Commande par mode glissant flou d'un système non linéaire incertain

01/10/2017
Publication e-STA e-STA 2003-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2003-1:20076
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Résumé

Commande par mode glissant flou d'un système non linéaire incertain

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1 Commande par Mode Glissant Flou d’un Système Non Linéaire Incertain Abdelaziz Hamzaoui, Najib Essounbouli, Janan Zaytoon Laboratoire d’Automatique et de Microélectronique, Faculté des Sciences B.P. 1039, 51687 Reims cedex 2, France {a.hamzaoui,n.essounbouli}@iut-troyes.univ-reims.fr, janan.zaytoon@univ-reims.fr Abstract—In this paper, a fuzzy sliding-mode control of nonlinear uncertain and perturbed single-input single- output (SISO) systems is proposed. An adaptive fuzzy system substitutes for the switching-type control term in the control law. The stability and the robustness of the closed-loop system are proven analytically using the Lyapunov synthesis approach. The proposed method attenuates the effect of both uncertainties and external disturbances, and eliminates the chattering phenomenon introduced by classical sliding-mode control. Two simulation examples are presented to illustrate the efficiency of the fuzzy sliding-mode control Résumé—Dans ce travail, une commande par mode glissant flou d'un système non linéaire incertain perturbé est présentée. Un système flou adaptatif est introduit pour remplacer le signal de commutation dans la loi de commande. La stabilité et la robustesse du système en boucle fermée sont prouvées analytiquement par l'approche de Lyapunov. La méthode proposée permet l'atténuation les effets des perturbations externes et des incertitudes, ainsi que l'éliminer le phénomène de "broutement" introduit par le mode glissant classique. Deux exemples de simulation sont présentés pour illustrer l'efficacité de l'approche proposée. I. INTRODUCTION LA plupart des systèmes non linéaires sont caractérisés par des incertitudes structurelles et / ou non structurelles variants dans le temps, ce qui rend leurs commandes très délicates et complexes à mettre en œuvre. Pour résoudre ce problème, plusieurs approches ont été développées dans la littérature La commande H∞, par exemple, permet d’assurer la robustesse des systèmes incertains et perturbés en atténuant les effets des perturbations externes à un niveau désiré. Pour cela, on définit un critère, dit de type H∞, auquel on associe une équation de Riccati. La loi de commande est obtenue par une simple résolution de cette équation après avoir fixé les matrices de poids correspondantes [1][2][3][4]. La commande par mode glissant a connu un grand succès ces dernières années cela est du à sa simplicité de mise en œuvre et à sa robustesse par rapport aux incertitudes du système et des perturbations externes entachant le processus. Elle consiste à définir une surface dite de glissement, la poursuite de la trajectoire désirée se fait en deux phases : l’approche et le glissement. Ainsi, la commande utilisée dans ce cas se compose de deux parties : la première permettant l’approche jusqu’à l’arrivée à la surface et la deuxième permet le maintien et le glissement le long de cette surface [5][6][7]. Ces deux approches de commande robuste ne peuvent être appliquées que si le modèle nominal du processus est parfaitement connu, les perturbations externes sont bornées et variant lentement. Une des approches permettant de lever la contrainte de la connaissance parfaite du modèle ainsi que les incertitudes est proposée dans [8]. Cette méthode, permettant de combiner la logique floue et la théorie de la commande adaptative classique, a été améliorée en introduisant un signal de commande type H∞ afin d’assurer la robustesse et atténuer les effets des perturbations externes et des erreurs d’approximation sur l’erreur de poursuite à un niveau désiré [9][10][11]. Néanmoins, l’utilisation de la commande par H∞ exige des hypothèses supplémentaires sur la connaissance des bornes supérieures des fonctions régissant la dynamique du système. D’autres travaux ont été proposés permettant la combinaison de la logique floue avec le mode glissant pour assurer la robustesse du système en boucle fermée. Cependant le signal de commande obtenu, présente des variations brusques dues au phénomène de chattering, ce qui peut exciter les hautes fréquences et les nonlinéarités non modélisables [12][13]. Le but de ce travail est d’atténuer ou éliminer le phénomène de chatterinig en introduisant un système flou adaptatif dans la commande par mode glissant. La loi de commande ainsi construite peut être appelée commande par mode glissant flou. Après avoir introduit la commande par mode glissant d’un système mono-entrée mono-sortie dans la section 2, nous présenterons la mise en oeuvre de la commande 2 Le processus de la commande par mode glissant peut être divisé en deux phases: la première la phase d’approche quand 0 ≠ ,t) s(x 0 , et la seconde la phase de glissement quand = ,t) s(x . Une condition suffisante pour assurer la transition de la trajectoire de l’erreur de poursuite de la phase d’approche à celle du glissement est [6]: par mode glissant flou dans la section 3. Celle-ci peut être appliquée à un système non linéaire incertain et perturbé. La loi d’adaptation des paramètres ajustables du système flou est déduite de l’étude de stabilité du système bouclé en utilisant la théorie de Lyapunov. Pour montrer les performances de poursuite et l’efficacité de la méthode proposée, deux exemples de simulation sont considérés dans la section 4 : le phénomène de chattering est éliminé, la convergence de l’erreur de poursuite ainsi que la robustesse du système vis à vis des incertitudes et des perturbations externes, sont assurées. 0 ; 2 1 2 > − ≤ = η η ,t) s( ,t) ( s ,t) s( ,t) ( s dt d x x x x & (6) avec ) ( ) ( ) ( ) ( x n r n n n n n y y e k e k e k e e k e k e k ,t) ( s ) - ( 1 1 2 1 1 1 2 1 − − − − − = − − − − − = − − − − L & & & L & & & & II. FORMULATION DU PROBLEME qu’on peut exprimer sous la forme : On considère un système non linéaire incertain et perturbé mono-entrée mono-sortie d’ordre n décrit par : D u g f y e k ,t) ( s n r n i i i + + + − − = ∑ − = ) x ( ) x ( x ) ( ) ( 0 0 1 1 & (7)    = + + = x y d )u g( ) f( xn x x (1) En substituant (7) dans (6), on obtient : η − ≤       + + + − − ∑ − = D u g f y e k t s sign n r n i i i ) x ( ) x ( )) , x ( ( ) ( ) ( 0 0 1 1 (8) où f(x) et g(x) sont deux fonctions non linéaires continues et incertaines supposées bornées, u et y représente respectivement l’entrée et la sortie du système, et d les perturbations externes inconnues mais bornées. On note le vecteur d’état. ] [ 1 ) ( T ,..., , x − = n x x x & La commande suivante permet de satisfaire la condition de transition (6): Nous considérons que les deux fonctions f(x) et g(x) peuvent s’écrire respectivement comme la somme d’une fonction nominale connue et d’une incertitude inconnue mais bornée :       − + + − = ∑ − = )) , x ( ( ) x ( ) x ( ) ( ) ( t s sign D y e k f g u u n r n i i i 1 1 0 0 1 (9) où Du est une constante positive à déterminer [6].      < + = < + = g f ∆ ∆g ∆g g g ∆ ∆f ∆f f f ) ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( 0 0 x x x x x x x x (2) L’inégalité (8) devient ainsi : η − ≤           − + + − × +    + + − − ∑ ∑ − = − = )) , ( ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )) , ( ( ) ( 1 1 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 1 ) ( t s sign D y e k f g g D f y e k t s sign u n r n i i i n r n i i i x x x x x x où ∆f et ∆g sont deux constantes positives. En substituant (2) dans (1), on obtient :    = + + = x y D )u ( g ) ( f xn x x 0 0 (3) Après simplification, on obtient : où (4) ( ) ( ) d u ∆g ∆f D + + = x x η − ≤ − u D D t s sign )) , x ( ( Ainsi pour satisfaire la condition (6), il suffit de choisir la constante Du telle que L’objectif est déterminer une commande par mode glissant de telle sorte que la sortie du système, y, suit une trajectoire de référence, yr, i.e., l’erreur de poursuite : e= yr - y converge vers zéro. η + ≥ D Du (10) Nous remarquons que la commande (9) ne dépend que des paramètres ki et Du et des fonctions nominales connues f0(x) et g0(x). Cependant, pour déterminer la borne Du satisfaisant la contrainte (10), il faudrait connaître la borne supérieure de D qui dépend de la commande u comme indiqué dans (4). Le problème peut être détourné en imposant un signal de commande étant une fonction des états du système comme suggéré dans [12]. Soit le polynôme d’Herwitz : , où les coefficients k 1 2 2 1 1 k s k s k s n n n + + + + − − − L i sont choisis tels que ses racines soient à partie réelles négatives. On considère la surface de glissement suivante : ) ( ) ( 1 2 1 2 1 1 − − − − − − − − − =       + − = n n n n i e e k e k e k e k dt d ,t) s( L & x (5) Néanmoins même si le problème de la détermination du paramètre Du est résolu, le terme ″Du sign(s(x,t))″ dans la commande provoque un phénomène de chattering qui 3 peut exciter les hautes fréquences et les nonlinéarités non modélisables, et endommager le système. Ainsi, la commande (9) est certes efficace mais difficile à mettre en œuvre tout en présentant des risques pour le processus. Une des méthodes pour éliminer le phénomène de chattering, consiste à définir une bande de transition au voisinage de la surface de glissement [6]. Néanmoins, afin de garder les mêmes performances de poursuite, l’introduction de cette bande induit des sollicitations initiales très importantes. Ainsi, il faut trouver un compromis entre le niveau de performances de poursuite (temps de réponse petit et une commande sans chattering) et une commande au démarrage convenable. L’objectif de l’approche propoée dans la section suivante est d’utiliser la même structure de commande tout en éliminant le phénomène de chattering sans pour autant diminuer les performances de poursuite. III. MISE EN OEUVRE DE LA COMMANDE PAR MODE GLMISSANT FLOU Dans cette section, nous allons remplacer le signal de commutation (Du sign(s(x,t))) par un signal de commande issu d’un système flou adaptatif afin d’éliminer le phénomène de chattering. La loi d’adaptation des paramètres ajustables du système flou est déduite de l’étude de la stabilité du processus en boucle fermée au sens de Lyapunov. A. Description des systèmes fous Un système flou, d’entrée zT =[z1,…,zn] et de sortie h, est construit à partir d’une collection de règles floues Si- Alors dont la jème règle est donnée par : ( ) j j n n j j j h est h Alors A est z Et A est z Et A est z Si R L L 2 2 1 1 j i A où un ensemble flou et hj un singleton. En utilisant le singleton pour fuzzyfication, le produit comme moteur d’inférence et le centre de gravité pour la défuzzyfication, le système flou peut être écrit sous la forme [8]: ∑∏ ∑ ∏ = = = = = r j n i i A r j n i i A j n z z h z z h j i j i 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ,..., ( µ µ (11) où ( ) i A z j i µ est le degré d’appartenance de zi à , et r est le nombre de règles floues utilisées. j i A L’équation (11) peut être reformulée sous une forme vectorielle : ) z ( ξ θ ) z ( T = h (12) où vecteur des paramètres ajustables, et le vecteur de régression dont la j [ T r h h h ,..., , θ 2 1 = ( ) [ξ ,..., z ξ 1 = ] ]T r ξ ème composante est donnée par : ∑∏ ∏ = = = = r j n i i A n i i A j z z j i j i 1 1 1 ) ( ) ( µ µ ξ .    − = ) x ( ) x ( f g u 0 0 1 ( ) s ĥ B. Mise en œuvre de la commande Dans cette section, on va étudier la stabilité et la robustesse du système bouclé en utilisant un système flou adaptatif pour remplacer la fonction h(s)=Du singn(s) dans la commande (9). Ainsi, la loi de commande proposée est donnée par :    − + + ∑ − = ) ( ˆ ) ( ) ( s h y e k n r n i i i 1 1 (13) où est un système flou sous la forme (12) dont la seule entrée est la valeur de la surface de glissement S(x,t), et sa valeur optimale vérifie u D s h = ) ( ˆ* . On considère la fonction de Lyapunov suivante : ( ) ( ) θ θ θ θ * * − − + = T s V γ 2 1 2 1 2 (14) où θ* est la valeur optimale de θ, et γ est une constante positive d’apprentissage. Sa dérivée est donnée par : ( ) θ θ θ ) , x ( ) , x ( * & & & T t s t s V − − = γ 1 (15) En utilisant la loi de commande (13), l’équation (7) devient : D s h y e k f g g f y e k t s n r n i i i n r n i i i +       − + + − × + + − − = ∑ ∑ − = − = ) ( ˆ ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) , ( ) ( 1 1 ) ( 0 0 0 0 ) ( 1 1 ) ( x x x x x & en simplifiant, on obtient : ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) , x ( * * s h D s h s h D s h t s − + − = + − = & où . ) ( ξ θ ) ( ˆ * * s s h T = Ainsi, la dérivée de la surface de glissement peut être donnée par : ( ) ) ( ˆ ) ( ξ θ θ ) , x ( * * s h D s t s T − + − = & (16) En substituant (16) dans (15), on obtient : ( ) ( ) ( ) θ θ θ ) ( ˆ ) ( ξ θ θ ) , x ( * * * & & T T s h D s t s V − − − + − = γ 1 (17) qu’on peut simplifier sous la forme : 4 ( ) ( ) ( ) ( ξ ) , x ( θ θ θ ) ( ˆ ) , x ( * * s t s s h D t s V T γ γ − − − − = & & 1 ) (18) ( ) ( ) ( ) γs(x,t)ξ(s θ θ θ s sign D D ,t s V T * u − − − − = & & γ 1 ) ( ) (x ) où α l’angle du pendule par rapport à la verticale, g la constante de gravitation, u l’effort appliqué au chariot, ∆ sont les incertitudes sur la masse et d les perturbations externes. Les paramètres utilisés dans cette simulation sont : M=1 kg, m=0.1 Kg, l=0.5 m, g=9.8 m/s2 . La trajectoire désirée est supposée sinusoïdale de la forme yr=(π/30)sin(t). Pour vérifier la robustesse du système, on a choisi les perturbations et les incertitudes de la forme : ∆m=±0.1m, ∆M=±0.1M et d(t)=0.1sin(2*t). si l’on choisit la loi d’adaptation suivante : ) ( ) , ( s t s ξ x θ γ = & (19) on obtient : 0 ≤ − ≤ − = ) , ( ) , ( ) ( ). , ( ) , ( t s D D t s s sign t s D D t s V u u x x x x & (20) α 2l u M Ainsi la commande par mode glissant flou proposée permet donc d’assurer la robustesse et la stabilité d’un système non linéaire incertain et perturbé. De plus sa simplicité permet une implémentation pour une commande en temps réel. En effet, la procédure de mise en œuvre de la commande par mode glissant flou se fait en deux étapes : Hors ligne - Déterminer les coefficients ki Figure 1 : Le pendule inversé - Définir la surface ) ( ) ( x 1 2 1 2 1 − − − − − − − − = n n n e e k e k e k ,t) s( L & Dans un premier temps, on a effectué des simulations en utilisant la commande par mode glissant classique (9). Le système étudié est d’ordre 2, et d’après (5), la surface de glissement est donnée par : e k e s 1 − − = & . On prend k1=2. Pour majorer les perturbations et les incertitudes ∆m et ∆M, on suppose qu’elles peuvent atteindre 20% des paramètres nominaux m et M, ainsi ( ) 3 . 0 max = ∆g . En utilisant l’équation (4), on Du =5. Le pendule est supposé à l’instant initial à l’état [ ] [ ]T T 0 2 . 0 = α α & . Les résultats de simulation sont donnés dans la figure 2 (a, b, et c) montrent les bonnes performances de poursuite et la convergence de l’erreur vers zéro. Néanmoins, on remarque que la commande, figure 2-d, présente de grandes et rapides variations dues au phénomène de chattering. Ce type de commande serait difficile à mettre en œuvre ; et dans le cas où elle est réalisée; celle-ci peut exciter aux hautes fréquences les nonlinéarités non modélisables, ce qui peut endommager le système. - Définir les fonctions d’appartenance du système flou ainsi que le taux d’apprentissage γ En ligne - Déduire la commande (13) en introduisant les fonctions nominales f0(x) et g0(x). - Effectuer la mise à jour des paramètres ajustables θ en utilisant la loi d’adaptation (19) IV. EXEMPLES DE SIMULATION Deux exemples de simulation sont présentés pour montrer l'efficacité et la faisabilité de la méthode proposée. On s’intéressera à la commande d’un pendule inversé, et d’une suspension active. A. Pendule inversé On considère un pendule inversé, de masse m et de longueur 2l, placé sur un chariot, de masse M, est considéré (figure 1). Le système est décrit par les équations suivantes :          ∆ + ∆ + + − ∆ + − = ∆ + ∆ + + − ∆ + ∆ + ∆ + + − ∆ + = = + + = ) ( ) 3 / 4 ( ) ( cos ) ( ) cos( ) , ( ) ( ) 3 / 4 ( ) ( cos ) ( ) sin( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 2 M m M m l l m m g M m M m l l m m g M m M m l m m f y d u g f α α α α α α α α α α α α α α α α α & & & & & & & (21) 5 0 5 10 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Position angulaire (rad) Temps (s) 0 5 10 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Erreur quadratique (rad) Temps(s) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Vitesse angulaire (rad/s) Position angulaire(rad) 0 5 10 -10 -5 0 5 Effort appliqué u (N) Temps (s) (a) (b) (c) (d) y(t) yr (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Temps (s) Position Angulaire(rad) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Temps (s) Erreur quadratique(rad) cas 2 cas 3 cas 1 y r (t) cas 1 cas 3 cas 2 (a) (b) Figure 3: La trajectoire et l’erreur e de pousruite du pendule inversé Figure 2: Les trajectoires du pendule et l’effort appliqué Dans un deuxième temps, on a effectué des simulations sur le même exemple en utilisant la commande par mode glissant flou donnée par (13). Pour générer le système flou, on a défini trois ensembles flous Négatif, Zéro et Positif, et le facteur d’apprentissage γ=10 . 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -15 -10 -5 0 Temps(s) Effort appliqué u (N) (a) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 Temps (s) Effort appliqué u (N) (b) cas 1 cas 2 cas 3 case 3 cas 2 cas 1 Figure 4: L’effort appliqué u Les résultats de simulation présentés dans ce qui suit montrent l’influence du choix des fonctions d’appartenance ainsi que le gain de glissement k1 sur les performances de poursuite du système bouclé. Influence du choix des fonctions d’appartenance : Afin de mener une étude comparative nous avons choisi trois cas différents où à chaque fois on varie le support de l’ensemble flou « zéro » tout en gardant le même taux de recouvrement entre les trois ensembles flous de 75%. - cas 1 : { }) ) 1 . 0 ( exp 40 1 /( 1 ) ( 1 + + = s s µ , { } 2 ) 5 . 0 / ( exp s − { }) ) 1 . 0 ( exp 40 1 /( 1 − − − s 2 ) (s = µ ) ( 3 = s , et µ . - cas 2 : { }) ) 1 ( exp 5 1 /( 1 ) ( 1 + + = s s µ , { } 2 2 ) ( exp ) ( s s − = µ , et { }) ) 1 ( exp 5 1 /( 1 ) ( 3 − − − = s s µ . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 Temps(s) Position Angulaire (rad) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Temps (s) Erreur quadratique (rad) y r (t) k1 =2 k 1 =5 k1 =10 k1 =2 k1 =5 k1 =10 (a) (b) Figure 5: La trajectoire et l’erreur de pousruite du pendule inversé - cas 3 : { }) ) 5 ( exp 5 1 /( 1 ) ( 1 + + = s s µ , { } 2 2 ) 5 / ( exp ) ( s s − = µ , et { }) ) 5 ( exp 5 1 /( 1 ) ( 3 − − − = s s µ . Les résultats de simulations du comportement du processus ainsi que l’effort appliqué sont donnés dans les figures 3 et 4 respectivement. La transition entre la phase d’approche et celle de glissement le long de la surface s(x,t) s’effectue quand la valeur de celle-ci est nulle. Par conséquent, plus le support de la fonction d’appartenance correspondant à l’ensemble flou « zéro » est petit meilleur est la poursuite. Dans le cas 3, par exemple, on remarque bien que pour un support assez large la réponse du système oscille autour de la trajectoire désirée. Figure 4 montre que pour un même effort initial, le choix judicieux des fonctions d’appartenance permet d’assurer une meilleure poursuite. Influence du gain de glissement : Afin de montrer l’influence du gain de glissements sur les performances de poursuite, nous présentons les résultats de 6 simulations pour trois valeurs différentes : k1=2, k1=5, k1=10. On suppose que la trajectoire désirée est donnée par yr=0.5sin(t). Le tableau 1 donne les valeurs et les définitions des paramètres nominaux, les variations structurelles, les perturbations externes, et les forces du ressort et des frottements de Coulomb. Les figures 5 et 6 donnent le comportement dynamique du système, ainsi que les efforts appliqués dans les trois cas. Ces figures montrent que, plus le gain est grand (k1=10) plus le temps de convergence de la sortie du processus vers la trajectoire de référence est petit. Des simulations ont été effectuées sur ce système. La figure 8 montre les résultats dans le cas d’une commande par mode glissant de type (9). En conclusion, les performances de poursuite de la commande proposée dans (13) dépendent seulement du choix judicieux du support de l’ensemble flou zéro et du gain de glissement TABLEAU 1 : PARAMETRES DE SIMULATION Paramètres nominaux M = 1, K = 2, B = 2 Variations structurelles ∆M = 0.1sin(y), ∆K = 0.5, ∆B =0.5 Perturbations externes d = 0.1sin(t) les forces du ressort et des frottements de Coulomb ) y sign( 0.01 fc & = B y B f B & ∆ + = ) x ( Ky fK ∆ + = ) x ( , , 2 y & 3 Ky 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 Temps(s) Effort appliqué (N) k1 =2 k 1 =5 k 1 =10 Figure 6: L’effort appliqué u 0 5 10 -0.5 0 0.5 1 Position Temps(s) 0 5 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Erreur quadratique Temps (s) -0.5 0 0.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Vitesse position 0 5 10 -10 -5 0 5 10 Commande (N) Temps (s) (a) (b) (c) (d) y(t) yr (t) . B. Amortisseur : Le second exemple porte sur l’amortisseur donné par la figure 7. On note par M la masse, K la raideur du ressort, B le coefficient de frottement visqueux, et u l’effort appliqué. Les équations dynamiques du système peuvent être données par d f f f u y M c B K + − − − = ) ( ) ( ) ( x x x & & Figure 8: Les réponses du système amortisseur où y désigne la position, , f T ] [ y y & , x = K(x) la force du ressort due à K, fB(x) la force du frottement due à B, la force des frottements de coulomb, et d les perturbations externes. ) ( x c f Pour montrer l’influence des fonctions d’appartenance, on a pris les mêmes fonctions d’appartenances utilisées pour le pendule inversé étudié précédemment. Les résultats de simulations, donnés par les figures 9 et 10, montrent que les meilleures performances sont obtenues quand le support de la fonction « zéro » est petit. Les résultats de simulation pour les trois différents gains (k1=2, k1=5, k1=10) sont donnés par les figures 11 et 12. On remarque que les meilleures performances de poursuite sont obtenues pour un gain relativement grand (k1 =10). Néanmoins la commande présente un dépassement plus important. y u fk K B fB M Figure 7: Le système amortisseur 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Temps(s) Effort appliqué u (N) k1 =10 k 1 =5 k1 =2 Figure 12: L’effort appliqué 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 Temps(s) position 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 Temps(s) Erreur quadratique (a) (b) yr (t) cas 3 cas 2 cas 1 case 1 case 3 case 2 Figure 9 : La tajectoire et l’erreur de poursuite du système V. CONCLUSION 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -15 -10 -5 0 5 Temps(s) Effort appliqué (N) (a) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 Temps(s) Effort appliqué (N) (b) cas 1 cas 2 cas 3 cas 3 cas 2 cas 1 Figure 10: L’effort appliqué u Dans ce travail, une commande d’un système non linéaire incertain et perturbé par mode glissant flou est présentée. La commande est générée à partir du modèle nominal. Un système flou adaptatif est introduit pour remplacer la fonction de commutation et ainsi éliminer le phénomène de chattering et améliorer le régime transitoire de la commande. La stabilité et la robustesse du système bouclé sont prouvées analytiquement. De plus la mise à jour des paramètres ajustables du système flou est assurée par une loi d’adaptation déduite en utilisant la théorie de Lyapunov. Les résultats de simulation montrent l’efficacité et robustesse de l’approche proposée. Deux exemples de simulation sont utilisés pour montrer l’influence du choix des fonctions d’appartenance et des gains de glissement sur les performances de poursuite. RÉFERENCES [1] B.A. Francis, A course in H∞ control theory, lecture Notes in Control Inform. Sci., Vol. 8, Springer Verlay, Berlin, 1987. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.5 0 0.5 1 Temps(s) position 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 Temps(s) Erreur quadratique k 1 =5 k1 =10 k 1 =2 y r (t) k1 =2 k1 =5 k1 =10 (a) (b) Figure 11: La tajectoire et l’erreur de poursuite du système [2] A.Stoorvogel, The H∞ Control problem : A state space Approach, New York : Prentice Hall, 1992. [3] J.Doyle, K. Glover, P.P. Khrgonekar, and B.A. Francis, State Space solution to standard H∞ control problems, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 34, N 8, pp. 831-847, 1989. [4] V.I. Utkin, Sliding modes and their application in variable structure systems, MIR Publishers, Moscow, 1978. [5] J.J. Slotine and W. Li, Applied nonlinear control, Englewood Cliffs, N.J., Prentice Hall, 1991. [6] Wang, L-X., 1994, Adaptive fuzzy systems and control. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, U.S.A. [7] S. Hajri, M. Benrejeb and P. 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