Modélisation et observation dynamique d’un poids lourd & estimation des forces latérales

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20045
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Modélisation et observation dynamique d’un poids lourd & estimation des forces latérales

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	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 30 Sep 2017</date>
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Modélisation et observation dynamique d’un poids lourd & estimation des forces latérales Mohamed Bouteldja1,2 , Victor Dolcemascolo1 et Nacer Kouider M’Sirdi2 1 Laboratoire Central des Ponts et Chaussées. 58 boulevard lefebvre 75732 Paris, France 2 Laboratoire de Robotique de Versailles 10-12 Avenue de l’Europe 78140 Velizy, France bouteldja@lcpc.fr Résumé– Cet article, présente un modèle nominal de véhi- cule lourd. Le modèle est développé dans le cas d’une ma- nœuvre de virage à vitesse constante. Une interface de simu- lation a été développée sur Matlab/Simulink. Une méthode d’observation par mode glissant est proposée. L’observateur permet de reconstruire l’état dynamique du véhicule, puis fournit une estimation des forces latérales. Mots-clés– Modélisation, Véhicule Poids Lourd, Observa- teur, Mode Glissant, Estimation, Force Latérale. I. Inroduction Ces dernières années, les statistiques ont montré une aug- mentation des accidents de la route ; dans la majorité des cas, un véhicule lourd était impliqué. Les conséquences de ces accidents sont coûteuses en terme de nombre de morts, dommages environnementaux, congestion, etc. Pour réduire le nombre d’accidents et pour améliorer la sécurité, des solutions ont été étudiées dans le cadre de programmes de recherche sur les systèmes de transport in- telligents (les programmes de recherche US NAHSC, Ca- lifornien PATH, japonais AHSRA, européens : ADASE, REPONSE et CHAUFFEUR, français PREDIT/ARCOS, etc.). Ces programmes visent l’aide au conducteur par l’étude et le développement des systèmes actifs de sécurité (commande latérale,. . . ), et des systèmes passifs de sécu- rité (de détection et d’alerte en cas de situations à risques, ...). Les accidents de poids lourds sont liés aux conditions de conduite regroupant le conducteur, le véhicule et l’environ- nement. De telles situations peuvent se produire lorsque le véhicule est amené hors des limites de stabilité. Le retour à une situation de conduite stable est une tâche compliquée pour la majorité des conducteurs et l’accident est inévi- table pour les conducteurs inexpérimentés ou dépourvus de système d’aide. Lorsque le véhicule est en mouvement, le conducteur peut agir uniquement sur la pédale de frein, l’accélérateur ou la direction. Cependant, des systèmes de sécurité actifs sont développés de plus en plus et implan- tés sur les véhicules pour surveiller et contrôler la stabi- lité du véhicule en temps réel (EBS, ABS, ESP). Néan- moins, la possibilité d’éviter un état instable peut être com- promise par les limites physiques du système. Par consé- quent, il est extrêmement important de détecter très tôt une tendance vers des situations à risques. Ceci nécessite la connaissance de l’état dynamique du système. Dans la littérature, il existe des méthodes qui permettent de détec- ter des instabilités dynamiques [5],[6],[8],[9]. Généralement, elles sont basées sur des mesures qui permettent de détec- ter des risques de dérapages (lacet) ou de renversements. D’autres méthodes utilisent des mesures combinées avec un modèle dynamique du véhicule [1],[4]. L’étude présentée dans cet article entre dans le cadre du thème 11 "Accidentologie des poids lourds" du projet ARCOS 2004. L’objectif est de développer des procédures pour détecter les situations à risque puis de déclencher des messages d’alertes. Dans cet article, nous focalisons notre travail sur l’es- timation des forces latérales qui s’appliquent au contact pneumatique/chaussée. Nous considérons une manœuvre de virage à vitesse constante sans action de freinage ni d’accélération. Dans ce cas, nous considérons que les mou- vements dynamiques essentiels sont le mouvement de roulis de l’ensemble (tracteur, semi-remorque), le lacet du trac- teur et le lacet relatif pur, ainsi que le mouvement de trans- lation de véhicule. Ainsi pour modéliser le véhicule lourd avec ces dernières hypothèses, nous considérons les simplifications suivantes : - les dynamiques de tangage et de pompage sont négli- gées, - le tracteur et la semi-remorque sont modélisés comme des corps rigides, - la dynamique des suspensions est considérée en fonc- tion du roulis pur. Pour représenter l’effet des forces latérales des pneus, un modèle de bicyclette étendu est utilisé [1]. Pour obtenir les équations dynamiques du véhicule lourd, nous utilisons la méthode de Lagrange. Les équations dynamiques sont écrites sous forme d’état, puis un observateur par mode glissant est défini pour observer la dynamique globale et ensuite estimer les forces latérales des pneus. Le choix de l’approche par mode glissant est motivé par sa robustesse [11] et [10], vis à vis des erreurs paramétriques et des erreurs de modélisation. L’organisation de cet article est la suivante : dans la deuxième section, nous décrivons le modèle simplifié du vé- hicule lourd et nous présentons les équations dynamiques déduites du formalisme de Lagrange. L’observateur et l’es- timateur de forces de contact pneus/chaussées sont décrits dans la troisième section. Par la suite, nous présentons quelques résultats de simulation dans la quatrième section. II. Modélisation d’un poids lourd Le type de véhicule lourd pris en compte est un tracteur- semi-remorque avec 5-essieux (2-essieux pour le tracteur et un tridem (3 essieux) pour la semi-remorque). Afin de re- construire les principaux états dynamique du véhicule à partir des manœuvres et pour estimer les forces latérales, avec la technique de l’observateur, nous adoptons une confi- guration de véhicule composée d’un tracteur à deux essieux et un corps rigide (châssis), et la semi-remorque à un essieu et un châssis [4]. Dans cette configuration, nous considérons seulement la dynamique des deux corps (châssis du trac- teur et de la semi-remorque). L’angle de roulis est considéré autour de l’axe de roulis du tracteur. Le tangage et le pom- page sont négligés dans le modèle. Pour développer les équations dynamiques du modèle, nous allons considérer le mouvement des deux masses sus- pendues dans le système de coordonnées de la figure 1. (XE, YE, ZE) est le système de coordonnées fixe (repère fixe lié à la terre). (Xt, Yt, Zt) et (Xst, Yst, Zst) sont les systèmes de coordonnées liés au centre de gravité des corps suspen- dus respectivement du tracteur et de la semi-remorque. XE YE ZE Zst Yst Xst Zt Yt Xt Zu Yu Xu Fig. 1. Systèmes de coordonnées (Xu, Yu, Zu) est le système de coordonnées de la masse non suspendue du tracteur, définie au centre du plan de l’essieu avant avec Zu parallèle à ZE. Le mouvement relatif de (Xu, Yu, Zu) par rapport au système de coordonnées fixe (XE, YE, ZE) décrit le mou- vement de translation du tracteur dans le plan horizon- tal et son mouvement de lacet autour de l’axe de ZE. Le mouvement de roulis est décrit par le mouvement de coor- données (Xt, Yt, Zt) par rapport au repère de coordonnées (Xu, Yu, Zu). L’angle d’articulation entre le tracteur et la remorque peut être décrit par le mouvement relatif entre les coordonnées des repères (Xt, Yt, Zt) et (Xst, Yst, Zst). A partir de la description des systèmes de coordonnées et de leurs mouvements relatifs, nous considérons les coor- données généralisées suivantes : xE : La position de CG du tracteur selon la direction X du système de coordonnées du repère fixe, yE : La position de CG du tracteur selon la direction Y du système de coordonnées du repère fixe, ψ : Angle de lacet du tracteur, φ : Angle de roulis ψf : Angle entre le tracteur et la remorque (lacet relatif). La description précédente du mouvement de véhicule permet de calculer les mouvements de translation et les vitesses de rotation de chaque corps (masses) au CG par une étude cinématique. Pour cela, l’énergie cinétique (Ek) et l’énergie potentielle du système (Ep) sont calculées par rapport au repère de référence (XE, YE, ZE). L’expression de l’énergie cinétique et potentielle permet de décrire le modèle du véhicule PL par le formalisme de Lagrange : d dt µ ∂Ek ∂q̇i ¶ − ∂Ek ∂qi + ∂Ep ∂qi = Fgi (1) Ce qui nous donne : M (q) q̈ + C (q, q̇) q̇ + G (q) = Fg (2) où qi est la ième coordonnée généralisée et q est le vecteur des coordonnées généralisées défini par q = £ x, y, ψ, φ, ψf ¤ . Donc le modèle du véhicule, représenté sous la forme d’équation d’état, est la suivante : ẋ = f (x, F, δ) (3) Fg représente le vecteur des forces généralisées. M est la matrice d’inertie symétrique et définie positive, C (q, q̇) est la matrice des forces de Coriolis et centrifuges, et G le vecteur de forces de gravité. On note les forces généralisées par le vecteur Fg, qui représente l’effet des forces externes agissant sur les deux corps de véhicule. Ces forces sont à l’interface pneumatique- chaussée et sont définies par les forces, verticale, longitudi- nale et latérale du pneu (voir la figure 2). wt ψf lt ψ wf l Fxt Fxt Fyt Fyt Fry Frx Fyf Ffx Fxf Fry Frx yu xu δ Fig. 2. Représentation des forces appliquées sur le véhicule lourd Les forces verticales agissant sur les masses non suspen- dues du véhicule sont des efforts de suspension. Nous allons modéliser le système de suspension comme étant une com- binaison d’un ressort et amortisseur. L’observateur (par mode glissant) doit être robuste. Nous allons considérer un modèle nominal de suspension linéaire tel que les forces de suspension sont : Fsfi = F0fi + Kf zfi + Df żfi Fsri = F0ri + Krzri + Drżri Fsti = F0ti + Ktzti + Dtżti avec i = 1, 2 (4) où F0i est la force statique et z le débattement du res- sort autour de sa position d’équilibre avec K et D les pa- ramètres de suspension. Nous considérons les forces de suspensions dues seule- ment aux mouvements de roulis. Alors, les variables de dé- battement z sont : zf1 = −zf2 = − wf 2 sin (φ) zr1 = −zr2 = −wr 2 sin (φ) zt1 = −wt 2 sin (φ) cos (ψr) + ltφ sin (ψr) zt2 = wt 2 sin (φ) cos (ψr) + ltφ sin (ψr) (5) Pour inclure les forces de pneumatique dans le modèle, nous allons considérer le cas des manœuvres de virage ef- fectuées à une vitesse constante. Les forces longitudinales sont donc considérées nulles. Dans ce cas, la force d’adhé- rence (pneumatique/chaussée) ne comporte qu’une com- posante latérale. Ces forces latérales situées au niveau de chaque essieu peuvent être introduites dans la formulation des forces généralisées du modèle bicyclette étendu (voir la figure 3). Dans ce modèle, les forces inconnues de pneu- matiques sont les forces latérales à l’avant et l’arrière des essieux du tracteur, et au niveau de l’essieu équivalent de la semi-remorque. Ces forces seront représentées par le vec- teur F = (Ff , Fr, Ft). δ X Y Ff Fr Ft Fig. 3. Modèle bicyclette étendue Le modèle du véhicule (2), développé dans un repère de référence, dépend de la position et de l’orientation du vé- hicule. Cependant, les mesures utilisées généralement en dynamique des véhicules pour analyser les réponses sont définies dans un repère lié à la masse non-suspendue du vé- hicule. Puis, nous réécrivons le modèle (2) dans ce repère. Pour exprimer (2) dans le repère lié à la masse non sus- pendue, nous utilisons les matrices de passage d’un repère à l’autre qui sont détaillées dans [3]. Alors, nous obtenons les relations suivantes : ẋE cos (ψ) + ẏE sin (ψ) = vx −ẋE sin (ψ) + ẏE cos (ψ) = vy ẍE cos (ψ) + ÿE sin (ψ) = v̇x − vyψ̇ ẍE sin (ψ) + ÿE cos (ψ) = v̇y − vxψ̇ (6) où ẋE et ẏE sont respectivement les composantes de la vitesse de véhicule sur les axes XE et YE. vx et vy sont respectivement les composantes de vitesse du véhicule se- lon les axes de Xu et de Yu dans le repère lié à la masse non-suspendue. De même, la transformation des forces gé- néralisées est obtenue à partir de : Fgx cos (ψ) + Fgy sin (ψ) = Fx −Fgx sin (ψ) + Fgy cos (ψ) = Fy (7) où Fx et Fy sont les composantes des forces externes respectivement selon les axes Xu et Yu. Elles sont exprimées en fonction de la force latérale du pneu, l’angle de direction δ et l’angle de lacet relatif ψf (angle d’articulation). Les variables d’état du modèle, sont présentées dans le repère de référence lié à la masse non-suspendue. Le vecteur x représente les variables d’état : x = h φ, ψf , vx, vy, ψ̇, φ̇, ψ̇f i Les variables ψ̇, φ̇, ψ̇f représentent respectivement les vi- tesses angulaire de lacet, roulis et la variation d’angle de l’articulation ψf . Cette définition des variables d’état permet d’écrire les équations dynamiques du modèle d’état du véhicule comme suit : q̈ = M−1 (q) (−C (q, q̇) q̇ − G (q) + Fg) ẋ = q̈ = f (x, F, δ) (8) où F représente le vecteur des forces inconnues, et δ l’angle de braquage des roues représente l’entrée du sys- tème. Le détail du modèle est donné dans [3]. III. Observateur par mode glissant & Estimation des forces latérales Dans cette section, nous proposons un observateur /es- timateur qui permet de reconstruire les variables d’état in- connues du véhicule et les forces latérales inconnues à partir des mesures disponibles sur un véhicule. Afin de définir l’observateur, nous utilisons une approche par mode glissant, connue pour être robuste par rapport aux incertitudes paramétriques, aux erreurs de modélisa- tion et aux perturbations. Dans notre cas, nous supposons que les mesures dispo- nibles sont l’angle de roulis φ, l’angle de lacet relatif relié à la sellette ψf , la vitesse de lacet ψ̇ et les composantes de la vitesse de véhicule vx et vy. Alors, les variables inconnues d’état sont φ̇ et ψ̇f , et les forces latérales du pneu définies par le vecteur F. Pour construire l’observateur, nous décomposons le vec- teur d’état x en deux vecteurs x1 et x2 avec : x1 = ¡ φ, ψf ¢T et x2 = ³ vx, vy, ψ̇, φ̇, ψ̇f ´T . Puis, nous pouvons réécrire l’équation d’état (8) de la manière suivante : ½ ẋ1 = ρx2 ẋ2 = f1 (x1, x2) + f2 (x1, δ, F) (9) où ρ = ∙ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ¸ ,avec f1 et f2 sont des fonc- tions analytiques qui sont définies dans <5 . La fonction f2 peut être réécrite sous la forme matricielle suivante : f2 (x1, δ, F) = Ω (x1, δ) F (10) avec, Ω une matrice définie dans <3×5 . Le vecteur x2 sera décomposé en deux composantes x21 et x22, dont x21 contient les variables mesurées vx, vy et ψ̇, et x22 contient les variables inconnues φ̇, ψ̇f . Nous pouvons écrire x2 = (x21, x22)T tel que x21 = ³ vx, vy, ψ̇ ´ et x22 = ³ φ̇, ψ̇f ´ . La forme d’état du modèle du véhicule est la suivante : ⎧ ⎨ ⎩ ẋ1 = x2 µ ẋ21 ẋ22 ¶ = D µ x21 x22 ¶ + Ω (x1, δ) F (11) avec la matrice D définie dans <5×5 , dépendant de l’état x. Le modèle (11) est mis sous la forme triangulaire expli- cite. On suppose que notre système est à entrée bornée et à état borné (BIBS) en temps fini [2]. Cette forme nous per- met de reconstruire l’état dynamique global du véhicule en utilisant l’algorithme d’observation étape par étape. A. Développement de l’observateur Nous proposons l’observateur suivant : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ . x̂1 = x̂2 + Λ1Sign1 (x1 − x̂1) Ã . x̂21 . x̂22 ! = D̂ µ x21 x̄22 ¶ + Ω (x1, δ) F̂ + µ Λ21 0 0 Λ22 ¶ µ Sign2 (x21 − x̂21) Sign2 (x̄22 − x̂22) ¶ (12) où xi et . x̂i sont respectivement l’état du système et son état estimé, et la variable supplémentaire x̄22 est définie comme suit : x̄22 = x̂22 + Λ1Sign1,moy (x1 − x̂1) (13) Λ1, Λ21, Λ22 représentent les matrices de gain de l’ob- servateur. Signe est le vecteur des fonctions Sign usuelles [12], [13]. Pour l’étude de stabilité, nous allons utiliser l’al- gorithme de convergence étape par étape en temps fini. Avec x̃i = xi − x̂i est l’erreur d’observation, alors l’erreur dynamique s’écrit comme : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ . x̃1 = x̃2 − Λ1Sign1 (x1 − x̂1) Ã . x̃21 . x̃22 ! = D̃ + Ω (x1, δ) F̃ − µ Λ21 0 0 Λ22 ¶ µ Sign2 (x21 − x̂21) Sign2 (x̄22 − x̂22) ¶ (14) avec ∆ = D̃ = D µ x21 x22 ¶ − D̂ µ x21 x̄22 ¶ B. Etude de la convergence de l’observateur Etape 1 : La convergence de x̂1 vers x1 en temps fini t1 : Durant cette étape, on prend Sign2 ∼ = 0. L’erreur dyna- mique de l’observation (14) devient : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ . x̃1 = x̃2 − Λ1Sign1 (x1 − x̂1) Ã . x̃21 . x̃22 ! = ∆ + Ω (x1, δ) F̃ (15) puisque le système est BIBS, c’est à dire à entrée finie et état fini (borné). On considère la fonction de Lyapunov suivante : V1 = x̃T 1 x̃1 2 (16) la dérivée de (16) donne : V̇1 = x̃T 1 (x̃22 − Λ1Sign (x̃1)) (17) Si on choisit Λ1 = diag (λ1, λ2) tel que λi = kx̃22 (i)kmax pour tout i = 1, 2, alors, V̇1 = 0 et par conséquent l’erreur d’observation x̃1 converge vers zéro en temps fini t1. Après t1, . x̃22 = 0. Ainsi, à partir de la solution de Fillipov [7], [12], nous obtiendrons . x̃22 (i) = λi Si gneq (x̃1 (i)) en moyenne. Puisque Signeq ∼ = Signmoy sur la surface de glissement (x1 = 0), nous obtenons par conséquence x̄22 (i) = x22 (i), ainsi x̄22 = x22 (Signmoy représente la valeur moyenne de la fonction Sign, elle peut être considérée comme un filtre passe-bas utilisé pour réduire le phénomène de réticence (chattering)). Etape 2 : Dans cette étape, nous allons étudier la convergence du reste de l’état en temps fini t2 ainsi que l’estimation du vecteur F (le vecteur des forces pneuma- tique). D’abord, on remplace le vecteur Sign2, par les fonctions Signes usuelles et puisque x̄22 ' x22, nous avons alors D̂ = D et donc ∆ = 0. La dynamique de l’erreurs d’observation présentée dans (14) est réduite à : ( . x̃1 = x̃22 − Λ1Sign1 (x1 − x̂1) = 0 . x̃2 = Ω (x1, δ) F̃ − Λ2Sign (x̃2) (18) Maintenant, on considère la seconde fonction de Lyapu- nov : V2 = x̃T 1 x̃1 2 + x̃T 2 x̃2 2 (19) pour t > t1 V̇2 = x̃T 2 x̃2 (20) En remplacant l’équation (2) du système (18) dans (20) on obtient : V̇2 = x̃T 2 ³ Ω (x1, δ) F̃ − Λ2Sign (x̃2) ´ On peut montrer que, si l’on choisit λ2 = diag (γ1, ..., γ5) avec γi assez grand (γi > 0) et comme F̃ est bornée, la convergence de x̃2 vers zéro est assurée en un temps fini t2 > t1 et par conséquent . x̃2 = 0. Ainsi, nous obtenons : Ω (x1, δ) F̃ − Λ2Signeq (x̃2) = 0 (21) avec Q = ΩT Ω est inversible, nous pouvons écrire : F̃ = Q−1 ΩT Λ2Signeq (x̃2) = F − F̂ (22) Soit, le vecteur F̄ défini comme : F̄ = F̂ + Q−1 ΩT µ Λ21 0 0 Λ22 ¶ µ Sign2 (x21 − x̂21) Sign2 (x̄22 − x̂22) ¶ (23) Par ailleurs, après la première étape (c.-à-d. pour t > t1) et puisque x̄2 ∼ = x2, l’expression du vecteur F̄ s’écrit donc en utilisant (22) et (23) : F̄ = F̂ + Q−1 ΩT Λ2Signmoy (x̃2) (24) D’autre part, puisque après t2 nous avons Signeq (.) , Signmoy (.) et pendant cette deuxième étape x̄2 = x2 (les conditions de la première l’étape restent vraies après t1), on peut conclure que pour t > t2 , F̄ = F. Pour résumer, la définition de l’observateur explicitée par les équations (12), (13) et (23) avec les conditions sur le choix des matrices de gain (Λ1, Λ2), permet de connaître l’état global du modèle de véhicule (11) et des forces de pneus en un temps fini. IV. Résultats de simulation Dans cette section, on donne quelques résultats de simu- lation, afin de tester la robustesse de l’observateur vis à vis des erreurs paramétriques du modèle, ainsi que quelques résultats d’estimation des forces latérales de véhicule. La structure de l’estimateur des forces latérales de véhicule est schématisée de la façon suivante (Figure 4) : Modèle de véhicule poids L’observateur d’état Estimateur des forces latérales F estimé Entrée Sortie Fig. 4. Diagramme d’estimation Les résultats de simulation sont déterminés en fonction du temps (en abscisse). Les figures 5, 6, 7 et 8 montrent un bon comportement de l’observateur, même avec un pourcentage d’erreur sur les paramètres du modèle. Sur les figures, on présente l’évolution de l’ensemble des variables d’état. En effet, malgré la différence des conditions initiales sur les variables d’états entre le modèle et l’observateur, on constate que l’estimation de ces variables est rapide et que l’erreur reste par la suite très faible. Les courbes de la figure ?? présentent l’evolution des forces latérales et leurs estimations. Le fait que ces forces soient bien estimées, implique un bon comportement de l’estimateur pour la reconstruction des forces latérales au niveau du contact pneumatique/chaussée. Fig. 5. Roulis mesuré et Roulis observé Fig. 6. Lacet relatif mesuré et Lacet relatif observé Fig. 7. Vitesse de roulis mesuré et Vitesse de roulis observée Fig. 8. Vitesse de lacet relatif mesuré et Vitesse de lacet relatif ob- servée Fig. 9. estimation des forces latérales V. Conclusion Nous avons présenté dans cet article une étude de re- construction de la dynamique du véhicule et de l’estima- tion des forces pneumatiques. Pour reconstruire cette dy- namique, nous avons utilisé la technique des observateurs par mode glissant. Dans ce travail, nous avons considéré des manœuvres du véhicule en virage à vitesse constante. Ainsi, un modèle a été développé pour représenter les prin- cipaux états dynamiques dans ce cas. Sur la base de ce mo- dèle, nous avons proposé un observateur par mode glissant, afin de reconstruire l’état dynamique global du véhicule et d’estimer les forces latérales des pneumatiques. L’étude de stabilité de l’observateur montre qu’à partir du choix ap- proprié des matrices de gain de l’observateur, les erreurs d’observation convergent vers zéro en un temps fini. Les résultats obtenus montrent que le modèle et l’estimateur donnent une bonne estimation des forces latérales, ainsi que de l’état dynamique du poids lourd. Références [1] J. Ackermann. « Active steering for better safety, handing and comfort ». In advances in Vehicle control and Safety, Amiens, France, 1998. [2] J. P. 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