Systèmes à paramètres répartis et réacteurs tubulaires : analyse de propriétés dynamiques, synthèse et mise en oeuvre de lois de surveillance et de commande

01/10/2017
Auteurs : Denis Dochain
Publication e-STA e-STA 2004-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-2:20060
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Résumé

Systèmes à paramètres répartis et réacteurs tubulaires : analyse de propriétés dynamiques, synthèse et mise en oeuvre de lois de surveillance et de commande

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Systèmes à paramètres répartis et réacteurs tubulaires : analyse de propriétés dynamiques, synthèse et mise en oeuvre de lois de surveillance et de commande DENIS DOCHAIN∗ Denis Dochain is with the Cesame, Université Catholique de Louvain, Bâtiment Euler, avenue Georges Lemaı̂tre 4-6, B-1348 Louvain-La-Neuve, Belgium; Fax : 32-10-472180, e-mail : dochain@csam.ucl.ac.be Abstract Ce chapitre a pour objet de donner un aperu de quelques rsultats lis l’analyse des proprits dynamiques de modles linaires et non linaires de modles de racteurs tubulaires typiques du gnie chimique et biochimique, souvent caractris sous le label ”modle convection-diffusion-réaction”, ainsi qu’ la synthse et la mise en oeuvre de certains mthodes de surveillance et de commande pour ce type de procds. 1 Introduction Les procédés chimiques et biochimiques industriels sont souvent caractérisés par une non-homogénéité du milieu dans lequel ils sont mis en oeuvre. Par exem- ple, une colonne à distiller ou un réacteur à lit fixe ou à lit fluidise sont carac- terisés par des gradients spatiaux pour les concentrations des différents réactifs et produits et pour la température. Cela amène à considérer des équations aux dérivées partielles pour caractériser leur dynamique, modèles dans lesquels la di- mension spatiale prend une importance déterminante. La littérature scientifique en génie chimique utilise depuis plusieurs décennies les équations aux dérivées partielles pour modéliser divers types d’opérations unitaires où le milieu n’est pas homogène. L’état de l’art de l’estimation et de la commande des procédés chimiques et biochimiques dont la dynamique est décrite par des équations aux dérivées partielles peut tre résumé de manière simplifiée comme suit. Les réacteurs tubulaires couvrent une gamme importante d’applications industrielles, et leur ∗Denis Dochain est affilié au Cesame, Université Catholique de Louvain, Bâtiment Euler, avenue Georges Lemaı̂tre 4-6, B-1348 Louvain-La-Neuve, Belgium; Fax : 32-10-472180, e-mail : dochain@csam.ucl.ac.be 1 commande est raisonnablement bien maı̂trisée sur base de modèles relativement simples, typiquement de dimension finie et souvent linéaires. La question est alors d’essayer de comprendre pourquoi il est si peu fait référence à la théorie des systèmes de dimension infinie dans la commande des procédés. Les raisons sont mutiples. Les résultats de la commande des systèmes en dimension infinie sont souvent mal adaptées aux problèmes du génie des procédés : par exemple, le modèle convection-diffusion-réaction, qui est en quelque sorte le modèle de base des réacteurs tubulaires, a été à ce jour assez peu étudié dans la communauté scientifique de la théorie des systèmes de dimension inifinie; de plus les résultats disponibles se concentrent souvent sur des systèmes à une équation aux dérivées partielles alors que les modèles intéressants en génie des procédés portent la plupart du temps sur plusieurs variables d’état (température et concentration, ou concentrations de substrat et de biomasse,). Une autre raison est le haut degré d’abstraction mathématique nécessaire pour s’investir dans l’étude des systèmes de dimension infinie, ce qui peut facilement rebuter les ingénieurs de la commande des procédés. Finalement, plus fondamentalement, la question qui se pose est de savoir dans quelle mesure la théorie des systèmes de dimension infinie peut être utile pour résoudre plus efficacement les problèmes d’estimation et de commande des procédés à paramètres répartis. La réponse évidente à cette question est qu’une approche ”dimension infinie” s’avérera plus appropriée si la dimension infinie du problème est dominante. Cela ressemble étrangement à une ”lapalissade” mais le noeud se trouve bien là! En effet, si le génie des procédés regorgent de modèles de procédés décrits par des équations aux dérivées partielles, ces modèles ont rarement fait l’objet d’une étude en profondeur d’identification qui permettent de valider la dimension spatiale du modèle à partir de mesures réparties spatialement. La plupart du temps, l’identification d’un modèle du type convection-diffusion-reaction se fait sur base d’un modèle choisi a priori pour l’hydrodynamique (convection-diffusion) avec des essais de traceur pour déterminer les paramètres hydrodynamiques (typiquement le coefficient de dif- fusion). Elle est suivie par une identification des autres paramètres à partir de données expérimentales, souvent à l’équilibre, et possiblement uniquement sur base de données expéri-mentales à la sortie du réacteur (donc non réparties spatialement). Même si une telle approche est facile à comprendre du point de vue du coût qu’engendrent les manipulations expérimentales nécessaires, elle ne permet malheureusement pas de confirmer le caractère fondamental ”équations aux dérivées partielles” du procédé. Toutes ces raisons expliquent largement le fossé qui existe encore aujourd’hui entre la commande des procédés chimiques et biochimiques, et la théorie des systèmes de dimension infinie. Cet exposé prendra comme point de départ des modèles de réacteurs tubu- laires typiques de la littérature pour se concentrer avant tout sur l’analyse des propriétés de ce type de modèles. Comme les modèles de réacteurs tubulaires ont été à ce jour peu étudiés, il est important, si pas essentiel, de passer en revue certaines propriétés de ces modèles avant d’aborder la conception d’observateurs ou de lois de commande. Nous verrons dès lors quelles sont les propriétés de stabilité, d’observabilité et d’accessibilité de modèles linéaires en començant par 2 un exemple de base (réaction chimique du premier ordre avec un réactif et un produit) pour ensuite essayer les résultats au cas de réactions séquentielles avec et sans réactif commun, et au cas d’une croissance microbienne simple. Suivra le cas du modèle (nonlinéaire) de réacteur tubulaire non isotherme. Ensuite on abordera la conception d’observateurs asymptotiques pour réacteurs tubulaires et la conception de lois de commande à modèle de référence dans le cas du réacteur non isotherme. Cet exposé résume des résultats publiés par ailleurs. Les développements mathématiques (disponibles par ailleurs) seront souvent absents du texte avec l’objectif d’essayer de rendre la lecture de ce texte de synthèse aussi peu aride que possible. 2 Propriétés de modèles de réacteurs tubulaires 2.1 Le modèle de base Le modèle de base que nous allons considérer dans un premier temps est un réacteur tubulaire du type convection-diffusion-réaction avec une réaction du premier ordre avec un réactif C1 et un produit C2 : C1 −→ bC2 (1) où b est un coefficient stoechiométrique (b > 0). Dans ce cas, les équations de bilan de matière pour C1 et C2 s’écrivent comme suit : ∂x1 ∂t = −v ∂x1 ∂z + Da ∂2 x1 ∂z2 − k0x1 (2) ∂x2 ∂t = −v ∂x2 ∂z + Da ∂2 x2 ∂z2 + bk0x1 (3) où v, Da et k0 représentent respectivement la vitesse superficielle du fluide (m/s), le coefficient de diffusion (m2 /s) et la constante cinétique (1/s). Les conditions aux limites (dites ”conditions de Danckwerts”) sont les suivantes: z = 0 : Da ∂xi ∂z = −v(xi,in − xi), i = 1, 2 (4) z = L : ∂xi ∂z = 0, i = 1, 2 (5) où xi,in est la concentration d’alimentation du composant i (qui n’est diffé- rente de zéro que pour le réactif C1). Pour l’analyse d’accessibilité, nous allons considérer que l’entrée de commande est la concentration d’entrée du réactif x1,in. Pour l’analyse, il est important de se ramener à une forme ”représentation d’état” : ẋ = Ax + Bu (6) avec des conditions aux limites homogènes. Cela est possible en considérant certaines transformations qui consistent à extraire la partie de commande aux 3 bornes du modèle dynamique ci-dessus et à le réécrire sous la forme du modèle de Fattorini de commande aux bornes [9]. Dans ce cas, l’équation de bilan du réactif C1 se réécrit comme suit : ẋ1(t) = A11x1(t) + b1x1,in(t) (7) avec A11 = Da d2 x1 dz2 − v dx1 dz − k0x1, b1 = vδ(z) (8) De plus, de manière à éviter de devoir manipuler dans l’analyse un opérateur non borné (δ(z)), on considérera que l’action de commande sur un intervalle de largeur finie [0, w] (la même remarque s’applique au signaux de mesures appliqués à une fenêtre de largeur finie). On aura alors finalement les expressions suivantes pour A et B : A = A2 + A1 + A0, A2 = ( Da 0 0 Da ) d2 dz2 (9) A1 = ( −v 0 0 −v ) d dz , A0 = ( −k0 0 bk0 0 ) (10) B = ( v 0 ) ∆w(·) (11) avec le domaine D(A) égal à : D(A) = {x = (x1, x2)T ∈ H : .x, dx dz ∈ H are a.c. , . d2 x dz2 ∈ H, Da dxi dz (0) − vxi(0) = 0, . .Da dxi dz (L) = 0, for i = 1, 2} . (12) où H est l’espace de Hilbert défini comme suit : H = L2 (0, L) ⊕ L2 (0, L) (13) avec L2 (0, L) l’espace des fonctions mesurables à valeurs réelles et de carré intégrable. Maintenant que les équations sont écrites dans le format approprié pour l’analyse, nous pouvons passer à l’étape suivante : l’analyse proprement dite. Etant la nature différente du modèle suivant que le coefficient de diffusion est nul (réacteur piston, modèle hyperbolique) ou non nul (réacteur dispersif, modèle parabolique), les outils d’analyse seront différents. En termes simplifiés, le modèle parabolique a un spectre alors que le modèle hyperbolique n’en a pas. Cela apparaı̂t rapidement à la lecture des solutions de chaque type de modèle. En effet, la solution ”libre” (lorsque u = 0) pour le modèle piston s’écrit comme suit : si z < vt : x1(z, t) = x2(z, t) = 0, si z ≥ vt : x1(z, t) = e−k0t x10(z − vt), x2(z, t) = b(1 − e−k0t )x10(z − vt) + x20(z − vt) (14) 4 alors que pour le réacteur dispersif, elle prend la forme suivante : x1(z, t) = ∞  n=1 eλnt < x10, ψn >2 φn(z) (15) x2(z, t) = b(1 − e−k0t ) ∞  n=1 e(λn+k0)t < x10, ψn >2 φn(z) (16) + ∞  n=1 e(λn+k0)t < x20, ψn >2 φn(z) (17) où λn sont des valeurs propres : λn = − s2 n + v2 4Da − k0 < −( v2 4Da + k0) < 0 (18) avec sn solutions de l’équation résolvente : tan( L 2Da s) = 2vs s2 − v2 , s > 0 (19) tels que : 0 < sn < sn+1, ∀n ≥ 1 (20) Par ailleurs, φn sont les fonctions propres associées aux λn (ou, pour être précis, des bases de Riesz des vecteurs propres associés à A11) et ψn la séquence biorthonormale des vecteurs propres de l’opérateur adjoint A∗ 11 (Il n’est peut- être pas inutile de préciser que pour déterminer la solution du modèle dispersif, non seulement les opérateurs spectraux de Riesz ont été considérés, mais aussi la notion d’opérateurs de Sturm-Liouville; par ailleurs, la détermination de la solution dans les deux cas utilise largement le fait que l’opérateur d’état A est tri- angulaire inférieur, ce qui permet un calcul des solutions de manière ”récursive” (d’abord x1(z, t), puis x2(z, t)) [21]). Résumons maintenant les propriétés dynamiques du modèle de base. D’a- bord, dans les deux cas, l’opérateur A est le générateur T (t) d’un semi-groupe fortement continu [5] exponentiellement stable. Les propriétés d’observabilité et d’accessibilité sont largement liées à la struc- ture de chacun des modèles. En fait, la solution du modèle piston met clairement en évidence son caractère ”système à retard” : seules des mesures à la sortie du réacteur vont éventuellement permettre de reconstruire l’état du système. Pour le réacteur dispersif, la position du capteur devrait se révéler moins importante. Par ailleurs, l’examen des équations du modèle laisse apparaı̂tre la possibilité de reconstruire l’état du système à partir du produit B, mais non à partir du réactif A. Nous avons choisi dans notre étude les concepts d’observabilité et d’acces- sibilité approchées à cause de leur lien avec les notions d’observabilité et de commandabilité en dimension finie [5]. De plus, de manière à tirer parti de la positivité des états (concentrations du réactif et du produit), nous avons utilisé 5 les concepts de H+-observabilité et H+-accessibilité, c’est à dire en considérant uniquement les états (physiques) positifs de l’espace d’état H. En résumé, le modèle piston est observable si x1 et x2 sont mesurés à la sortie du réacteur (z = L); il est H+-observable si seul x2 est mesuré à la sortie du réacteur; il est H+-accessible avec x1,in comme entrée de commande. Pour l’analyse du réacteur dispersif, le spectre joue un rôle primordial. En ef- fet, les tests d’observabilité et d’accessibilité sont basés sur les fonctions propres du système. Par exemple, le test d’observabilité approchée consiste à vérifier que : rang(c1, Φn, ..., cp, Φn) = 1. (21) avec y