Application de la commande robuste séquencée au contrôle de la transition opérationnelle d’un système non linéaire

01/10/2017
Publication e-STA e-STA 2003-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2003-1:20069
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Résumé

Application de la commande robuste séquencée au contrôle de la transition opérationnelle d’un système non linéaire

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Application de la commande robuste séquencée au contrôle de la transition opérationnelle d’un système non linéaire Yann LABIT1, Pedro TEPPA1;2, Jacques BERNUSSOU1, Germain GARCIA1 1 Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes du CNRS 7 Avenue du Colonel Roche, 31077 Toulouse, France 2 Université Simón Bolívar, Valle de Sartenejas, Baruta, Caracas-Venezuelafylabit, pteppa, bernusoug@laas.fr Résumé— Nous proposons, dans cet article, une approche systématique pour assurer la transition en stabilité d’un système dynamique non linéaire entre deux points opérationnels. Ceci est réalisé dans un cadre d’un séquen- cement de lois de commande robuste issues de la satisfaction de contraintes en stabilité et en prenant compte de certaines spécifications de perfor- mances locales qui restent valables dans un voisinage d’attraction d’un en- semble de points d’équilibre. L’approche proposée est implantée par l’in- termédiaire de deux techniques : la première repose sur les fonctions cano- niques linéaires par morceaux tandis que la deuxième se centralise sur des outils géométriques tels que les ellipsoı̈des. Pour ces deux approches, nous obtenons une famille de modèles linéaires incertains pour lesquels nous re- cherchons s’ils sont quadratiquement stabilisables. Un exemple de pendule inversé permet de valider les deux techniques. Mots-clés—Transition, séquencement de gains, lois de commande robustes, modèles incertains, stabilisabilité quadratique, ellipsoı̈de, fonctions cano- niques linéaires par morceaux. I. INTRODUCTION Assurer la transition entre deux points d’opération d’un sys- tème dynamique non linéaire représente une partie fondamen- tale de la commande de systèmes non linéaires sur une large plage de conditions opérationnelles. Cette problématique a été abordé par plusieurs techniques dont on peut dénombrer : la commande adaptative à plusieurs modèles [14], la commande par supervision [9] et le séquencement de gains ([15] [17] [13]). Le séquencement de gains est une approche classique de résolu- tion, fréquemment adoptée dans l’industrie, elle est plus connue sous sa dénomination anglo-saxonne gain-scheduling, celle-ci envisage la commande d’un système non linéaire par plusieurs tâches linéaires. La procédure générale d’une telle méthode évo- lue de la manière suivante : – (i) linéariser le système non linéaire autour d’un ensemble représentatif de points d’équilibre, – (ii) déterminer un correcteur pour chaque modèle linéaire ob- tenu à l’aide d’une méthode de synthèse classique de systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI), – (iii) construire la loi de commande globale, par interpolation des paramètres des correcteurs locaux, – (iv) assurer la stabilité et la performance du système non li- néaire parmi les points intermédiaires à travers de simulations intensives. Il y a plusieurs difficultés associées à une telle stratégie [16], en particulier, elle ne garantit pas la stabilité de la boucle fermée. Comme conséquence, on trouve dans la littérature, plusieurs ap- proches qui considèrent d’étendre la région de stabilité ([11] [19] [12]). Nous proposons dans cette article deux techniques qui visent à étendre la région de stabilité par l’usage des outils de la commande robuste et de la programmation convexe[1]. Il est possible de retracer les origines de telles techniques à partir de l’algorithme général suivant – (i) représenter le système non linéaire autour d’un ensemble représentatif de points d’équilibre par des systèmes linéaires in- certains de type polytopiques, – (ii) déterminer un correcteur robuste pour chaque modèle li- néaire incertain obtenu à l’aide d’une technique de synthèse ro- buste, – (iii) construire la loi de commande globale en assurant un cer- tain niveau d’intersection parmi les régions de stabilité de sys- tèmes linéaires incertains successifs. L’algorithme proposé conduit à des techniques relativement simples et systématiques qui n’exigent aucune simulation ex- haustive par la suite pour tester la stabilité en boucle fermée du système non linéaire. En particulier, nous proposons deux tech- niques : la première repose sur les fonctionscanoniques linéaires par morceaux ([2], [3] [4]), tandis que la deuxième technique s’avère plutôt géométrique liée à des outils tels que les poly- èdres et les ellipsoı̈des ([7], [18]). Cet article est organisé de la manière suivante : la section II décrit les notions de base de la technique de séquencement de gains, la section III considère l’algorithme général et les deux technique développées. Enfin dans la section IV, un exemple numérique de commande d’un pendule inversé est développé afin de valider les techniques sur la transition d’un point d’équilibre vers un autre. II. SÉQUENCEMENT DE GAINS Soit le système non linéaire Σ décrit, 8t 0 par les équations Σ : ( d dt x(t) = f(x(t); u(t)) y(t) = g(x(t)) (1) où x(t) 2 R n , u(t) 2 R m et y(t) 2 R q sont respectivement : les vecteurs d’état, de commande et la sortie mesurée. On sup- pose qu’il y a un ensemble d’équilibre paramétré par une va- riable de séquencement ρ 2Γ 2 R s, Γ étant compact. Ceci si- gnifie qu’il existe des fonctions continues x0 : R s! R n, u0 : R s!R m telles que f(x0(ρ); u0(ρ)) = 08ρ 2Γ. La variable de 510 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 séquencement est une fonction du temps, ne dépendant que des variables mesurées, néanmoins au moment de mettre en place un correcteur pour le système Σ , elle devient un paramètre de synthèse. Pour tout ρ 2 Γ, le système linéaire Σl qui représente à Σ tout au long du lieu (x0(ρ); u0(ρ)) est Σl : ( d dt x(t) = A(x(t)) ;x0 (ρ)) + B(u(t)) ;u0 (ρ)) y(t) = C(x(t)) ;x0(ρ)) (2) où A; B;C sont des matrices Jacobiennes continues de dimension appropriée, ainsi par exemple, A = ∂ f ∂x (xeq; ueq) = 0 B B B B @ ∂ f1 ∂x1 : : : ∂ f1 ∂xn . . . ... . . . ∂ fn ∂x1 : : : ∂ fn ∂xn 1 C C C C A (3) En s’appuyant sur les notions de variété de points d’équilibre et linéarisation, un correcteur linéaire Cl est mis en oeuvre pour des valeurs choisies de ρ. Finalement, on implante un compen- sateur global C par le séquencement des correcteurs linéaires Cl en faisant usage des mesures en ligne de la variable ρ. Il est clair que l’on n’a pas de moyen de contrôler un minimum la transi- tion entre deux pointsd’équilibre intermédiaires pour le système non linéaire en boucle fermée. C’est pour cette raison que nous allons détailler deux méthodes partant du même modèle non li- néaire et des mêmes spécifications, et ayant les mêmes objectifs, c’est-à-dire la stabilisabilité du système non linéaire en boucle fermée avec des transitions acceptables et les spécifications res- pectées. III. ALGORITHME ET APPROCHES Par la suite, on va proposer un algorithme dans le cadre d’un séquencement discret avec la satisfaction des contraintes en sta- bilité, les performances ( dynamique, H2, H∞,...) pouvant être prises en compte localement et valables dans un voisinage ( non infinitésimal) d’attraction des points d’équilibre définis par la technique de séquencement. A. Algorithme général Problème 1 Trouver une loi de commande globale qui garantisse la transi- tion du système non linéaire depuis un point de fonctionnement de départ (xi; ui) 2 R n+m vers un point de fonctionnement d’ar- rivée (xf ; uf ) 2 R n+m en assurant la stabilité en boucle fermée de Σ et en prenant en compte de certaines spécifications locales de performance (placement de pôles, minimisation d’une norme du type H2 ou H∞ ,etc...). Algorithme 1 1. Déterminer l’ensemble d’équilibre du système non linéaire. 2. Prendre comme point d’équilibre initial, le point d’arrivée (la loi de commande sera bâtie hors de ligne) 3. Pour tout point d’équilibre, déterminer une région d’encadre- ment du système non linéaire. 4. Décrire le système non linéaire dans la région d’encadrement par l’intermédiaire d’un système linéaire incertain. 5. Faire la synthèse d’une loi de commande robuste (retour d’état ou retour dynamique de la sortie) pour le système non linéaire à l’intérieur de la région d’encadrement en assurant la stabilité locale et certaines spécifications de performance. 6. Déterminer la région de stabilitédu système linéaire incertain incluse dans la région d’encadrement . 7. Calculer le point d’équilibresuivant à la frontière de la région de stabilité définie autour du point d’équilibre précédant. 8. Si le nouveau point d’équilibre est égal au point de départ arrêter sinon retour en 3. 9. La loi de commande globale est composée de toutes les lois locales de l’étape 5. B. Approche séquencée linéaire par morceaux Dans cette section, nous allons rappeler succintement l’ap- proche dite canonique linéaire par morceaux décrite dans [10]. Pour plus de détails, le lecteur se referra à [2], [3] et [4] pour se familiariser avec les approximations linéaires par morceaux et à [8], pour comprendre le fonctionnement de l’algorithme d’ap- proximation par Newton-Gauss. Nous nous intéressons plus particulièrement au problème de changements de points de consigne en cherchant donc une com- mande séquencée assurant une transition ”convenable” entre un point d’équilibre initial et un point d’équilibre final désiré. Pour assurer une transition ”stable”, on se propose de déterminer une séquence de points d’équilibre intermédiaires de telle sorte que tout point intermédiaire i se trouve dans le bassin d’attraction du point i + 1 conséquent dans la séquence pour la commande ui+1. Le problème est donc de trouver cette séquence et les lois de commande associées pour assurer un transitoire convenable- ment rapide. Ainsi, nous aurons respecté les spécifications et assurer un minimum de contrôle au niveau des transitions. Les étapes principales de l’algorithme [10] sont décrites ci- dessous : Algorithme 1.1 1. Approximationde la non linéarité. Supposons le système non linéaire suivant : ẋ(t) = g(x(t); u(t)); (4) ẋ(t) = Ax(t) + B2u(t) + B1h(Cx(t)); (5) y(t) = Cx(t); (6) avec A 2 R nn, B2 2 R np, B1 2 R n1. h(x(t)) est une non linéarité dépendant d’une seule variable d’état. On obtient le nouveau modèle, linéaire par morceaux, suivant : ẋ(t) = Ax(t) + B2u(t) + B1h̄(Cx(t)) (7) avec h̄(y) = a + bT y + σ ∑ k=1 ckjαT k y;βkj; (8) Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 511 2. Détermination des modèles linéaires locaux. A partir de la connaissance des paramètres de h̄(x(t)) et des points intermédiaires locaux (points de cassure notés BPj et points d’équilibre notés TPj [10]), il est possible de déterminer les modèles linéaires locaux : ẋ(t) = Aj(x(t) ;xj) + B2 j(u(t) ;uj) (9) 8 j = 1::(σ+ 1); où xj est le point d’équilibre intermédiaire du modèle linéaire j et Aj est la matrice dynamique locale. On considérera par la suite Aj incertaine de type polytopique et appartenant au do- maine d’incertitude suivant : Aj 2Dj , n Aj1; Aj2 o (10) Bien sûr, ce domaine d’incertitude inclut le modèle linéaire ap- proximant local. Ce domaine est un cône d’incertitude (zone ha- churée) comme le montre la figure 1. TP TP BP TP BP C C + − j−1 j j j j+1 j+1 j Fig. 1. Cône d’incertitude pour une non linéarité à un argument. Il est nécessaire de vérifier la conditionsuivante afin que la com- mutation s’opère de manière douce et avoir l’assurance de la stabilisation aux points d’équilibre intermédiaires : 8y 2[TPj;1; TPj+1]; f(y) 2  C+ j [C; j  (11) ce qui implique que les points d’équilibre adjacents TPj;1 et TPj+1 appartiennent au domaine d’attraction de TPj. La condition évoquée précédement est une condition nécessaire pour l’obtentiond’un schéma de commutation stabilisant. Il peut se faire que l’évolution entre deux points d’équilibre et au mo- ment de la commutation ne soit pas uniforme et présente un comportement de type non minimum de phase. Pour se prému- nir de ce type de comportement, il est possible de tester loca- lement le signe de la dérivée de l’argument de la non linéarité puis éventuellement, agrandir le domaine d’incertitude de ma- nière à ce que les variations de la non linéarité se trouvent aussi incluses dans le cône C; j C+ j agrandi. Il se peut alors que le système ne soit plus quadratiquement stabilisable et il faut alors augmenter le nombre de points d’équilibre intermédiaires pour contrôler les domaines d’incertitude locaux. 3. Synthèse de commande robuste. Pour ne pas alourdir l’exposé, nous nous restreindrons au cas du retour d’état. Pour effectuer la synthèse robuste par retour d’état des systèmes linéaires incertains, nous avons utilisé l’approche quadratique de Ljapunov. Pour des questions de performances (rejet de pertur- bation, régime transitoire...), nous incluons un critère tel que la minimisation d’une norme H2 ou H∞, et un placement de pôles. Par conséquent, la synthèse pourra se réaliser à l’aide d’inégali- tés matricielles linéaires (LMIs). Pour un retour d’état, les lois de commande s’écriront u = uj + Kj(x(t) ; xj) 8 j = 1::(σ+ 1) (12) Il reste enfin le calcul de uj. Cette opération est réalisée à par- tir des équations du système non linéaire aux points d’équilibre intermédiaires calculés à l’étape 1. C. Approche séquencée par ellipsoı̈des Dans cette approche, on encadre localement les non linéari- tés dans un polyèdre. Puis, on construit une loi de commande linéaire robuste qui garantit la stabilité asymptotique dans une région ellipsoı̈dale maximale incluse dans le polyèdre autour de chaque point d’équilibre. En répétant la procédure sur une trajectoire “stationnaire” prédéfinie dans l’espace d’état qui connecte les deux points de fonctionnement, il est possible de couvrir la dite trajectoire, par une série d’ellipsoı̈des inclus dans des polyèdres, qui assurent la stabilité du système non linéaire en boucle fermée. De plus, on pourra garantir certaines specifi- cations au niveau local. Algorithme 1.2 1. Prendre comme point d’équilibre initial (x (1) eq ; u (1) eq ), le point d’arrivée, (x (1) eq ; u (1) eq ) = (xf ; uf ). 2. Encadrer le système non linéaire dans le polyèdre P( j) = fx : aT i x  bi; i = 1; :::; 2ng autour du j-ème point d’équilibre (x ( j) eq ; u ( j) eq ). 3. Représenter le système non linéaire à l’intérieur du poly- èdre P( j) par le système linéaire incertain Σ ( j) l (A( j) ; B( j) ;C( j) ) où les matrices appartiennent aux domaines d’incertitudes poly- topiques appropriés. 4. Bâtir une loi de commande robuste linéaire locale u( j) (t) = u( j) (x(t) ;x ( j) eq ) telle qu’elle maximise le volume de l’ellipsoı̈de ε( j) = fx : (x(t) ;x ( j) eq )T S(x(t) ;x ( j) eq ) < 1; S = ST > 0g inclus dans P( j) en assurant la stabilité et certains spécifications de performance pour Σ ( j) l (A( j) ; B( j) ;C( j) ) dans ε( j) . 5. Calculer le point d’équilibre suivant (x ( j+1) eq ; u ( j+1) eq ) dans ∂ε( j) (frontière de l’ellipsoı̈de actuel) 6. Si le point de départ xi 2ε( j) alors x ( j+1) eq = xi,u ( j+1) eq = ui et retour en 2. 7. Si x ( j+1) eq = xi arrêter sinon retour en 2. Remarque 1 Si dans l’étape 4, on fait la synthèse par retour d’état [5], la loi de commande globale devient 512 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 uglobale(x) = 8 > > > > > > > > > < > > > > > > > > > : u(1) (t) = K(1) (x(t) ;x (1) eq ) + u (1) eq ; x 2ε(1) u(2) (t) = K(2) (x(t) ;x (2) eq ) + u (2) eq ; x 2ε(2) - ε(1) . . . u(N) (t) = K(N) (x(t) ;x (N) eq ) + u (N) eq ; x 2 ε(N) - N;1 [ j=1 ε( j) (13) Remarque 2 L’encadrement des non linéarités dans une région polytopique autour du j-ème point d’équilibre (étape 2 de l’algorithme) se réalise de la façon suivante. Tout d’abord, on borne chaque com- posante du vecteur d’état comme jxi(t) ; x ( j) eq jδ; 8i = 1; ::; n (14) Soit 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0  0 0 1 . . . . . . ... 0 0  0 1 ;1 0  0 0 ;1 . . . . . . ... 0 0  0 ;1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 x1 . . . . . . xn x1 . . . . . . xn 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 δ + x ( j) 1eq . . . . . . δ + x ( j) neq δ ;x ( j) 1eq . . . . . . δ ;x ( j) neq 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 (15) On procède alors à l’encadrement des non linéarités dans l’hy- percube défini. Remarque 3 Le volume maximal de l’ellipsoı̈de ε( j) = fx : (x(t) ; x ( j) eq )T S(x(t) ;x ( j) eq ) < 1; S = ST > 0ginclus à l’intérieur du po- lyèdre P( j) = fx : aT i x  bi; i = 1; :::; 2ngest donné par la réso- lution du problème d’optimisation suivant [7] Min Trace(Sj) telle que S = ST (16) " (bi ;aT i x ( j) eq )  aT i (bi ;aT i x ( j) eq ) # > 0; (17) i = 1; ::2n j = 1; ::; N IV. PENDULE INVERSÉ Un pendule inversé est montré sur la Figure 2.a. Les équations dynamiques sont ( ˙ x1(t) = x2(t) ˙ x2(t) = mgl J : sin(x1(t)) + 1 J u(t) (18) où [x1(t); x2(t)]T = [θ(t); dθ(t)=dt]T, avec mgl = 6; 125 et J = 1. Le but de la commande est de lever le pendule de u m 0 m m θ m α m m m ) α,ρ,θ R( Re Im ρ Fig. 2. Pendule inversé et région convexe. θ(t) : π=4 !0, en assurant la stabilité en boucle fermée, et cer- taines spécifications sur le régime transitoire pour chaque cor- recteur linéaire robuste C( j) à travers d’un placement de pôles dans la région convexe R (αm; ρm; θm) = R (1; 5; π=2) du plan complexe [5] (Figure 2.b). Il est intéressant d’appliquer l’approche séquencée des deux techniques proposées pour le cas du retour d’état avec place- ment de pôles et contrainte H2, en présence d’une perturbation, formulée à partir d’un modèle non linéaire perturbé. Il est difficile dans le cas de modèles linéaires incertains, de par- ler de placement de pôles. On souhaite en garantir le maintien dans une région convexe du plan complexe. Par conséquent, tout en garantissant le maintien des pôles des modèles linéaires in- certains dans R (αm; ρm; θm). Il faut minimiser le transfert de jjTzw(s)jj2 2 < µ j. Il faut vérifier pour chaque modèle linéaires incertains les in- égalités linéaires matricielles (LMIs) du théorème suivant. Théorème 1 ([6], [10]) Soit une famille de modèles linéaires incertains ([6], [10]). Il existe une séquence de lois de commande par retour d’état sta- bilisantes telle que, pour chaque modèle linéaire incertain, leurs pôles sont contenus dans R (αm; ρm; θm) et jjTzw(s)jj2 2 < µ j si, il existe, pour chaque modèle linéaire incertain, deux matrices symétriques et définies positives Sj 2 R nn, Wj 2 R pp et une matrice Rj 2R mn telles que jjTzw(s)jj2 2  µ j (19) avec µ j = ArgMin[TraceWj] (20) AjiSj + SjAT ji + B2 jRj + Rj T BT 2 j + 2αmSj < 0 (21)  Sj SjCT j + RT j DT 12 CjSj + D12Rj Wj  0 (22)  AjiSj + SjAT ji + B2 jRj + Rj T BT 2 j Bp BT p ;I   0 (23)  ;ρmSj SjAT ji + Rj T BT 2 j AjiSj + B2 jRj ;ρmSj  < 0 (24) 0 B B @ cosθm(AjiSj + SjAT ji + B2 jRj + Rj T BT 2 j) ::: sinθm(SjAT ji ;AjiSj + Rj T BT 2 j ;B2 jRj) ::: ::: sinθm(AjiSj ;SjAT ji + B2 jRj ;Rj T BT 2 j) ::: cosθm(AjiSj + SjAT ji + B2 jRj + Rj T BT 2 j) 1 C C A< 0 (25) Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 513 Les gains par retour d’état sont calculés à partir de Kj = RjSj ;1 . Les indices j et i représentent respectivement l’indice des modèles linéaires incertains et l’indice des sommets de chaque modèle linéaire incertain. Remarque 4 Dans le cadre de l’approche séquencée par ellipsoı̈des, il faudra rajouter au théorème 1, le problème d’optimisationdécrit par les équation (16-17). A. Approche linéaire par morceaux Pour cette aproche, nous avons choisi de limiter le domaine d’étude de [0 π=2] et le nombre de modèles linéaires locaux in- certains à 6 car il s’agit déjà d’une approximation satisfaisante. Il faut garder à l’esprit que, plus le nombre de modèles linéaires locaux augmente, plus la précision sera grande, l’erreur d’ap- proximation sera faible et la transition entre les modèles sera moins brusque. Il existe donc un compromis à évaluer entre la complexité du nombre de modèles linéaires locaux et la préci- sion de l’approximation, ceci entrainant une dépendance avec la qualité des réponses des sorties. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 Temps Commande Commande 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Temps Position Position Fig. 3. Commande et position du pendule A l’aide de résultats classiques de stabilité quadratique et du théorème de cette section , nous pouvons à présent établir les différentes matrices de gains Kj avec la performance demandée. Nous avons fixé comme conditions initiales θ(0) = π=4 et comme état final θ(∞) = 0. La commutation d’un modèle li- néaire local à un autre s’exécute de manière douce et le régime transitoire doit s’effectuer de manière correcte et douce. La ré- ponse atteint son régime permanent avec un temps de réponse de 4s (Figure 3 b). La figure 3.a décrit la commande globale pour le système non linéaire en boucle fermée. Cette commande est composée d’une séquence de lois de commande robustes locales satisfaisant le théorème 1. La figure 4.a donne les indices des modèles linéaires locaux sous les conditions d’expérience et les pôles en boucle fermée sont exprimés sur la figure 4b. Le choix du transfert Tzw per- met d’améliorer encore le régime transitoire ici mais le critère sur la norme H2 pouvait bien sûr être utilisé pour satisfaire des contraintes en précision et rejet de perturbation. Dans notre cas, nous avons pu déterminer des bornes telles que jjTzw(s)jj2 2 < µ j pour chaque modèle linéaire local. Ces bornes sont exposées dans le tableau 1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Temps Numero Numero de modele −5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −3 −2 −1 0 1 2 3 Re Im Fig. 4. Indice de modèle et pôles en boucle fermée. j 1 2 3 4 5 6 µj 6.43 9.45 18.70 17.56 17.58 17.33 Tableau 1. Bornes µ j. B. Approche par ellipsoı̈des En utilisant x1(t) comme variable de séquencement et fixant la variable d’encadrement en δ = 0:25, (ce qui induit le nombre de correcteurs N=6), on trouve les résultats suivants : la position et la commande exercée sont montrées respectivement sur les fi- gures 5.a et 5.b. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 Temps Commande 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Temps Position Fig. 5. Commande et position du pendule La figure 6.a illustre la trajectoire d’état qui évolue toujours à l’intérieur des ellipses de stabilité pour une condition initiale égale au point de départ [π=4; 0] de l’algorithme. La figure 6.b décrit la location des pôles des modèles linéaires en boucle fer- mée. Pour cette approche aussi, le lecteur pourra consulter les valeurs des bornes pour le transfert jjTzw(s)jj2 2 < µ j dans la table 2. −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Position Vitesse −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fig. 6. Trajectoire et Pôles i 1 2 3 4 5 6 µi 6.31 9.81 17.37 17.27 17.17 17.01 Tableau 2. Bornes µ j. C. Transition et performances Pour traı̂ter la question de transition et performances, nous avons fait le constat des conditions nécessaires, des a priori et des transformations pour effectuer la synthèse de chaque tech- nique pour le modèle du pendule inversé. 514 Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Nantes, 8-10 juillet 2002 C.1 Mise en oeuvre (avant simulations) – Conditions nécessaires (d’inclusion / de transition) : pour les deux techniques : inclusion dans un cône d’incertitude ou inclu- sion dans un ellipsoı̈de maximal. – Hypothèses : non linéarité mono-argument pour les deux techniques. – Il existe une approximation du système non linéaire pour l’ap- proche canonique linéaire par morceaux. – Contraintes : identiques plus une contrainte sur les ellip- soı̈des. – Nombre de LMIs par modèle linéaire incertain : 4*(Nombre de sommets = 2) + 2 pour la technique canonique linéaire par morceaux et 5*(Nombre de sommets = 4) + 2 pour la technique par ellipsoı̈des. – Faisabilité : oui mais conservative. – Nombre de sommets : 2 pour la technique canonique linéaire par morceaux (1 non linéarité) et 4 pour la technique par el- lipsoı̈des (système non linéaire de dimension 2 avec une non linéarité). C.2 Analyse (après simulations) – Temps de réponse : équivalent pour les deux techniques (lé- gèrement plus rapide pour la technique linéaire par morceaux). – Placement de pôles : légèrement plus confinés pour la tech- nique par ellipsoı̈des. Utilisationd’une plus large partie de la ré- gion convexe R (αm; ρm; θm) pour la technique linéaire par mor- ceaux. – Bornes pour le transfert jjTzw(s)jj2 : sensiblement proches car on n’a pas exactement les mêmes modèles linéaires incertains. – Stabilité : oui pour les deux techniques. – Transitions / changement de modèle (sur la sortie et la com- mande) : discontinuités à chaque changement de lois de com- mande robustes locales avec un compromis entre le nombre de discontinuités et leur amplitude. V. CONCLUSION Dans cet article, deux techniques de synthèse de lois de com- mande robustes séquencées sont proposées pour un système non linéaire. Ces deux techniques sont soumises aux mêmes spéci- ficités, c’est-à-dire que nous imposons la stabilisabilité du sys- tème non linéaire en utilisant la stabilisabilité quadratique de systèmes linéaires incertains polytopiques, tout en nous préoc- cupant du problème de la transition entre chaque modèle linéaire incertain. Dans un aspect plus général, les deux techniques sé- quencées révèlent, après des simulations sur le pendule inversé, des similitudes par rapport aux temps de réponses, évolutions des trajectoires et de la commande. Pourtant, chacune a ses ca- ractéristiques et ses hypothèses. La commande séquencée li- néaire par morceaux travaille sur une approximation du modèle non linéaire a contrario de la commande séquencée par ellip- soı̈des. Et cette dernière montre un degré de conservatisme plus important que la première, dû à la recherche d’ellipsoı̈des maxi- maux et un nombre de sommets plus importants. Ces deux tech- niques présentent des premiers résultats encourageants mais il faudra expérimenter sur des systèmes non linéaires plus com- plêxes, avec des non linéarités à plusieurs arguments, en tenant compte du problème de la détermination des points d’équilibre intermédiaires. VI. REMERCIEMENTS On est très reconnaissant du soutien financier apporté pour le Programme de CoopérationPost-Gradué : Optimisationdes Pro- cédés en France et au Consejo Nacional de Investigaciòn Cien- tifica y Tecnològica (CONICIT) au Venezuela. RÉFÉRENCES [1] Féron E. Balakrishnan V. Boyd S., El Ghaoui L. Linear matrix inequali- ties in sytem and control theory. In SIAM Studies in Applied Mathema- tics,Philadelphie, Pensylvanie, 1994. [2] L. O. Chua and A. Deng. Canonical piecewise-linear representation. In IEEE Trans. on Circuits and Systems, volume CAS-35, pages 511–525, Jan 1988. [3] L. O. Chua and A. Deng. Canonical piecewise-linear modeling. 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