Commande H2 par retour de sortie d'un procédé cascade de production d'acides gras volatiles

01/10/2017
Publication e-STA e-STA 2003-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2003-1:20073
DOI :

Résumé

Commande H2 par retour de sortie d'un procédé cascade de production d'acides gras volatiles

Métriques

22
9
333.11 Ko
 application/pdf
bitcache://a8e9f74e30975252d5861ea7ef1e3f435b11fe83

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2003-1/20073</identifier><creators><creator><creatorName>Isabelle Queinnec</creatorName></creator><creator><creatorName>Jérôme Harmand</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Commande H2 par retour de sortie d'un procédé cascade de production d'acides gras volatiles</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sun 1 Oct 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sun 1 Oct 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Wed 19 Sep 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">a8e9f74e30975252d5861ea7ef1e3f435b11fe83</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>34090</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Commande H2 par retour de sortie d'un procédé cascade de production d'Acides Gras Volatils JEROME HARMAND1 , ISABELLE QUEINNEC2 1 Labratoire de Biotechnologie de l’Environnement LBE-INRA Avenue des Etangs, 11100 Narbonne, France 2 Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes LAAS-CNRS 7, Avenue du Colonel Roche, 31077 Toulouse Cedex 4, France harmand@ensam.inra.fr, queinnec@laas.fr Résumé— Cet article concerne le développement d’une commande d'un procédé biologique de production d'un effluent riche en Demande Chimique en Oxygène (DCO) facilement biodégradable obtenue par méthanisation de déchets solides. L'effluent produit est utilisé comme source de carbone dans les procédés de dénitrification des eaux usées. La synthèse d’une commande H2 par retour de sortie est proposée sur la base d’un modèle linéarisé obtenu autour d’un point de fonctionnement optimal. Des résultats de rejet de perturbations sont proposés en simulation et discutés. Mots clés— Biotechnologie, optimisation, commande H2. I. INTRODUCTION La commande des procédés biologiques complexes composés de plusieurs procédés unitaires interconnectés est un problème qui a été relativement peu étudié (Chen, 1992), (Dourado et al., 1987), (Luyben et Tramper, 1982). Les travaux existants qui sont consacrés à leur conception ne traitent que de deux types de systèmes : ceux composés d'une série multi-alimentée de réacteurs de mêmes volumes et ceux composés d'une série mono- alimentée de réacteurs de volumes différents. De plus, peu d'études considèrent la présence d'une boucle de recirculation. Récemment, plusieurs études ont été réalisées visant à optimiser la conception d'une série multi-alimentée de procédés de digestion anaérobie et munie d'une recirculation interne utilisée pour produire – généralement à partir de différents gisements de déchets organiques solides - du carbone facilement biodégradable pouvant être utilisé pour la dénitrification des eaux usées. Une fois la conception du procédé et la localisation des capteurs et actionneurs optimisée, il s'agit de le maintenir autour d'un point de fonctionnement permettant de maximiser la quantité d'AGV produite en dépit de perturbations pouvant intervenir sur les caractéristiques des déchets organiques solides utilisés (concentrations d'entrée). Dans cet article, nous présentons l'optimisation du procédé dans un contexte dynamique, la synthèse d'une commande robuste H2 et des résultats de simulation en présence de perturbations d'entrée. L'article est organisé comme suit. Tout d'abord, le procédé et son modèle sont rappelés. Dans la section suivante, le point de fonctionnement optimal est recherché : il s'agit de déterminer les caractéristiques des entrées (débits et concentrations) à appliquer au système – en régime statique - afin de maximiser la quantité d'AGV produite par unité de temps. Dans la section, une loi de commande robuste H2 est synthétisée sur la base du modèle linéarisé autour du point de fonctionnement optimal. Elle est appliquée, par la suite, au modèle du procédé affecté par des perturbations. Finalement, les résultats de simulation sont discutés avant de présenter nos conclusions et perspectives. II. LE PROCEDE CONSIDERE L'élimination de l'azote des eaux usées fait intervenir deux étapes : la nitrification qui transforme l'azote ammoniacal en nitrates et la dénitrification qui transforme les nitrates en azote gazeux. La première étape ne pose généralement pas de problèmes. En revanche, la seconde étape est réalisée par un consortium bactérien qui a des besoins importants en matière organique. Or, la dénitrification, pour des raisons à la fois pratiques et historiques, n'est souvent réalisée qu'à des stades où il ne reste plus assez de carbone organique pour la réaliser. Il est alors nécessaire de rapporter une source de carbone externe (mesurée en Demande Chimique en Oxygène ou DCO facilement biodégradable). Les sources de carbone synthétiques étant relativement coûteuses, il peut s'avérer plus avantageux d'utiliser les gisements de matière organique présents sur le site (déchets graisseux, boues primaires ou secondaires de stations d'épuration) et de les transformer en DCO facilement biodégradable (essentiellement des AGV) par méthanisation. Cette approche est d'autant plus intéressante que si le gisement est composé des boues de la station, et même si l'on prend en compte les boues additionnelles dénitrifiantes, elle permet globalement d'en diminuer la production. Cependant, les caractéristiques des gisements utilisés peuvent varier au cours du temps et il peut être nécessaire d'implémenter une boucle de régulation sur le procédé de digestion anaérobie utilisé afin de garantir que la production d'AGV reste constante et optimale. Le procédé considéré est représenté sur la figure 1. 34 Q 23 Q 41 Q 12 Q 1 V 2 V 3 V 4 V 4 4 1 , , A Ss Qout 4 4 4 4 4 4 2 , , , , , , Xm A Xa Ss Xh Xs Qout Q 1 Q 2 Q 3           in in in A Ss Xs 1 α           in in in A Ss Xs 2 α           in in in A Ss Xs 3 α Figure 1 : Série multi-alimentée de réacteurs de digestion anaérobie pour la production d'AGV αi est un facteur de dilution pour l'entrée i (i.e., le rapport de dilution à appliquer aux caractéristiques moyennes du déchet organique solide utilisé, et ce pour l'entrée i. Pour cette entrée, les charges en substrat solide, substrat hydrolysé et en AGV sont respectivement égales à αiQiXsin, αiQiSsin, αiQiAin). Dans cet article, nous considérons une approche de digestion anaérobie en trois étapes. Tout d'abord, un consortium bactérien hydrolytique (dont la concentration est notée Xh) hydrolyse le substrat solide (noté Xs) en un substrat soluble (Ss). Ce substrat est lui-même transformé dans une seconde étape en AGV (A) par une biomasse acidogène notée Xa. Enfin, les AGV sont transformés en biogaz par l'action d'une biomasse méthanogène notée Xm. Une représentation schématique de cette réaction est donnée ci-après : Biogaz X A X S X X m a s h s → → → (1) Les cinétiques biologiques comprennent un phénomène d'inhibition par le produit intermédiaire de la réaction, c'est à dire les AGV : 2 max 2 max 2 max i m m m i i m i a a a i i a i h h h i i h A Ki Ki K Xm Xm A Ki Ki K Xa Xa A Ki Ki K Xs Xs m i a i h i + + = + + = + + = µ µ µ µ µ µ (2) Pour chacun des réacteurs, un bilan de masse des composants de la réaction amène à considérer le système d'EDO suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                      + − + = + − + + − − = + − + = + − + + − − = + − + = + − + + − = i i ji i i j ji i m i i i ji i i j ji i in i i m m m a a a a i i i ji i i j ji a a i i i ji i i j ji i in i i a i a h i h h i i i ji i i j ji i h i i i ji i i j ji i in i i h i h i V Xm Q Q V Xm Q Xm dt dXm V A Q Q V A Q V A Q Y X Y X Y dt dA V Xa Q Q V Xa Q X dt dXa V Ss Q Q V Ss Q V Ss Q Y Xa Y Xh Y dt dSs V Xh Q Q V Xh Q Xh dt dXh V Xs Q Q V Xs Q V Xs Q Y Xh dt dXs i i i i i i i i i i i µ α µ µ µ α µ µ µ α µ 1 1 (3) avec les couples (i,j)=(1,4), (2,1) et (3,2). Le décanteur est considéré comme parfait, c'est-à-dire qu'il sépare parfaitement les phases liquide et solide. De plus, sa dynamique est négligée de sorte que les concentrations en éléments solubles dans le décanteur sont égales à celles dans le troisième réacteur (Ss4=Ss3 et A4=A3) alors que les concentrations en éléments particulaires sont données par : 3 41 2 34 4 X Q Qout Q X + = (4) L'optimisation du procédé que nous considérons ici va être réalisée en deux phases. Il s'agit tout d'abord de déterminer, en régime statique, les entrées du système ( ( ) 3 ... 1 = i i i Q α ) qui vont maximiser la production d'AGV. Puis, dans un second temps, il s'agira de synthétiser une loi de commande robuste de type H2 afin de maintenir le procédé – en régime dynamique - autour de ce point de fonctionnement en présence perturbations affectant les caractéristiques des déchets solides utilisés via la variation des αi. III. RECHERCHE DU POINT DE FONCTIONNEMENT OPTIMAL A. Optimisation numérique Dans un premier temps, nous considérons le problème d'optimisation statique suivant : en l'absence de perturbations, c'est à dire en régime permanent (i.e., pour des Qi et de i α constants et aucune variation de Sin autour d'une valeur nominale in S ), quelles sont les valeurs des entrées αi et Qi du système permettant de maximiser la quantité Qout1P4 (en masse par unité de temps) ? Dans ce problème d’optimisation, l'état d'équilibre du système est considéré comme une contrainte : ( ) 0 , 0 * * = ⇔ = θ x f x & (5) S'il est possible de résoudre analytiquement cette équation, c'est à dire si l'on peut trouver une fonction φ telle que x* =φ(θ∗ ) soit solution de (5), alors le problème d'optimisation suivant peut être introduit comme suit : OP1 : ( ) ( ) ( )           = ≤ ≤ 0 , 0 s contrainte sous * * * θ θ φ θ θ θ θ f J i i min (6) où i θ est la valeur maximale que peut prendre le ième paramètre de synthèse. Ce problème a été résolu numériquement dans (Harmand et al., 2001) pour différents déchets organiques solides considérés et nous ne reviendrons donc pas en détails sur cette étape de l'optimisation. Toutefois, nous rappelons ci- après les résultats obtenus pour le déchet spécifique considéré dans la présente étude. Le résultat numérique finalement retenu est présenté dans le tableau suivant : Tableau 1 : Résultats d'optimisation avec 6 degrés de liberté Qout1P4 Q1 α1 Q2 α2 Q3 α3 Valeur s optimal es 0,69 0,4 0,02 0,01 0,98 0,3 0,68 Charges (en Xsin) 0,14 0,18 3 Charges (en Ssin) 0,04 0,05 0,8 Charges (en Ain) 0,0001 0,0002 0,0003 B. Discussion Ces résultats montrent que la politique optimale d'alimentation de la configuration de réacteurs en série considérée ici (avec un modèle comprenant une inhibition de la réaction biologique par le produit) revient à augmenter régulièrement les charges appliquées le long du procédé. Il est particulièrement intéressant de noter que ces résultats sont en accord avec les travaux expérimentaux traitant du sujet (Cf. (Mata-Alvarez et al., 2000) pour un récent état de l'art lui étant consacré). A l'opposé, si l'on néglige les phénomènes d'inhibition, il est possible de montrer que la politique optimale d'alimentation consiste à n'alimenter que le premier réacteur. En effet, le procédé est alors équivalent à un système dans lequel il n'y aurait qu'une seule cuve (de volume largement supérieur à la somme des volumes des réacteurs en série). Puisqu'il y a équivalence entre ces deux configurations, il n'y a plus d'intérêt à utiliser un procédé multi-alimenté et les degrés de liberté supplémentaires constitués par les débits et facteurs de dilution le long du procédé ne sont pas utilisés. Le problème se réduit alors au calcul des débit et concentration d'alimentation à imposer au premier réacteur afin de maintenir le taux de croissance des micro-organismes maximum tout en évitant un lessivage du système. Il est très intéressant de comparer les résultats du tableau ci- dessus à ceux obtenus si au lieu de maximiser la quantité de produit (Qout1A4 exprimée en masse par unité de temps), le problème est de maximiser sa concentration (A4 exprimée en masse par unité de volume). La quantité produite par unité de temps n'étant pas prise en compte dans le problème d'optimisation, le résultat optimal (que l'on peut déduire intuitivement) consiste à maximiser le temps de séjour du substrat tout en l'injectant dans le système à la concentration maximale possible. A la limite, la solution optimale revient donc à considérer un système discontinu. Autrement dit, tous les débits d'alimentation sont à leur minimum alors que les facteurs de dilution sont simplement égaux à un. Cependant, il faut faire extrêmement attention à la manière de poser les contraintes du problème d'optimisation. En effet, la solution au problème d'optimisation que l'on veut résoudre est un point d'équilibre. Ce dernier doit donc être totalement indépendant des conditions initiales, ce qui n'est pas le cas des conditions finales d'un système discontinu qui sont, elles, totalement déterminées par les conditions initiales d'expérimentation. Travaillant en régime, l'un – au moins – des couples doit donc vérifier : { i i , Q α } {Qi * , αi * }≠{0, 0} (7) En pratique, ceci signifie que le choix des paramètres i θ dans le problème (6) doit être fait avec la plus grande attention. Un moyen simple de contourner cette difficulté est de contraindre i θ de telle sorte que i i θ ε ≤ < 0 . III. SYNTHESE D’UNE COMMANDE H2 PAR RETOUR DE SORTIE A. Linéarisation du système Le système non linéaire décrit par le système (3) peut être réécrit comme : ( ) w u x f x , , = & (8) Ce système peut être linéarisé autour du point d'équilibre x* associé aux entrées u* =[Q1 Q2 Q3]T et w* =[α1 α2 α3]T reportées dans le tableau (1). La linéarisation du système est classiquement réalisée comme suit : W w f U u f X x f X w w u u x x T w w u u x x T w w u u x x T      = = =      = = =      = = =       +       +       = * * * * * * * * * ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ & (9) avec X x x = − * , U u et W w . u = − * w = − * Ce système peut être réécrit sous forme matricielle comme : & X AX B U B W u w = + + (10) Le vecteur de mesure considéré pour le développement de la loi de commande H2 est constitué des écarts par rapport au nominal des mesures des substrats solubles et des AGV dans les trois réacteurs. Il est noté : Y=CyX (11) Le modèle obtenu est ainsi de dimension 18, comportant 3 entrées de perturbation, 3 entrées de commande et 6 mesures. Pour ce qui concerne les objectifs de commande, notre préoccupation est de maintenir la concentration en AGV dans le dernier réacteur à son niveau optimal. La sortie commandée est ainsi un scalaire exprimé sous la forme : Z=CzX + DzU (12) avec Cz un vecteur ligne formé de 0 sauf pour l'avant dernière composante égale à 1, qui correspond à l'écart sur la concentration d'AGV dans le dernier réacteur par rapport à sa valeur optimale. Dz peut être pris comme un vecteur ligne nul ou pas, selon que l'on veut limiter les variations sur les entrées de commande en réponse aux perturbations. Remarque 1 : Il est à noter que le système linéarisé possède une valeur propre nulle, ce qui fait qu'on ne peut pas conclure quant à la stabilité du système non-linéaire. Toutefois, nous avons simulé le système non-linéaire en appliquant, en boucle ouverte, les entrées {u* , α* } reportées dans le tableau 1. Lorsque les conditions initiales étaient différentes de x* , le système convergeait vers un point d'équilibre différent de x* , ce qui laisse présager de l'instabilité de x* . Remarque 2 : Les travaux rapportés ici ont trait à la synthèse d'une loi de commande permettant de maintenir le système autour du point d'équilibre x* . De fait, dans la suite, on suppose que l'on reste au voisinage de ce point avant de boucler le système. Le problème d'accessibilité de ce point depuis une condition initiale quelconque n'est pas abordé dans le présent article. B. Synthèse du régulateur La synthèse H2 a été largement étudiée dans la littérature, et nous ne reviendrons pas dessus dans cet article. Rappelons simplement que son objectif est de minimiser la transmission des perturbations w sur la sortie commandée z à travers la norme H2 de ce transfert. Le gain optimal H2 est alors obtenu en résolvant une équation de Riccati ou un problème d'optimisation convexe formé par des LMIs (Peres et Geromel, 1994). Pour ce qui est de la synthèse H2 par retour de sortie, les premières approches ont constitué à transformer le problème de retour de sortie en un problème de retour d'état avec contrainte de structure sur la matrice du gain. Ce type d'approche a été appliqué pour la synthèse H2 par retour de sortie dynamique du procédé de nitrification en présence de limitations sur l'amplitude de la commande (Queinnec et al., 1999). Plus récemment, Peaucelle et Arzelier (2001) ont proposé une procédure numérique à base de relaxation pour résoudre le problème de retour de sortie statique H2 sans structuration du gain. Le problème du retour de sortie statique est décrit comme un problème d'optimisation sous contraintes Inégalités Matricielles Bilinéaires. Un algorithme itératif en deux étapes permet de résoudre le problème. C'est cet algorithme que nous avons utilisé pour chercher une solution à notre problème. Nous obtenons, après 3 itérations le gain K : pour lequel le coût H2 est 2.9938e-04.           − − − − − = 9873 . 302 0770 . 0 3539 . 0 0334 . 0 2306 . 0 0126 . 0 1266 . 29 2811 . 0 9449 . 0 6248 . 0 2457 . 1 0536 . 0 9732 . 958 2879 . 0 2642 . 1 0678 . 0 3517 . 0 5396 . 0 K (13) IV. RESULTATS ET SIMULATION L'objectif de ces simulations est de montrer la robustesse de la loi de commande vis-à-vis de perturbations portant sur les coefficients αi. Si ces coefficients varient dans le même rapport les uns par rapport aux autres, les perturbations reflètent un changement de caractéristiques de l'effluent brut (variations de composition même si le rapport des composés Xsin, Ssin et Ain identique). En revanche, si ces coefficients varient indépendamment les uns des autres, les perturbations peuvent être attribuées à de mauvaises dilutions dues à la difficulté expérimentale de procéder à des dilutions précises de l'effluent aux coefficients αi. Ci-après, nous avons utilisé la seconde approche en supposant que les variations des αi étaient indépendantes entre elles. Les perturbations sont des fonctions sinusoïdales d'amplitudes égales à +/- 15 % des valeurs nominales αi * . Afin de tester la robustesse du régulateur, nous avons stoppé ces perturbations à t= 5 jours et attendu 10 jours afin de voir si le régulateur ramenait tout l'état autour de l'équilibre. Le régulateur étant essentiellement valide autour du point d'équilibre x* , les conditions initiales ont été prises égales au point d'équilibre. La figure 2 représente les αi. Les concentrations en substrats solubles (Ss) sont représentés sur la figure 3 et les concentrations en AGV sur la figure 4. Enfin, les variations des commandes autour de leurs valeurs nominales sont représentées sur la figure 5. 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tem ps (jours ) α 3 α 2 α 1 Figure 2 : αi perturbés 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Ss 1 Ss 2 Ss 3 Figure 3 : Concentrations en substrats solubles Ssi 0 5 10 15 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 Tem ps (jours ) A 1 A 2 A 3 Figure 4 : Concentrations en AGV Ai 0 5 10 15 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 Temps (jours) Qin 3 Qin 1 Qin 2 Figure 5 : Variations des commandes autour de leurs valeurs optimales V. DISCUSSION Les résultats de régulation en présence de perturbations (jours 0 à 5) sont tout à fait satisfaisants : la variable régulée (les AGV dans le dernier réacteur, A3) reste constante autour de sa valeur nominale en présence de perturbations représentées sur la figure 2. Il est intéressant de noter que lorsque les perturbations cessent à t=5 jours et que les αi retrouvent leurs valeurs nominales, la commande ramène tout l'état à x* . Toutefois, en présence de perturbations qui durent un peu trop longtemps ou dont l'amplitude est trop importante, il faut noter que certains actionneurs saturent (Cf. Qin2 sur la figure 5 pour 2