Planification de trajectoires de systèmes à retard dépendant implicitement de l'entrée

01/10/2017
Publication e-STA e-STA 2003-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2003-1:20075
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Planification de trajectoires de systèmes à retard dépendant implicitement de l'entrée

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Planification de trajectoires de systèmes à retard dépendant implicitement de l’entrée JEAN-YVES DIEULOT1 , JEAN-PIERRE RICHARD2 2 L.A.I.L UPRES-A 8021, Ecole Centrale de Lille, BP 48, 59651 Villeneuve d'Ascq – France 1 L.A.I.L UPRES-A 8021, I.A.A.L, 59655 Villeneuve d'Ascq – France Résumé— Nous traitons une classe de systèmes non- linéaires avec des paramètres et un retard de transport dépendant implicitement de l’entrée. On peut planifier exactement les trajectoires en utilisant leur paramétrisation explicite comme pour les systèmes δ-plats, mais les trajectoires structurellement oscillantes induisent des contraintes sur la commande et restreignent les performances possibles. La commande en boucle ouverte et les contraintes correspondantes sont calculées en utilisant une discrétisation de l’équation implicite liant le retard et l’entrée, dans le cadre d’un exemple pour lequel la trajectoire est polynomiale par morceaux. Mots clés— systèmes non-linéaires; planification de trajectoires; retard; recyclage ; I. INTRODUCTION Nous traitons la planification de trajectoires de systèmes ayant un retard important, dépendant de l’entrée, dans une boucle de recyclage. Ce type de système possède un nombre infini de pics de résonance et un temps de réponse plus élevé que celui de la chaîne directe [1] [2]. Le retard généré par le transport de matière (conduites, tapis…) entre plusieurs opérations unitaires, représenté par un réacteur piston, est défini par une équation implicite lorsque le débit varie (par exemple imposé par une pompe à vitesse variable) [3]. Les commandes classiques sont mal adaptées à la régulation de ces systèmes; un prédicteur de Smith est sensible aux variations du retard [4], les problèmes d’analyse de la stabilité étant par ailleurs plus complexes que pour un retard constant [5] [6]. Les outils liés au concept de platitude [7] fournissent, grâce à une analyse explicite, une solution à la commande de ces systèmes. On peut effectuer la poursuite en boucle ouverte de trajectoires désirées en utilisant la paramétrisation des variables du système par une sortie plate que l’on peut fixer librement [8] [9] [10]. On peut étendre ce concept aux systèmes à retard [11] [12], en décrivant les variables du système par une sortie δ-plate en utilisant uniquement des dérivations, des retards et des avances. Lorsque le retard dépend de l’entrée, la solution peut être obtenue en utilisant l’inversion et la composition de fonctions [12]. La commande plate des équations aux dérivées partielles permet de prendre en compte la dispersion dans le réacteur piston, ([13] [14]), l’expression de la commande étant difficile à déterminer. On modélise généralement des opérations unitaires par une combinaison de réacteurs idéaux [15], en introduisant des RPAC (Réacteurs Parfaitement Agités Continus) dans la chaîne directe [16]. Si les paramètres et le retard d’un système à recyclage dépendent de l’entrée, le système n’est plus plat, car il n’existe pas de correspondance directe entre une sortie δ-plate et les autres variables. On rencontre ce type de système pour des procédés possédant des opérations de mélange et de transport. Dans cet article, nous traiterons la commande en boucle ouverte de tels systèmes à recyclage, dont les paramètres dépendent de l’entrée, le retard de recyclage étant donné par une équation implicite. Nous montrerons que l’on peut, bien que le système ne soit pas plat, planifier les trajectoires en boucle ouverte en paramétrant la commande par la sortie et le retard. La détermination des limitations et contraintes sur la commande et les performances de la trajectoire imposées par la nature oscillante de la solution est une contribution importante de l’article. La solution est obtenue directement en discrétisant l’équation implicite de transport au lieu d’utiliser des inversions de fonctions [11]. Nous présenterons la structure du système dans une première partie, puis l’algorithme général de commande. Dans une troisième partie, nous appliquerons la commande à un système à retard de transport, et nous donnerons enfin l’exemple de la commande d’un mélangeur de produits visqueux. II. SYSTEMES A RECYCLAGE ET RETARD DE TRANSPORT A. Systèmes à recyclage et à retard Soit un système avec recyclage total, pour lequel l‘entrée ( ) t u sera le débit de matière . La chaîne directe est constituée d’une équation différentielle non-linéaire du premier ordre avec une constante de temps , la boucle de retour comprenant un retard de transport ) (t Q & ( ) . T ( ) . τ (Fig. 1). ( ) . T et ( ) . τ dépendent tous deux de la commande ( ) t u , ( ) . T étant continu et inversible. La sortie ( ) t y est la réponse à une impulsion ( ) t δ , le système étant initialement au repos 0 < t ( ). ( ) t y 0 ∀t = 0 < L’équation du système est : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y t u t y t y t u T ( ) − − = τ & , (1) avec ( ) , 0 0 y y = ( ) 0 = t y 0 < ∀t . ( ) δ Fig. 1. Structure du système à recyclage Dans le cas où le modèle représente un système de mélange, est la réponse à une injection de traceur. La méthode que nous présenterons reste applicable pour d’autres types de conditions initiales, et de manière générale pour tout type de système avec recyclage partiel ou non, pourvu que le retard de transport soit suffisamment important. ( ) t y Nous cherchons à déterminer la commande en boucle ouverte u qui permet à la sortie ( ) t ( ) t y de poursuivre une trajectoire spécifiée par le concepteur, pour des systèmes dont le retard dépend implicitement de l’entrée, présentés dans la section suivante. ( ) t yd B. Retards de transport dépendant implicitement de l’entrée Soit un réacteur piston de volume fixe V et de débit variable , pour lequel l’entrée w et la sortie sont des concentrations en soluté aux extrémités du réacteur. D’après la définition de ce type de réacteur, le fluide évolue en sections parallèles sans échange de matière, le temps de passage ( ) 0 ≥ t Q & ) ) (t ( ) t (t y τ , lorsque le débit varie, est [3]: )) ( ( ) ( t t w t y τ − = , (2) ∫ − = t t t V d Q ) ( ) ( τ ν ν & . (3) Lorsque le débit est constant, le retard constant vaut ( ) t Q & Q V & = τ . Pour un débit quelconque, on ne peut généralement déterminer l’expression exacte du retard ( ) t τ [3]. Dans [17], nous avons utilisé une approximation du retard par l’équation: ( ) ( ) t Q V t & = τ , (4) qui n’est généralement pas valable mais qui peut permettre de donner une solution approchée au problème, sans avoir recours à l’équation implicite [3]. Nous rappelons quelques propriétés utiles du système décrit Fig. 1, dérivant directement de la définition d’un réacteur piston: t ( ) t y ( ) ( ) t u τ Retard Eq. Diff . + + Propriété 1 [3] ( ) 0 ≥ t τ , ( ) 1 ≤ t τ& , Si le système est défini sur un intervalle Ω ∈ t , la fonction retard doit satisfaire t ( )∈ − t Ω τ , sinon, elle n’est pas définie pour les instants correspondants. L’algorithme de simulation de tels systèmes est fourni en [3]. III. COMMANDE DE SYSTEMES A RECYCLAGE ET A RETARD QUELCONQUE A. Algorithme de planification de trajectoires et contraintes de poursuite Rappelons quelques propriété du système décrit par l’équation (1). Propriété 3 [17] Si ( ) 0 > t y & (resp. <0), ( ) ( ) (t y t t y > − ) τ (resp .<.). Propriété 4 [17] La sortie ( ) t y oscille. Soit une trajectoire désirée, oscillante amortie ( ) t yd que le système doit poursuivre. Appelons t les points pour lesquels i ( ) 0 = i d t y & ( ) 0 0 > d y (Fig. 2). Pour simplifier, supposons que et ( ) 0 = t y 0 < ∀t . L’objectif est de déterminer la commande en boucle ouverte ( ) t u pour laquelle, pour t>0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (t y t u t y t y t u T d d d − ) − = τ & . (5) Dans ce cas, les propriétés 3 et 4 sont des contraintes sur les valeurs possibles de la commande ( ) t u et de la trajectoire . ( ) t yd Nous allons traiter chaque intervalle[ [ 1 , + i i t t séparément, la trajectoire étant monotone dans chacun de ces intervalles. Dans l’intervalle [ [ 1 , 0 t , ( ) 0 < t yd & , et donc ( ) ( ) ( ) ( ) t yd < t u t yd −τ , (Propriété 3) ; comme , nous obtenons : ( ) 0 = t 0 < ∀t y ( ) ( ) ( ) 0 = − t u t yd τ , (6) [ [ pour tout 1 , 0 t t ∈ , et donc, si ( ) ( t u ) τ existe: ( ) ( ) t t u > τ . (7) Comme existe, en remplaçant dans l’équation (7), on obtient: ( ) . 1 − T ( ) ( ) ( )        − = − t y t y T t u d d & 1 . (8) ( ) ( ) [ ] t t u t c , τ − ∈ ∃ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y t u T c y t u d d & & − = τ soit : ( ) ( ) ( )         −         = − c y t y T t u d d & 1 τ . (11) Remarque 1: L’équation (7) impose une contrainte sur et donc sur la trajectoire . Si ( ) t u ( ) t yd ( ) ( ) t u T est borné, l’existence d’une solution de l’équation (7) peut dépendre de la valeur supérieure de la dérivée . ( ) t yd & Cette équation indique qualitativement que l’existence éventuelle de la commande donnée par l’équation (12), dépend à la fois de ( ) t u ( ) t yd & , ( ) ( ) t u τ et de ( ) ( ) t u T . Ces contraintes supplémentaires peuvent générer de nouvelles limitations des performances de la commande comme le suggère l’équation (11). Remarque 2: La solution de l’équation (8), si elle existe, est indépendante du retard. Sur l’intervalle suivant [ [ 2 1 ,t t , , et donc : ( ) 0 > t yd & Dans l’exemple, nous expliciterons, pour un cas simple, l’expression exacte de u et des contraintes de faisabilité sur la trajectoire. ( ) t ( ) ( ) ( ) t y t u t y d d > − ( ) τ . (9) [ [ pour tout 2 1 ,t t t ∈ . En appelant ( ) t t l’instant tel que ( ) t t ∈ [ [ 1 , 0 t et ( ) y t t yd = − ( ) ( ) t d , il est nécessaire que (t t t t − ≥ ) τ (Fig 2). Une condition nécessaire pour que le retard existe est donc : Pour l’intervalle [ [ 3 2 , t t , , donc ( ) 0 < t yd & ( ) ( ) ( ) ( ) t y t u t y d d < −τ , et ainsi de suite. Nous proposons l’algorithme suivant : (a) Résoudre l’équation (8) pour [ [ 1 , 0 t ∈ t , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 t y t u t y d d < − < τ . (b) Pour tout [ [ 1 , + ∈ i i t t t , , résoudre l’équation (11), ( 1 > i ) Si les expressions , ( ) t yd & ( ) ( t u ) τ et sont données, l’équation (5) peut s’écrire : ( ) ( t u T ) (c) Vérifier que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 > − − t y t y t u t y d d d & τ Dans le cas contraire, on modifie ( ) t yd en conséquence, en diminuant par essais successifs ses performances (vitesse de convergence). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 = + − − t y t u t y t y t u T d d d ) τ & ( ) (10) et ne fait intervenir que et t u t . Remarque: le système n’est ni plat ni δ-plat [7] [10], il est impossible d’exprimer les variables du système comme une combinaison directe de ( ) t y ou d’autres variables. On peut toutefois résoudre l’équation (10) à chaque instant t , peut être déterminé par une méthode de recherche de racines. ( ) t u B. Poursuite d’un système à retard de transport Soit le système décrit par l’équation (1) pour lequel : ( ) ( ) ∫ − = t t t V d u τ ν ν , (12) 0 6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 ( ) t yd où V est une constante positive. L’algorithme du §III.A ne peut être appliqué directement puisque la commande u ne peut généralement pas être déterminée explicitement à partir de ( ) t ( ) t τ et réciproquement [3]. Une possibilité est d’utiliser l’équation (4) pour approcher (12) [17]. La commande déterminée de cette manière permet une poursuite exacte du système approché mais elle ne peut être appliqué avec succès au système à retard de transport réel. ] [ temps t Dans l’intervalle [ [ 1 , 0 t , on obtient directement à partir de l’équation (8): t∈ 3 2,t t ( ) ( ) ( )        − = − t y t y T t u d d & 1 . (13) domaine possible pour ( ) ( ) t u τ Fig. 2. Domaines de faisabilité du retard D’après le théorème de la valeur moyenne [17]: L’équation (15) conduit à ( ) ( ) ( ) 0 = − t u t yd τ pour tout t ∈ , et, d’après la Propriété 1, le retard n’est pas défini pour t ∈ [ ce qui implique [3]: [ 1 , 0 t [ [ [ 1 ,t 0 On peut choisir t ( ) ( ) 0 < − t u τ ou ( ) ( ) [ [ 1 , 0 t t u t ∈ − τ , ( ) ( ) [ [ 2 1,t t t u ∈ t −τ , à la condition de vérifier l’équation (19) La figure 2 représente les domaines de faisabilité du retard ( ) ( ) t u τ pour un instant t de l’intervalle [ [ 3 2,t t . pour tout t ∈ , soit : [ [ 1 , 0 t ( ) , 0 V d u t < ∫ ν ν La commande peut être obtenue dans chaque intervalle [ [ 1 , + i i t t de la même manière que pour l’intervalle [ [ 2 1 ,t t . ( ) V d u t < ∫ 1 0 ν ν . (14) La commande existe sur l’intervalle [ si 1 , 0 t ( ) ( ) ∫         − − 1 0 1 t d d dv v y v y T & − ( ) τ (puisque ). ( ) 0 > t yd & ( ) ( ) ∫ − ≥ + 1 0 1 t e e d u V T t u T ν ν , (22) Si l’on définit ( ) t t comme l’instant pour lequel ( ) t t ∈ et [ 1 , 0 t [ ( ) ( ) t y t t y d d = − , il est nécessaire que ( ) ( ) t t − t t ≥ τ . où ( ) e T t u + 1 . e T + ∫ est la valeur de entre t et Si est plus petit que V, la commande sera discontinue, avec un pic de grande amplitude, inacceptable pour une implémentation en temps réel. L’exemple présenté permettra de montrer que l’on peut toutefois limiter la commande sans affecter notablement les performances de poursuite. ( ) t u 1 1 t ( ) 1 0 t d u ν ν La relation implicite liant ( ) t τ et ne permet pas de déterminer explicitement la commande en fonction des autres variables du système. Nous proposons donc d’obtenir une telle relation en discrétisant les équations (5) et (12) et en approchant l’intégrale par une série. Une solution approchée du retard est le temps pour lequel : ( ) t u h ( ) ( ) ( ) ( ) (t y h t y t y t u T d d d − − = & ), (15) ( ) ( ) ∑ − = = e e T t T h t j e V T j u / / . (16) IV. APPLICATION A. Présentation de l’exemple T est la période d’échantillonnage. La commande doit satisfaire simultanément les deux équations : e ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ − − = − = e e T t T h t j e j u T V t u / 1 / (17) V Nous prenons l’exemple où la constante de temps du système (1) est inversement proportionnelle au débit (et donc à la commande) : ( ) ( ) t Q t T R & = , (23) ( ) ( ) ( ) ( )         − − = − t y t y h t y T t u d d d & 1 . (18) Le retard est donné par le temps où l’écart entre ces deux quantités est minimal : ( ) ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                     − −         − − = ∑ − − = − ∈ e e T t T h t j e d d d t t h j u T V t y t y h t y T t / 1 / 1 , 0 min arg & τ (19) où est le volume du RPAC. Le système de la figure 1, avec un retard de transport et la constante de temps donnée en (23), décrit la réponse R V ( ) t y à une injection de traceur salin dans un mélangeur de produits visqueux à ruban hélicoïdal [18] [19]. La sortie est fournie par une sonde de conductivité implantée dans le réacteur et la commande est la vitesse de rotation de l’agitateur (voir Fig. 4). Le problème de commande est de minimiser le temps de mélange - pour lequel on obtient un degré d’homogénéité spécifié après une perturbation- pour une puissance donnée [20]. Le suivi d’un profil désiré de conductivité peut permettre d’obtenir les performances souhaitées. m t Le temps de calcul –hors ligne- est important puisque l’on doit calculer (17) et (18) pour tout t, et pour tout h∈ ( ) [ [ t t , 0 . Dans l’intervalle [ [ 3 2 ,t t , , et ainsi : ( ) 0 < t yd & ( ) ( ) ( ) t y t u t y d d < − ( ) τ . (20) [ [ pour tout 3 2 ,t t t ∈ Fig. 3. Mélangeur à ruban hélicoïdal B. Poursuite d’une trajectoire polynomiale du premier degré par morceaux Soit le système décrit par les équations (5) (12) avec ( ) ( ) ( ) t u k t u = T , où k est constant. Nous choisissons une trajectoire du type ( ) ( ) t P t y i d = pour [ ] 1 , + ∈ i i t t t , où est un polynôme du premier degré tel que : ( ) t Pi ( ) ( ) i i i i t t y t P − + = α , avec ( ) 1 1 1 0 t y y − = α et, si , 1 > i 1 1 − − − − = i i i i i t t y y α . Le concepteur choisit les performances de la trajectoire (vitesse de convergence vers une valeur constante), donnée par les instants et les paramètres i t i α . En utilisant l’équation (8) du § III.A, on obtient pour [ [ 1 , 0 t t ∈ , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 t t y K t − + − = α α τ . ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 t t y K t y t y T t u d d − + − =         − = − α α & (24) La condition (14) ( ) ( ) dt t y t y T t d d ∫         − − 1 0 1 &