologie KV) et avec son thésard P.M. Byande [91-92] les liens avec la Géométrie de l’Information. Voir aussi les travaux de André Lichnerowicz sur le sujet des variétés Kählériennes homogènes [111]. Figure 3. De gauche à droite, Jean-Louis Koszul, Hirohiko Shima et Michel Nguiffo Boyom à la conférence GSI’13 à l’Ecole des Mines de Paris en Aout 2013 1. Rappel biographique et scientifique sur la vie de Jean-Louis Koszul Jean Louis André Stanislas Koszul né à Strasbourg en 1921, est le fils d’une famille de quatre enfants (avec trois sœurs plus âgées, Marie Andrée, Antoinette et Jeanne). Il est le fils d'André Koszul (né à Roubaix le 19 novembre 1878, professeur d'université à Strasbourg), et Marie Fontaine (née à Lyon le 19 juin 1887), qui était une amie de la mère d’Henri Cartan. Henri Cartan écrit à ce propos « Ma mère dans sa jeunesse, avait été une amie intime de celle qui devait devenir la mère de Jean-Louis Koszul » [4]. Ses parents paternels étaient Julien Stanislas Koszul et Hélène Ludivine Rosalie Marie Salomé. Il a fait ses études secondaires au lycée Fustel-de-Coulanges à Strasbourg puis à la faculté des sciences de Strasbourg et celle de Paris. Il entre à l’ENS Ulm dans la promotion 1940 et fait sa thèse avec Henri Cartan. Henri Cartan note « Cette promotion comprenait d’autres mathématiciens comme Belgodère ou Godement, et aussi des physiciens et quelques chimistes, comme Marc Julia et Raimond Castaing » [4]. Jean-Louis Koszul se marie le 17 juillet 1948 avec Denise Reyss-Brion, élève de l'ENS de Sèvres, entrée en 1941. Ils ont trois enfants Michel (marié à Christine Duchemin), Anne (épouse de Stanislas Crouzier) et Bertrand. Il enseigna ensuite à Strasbourg et fut nommé Maître de Conférences à l'Université de Strasbourg en 1949. Il y a été promu professeur en 1956. Il est devenu membre de Bourbaki avec la génération de J. Dixmier, R. Godement, S. Eilenberg, P. Samuel, J.P. Serre et L. Schwartz. Henri Cartan remarque dans [4] « Dans les discussions véhémentes au sein de Bourbaki, Koszul n’était pas de ceux qui parlaient fort ; mais on apprit à l’écouter car on savait que s’il ouvrait la bouche il avait quelque chose à dire ». Il est promu maître de conférences à l'université de Grenoble en 1963. Il devient professeur honoraire à l'université Joseph Fourier [6]. A Grenoble, il pratiqua l'alpinisme et fut membre du Club Alpin Français. Koszul fut élu correspondant à l'Académie des sciences le 28 janvier 1980. L'année suivante, il fut élu à l'Académie de São Paulo. Jean-Louis Koszul était le cousin du compositeur Henri Dutilleux, dont le grand-père commun était Julien Koszul (1844- 1927), élève de Camille Saint-Saëns, condisciple et ami de Gabriel Fauré, et professeur d’Albert Roussel. Les œuvres les plus célèbres de son grand-père Julien Koszul ont été rejouées récemment à l’IHES par Bertrand Maury, suite à un exposé qui développait les éléments décrits dans le présent article par l’auteur. Les œuvres les plus remarquables de Julien Koszul, le grand-père de Jean-Louis Koszul sont: Quo Vadis pour choeur d'hommes à 5 voix, Pié Jesus en si m, Pièces pour piano à deux mains et 1 pièce pour piano à 4 mains et les Mélodies de 1872 et 1879. Jean-Louis Koszul est mort le 12 janvier 2018, à l'âge de 97 ans. Dès 1947, Jean-Louis Koszul publia trois articles dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences, sur le nombre Betti d'un groupe de Lie compact simple , sur les anneaux de cohomologie, généralisant des idées de Jean-Leray, et enfin sur l'homologie des espaces homogènes. En 1987 est organisé à Grenoble un Colloque International de Géométrie en l'honneur de Jean-Louis Koszul, dont les actes sont publiés dans les Annales de l’Institut Fourier, Tome 37, n° 4. Cette conférence commença par un exposé de Henri Cartan, qui nota dans son article en l’honneur de Koszul la mention qu’il porta lors du passage de l’agrégation de Koszul [4] : « Esprit distingué ; réussit bien ses problèmes. Devrait se garder, à l’oral, de tendances trop systématiques : un peu moins de complications subtiles, d’idées baroques, un peu plus de bon sens et d’équilibre seraient souhaitables ». Commentant le fait que Koszul s’adresse à lui pour sa thèse, Henri Cartan écrit « Pour quel raison est-ce à moi qu’il s’adressa pour le guider (soi-disant) ? Est-ce parce qu’il trouvait une inspiration dans les travaux d’Elie Cartan sur la topologie des groupes de Lie ? Peut-être fut-il surpris de constater que le savoir mathématique ne se transmet pas nécessairement par filiation. En tout cas c’est lui qui m’incita à mieux connaître ce que mon père avait apporté à la théorie » [4]. Sur les travaux de Koszul d’algébrisation, Henri Cartan note « c’est Koszul qui, le premier, sut donner une formalisation algébrique précise de la situation étudiée par Leray dans sa publication de 1946, et qui est devenue la théorie de la suite spectrale. Il fallait une bonne dose de perspicacité pour débrouiller ce qui se cachait derrière l’étude de Leray. A cet égard, la Note de Koszul dans les Comptes Rendus de Juillet 1947 a une importance historique. » [4]. Du 26 Juin au 2 Juillet 1947, le CNRS, accueillit une conférence internationale à Paris, sur la « Topologie algébrique ». Ce fut la première diffusion internationale d’après-guerre des idées de Leray. Koszul écrit à propos de cette conférence « Je vois encore Leray posant sa craie à la fin de son exposé en disant (modestement ?) qu'il ne comprenait décidément rien à la Topologie algébrique ». Dans la rédaction de ses cours au Collège de France, Leray a adopté la présentation algébrique de la suite spectrale élaborée par Koszul. Dès 1950, J.P. Serre utilisa le terme de « suite de Leray-Koszul ». Parlant de Leray, Koszul écrivit « vers 1955 je me souviens lui avoir demandé ce qui l'avait mis sur la voie de ce qu'il a appelé l'anneau d'homologie d'une représentation dans ses Notes aux C.R. de 1946. Sa réponse a été le théorème de Künneth; je n'ai pas pu en savoir plus. ». La théorie des faisceaux, introduite par Jean-Leray, suivie dès 1947, au même moment que les séquences spectrales. En 1950, Koszul publie un important ouvrage de 62 pages intitulé Homologie et cohomologie des algèbres de Lie dans lequel il étudie les liens entre l'homologie et la cohomologie (avec coefficients réels) d'un groupe de Lie connexe compact et les problèmes purement algébriques de l'algèbre de Lie. Koszul a donné ensuite un cours magistral à São Paulo sur le thème « Faisceaux et cohomologie ». Les superbes notes de cours ont été publiées en 1957 et traitaient de la cohomologie de Čech avec des coefficients dans un faisceau. À l'automne 1958, il a de nouveau organisé une série de séminaires à São Paulo, cette fois sur les espaces symétriques [8]. R. Bott fit les commentaires suivants sur ces séminaires « très agréable. Le rythme est rapide, et le matériel considérable est couvert élégamment. Outre les théorèmes plus ou moins standard sur les espaces symétriques, l'auteur discute la géométrie des géodésiques, la métrique de Bergmann, et étudie finalement les domaines bornés avec beaucoup de détails. ». Au milieu des années 1960, Koszul a enseigné au Tata Institute de Bombay sur les groupes de transformations [12] et sur les faisceaux de fibres et la géométrie différentielle. Le deuxième cours portait sur la théorie des connexions et les notes de cours ont été publiées en 1965. Il publie en 1986 « Introduction à la géométrie symplectique » [15] en chinois suite à un cours en Chine (en accord avec Jean-Louis Koszul en 2017, ce cours donné à l'Université de Nankin va être traduit en anglais par SPRINGER et sera republié en 2018). Ce livre reprend et développe des travaux de Jean-Marie Souriau [107-108] sur les variétés symplectiques homogènes et la représentation affine des algèbres et groupes de Lie en mécanique géométrique (autre source fondamentale de structures de la Géométrie de l’Information étendue sur les variétés homogènes [101-105]). Chuan Yu Ma écrit dans une revue, sur ce dernier livre en chinois, que « Ce travail a coïncidé avec les développements dans le domaine de la mécanique analytique. Beaucoup de nouvelles idées ont également été dérivées à l'aide d'une grande variété de notions de l'algèbre moderne, de la géométrie différentielle, des groupes de Lie, de l'analyse fonctionnelle, des variétés différentiables et de la théorie des représentations. [Le livre de Koszul] met l'accent sur les propriétés différentielles-géométriques et topologiques des variétés symplectiques. Il donne un traitement moderne du sujet qui est utile pour les débutants ainsi que pour les experts. ». En 1994, dans [3], un commentaire de Koszul explique les problèmes dont il était préoccupé au moment où il a inventé ce qu'on appelle maintenant le "complexe de Koszul". Ceci a été introduit pour définir une théorie de la cohomologie pour les algèbres de Lie et s'est avéré être une construction générale utile en algèbre homologique. 2. Etudes de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg et des formes de Koszul A travers l’étude de la géométrie des domaines bornés homogènes, initiée par Elie Cartan [1-2], Jean-Louis Koszul a découvert les structures élémentaires associées aux variétés hessiennes et aux cônes convexes saillants [7-14]. En 1935, Elie Cartan prouva dans [2] que les domaines symétriques bornés homogènes irréductibles pouvaient se réduire en 6 classes, 4 modèles canoniques et 2 cas exceptionnels. Ilya Piatetski-Shapiro [27631], après Luogeng Hua [36], a étendu la description de Siegel [34-35] à d’autres espaces symétriques, et a montré par un contre-exemple que la conjecture d'Elie Cartan, que tous les domaines transitifs sont symétriques, était fausse. Parallèlement, Ernest B. Vinberg [19-26] a travaillé sur la théorie des cônes convexes homogènes et la construction des domaines de Siegel [34-35]. Plus récemment, les espaces symétriques complexes classiques ont été étudiés par F. Berezin [38][77] dans le cadre de la quantification. En parallèle, O.S. Rothaus [33] et Piatetski-Shapiro [27-31] avec Karpelevitch, ont exploré la géométrie sous-jacente de ces domaines homogènes complexes, et plus particulièrement la fibration des domaines sur les composantes de la frontière. En Italie, nous noterons les travaux de E. Vessentini [39] et U. Sampieri [40-41] .Les domaines de Siegel, qui rentrent dans ces classes de structures, jouent de nos jours un rôle important dans le traitement des signaux spatio-temporels radar et plus largement en apprentissage à partir de matrices de covariances structurées. Jean-Louis Koszul et Ernest B. Vinberg ont introduit une métrique hessienne affinement invariante sur un cône convexe saillant  par l’intermédiaire d’une fonction appelée fonction caractéristique  . Dans la suite,  est un cône convexe saillant dans un espace vectoriel E de dimension finie sur R (un cône convexe est saillant s’il ne contient aucune droite affine entière). Dans l’espace dual * E de E , *  est l’ensemble des formes linéaires strictement positives sur   0   . *  est le cône dual de  est aussi un cône convexe saillant. Si *    , alors l’intersection   1 , /     x E x  est bornée.     Aut G est le groupe des transformations linéaires de E qui préserve  (groupe des automorphismes).     Aut G opère sur *  comme suit,   * , E Aut G g        alors 1 . ~   g g    . Koszul introduit une intégrale de type transformée de Laplace sur le cône convexe saillant dual, comme suit : Définition de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg: Soit  d la mesure de Lebesgue sur * E , l’intégrale suivante:         x d e x x ) ( * ,    (1) avec *  le cône dual, est une fonction analytique sur  , avec      , 0 ) (x  , appelée fonction caractéristique de Koszul-Vinberg du cône  . Note : Le logarithme de la fonction caractéristique est appelé « fonction barrière » pour les algorithmes d’optimisation convexe. Yurii Nesterov and Arkadii Nemirovskii [114] ont montré dans le cadre de la théorie moderne du point intérieur, en utilisant la fonction     1 , / log ) ( *      x s s vol x n , que tous les cônes convexes dans Rn admettent des barrières auto- concordantes, en lien avec les travaux de Koszul. La fonction caractéristique de Koszul-Vinberg a les propriétés suivantes:  Le noyau de Bergmann de 1    n iR étant noté )) (Re(z K à une constante près où  K est défini par l’intégrale:          * * 1 , ) (     d e x K x (2)    est une fonction analytique définie dans l’intérieur de  et    ) (x  lorsque    x . Si     Aut g alors   ) ( det 1 x g gx       et comme      Aut G tI pour tout 0  t , nous avons :   n t x tx / ) (     (3)    est strictement log convexe, c’est à dire   ) ( log ) ( x x      est strictement convexe A partir de cette fonction caractéristique, Koszul introduisit 2 formes qui portent maintenant son nom: 1ère forme de Koszul : la 1-forme différentielle             / log d d d (4) est invariante suivant l’ensemble des automorphismes     Aut G de  . Si   x et E u  alors      * , . , ,     d e u u x x et *    x  (5) et 2nd forme de Koszul  : La 2-forme symétrique différentielle log D Dd      (6) est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E invariante sous l’action de     Aut G et 0   D La positivité est donnée par l’inégalité de Schwarz et :   * , log , , , u Dd u v u v e d           (7) Koszul a montré qu’à partir de cette 2nd forme, il était possible d’introduire une métrique Riemannienne invariante sous l’action des automorphismes du cône: Métrique de Koszul:  D définit une structure Riemannienne invariante par    Aut , et la métrique Riemannienne est donnée par : log g Dd   (8)   * * * 2 2 2 2 1 1 , , 2 2 1 log ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ). ( ) 0 ( ) avec ( ) et ( ) , x x Dd x u F d G d F G d u F e G e u                                            (9) On peut en effet montrer la positivité via l’inégalité de Schwarz,    d d  log et 2 log Dd d Dd             où        * , ) ( ) ( ,     d u e u x d x et   * 2 , ( ) ( ) , x Dd x u e u d         . Koszul utilise un difféomorphisme pour définir des coordonnées duales : ) ( log * x d x x        (10) avec ) ( ) ( ), ( 0 tu x f dt d x f D u x df t u     . Quand le cône  est symétrique, l’application x x x    *  est une bijection et une isométrie avec un unique point fixe (la variété est un espace Riemannien symétrique donné par son isométrie): x x  * * ) ( , n x x  * , et cste x x    ) ( ) ( * *   (11) * x est caractérisé par   n y x y y x     , , / ) ( min arg * *  et * x est le centre de gravité de la coupe transverse   n y x y    , , * de *  :                   * * * * , , * , , * / , ) ( log , et / .            d e d e h x d h x d e d e x x x h x x (12) Dans [78-81], Misha Gromov s’est aussi intéressé à ces structures. Si l’on pose ) ( log ) ( x x      , Gromov a observé que ) ( * x d x   est une injection où la fermeture de l'image est égale à l’enveloppe convexe du support et le volume de cette enveloppe est le volume n-dimensionnel défini par l'intégrale du déterminant du hessien de cette fonction, ) (x  , ou l’application             dx x Hess M . ) ( det  obéit à une relation de convexité non triviale donnée par l’inégalité de Brunn-Minkowsky :             n n n M M M / 1 2 / 1 1 / 1 2 1        (13) Ces relations ont été également abondement exploitées en physique statistique. Comme le fit le physicien Jean-Marie Souriau [101-107], il est en effet possible de définir le concept d’Entropie de Shannon via la transformée de Legendre associée à l’opposé du logarithme de cette fonction caractéristique de Koszul-Vinberg, reprenant les idées séminales de François Massieu [63-66] en Thermodynamique (condisciple du Corps des Mines, c’est François Massieu qui influença Henri Poincaré [62] qui introduisit la fonction caractéristique en Probabilité, avec une transformée de Laplace, et non pas une transformée de Fourier comme le fit ensuite Paul Levy), qui furent développées plus récemment par Roger Balian en physique quantique [67-76], en remplaçant l’Entropie de Shannon par l’Entropie de von Neumann. Nous noterons également les travaux de Jean- Leray sur les extensions de la transformée de Laplace dans [50].Partant de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg, il est ainsi possible d’introduire une entropie de Koszul définie comme la transformée de Legendre de la fonction ) (x  , qui est l’opposée du logarithme de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg (un logarithme lie la fonction caractéristique de Massieu et la fonction caractéristique de Koszul ou de Poincaré). En partant de la fonction ) (x  de Koszul, sa transformée de Legendre donne une fonction potentielle duale ) ( * * x  dans le système de coordonnées duales * x : ) ( , ) ( * * * x x x x     avec   x D x* et * *   x D x où ) ( log ) ( x x      (14) Figure 4. Transformée de Legendre et géométrie de Plücker Concernant la transformée de Legendre [51], Darboux donne dans son livre une interprétation de Chasles : « Ce qui revient suivant une remarque de M. Chasles, à substituer à la surface sa polaire réciproque par rapport à un paraboloïde ». Remarque que l’on retrouve dans le cours « Leçons sur le calcul des variations », de Jacques Hadamard, repris par M.E. Vessiot, qui utilise la « figuratrice », comme polaire réciproque de la « figurative ». Il est possible de n’exprimer cette transformée de Legendre qu’à partir du système de coordonnées duales * x , en utilisant le fait que * *   x D x . On obtient alors la célèbre équation de Clairaut :                      x x D x x D x x D x x x x / ) ( ) ( ), ( ) ( * * 1 * * 1 * * (15) Cette équation avait été découverte par Maurice Fréchet dans son article de 1943 [55], dans lequel il introduisait pour la 1ère fois la borne sur la variance de tout estimateur statistique via la matrice de Fisher, borne attribuée à tort à Cramer et Rao [56]. Fréchet cherchait les « densités distinguées » [106], densités dont la matrice de covariance de l’estimateur de ces paramètres atteigne cette borne. Fréchet y montrait que ces densités s’exprimaient alors via la fonction caractéristique ) (x  , et appartenaient aux densités de type exponentielles. Figure 5. Equation de Clairaut-Legendre dans l’article de Maurice Fréchet de 1943 [55] Apparemment, cette découverte par Fréchet date de l’hiver 39, car Fréchet écrit en bas de page [55] “Le contenu de ce mémoire a formé une partie de notre cours de statistique mathématique a l'Institut Henri Poincaré pendant l'hiver 1939-1940. Il constitue l'un des chapitres du deuxième cahier (en préparation) de nos ‘Leçons de Statistique Mathématique’, dont le premier cahier, ‘Introduction: Exposé préliminaire de Calcul des Probabilités’ (119 pages in-quarto, dactylographiées) vient de paraitre au ‘Centre de Documentation Universitaire, Tournois et Constans. Paris’. ». Plus récemment Muriel Casalis [87-88], la thésarde de Gérard Letac [86], s’est intéressée aux familles exponentielles et leur invariance par rapport au groupe affine Pour faire le lien entre la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg et l’Entropie de Shannon, nous allons détailler les formules de Koszul dans les développements qui suivent. En utilisant le fait que x e x , log ,      ,on peut écrire:          * * , , , * / . log ,      d e d e e x x x x x (16) et ainsi développer la transformée de Legendre, pour faire apparaître la densité à maximum d’Entropie dans l’expression de ) ( * * x  , dont émerge naturellement l’expression classique de l’Entropie de Shannon :                                                                                                                                                                * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * , , , , * * , , , , , , , , * * , , , , * * , , , , , * * , , , , * * * log . ) ( 1 with . log . log ) ( . log log ) ( / . log log . ) ( log / . log ) ( , ) (                                              d d e e d e e x d d e e d d e e e d d e e d e x d d e e e d e x d e d e e d e d e x d e d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x (17) Dans cette dernière équation,     * Ω ξ,x ξ,x x dξ e e p / ) ( joue le rôle de la densité à maximum d’Entropie comme l’introduisit Jaynes [52-54] (aussi appelée, densité de Gibbs en Thermodynamique). Nous appellerons l’Entropie associée, l’Entropie de Koszul:    d p p x x      * ) ( log ) ( * (18) avec Φ(x) x,ξ dξ e x,ξ Ω ξ,x ξ,x x e e dξ e e p * Ω ξ,x *             log / ) ( et    * ) ( . *    d p x x (19) Cette densité de Koszul     * Ω ξ,x ξ,x x dξ e e p ) ( permet d’écrire le logarithme de la densité à maximum d’Entropie : Φ(x) x,ξ dξ e x,ξ p * Ω ξ,x x         log ) ( log  (20) dont on déduit directement en prenant l’espérance:   Φ(x) x,x p E x    * ) ( log   (21) On peut observer que l’on obtient une équation de normalisation:   1 log ) ( log log ) ( * * * * * * * ) ( ) ( ) ( ) ( ,                                    d e d e x d e d e x x x (22) Mais le développement n’est pas achevé car il s’agit de faire apparaître la variable * x dans ) ( * * x  . Il suffit alors de réécrire: ) ( ) ( ) ( ) ( log ) ( ) ( log log ) ( log * * * * * ) ( ) ( , * * * x d p d p p e e p x x x x x x                                 (23) Cette dernière égalité est vraie si et seulement si nous avons la relation suivante:                * * ) ( . ) ( ) ( * *       d p d p x x avec    * ) ( . *    d p x x (24) Cette relation est liée à l’inégalité de Jensen, l’égalité étant obtenue pour la densité à maximum d’Entropie pour   x D x* [60]:                                   dx d x E x d p x x x x x x x x Sup x x x * * * * * * * * * * * * si égalité ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( : Moreau - Legendre de e Transformé * *     (25) On obtient alors la relation pour la densité à maximum d’entropie :       * * * , ) (         E E (26) Pour lier le modèle de Koszul à la notion de maximum d’Entropie [82-84] introduite par Jaynes [52- 54], on reformule le problème avec les notations précédentes de Koszul, où on cherche la densité ) ( x p qui vérifie le problème d’optimisation suivant, pour lequel on maximise l’entropie de Shannon sous une contrainte de normalisation, et une contrainte liée à la connaissance du premier moment :                         * (.) * * * ) ( . 1 ) ( que tel ) ( log ) ( x d p d p d p p Max x x x x px         (27) Si on considère la densité          * Ω ξ,x * dξ e x,ξ Ω ξ,x ξ,x x e dξ e e q log / ) ( telle que:                          * , log log , log ) ( log 1 / ). (      d e x e q dξ e dξ e dξ q x dξ e x,ξ x Ω ξ,x Ω ξ,x Ω x * Ω ξ,x * * * (28) En utilisant l’inégalité   1 1 log    x x avec égalité si 1  x , on peut écrire que:         d p q p d q p p x x x x x x                 * * ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( log ) ( (29) On développe le terme de droite de l’équation de droite comme suit: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( * * *                           d q d p d p q p x x x x x (30) Sachant que 1 ) ( ) ( * *           d q d p x x , on en déduit:           d q p d p p d q p p x x x x x x x             * * * ) ( log ) ( ) ( log ) ( 0 ) ( ) ( log ) ( (31) Il faut alors développer l’inégalité de droite en réutilisant l’expression précédente de ) ( x q :         d d e x p d p p x x x x                     * * * , log , ) ( ) ( log ) ( (32)           * * * , log ) ( . , ) ( log ) (         d e d p x d p p x x x x (33) Si on utilise les expressions de    d p x x    * ) ( . * et       * , log ) (   d e x x , alors on déduit que la densité          * Ω ξ,x * dξ e x,ξ Ω ξ,x ξ,x x e dξ e e q log / ) ( est la solution à maximum d’entropie contrainte par 1 ) ( *      d px et * * ) ( . x d px       : ) ( , ) ( log ) ( * * x x x d p p x x          (34) ) ( ) ( log ) ( * * * x d p p x x         (35) Pour se ramener au paramétrage lié au 1er moment, on inverse la relation dx x d x ) ( ) (      , en écrivant ) ( 1     x la fonction inverse (qui est donnée par la transformée de Legendre):             * Ω ξ, ξ, dξ e e p     1 1 ) ( avec      d p    * ) ( . et       * , log ) (   d e x x (36) 3. Liens des formes et fonction caractéristique de Koszul avec les structures de la géométrie de l’information La géométrie des structures hessiennes de Koszul s’applique directement en géométrie de l’information, qui apparait comme un cas particulier du cas général étudié par Koszul. Dans la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg         x d e (x) x , * ,    où  est un cône convexe saillant et  son cône dual, il faut définir le produit intérieur. Celui-ci peut être introduit de façon naturelle en utilisant les travaux d’Elie Cartan sur les espaces symétriques. Celui-ci est donné par la forme de Cartan-Killing   ) ( , , y x B y x    avec   .,. B la forme de Killing (.)  l’involution de Cartan. Celui-ci est alors invariant par les automorphismes du cône . La fonction caractéristique de Koszul- Vinberg se développe alors comme suit [57]: ... , ) ( 2 , 2 *        u u x K u x (x) u) (x      (37) avec 2 2 Φ (x) et ) ( log ) ( , Φ dx (x) d K x x dx (x) d x*        Comme nous venons de le voir, nous pouvons exprimer la densité (de Gibbs) à maximum d’entropie. Nous changeons le nom des variables pour homogéniser avec les développement suivants : ) ( , ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( et . ) ( log ) ( ) ˆ ( , ) ( ) ( log ) ( avec ) ( ) ( ˆ . ) ( 1 ˆ ˆ , ), ˆ ( ), ˆ ( ˆ * * * 1 1                                                                  S d p p S d e d e e p (38) L’inversion de la fonction (.)  donnée ) ˆ ( -1     est réalisée par la transformée de Legendre en utilisant la relation entre l’Entropie ) ˆ ( S et la fonction ) (  (opposée du logarithme de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg): * , ˆ , et log ) ( avec ) ( ˆ , ) ˆ ( *                           d e S (39) Nous allons montrer que la 2nd forme de Koszul 2 2 ) (       est directement reliée en Géométrie de l’Information à la métrique de Fisher donnée par :             2 2 ) ( log ) (     p E I (40) Pour calculer la métrique de Fisher ) ( I , nous utilisons les relations suivantes entre les variables:     ) ( , ˆ ) ( , ) ( ) ( log ). ( log ). ( ) ( ) ( , ) ( log * ˆ ˆ ˆ ˆ                                           E S p E d p p S p   (41) On remarquant que la logarithme de la densité de probabilité est affine par rapport à la variable  , la matrice de Fisher étant donnée par le hessien, on obtient directement que la matrice de Fisher est liée au hessien du logarithme de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg.   2 2 2 2 2 2 2 2 ) log ) ( ) ( , ) ( log ) ( β (β Ψ E p E I Ω                                              (42) On peut également donner une interprétation de la matrice de Fisher en terme de variance:             * * * Ω ξ, Ω ξ, Ω Ω ξ, Ω dξ e dξ e ) ( Ψ dξ e ) ( Ψ        . 1 log log log (43)                                       2 2 2 2 2 . . . 1 log * * * * Ω ξ, Ω ξ,x Ω ξ, Ω ξ, Ω dξ e dξ e dξ e dξ e ) ( Ψ        (44) 2 2 2 2 2 2 ) ( . ) ( . . . log                                     * * * * * * Ω Ω Ω Ω ξ, ξ, Ω Ω ξ, ξ, Ω dξ p dξ p dξ dξ e e dξ dξ e e ) ( Ψ               (45)     ) ( log ) ( log ) ( 2 2 2 2 2 2              Var E E ) ( p E I                    (46) En 1977, Crouzeix [59][85] a établi la relation suivante, 1 2 2 2 2 ˆ                S donnant une relation avec la métrique duale associée au système de coordonnées duales, donnée par le hessien de l’entropie S. En géométrie de l’information, la métrique de Fisher fournit une métrique Riemannienne hessienne dans l’espace des paramètres des densités de probabilités :   ) ( avec ) ( 2 I g d d g d I d ds ij ij ij j i ij T g           (47) Grâce à la relation de Crouzeix [59][85], on observe que les 2 distances géodésiques données par les 2 fonctions potentielles duales dans les deux systèmes de coordonnées duaux sont égales : ˆ ) ˆ ( avec ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ 2 2 2 2 2 S h d d h d S d ds ij ij ij j i ij T h                             (48) 2 2 g h ds ds  (49) On peut se poser la question de savoir quel est le produit de dualité le plus naturel. Cette question a été traitée en partie par Elie Cartan dans sa thèse de 1894, en introduisant, la forme appelée de Cartan-Killing, une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Cette forme de Cartan-Killing est définie via l’endomorphisme x ad de l’algèbre de Lie g via le crochet de Lie:   y x y adx , ) (  (50) La trace de la composition de deux de ces endomorphismes définie cette forme bilinéaire:   y xad ad Tr y x B  ) , ( (51) La forme de Cartan-Killing est symétrique: ) , ( ) , ( x y B y x B  (52) Et vérifie la propriété d’associativité:         z y x B z y x B , , , ,  (53) donnée par:                     z y x B ad ad ad Tr ad ad ad Tr ad ad Tr z y x B z y x z y x z y x , , , , , , ,     (54) Elie Cartan a prouvé que si g est une algèbre de Lie simple (la forme de Killing est non-dégénérée) alors toute forme bilinéaire symétrique invariante sur g est un multiple scalaire de la forme de Cartan-Killing. La forme de Cartan-Killing est invariante sous l’action des automorphismes ) (g Aut   de l’algèbre g :     y x B y x B , ) ( ), (    (55) Cette invariance découlant directement des relations suivantes:         1 ) ( 1 réécrivant en ), ( ) ( , ) ( ) ( ), ( ,                       x x ad ad z x z x y z y x y x (56) alors         ) , ( ) ( ), ( 1 ) ( ) ( y x B ad ad Tr ad ad Tr ad ad Tr y x B y x y x y x              (57) Cartan a introduit un produit intérieur naturel invariant par les automorphismes de l’algèbre et définit à partir de cette forme de Cartan-Killing :   ) ( , , y x B y x    (58) avec g   l’involution dite de Cartan (une involution sur l’algèbre de Lie g est un automorphisme de l’algèbre de Lie  dont le carré est égale à l’identité). On résume l’ensemble de ces relations de la géométrie de l’information à partir de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg, et la dualité donnée via la forme de Cartan-Killing, dans la figure ci-dessous : Figure 6. Relation entre forme de Cartan-Killing, fonction caractéristique de Koszul-Vinberg, potentiels et coordonnées duaux, et les métriques de la géométrie de l’information Grâce à l’expression de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg et la forme de Cartan-Killing, on peut exprimer la densité à maximum d’Entropie dans des cas très généraux. Par exemple, si on applique ces formules pour le cône  (auto-dual :   * ) des matrices symétriques définies positives ) (n Sym , la forme de Cartan-Killing nous donne le produit de dualité :     0 , / ) ( , , ,                  T T n Sym Tr (59) La densité à maximum d’entropie est alors donnée directement par les expressions précédentes :   1 2 1 , 2 1 )) ( log ( ) ( ˆ et ) ( det ) ( *                                    n I d e d n (60) dont on déduit l’expression finale:           2 1 a . ˆ det . ) ( 1 1 1 ˆ 1 ) ˆ ( ), ˆ ( ˆ                n vec e I e p Tr d             (61) Dans le cas des densités multivariés gaussiennes, comme l’a remarqué Souriau [107-108], on peut réécrire l’expression classique sous forme de Gibbs en modifiant le système de coordonnées et le produit de dualité [101-106]. La densité Gaussienne multivariée est classiquement écrite suivant le système de coordonnées   R m, , avec m le vecteur moyenne, et R la matrice de covariance du vecteur z :        1 1 ( ) 2 ˆ /2 1/2 ( ) 1 ( ) avec 2 det( ) T z m R z m T n m E z p e R E z m z m R                      (62) En développant le terme dans l’exponentiel:     m R m z R m z R z m R m m R z z R m z R z m z R m z T T T T T T T T 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1                  (63) Il est possible de réécrire la densité sous forme d’une densité de Gibbs en introduisant un autre crochet de dualité par rapport à   T zz z, et          1 1 2 1 , R m R :     T T T T T T z R z z R m m R m n zz H za Tr Hz z z a H a R m R zz z e Z e e R p T T T                                                      , avec 2 1 et 1 ) det( 2 1 ) ( 1 1 , 2 1 2 1 2 / 1 2 / ˆ 1 1 1 (64) On peut alors réécrire la densité, sous la forme de Koszul:                    T T T T T T T T T T T T T T mm zz E mm zm mz zz E m z m z E R zz H za Tr R m R H a mm R m zz E z E E zz z m R m (R) π) ( n Z e e d e p                                                                               , avec 2 1 , ˆ , 2 1 det log 2 1 2 log log avec Z 1 . 1 ) ( 1 1 1 , , , ˆ * (65) On peut alors calculer la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg dont l’opposée du logarithme fournit le potentiel de la géométrie de l’information:                  2 log det ) 2 ( log 2 1 ) ( log ) ( et . ) ( 1 , * n H aa H Tr d e n T               (66) qui vérifie les relations suivantes établies par Koszul, et liée à la 1ère forme de Koszul :                         ˆ ) ( ) ( ) ( ˆ ). ( . . . ) ( log ) ( * * * ˆ , ,                                                 T mm R m H a d p d d e e (67) Le second potentiel dual est donné par la transformée de Legendre de     :                                d p p d d e e d e e S S S ). ( log ) ( . . log . ˆ ˆ ) ˆ ( et ˆ ) ( avec - , ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ , , , , * * * *                          (68) et est équivalent à l’entropie de Shannon:             e n R e n H d p p S n . 2 log det log 2 1 . 2 log det ) 2 log( 2 1 ). ( log ) ( ) ˆ ( 1 ˆ ˆ *                  (69) La métrique de Fisher de la géométrie de l’Information est donnée par le hessien de l’opposée du logarithme de la fonction caractéristique de Koszul-Vinberg:   log ) ( log ) ( et ) ( avec ) ( 2 2 2 2 2                                   ) ( p E I I g d d g d I d ds ij ij ij j i ij T g (70) Ce qui donne pour le cas multivarié gaussien, la métrique de Fisher suivante :     2 1 1 2 2 1 dR R Tr dm R dm d d g ds T ij j i ij         (71) L’équation de la géodésique est alors donnée par l’équation d’Euler-Lagrange associée à la métrique:                          k ij j jk i jk ijk j n j i i ijk n i i ik g g g Γ n k g       2 1 with ,..., 1 , 0 1 , 1     (72) qui se réduit dans le cas multivarié gaussien à :             0 0 1 1 m R R m R R R m m R T           (73) On peut montrer en utilisant le théorème de Noether ou sa version géométrisée par l’application moment de Souriau [107] que nous avons les invariants suivants [104] :                                  cste b m R cste B m m R R R dt m R d dt m m R R R d dt d T T R       1 1 1 1 1 1 0 0 0 (74) Avec R  l’application moment [107], en remarquant que le groupe qui agit pour les densités gaussiennes est le sous-groupe du groupe affine suivant : ) , ( ) , 0 ( 1 0 ) ( ) , ( , 1 1 1 0 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 R m Y I X G m R M n Sym R R m m X R X m R Y aff n                                                 (75) 2 / 1 R est donnée par la décomposition de Cholesky de R . 2 / 1 R est le groupe des matrices triangulaires avec des éléments positifs sur la diagonale. Les équations d’Euler-Lagrange en utilisant ces invariants se réduisent aux équations d’Euler-Poincaré:         T bm B R R Rb m   (76) La distance géodésique est obtenue par l’algorithme du tir géodésique qui permet itérativement d’estimer les constantes d’intégration, c’est-à-dire le vecteur tangent à l’origine :       ) ( , ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ), 0 ( ) 0 ( 1 1 n Sym R B b m m R R m R n T           (77) et de déduire la distance :     2 1 1 ) 0 ( ) 0 ( 2 1 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( R R Tr m R m d T        (78) Le tir géodésique est réalisé en utilisant les équations établies par Eriksen [89-90] pour l’application exponentielle en utilisant le changement de variable suivant :                                          b B I b B bm B t m t R t t R t p T T ) 0 ( ) 0 ( avec 0 ) 0 ( , ) 0 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1            (79) L’objectif du tir géodésique étant itérativement d’approcher le vecteur tangent à l’origine   ) 0 ( ), 0 (     , en tirant géodésiquement en direction de ce vecteur, suivant l’application exponentielle suivante :                                      B b b b b B A n tA tA t T T T T T n n 0 0 0 avec ! ) ( exp ) ( 0      (80) Figure 7. Principe du tir géodésique sur une variété dans la direction du vecteur tangent à l’origine Le principe du tir géodésique est le suivant. On considère une géodésique  entre 0  et 1  avec un vecteur tangent initial V , et supposons que V est perturbé par W , suivant W V  . La variation du point final 1  peut être déterminé grâce au champ de Jacobi avec 0 ) 0 (  J et W J  ) 0 (  :     0 0 exp ) (        W V t d d t J (81) 4. L’étude par Koszul des domaines bornés homogènes et les représentations affines des groupes et algèbres de Lie Jean-Louis Koszul [7-14] et son élève Jacques Vey [16-17] ont introduit des théorèmes plus généraux qui étendent les résultats précédents: Théorème de Koszul [14]: Soit  un ouvert convexe saillant dans un espace affine de E de dimension finie sur R. Si un groupe de Lie unimodulaire de transformations affines opère transitivement sur ,  est un cône. Théorème de Koszul-Vey [17]: Soit M une variété hessienne connexe avec la métrique hessienne g . Supposons que M admet une 1-forme fermée  tel que g D   et qu’il existe un groupe G des automorphismes affines deM préservant  , alors:  Si G M / est quasi-compacte, alors la variété, revêtement universel de M , est affinement isomorphe à un domaine convexe  d’un espace affine ne contenant aucune droite.  Si G M / est compacte, alors  est un cône convexe saillant Jean-Louis Koszul a développé sa théorie, en étudiant les domaines homogènes, en particulier les domaines bornés homogènes symétriques de Siegel, que nous notons DS [34-35]. Il a prouvé qu'il existe un sous-groupe G dans le groupe des automorphismes affines complexes de ces domaines (sous-groupe d’Iwasawa), de sorte que G agit sur DS de façon simplement transitive. L'algèbre de Lie g de G a une structure qui est une traduction algébrique de la structure de Kähler de DS. Koszul considère sur G/B une structure complexe invariante de tenseur I. Tous les volumes invariants sur G/B, égaux à un facteur constant près, définissent avec la structure complexe une même forme hermitienne invariante sur G/B, appelée forme hermitienne canonique, notée h. Soit E un espace fibré différentiable de base M et soit p ma projection de E sur M, tel que       * * . . p pX f X p f  . La projection : p E M  définit un homomorphisme injectif * p de l’espace des formes différentielles de M dans l’espace des formes différentielles de E, telle que pour toute forme  de degré n sur M et toute suite de n champs de vecteurs projetables, on a        * * 1 2 1 2 , ,..., , ,..., n n p pX pX pX p X X X    . Soit ainsi I le tenseur d’une structure presque complexe sur la base M, il existe sur E un tenseur J de type (1,1) et un seul qui possède les propriétés suivantes     p JX I pX  et 2 mod , J X X h X g    pour tout champ de vecteurs X sur E. Soient G un groupe de Lie connexe et B un sous-groupe fermé de G. on note g l’algèbre de Lie des champs de vecteurs invariants à gauche sur G et b la sous-algèbre de g correspondant à B. L’application canonique de G sur G/B est noté p (définie comme précédemment). On suppose qu’il existe sur G/B un volume invariant par G, ce qui revient à supposer que, pour tout s B  , l’automorphisme X Xs  de g définit par passage au quotient un automorsphisme de determinant 1 dans g/b. Soient r la dimension de G/B et  1 i i m X   une base de g telle que , pour i X b r i m    . Soit  1 i i m    la base de l’espace des formes différentielles de degré 1 invariantes à gauche sur G telle que   i j ij X    . Si  est un volume invariant sur G/B, alors * p    est égal, à un facteur constant près, à 1 2 ... r       . On supposera la base   j X choisie de telle sorte que ce facteur soit égal à 1, soit 1 2 ... r         . Pour tout champ de vecteurs projetable X sur G, on a :                 * * * 1 , r j j j p div pX p div pX p pX X X X                 (82)       * 1 , r j j j p div pX X X         (83) Ces éléments étant définis, Koszul calcule la forme hermitienne canonique de G/B, noté h, et plus particulièrement * p h   sur G. Soient X et Y deux champs de vecteurs invariants à droite sur G. Ils sont projetables et les champs pX et pY sont des champs de vecteurs conformes sur G/B tels que     0 div pX div pY   , car le volume et la structure complexe de G/B sont invariantes par G. Il en résulte que si  est la forme de Kähler de h et si * p    , alors:           * * 4 , 4 , , X Y p pX pY p div I pX pY     (84) Puisque       , , p J X Y I pX pY  , on obtient :           2 * 1 4 , , , , n i i i X Y p div J X Y X J X Y           (85) X et Y sont deux champs de vecteurs invariants à gauche sur G. X’ et Y’ les champs des vecteurs invariants à droite qui coïncide avec X et Y au point e, élément neutre de G. Si   ', ' T X Y  , champ de vecteurs invariant à droite qui coïncide avec   , X Y  en e :       , , , , , X JT J X X Y X J X Y           au point e (86) Au point e, on a donc l’égalité :         2 1 4 , , , , , n i i i i X Y J X Y X J X Y X               (87) Comme la forme  est invariante à gauche par G, cette égalité est vérifiée en tout point. Pour tout endomorphisme  de l’espace g tel que b b   , on désigne par b Tr  la trace de la restriction de  à b et par / g b Tr  la trace de l’endomorphisme de g/b déduit de  par passage au quotient, avec / b g b Tr Tr Tr    . On a ainsi :   2 / 1 n g b i i i Tr X       (88) Quels que soient X g  et s B  , on a     J Xs JX s b   . Si ( ) ad Y est l’endomorphisme de g défini par   ( ). , ad Y Z Y Z  , on a       Jad Y ad Y J g b   pour tout Y b  . Il en résulte que, quel que soit X g  , l’endomorphisme   ( ) ad JX Jad X  laisse stable le sous-espace b. Koszul définit une forme linéaire  sur l’espace g en posant:     / ( ) ( ) , g b X Tr ad JX Jad X X g      (89) Koszul en vient au théorème suivant : Théorème de Koszul [7]: La forme de Kähler de la forme hermitienne canonique a pour image par * p la différentielles de la forme     / 1 1 ( ) ( ) , 4 4 g b X Tr ad JX Jad X X g        . Koszul remarque que la forme  est indépendante du choix du tenseur J. Elle est déterminée par la structure complexe invariante de G/B. La forme  est invariante à droite par B. Pour tout s B  , notons l’endomorphisme ( ): r s X Xs  de g. Puisque ( ) ( ) mod J Xs JX s b  et que / ( ) 0 g b Tr ad Y  , on a:       / ( ) ( ) , , g b Xs Tr ad JX s Jad Xs X g Y b        (90)   1 1 / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b Xs Tr r s ad JX r s Jr s ad X r s      (91)     1 / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , g b Xs X Tr J r s Jr s ad X X g s B          (92) Comme   1 ( ) ( ) J r s Jr s   applique g dans b, on obtient ( ) ( ) Xs X    . La forme  n’est pas nulle sur b. Ce n’est pas l’image par * p d’une forme différentielle de G/B. Cependant, l’invariance de  à droite sur B se traduit, infinitésimalement par la relation:     , (0) b g   (93) Koszul a prouvé que la forme hermitienne canonique h d’une variété de Kähler homogène G/B avait l’expression suivante :                   1 , ( , ) 2 , , avec , , , X Y JX Y X Y JX JY X Y g JX JY X Y                (94) Pour faire, le lien avec les premiers chapitres, on peut synthétiser le résultat principal de Koszul, c’est qu’il existe une structure intégrable presque complexe J sur g , et pour * l g  définit par un produit intérieur positif J-invariant sur g :   , , , l X Y JX Y l  (95) Koszul a proposé comme forme admissible * l g  , la forme  :       g X X ad J JX ad Tr X X       ) ( . , (96) Koszul a prouvé que  Y X, coïncide, à une constante multiplicative positive près, avec la partie réelle du produit intérieur hermitien obtenu par la métrique de Bergman de domaines bornés homogènes symétriques DS en identifiant g avec l’espace tangent de DS. La 1ère forme de Koszul est alors donnée par:   X d   4 1  (97) Nous pouvons illustrer cette structure pour l’exemple le plus simple de DS, le demi-plan supérieur de Poincaré   0 /     y iy x z V qui est isomorphe à l’ouvert * 1 zz  , qui est un domaine borné. Le groupe G des transformations z az b   avec a et b réels où 0 a  est simplement transitif dans V. On identifie G et V par l’application faisant passer d’un élément s G  à l’image 1 i   par s . Définissons les champs de vecteurs dx d y X  et dy d y Y  qui engendrent l’espace vectoriel réel des champs de vecteurs invariants à gauche sur G, et J une structure presque complexe sur V définie par Y JX  . Comme   Y Y X   , et     Z Y Z Y ad , .  alors:                    0 2 Y Jad JY ad Tr X Jad JX ad Tr (98) Les formes de Koszul et la métrique de Koszul sont données respectivement par:   2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 y dy dx ds y dy dx d y dx X              (99) On remarque que   X d   4 1  est bien la forme de Kähler de la métrique de Poincaré, qui est invariante par les automorphismes du demi-plan supérieur. L’exemple suivant concerne   0      Sym(p), Y iY / X,Y X Z V le demi-espace supérieur de Siegel (qui est l’extension la plus naturelle du demi-plan de Poincaré) avec :                               0 0 and 0 with , 1 I I J D B A S B D D B I D A D B AZ SZ T T T - (100) On peut alors calculer les formes de Koszul et la métrique associée:                                    Z d dZY Y Tr p ds Z d Y dZ Y Tr p d dX Y Tr p idY dX 1 1 2 1 1 1 8 1 3 8 1 3 4 1 2 1 3  (101) On retrouve la métrique introduite par Carl-Ludwig Siegel pour le demi-espace supérieur. Des travaux plus récents sur les métriques de Kähler sont décrites dans [109] et [110]. Koszul a étudié les espaces homogènes symétriques et définit la relation entre les connexions affines plates invariantes et les représentations affines des algèbres de Lie et les métriques hessiennes invariantes caractérisées par des représentations affines des algèbres de Lie. Koszul fournit une correspondance entre des espaces homogènes symétriques avec des structures hessiennes invariantes en utilisant des représentations affines d'algèbres de Lie, et prouve qu'un espace homogène symétrique simplement connexe avec une structure hessienne invariante est un produit direct d'un espace euclidien et d'un cône auto-dual homogène. Soit G un groupe de Lie connexe et G/K un espace homogène sur lequel G agit efficacement. Koszul donne une correspondance bijective entre l'ensemble des connexions planes G-invariantes sur G/K et l'ensemble d'une certaine classe de représentations affines de l'algèbre de Lie de G. Le théorème principal de Koszul est: Théorème de Koszul Soit G/K un espace homogène d'un groupe de Lie connexe G et soient g et k les algèbres de Lie de G et K, en supposant que G/K soit doté d'une connexion G-invariante, g admet alors une représentation affine (f, q) sur l'espace vectoriel E. Inversement, supposons que G soit simplement connexe et doté d'une représentation affine, alors G / K admet une connexion plate G-invariante. Dans ce qui précède, l’outil fondamental, étudié par Koszul est la représentation affine des algèbres et groupes de Lie. Pour étudier ces structures, Koszul a introduit les développements suivants. Soit  un domaine convexe sur n R ne contenant aucune droite complète, et un cône convexe associé             R x R R x x V n   , / , ) ( , alors il existe un plongement affine : ) ( 1 :           V x x   (102) Si on considère  le groupe des homomorphismes de ) , ( R n A dans ) , 1 ( R n GL  donné par: ) , 1 ( 1 0 ) ( ) ( ) , ( R n GL s s R n A s          q f  (103) et la représentation affine de l’algèbre de Lie :       0 0 q f (104) avec ) , ( R n A le groupe de toutes les transformations affines de n R . Nous avons     ) ( ) (    V G G  et la paire    ,  de l’homomorphisme   ) ( ) ( :    V G G  et l’application ) ( :    V  est équivariante. Si on regarde plus précisément les représentations affines de Koszul des algèbres et groupes de Lie , il faut considérer G un groupe de Lie convexe et E un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, Koszul a introduit une représentation affine de G dans E telle que: G s sa a E E     (105) est une transformation affine. On pose ) (E A l’ensemble de toutes les transformations affines d’un espace vectoriel E , un groupe de Lie appelé groupe de transformation affine de E . L’ensemble ) (E GL de toutes les transformations linéaires régulières de E , un sous-groupe de ) (E A . Nous définissons une représentation linéaire de G dans ) (E GL : ( ) ( ) G GL E s s a sa so a E      f f : (106) et une application de G vers E : ( ) G E s s so s G     q q : (107) alors, nous avons G t s   , : ( ) ( ) ( ) ( ) s t s st   f q q q (108) déduit de ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( st sto t s so so t s s t s q q q q q f        . Inversement, si une application q de G vers E et une représentation linéaire f de G vers ) (E GL vérifient l’équation précédente, alors on peut définir une représentation affine de G dans E , écrite par   q f, : E a G s s a s sa a s ff        , ) ( ) ( : ) ( q f  (109) La condition ) ( ) ( ) ( ) ( st s t s q q q f   est equivalente à l’exigence que l’application suivante soit un homomorphisme: ) ( ) ( : E A s ff G s ff      (110) On écrit f la représentation linéaire de l’algèbre de Lie g de G , définie par f et q la restriction à g à la différentielle de q ( f et q les différentielles de f et q respectivement), Koszul a prouvé la relation fondamentale:     E q E gl f Y X Y X q X q Y f Y q X f  g g g : and ) ( : with , , ) ( ) ( ) ( ) (      (111) où ) (E gl l’ensemble de tous les endomorphismes linéaires de E , l’algèbre de Lie de ) (E GL . On utilise l’hypothèse que :   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . ( 1 0 1 Y q s s Y f s dt s e s d Y Ad q t tY s f q f q       (112) On obtient alors :       ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 0 Y q X f X q Y f e e Y q X f dt Y Ad d Y X q t etX       f q q (113) où e est l’élément neutre de G . Tant que ) (e f est l’application identité et 0 ) (  e q , nous avons l’égalité:     , ) ( ) ( ) ( ) ( Y X q X q Y f Y q X f   (114) Une paire   f,q de représentation linéaire de f d’une algèbre de Lie g sur E et une application linéaire q de g dans E est une représentation affine de g dans E , s’il satisfait :     , ) ( ) ( ) ( ) ( Y X q X q Y f Y q X f   (115) Inversement, si on suppose que g admet une représentation affine   f,q sur E , en utilisant le système de coordonnées   n x x ,..., 1 sur E , on peut exprimer l’application affine Y q v X f v ) ( ) (   par une représentation matricielle de dimension ) 1 ( ) 1 (    n n :        0 0 ) ( ) ( ) ( X q X f X aff (116) où ) (X f est une matrice de taille n n et ) (X q un vecteur de taille n . ) (X aff X  st un homomorphisme injectif d’algèbre de Lie de g dans l’algèbre de Lie de toutes les matrices ) 1 ( ) 1 (    n n ,   R n gl , 1  : ) ( ) , 1 ( X aff X R n gl    g (117) Si on note ) (g g aff aff  , on écrit aff G le sous-groupe de Lie linéaire de ) , 1 ( R n GL  généré par aff g . Un élément de aff G s s’exprime comme suit:        1 0 ) ( ) ( ) ( s s s Aff q f (118) Soit aff M l’orbite de aff G à partir de l’origine o , alors aff aff aff aff K G G M / ) (   q où     q q Ker s G s K aff aff     0 ) ( / . On peut donner comme exemple le cas suivant. Soit  un domaine convexe dans n R ne contenant aucune droite complète, nous définissons le cône ) ( V dans R R R n n   1 par             R x R R x x V n   , / , ) ( . Alors il existe un plongement affine: ) ( 1 :           V x x   (119) Si on considère  le groupe des homomorphismes de ) , ( R n A dans ) , 1 ( R n GL  donné par: ) , 1 ( 1 0 ) ( ) ( ) , ( R n GL s s R n A s          q f  (120) avec ) , ( R n A le groupe de toute les transformations affines de n R . Nous avons     ) ( ) (    V G G  et la paire    ,  de l’homomorphisme   ) ( ) ( :    V G G  et l’application ) ( :    V  est équivariante:     ) (s s   et     d s s d ) (   (121) 5. Conclusion La communauté des Sciences Géométriques de l’Information (GSI) a perdu un mathématicien d’une grande valeur, qui a éclairé ses vues par la profondeur de sa connaissance des structures intimes des géométries hessiennes et des domaines bornés homogènes. Sa modestie était inversement proportionnelle à son talent. Le Professeur Koszul a construit en plus de 60 ans de carrière mathématique, dans le silence de ses passions, une œuvre immense, qui fait de lui un des grands géomètres du XXième siècle, dont l’importance ne fera que s’affirmer avec le temps. Dans l’époque troublée et de transformation rapide de la société et de la Science, l’exemple du Professeur Koszul doit être regardé comme un modèle pour les générations futures pour leur éviter les pièges des gloires éphémères et des reconnaissances trop vite acquises. L’œuvre du Professeur Koszul est aussi une preuve de fidélité à ses maîtres et en premier lieu au professeur Elie Cartan, qui l’inspira tout au long de sa vie. Henri Cartan écrit à ce propos « Je n’oublie pas l’hommage qu’il a rendu à l’œuvre d’Elie Cartan en Géométrie différentielle lors de la célébration, à Bucarest, en 1969, du centenaire de sa naissance. Ce n’est doute pas un hasard si ce centenaire a aussi été célébré à Grenoble la même année. Comme toujours, Koszul s’exprima avec la discrétion et le tact que nous lui connaissons, et que nous aimons tant chez lui ». Je conclurai en citant Jorge Luis Borges « L’oubli et la mémoire sont également inventifs » (Le rapport de Brodie). Notre génération et la précédente ont oublié ou mal compris la profondeur des travaux de Jean-Louis Koszul et Elie Cartan sur l’étude des domaines bornés homogènes. Il nous appartient de corriger cet oubli, et d’en faire la nouvelle source d’inspiration pour les sciences géométriques de l’information. Je terminerai en vous invitant à écouter la dernière interview de Jean-Louis Koszul pour les 50 ans de L’Institut Joseph Fourier [6], en vous arrêtant sur le moment où Koszul s’intéresse aux « massifs de conifères et de cèdres » plantés par Claude Chabauty, ou au « joli arbre catalpa » qui a été abattu à l’Institut Fourier, « l’arbre à parenthèses » dit-il, auquel il semblait être sentimentalement attaché. Il regrette également que l’Institut n’ait pas employé le 1% artistique pour le projet de mosaïque d’art dans la bibliothèque. Dans cette famille Koszul de mathématiciens, de musiciens et de lettrés, il y avait une constante recherche du « beau » et du « vrai ». Notre société ne se soucie plus de ce « beau » intemporel, et ne semble valoriser que l’immédiateté « efficace ». Oublions ces mondes superficiels et émerveillons-nous avec Jean-Louis Koszul devant les jolis catalpas à champignons-parenthèses, avant qu’il n’y ait plus personne pour les contempler. « J’étudie! Je ne suis que le sujet du verbe étudier. Penser je n’ose. Avant de penser, il faut étudier » - Gaston Bachelard, la flamme d’une chandelle Figure 8. (à gauche) Jean-Louis Koszul à Grenoble en Décembre 1993, (à droite) dernier témoignage de Jean-Louis Koszul en 2016 pour l’anniversaire des 50 ans de l’Institut Joseph Fourier de Grenoble 6. Bibliographie [1] Cartan E., Sur les invariants intégraux de certains espaces homogènes clos et les propriétés topologiques de ces espaces, Ann. Soc. Pol. De Math., n°8, pp.181-225, 1929 [2] Cartan E., Sur les domaines bornés de l’espace de n variables complexes, Abh. Math. Seminar Hamburg, vol. 1, p.116-162, 1935 [3] Selected Papers of J L Koszul, Series in Pure Mathematics, Volume 17, World Scientific Publishing, 1994 [4] Cartan H., Allocution de Monsieur Henri Cartan, colloques Jean-Louis Koszul, Annales de l’Institut Fourier, tome 37, n°4, pp.1-4, 1987 [5] Koszul J.L., L'œuvre d'Élie Cartan en géométrie différentielle, in Élie Cartan, 1869-1951. Hommage de l'Académie de la République Socialiste de Roumanie à l'occasion du centenaire de sa naissance. Comprenant les communications faites aux séances du 4e Congrès du Groupement des Mathématiciens d'Expression Latine, tenu à Bucarest en 1969 (Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, Bucharest, 1975), pp. 39-45. [6] dernière interview de J.L. Koszul pour le laboratoire mathématique de l’Institut Fourier en 2016 : vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=AzK5K7Q05sw [7] Koszul J.L. , Sur la forme hermitienne canonique des espaces homogènes complexes. Can. J. Math., n°7, 562–576, 1955 [8] Koszul J.L. , Exposés sur les Espaces Homogènes Symétriques; Publicação da Sociedade de Matematica de São Paulo: São Paulo, Brazil, 1959 [9] Koszul J.L., Domaines bornées homogènes et orbites de groupes de transformations affines, Bull. Soc. Math. France 89, pp. 515-533., 1961 [10] Koszul J.L. , Ouverts convexes homogènes des espaces affines. Math. Z., n°79, 254–259, 1962 [11] Koszul J.L. , Variétés localement plates et convexité. Osaka. J. Math., n°2, 285–290, 1965 [12] Koszul J.L, Lectures on Groups of Transformations, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1965 [13] Koszul J.L., Déformations des variétés localement plates, .Ann Inst Fourier, n°18 , 103-114., 1968 [14] Koszul J.L. , Trajectoires Convexes de Groupes Affines Unimodulaires. 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