Observation en temps fini du flux de la machine asynchrone : modes glissants d'ordre deux et indices d'observabilité

01/10/2017
Publication e-STA e-STA 2003-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2003-1:20077
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Résumé

Observation en temps fini du flux de la machine asynchrone : modes glissants d'ordre deux et indices d'observabilité

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Observation en temps fini du flux de la machine asynchrone : modes glissants d’ordre deux et indices d’observabilité Thierry Floquet1 , Jean-Pierre Barbot2 , Wilfrid Perruquetti1 1LAIL, UPRESA CNRS 8021, Ecole Centrale de Lille, 59650 Villeneuve-d’Ascq, France 2 Equipe Commande des Systèmes (ECS), ENSEA, 6 Av. du Ponceau, 95014 Cergy Cedex, France {Thierry.Floquet ;Wilfrid.Perruquetti}@ec-lille.fr, barbot@ensea.fr Résumé— Cet article est consacré à la synthèse d’un obser- vateur pour la machine asynchrone. Il souligne notamment l’intérêt des modes glissants d’ordre supérieur pour estimer en temps fini les variables d’un processus. Des résultats de si- mulation sont également donnés qui illustrent, d’autre part, les propriétés de robustesse d’une telle technique. Mots-clés— Systèmes non linéaires, modes glissants, machine asynchrone, indices d’observabilité. I. Introduction La synthèse d’observateurs pour la machine asynchrone est un problème largement développé dans la littérature. En effet, les lois de commandes nécessitent la plupart du temps d’avoir une information sur le flux, qui n’est pas une variable mesurée sur ce type de système. Afin d’en obtenir une estimation, diverses méthodes ont été envisagées [6], [19]. L’observateur développé dans ce travail s’appuie sur la technique des modes glissants d’ordre supérieur. Ceux-ci constituent une généralisation du concept des modes glis- sants classiques (d’ordre un) [17] et ont été introduits, dans les années 80, par Emel’yanov et al. [7], [8]. Ils sont ca- ractérisés par une commande discontinue agissant sur les dérivées d’ordre supérieur de la variable de glissement, dont l’annulation définit la surface de glissement. Préservant les principaux avantages de la commande par modes glissants d’ordre un (tels que des propriétés de convergence en temps fini ou de robustesse par rapport à certaines classes d’incer- titudes), ils suppriment le phénomène de réticence en ga- rantissant même une meilleure précision de convergence par rapport aux imperfections de modèle ou d’organes de com- mande. Dans le cadre de la machine asynchrone, l’intérêt de l’utilisation de commandes ou d’observateurs basés sur les modes glissants d’ordre un (notamment leurs propriétés de robustesse) a déjà été illustré expérimentalement [6], [11]. Toutefois, cette méthode implique d’avoir une information sur la dérivée de la surface, l’introduction de filtre passe- bas et n’assure qu’une convergence asymptotique vers les erreurs d’observation ou les trajectoires de références. Dans ce qui suit, il est montré que, de part les propriétés struc- turelles du modèle considéré (ici les indices d’observabilités par rapport aux sorties mesurées sont égaux à deux), il est possible, grâce aux modes glissants d’ordre deux, d’obte- nir une estimation en temps fini des flux rotoriques, et ceci au moyen d’une loi d’observation d’une relative simplicité d’élaboration. Dans le cadre d’un problème d’observation, le fait de recueillir l’information désirée en temps fini est particulièrement intéressant afin de savoir à partir de quel moment cette information est pertinente. De plus, la rapi- dité de la convergence peut être aisément réglée en fonc- tion des gains de l’observateur et, toujours en fonction de ces mêmes gains, la précision de l’estimation ainsi qu’une borne sur le temps de convergence peuvent être évaluées. D’autre part, il est bien connu qu’un des grands problèmes que rencontre la commande des systèmes non linéaires par retour d’état est la non validité en général du principe de séparation. Cela signifie que, contrairement au cas linéaire, on ne peut pas découpler le problème de la commande de celui de l’observation. Ainsi, une commande stabilisante se basant sur une connaissance fictive de tout l’état pourra perdre sa propriété de stabilisation si on y remplace les va- riables non mesurées par les états d’un observateur conver- geant tout de même vers les variables réelles. Observer en temps fini peut être un moyen de contourner ce problème, dans le sens où la commande par retour d’état peut être enclenchée à partir de l’instant (connu dans ce cas) où l’ob- servateur a convergé. Cet article est organisé comme suit. La section 2 présente le modèle de la machine asynchrone. Les sections 3 et 4 sont consacrées respectivement à la théorie des modes glis- sants d’ordre supérieur et à des notions d’observabilité des systèmes non linéaires. Un observateur par modes glissants d’ordre deux pour ce type de moteur est alors developpé section 5. Enfin, des résultats de simulation sont donnés dans la section 6. II. Position du problème Nous donnons ici brièvement le modèle de Park de la machine asynchrone dans le plan (α, β). De plus amples informations sur la modélisation et la commande des ma- chines asynchrones peuvent être trouvées dans [14], [18], 92 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 pour des versions anglaises, et [3], [4], pour des versions françaises. Sous l’hypothèse de circuits magnétiques non saturés, le modèle de la machine asynchrone est non linéaire d’ordre cinq et se décompose en : – une équation mécanique J dω dt = p Lm Lr [iβ,sφα,r − iα,sφβ,r] − Cl − fvω (1) obtenue d’après l’expression du couple électroma- gnétique Te = p Lm Lr [iβ,sφα,r − iα,sφβ,r] (2) où ω est la vitesse angulaire rotorique, J est l’inertie de la machine, p est le nombre de pôles, Cl représente le couple de charge et fv est un coefficient de frottement. – quatre équations électromagnétiques          dφα,r dt = −bφα,r + aiα,s − ωpφβ,r dφβ,r dt = −bφβ,r + aiβ,s + ωpφα,r diα,s dt = γ4Vα,s − γ1iα,s − γ2φα,r + γ3ωφβ,r diβ,s dt = γ4Vβ,s − γ1iβ,s − γ2φβ,r − γ3ωφα,r (3) où φrα, φrβ représentent les flux rotoriques et isα, isβ les courants statoriques. σ = 1 − L2 m LsLr , γ1 = Rs σLs + RrL2 m σLsL2 r γ2 = LmRr σLsL2 r γ3 = Lm σLsLr p γ4 = 1 σLs b = Rr Lr , a = Rr Lr Lm, sont des paramètres dépendant des caractéristiques de la machine (résistances, inductances, nombre de pôles). Dans le cadre de notre problème, où il est supposé que l’on dispose d’un capteur mécanique1 , nous ne nous intéresserons qu’aux dynamiques électromagnétiques et électriques, qui seront désormais présentées sous la forme suivante : ½ ẋf = axc + Af (ω)xf ẋc = −γ1xc + Bc(ω)xf + γ4u (4) où xf et xc sont des vecteurs de dimension 2 représentant respectivement les variables associées aux flux et aux cou- rants. u , [Vsα, Vsβ]T est l’entrée du système, en l’ocur- rence les tensions diphasées liées au stator. Remarquons que ce système est non linéaire étant donné que les ma- trices Af et Bc dépendent de la vitesse angulaire rotorique ω. Celles-ci ont pour expression : Af (ω) = µ −b −pω pω −b ¶ , Bc(ω) = µ γ2 γ3ω −γ3ω γ2 ¶ . Les seules sorties supposées mesurables ici sont la vitesse angulaire et les courants statoriques. Le but de ce travail 1Le capteur mécanique nous permet, si on le désire, d’observer le couple de charge de la machine. est de réaliser un observateur pour ce type de machines permettant de recueillir l’information sur le flux rotorique en temps fini. A cette fin, la technique mise en oeuvre est celle des modes glissants d’ordre supérieur dont nous don- nons ci-après une vision relativement succinte (pour de plus amples informations, le lecteur intéressé pourra se référer à [9], [16]). III. Les modes glissants d’ordre supérieur Pour simplifier l’exposé, nous considérerons ici un système non linéaire à une seule entrée (mais ce qui suit peut être adapté au cas multi-variables) dont la dynamique est donnée par le système différentiel : ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)) (5) s = s(t, x) (6) où x ∈ X ⊂ IR n représente l’état du système et u ∈ U ⊂IR l’entrée. Le champ de vecteurs f : IR + ×X ×U → IR n et la variable de contrainte s : IR + ×X → I R sont supposés tous deux suffisamment différentiables. Rappelons tout d’abord que, telle qu’elle a été introduite initialement, la technique des modes glissants consiste à contraindre les trajectoires du système à évoluer en temps fini sur une surface, dite de glissement, définie par S = {x ∈ X : s(t, x) = 0}. Le comportement dynamique résultant, appelé régime glis- sant idéal, est alors complètement déterminé par les pa- ramètres et équations définissant la surface. Ceci est ob- tenu en dirigeant les trajectoires du système vers cette sur- face en utilisant différentes commandes selon la région de l’espace où l’on se trouve. Les avantages d’une telle tech- nique sont l’évolution du système sur un ensemble de di- mension réduite et une faible sensibilité vis-à-vis des per- turbations et des incertitudes paramétriques. Son princi- pal inconvénient est le phénomène dit de “chattering” ou réticence, qui est caractérisé par des oscillations à haute fréquence autour de la surface de glissement et qui sollicite fortement les actionneurs. Afin de réduire ou d’éliminer ce phénomène, les modes glissants d’ordre supérieur ont été introduits. Supposons que les (r−1) premières dérivées par rapport au temps de s ne sont fonction que de l’état x (ce qui signifie qu’elles ne contiennent aucune discontinuité). Définition 1: [15] Si les trajectoires du système (5) res- tent confinées, au bout d’un temps fini, dans l’ensemble défini par Sr = n x ∈ X : s = ṡ = . . . = s(r−1) = 0 o alors on dit que ce système évolue suivant un mode glissant idéal d’ordre r par rapport à la variable s. On dira que la loi de commande u est un algorithme glis- sant idéal d’ordre r par rapport à s si elle génère un régime glissant idéal d’ordre r par rapport à s. Ici, nous sommes intéressés par des algorithmes glissants d’ordre deux, dont plusieurs types ont été développés dans la littérature [2], [15]. A titre d’exemple, développons plus particulièrement l’algorithme dit du “twisting” [8]. Supposons que f est une fonction C1 par rapport à chacune de ses variables, que s est C2 et que le système est de degré relatif deux par rap- port à la fonction s. En dérivant deux fois cette dernière, nous obtenons une expression de la forme : s̈ = ζ(t, x) + χ(t, x, u)u Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 93 où il est supposé que 0 < Km ≤ χ(t, x, u) ≤ KM |ζ(t, x)| < C0 . Définissant alors la loi de commande de la façon suivante u = ½ −λm sgn(s), si sṡ ≤ 0 −λM sgn(s), si sṡ > 0 avec λm et λM vérifiant les conditions : λm > 4KM σ0 , λm > C0 Km KmλM − C0 > KM λm + C0 on peut alors montrer que les trajectoires, dans le plan de phase (s, ṡ), décrivent une courbe s’enroulant infiniment sur elle-même tout en convergeant en temps fini vers l’ori- gine s = ṡ = 0. Ce phénomène est illustré sur la figure suivante : −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Fig. 1. Allure des trajectoires dans le plan de phase (s, ṡ) Une majoration du temps de convergence peut être déterminée en fonction des gains λm et λM ainsi que des bornes sur les incertitudes ζ et χ [9]. Dans toutes les définitions données précédemment, il est supposé que l’ensemble de glissement d’ordre r est atteint exactement. Un tel régime glissant est qualifié d’idéal et il est notamment supposé que les organes de commande com- mutent à une fréquence infinie. Toutefois, ce n’est pas le cas en pratique étant données les limites technologiques de ces derniers. De ce fait, le régime glissant ne prend place que dans un proche voisinage de la surface considérée. Ce com- portement est qualifié de régime glissant réel. Le cas idéal, quant à lui, doit être interprété comme les trajectoires li- mites lorsque les imperfections deviennent inexistantes et lorsque la fréquence de commutation tend vers l’infini. Un algorithme réel d’ordre r permettra, si la méthode d’intégration est à pas variable majoré par τ, d’obtenir la précision de convergence suivante : |s| = O(τr ), |ṡ| = O(τr−1 ), . . . |s(r−1) | = O(τ). On dit alors qu’on a un régime glissant réel d’ordre r par rapport à s. D’après cette définition, il apparaı̂t que la convergence sur S sera d’autant plus précise que l’ordre du mode glissant sera élevé. IV. Conditions et Indices d’observabilité des systèmes non linéaires A. Conditions d’observabilité Dans cette partie, nous présentons des conditions suffi- santes nous assurant qu’un système non linéaire de la forme (5), ayant pour sortie y = h(x) ∈ IR p , est localement ob- servable. Définition 2: On appelle la codistribution d’obser- vabilité du système (5), noté dO, la codistribution définie par dO(x) =           dh(x) dLf h(x) dL2 f h(x) . . . dLi f h(x) . . .           , x ∈ X Le principal théorème concernant l’observabilité locale est le suivant : Théorème 3: [12] Soit dO la codistribution d’observabi- lité associée au système (5). Si dim(dO(x)) = n, le système est localement observable au point x. B. Indices d’observabilité Considérons la codistribution dŌ =                 dh1 dLf h1 . . . dLk1−1 f h1 . . . dhp . . . dL kp−1 f hp                 Définition 4: [13] Les entiers (k1, k2, . . . , kp) sont les indices d’observabilité associés aux sorties de (5) s’ils forment, après un éventuel réordonnancement de ces sor- ties, le plus petit p-uplet dans le sens lexicographique tel que : i-) k1 ≥ k2 ≥ ... ≥ kp ≥ 0 ii-) Pp i=1 ki = n iii-) la codistribution dŌ est de rang n. Ces indices sont définis, entre autres, afin d’obtenir une forme canonique d’observabilité unique à un ordre lexico- graphique près. En ce qui concerne la machine asynchrone, reprenons le système (4) avec pour sorties y