Estimation d’état et d’entrées inconnues d’un système non linéaire, représenté sous forme multimodèle

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20044
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Estimation d’état et d’entrées inconnues d’un système non linéaire, représenté sous forme multimodèle

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Estimation d’état et d’entrées inconnues d’un système non linéaire, représenté sous forme multimodèle A. Akhenak, M. Chadli, J. Ragot, D. Maquin Centre de Recherche en Automatique de Nancy, INPL CNRS UMR 7039. 2, Avenue de la forêt de Haye. 54516 Vandoeuvre, France. E-mail : {aakhenak, mchadli, jragot, dmaquin}@ensem.inpl-nancy.fr Résumé—Dans cet article, nous proposons une méthode d’es- timation d’état d’un système non linéaire représenté par un multimodèle soumis à l’influence d’entrées inconnues. l’ob- jectif est d’estimer simultanément l’état et les entrées in- connues. Pour cela, on propose la synthèse d’un multiobser- vateur basée sur l’élimination de ces entrées inconnues. On montre comment déterminer les gains du multiobservateur, qui sont solutions d’un ensemble d’inégalités linéaires ma- tricielles (LMI). Ensuite, nous proposons une méthode ori- ginale pour l’estimation des entrées inconnues. Un exemple académique illustre les performances du multiobservateur proposé. Mots clés : Système à entrées inconnues, Approche mul- timodèle, Multiobservateur, Estimation d’état et d’entrées inconnues, Stabilité asymptotique, Inégalités linéaires ma- tricielles (LMI). I. Introduction Un processus physique est souvent soumis à des perturba- tions qui ont comme origine des bruits dûs à l’environne- ment du processus, des incertitudes de mesures, des défauts de capteurs ou d’actionneurs ; ces perturbations ont des effets néfastes sur le comportement normal du processus et leur estimation peut servir à concevoir un système de commande capable d’en minimiser les effets. Les perturba- tions sont appelées entrées inconnues lorsqu’elles affectent l’entrée du processus et leur présence peut rendre difficile l’estimation de l’état du système. Plusieurs travaux ont été réalisés concernant l’estimation de l’état et de la sortie en présence d’entrées inconnues [1] ; ils peuvent être regroupés en deux catégories. La première suppose la connaissance a priori d’informations sur ces entrées non mesurables ; en particulier, Johnson [8] propose une approche polynomiale et Meditch [12] suggère d’ap- procher les entrées inconnues par la réponse d’un système dynamique connu. La deuxième catégorie procède soit par estimation de l’entrée inconnue, soit par son élimination complète des équations du système. Certaines techniques ne nécessitent pas l’élimination des entrées inconnues. Wang [16] propose la conception d’un observateur capable de reconstruire entièrement l’état d’un système linéaire en présence d’entrées inconnues ; Kobaya- shi [9] et Lyubchik [11] utilisent une méthode d’inversion de modèle pour l’estimation d’état. Parmi les techniques qui permettent l’élimination des entrées inconnues, celle de Kudva [10] s’intéresse, dans le cas des systèmes linéaires, aux conditions d’existence de l’observateur d’un système à entrées inconnues en se basant sur la technique d’inverse généralisée de matrice. Guan a procédé à l’élimination des entrées inconnues des équations d’état d’un système linéaire continu [6]. Beaucoup d’autres variantes existent, mais la grande majorité d’entre elles ont été développées pour des systèmes linéaires. Cependant, les systèmes physiques réels sont souvent non linéaires. Comme il est délicat de synthétiser un obser- vateur pour un système non linéaire, nous avons préféré représenter ces systèmes sous forme multimodèle. L’idée de l’approche multimodèle est d’appréhender le compor- tement global d’un système par un ensemble de modèles locaux (linéaires ou affines), chaque modèle local ca- ractérisant le fonctionnement du système dans une zone de fonctionnement particulière. Les modèles locaux sont ensuite agrégés au moyen d’un mécanisme d’interpolation. La motivation de cette approche découle du fait qu’il est souvent difficile de concevoir un modèle qui tient compte de toute la complexité du système étudié. En 1985, Ta- kagi et Sugeno [15], ont présenté un modèle flou d’un système constitué d’un ensemble de règles ” si prémisse alors conséquence ”, tel que la conséquence d’une règle est un modèle local affine ; le modèle global s’obtient par la somme des modèles locaux pondérés par des fonctions d’ac- tivation associées à chaque modèle local. La technique que nous proposons dans cet article consiste à associer à chaque modèle local un observateur local. L’ob- servateur global (multiobservateur) est la somme des obser- vateurs locaux pondérés par les fonctions d’activation as- sociées aux modèles locaux [13]. Notre contribution réside dans la construction de ce multiobservateur qui s’affranchit de la présence d’entrées inconnues. La stabilité du mul- tiobservateur est assurée par la recherche de matrices de Lyapunov appropriées. II. Estimation d’état et des entrées inconnues d’un multimodèle Le concept de mode glissant a émergé en Union Soviétique vers la fin des années 60, où des lois de commande discon- tinues pour les systèmes dynamiques ont été analysées. En utilisant une loi de commande commutée judicieuse, on a constaté que les états du système pouvaient être forcés pour atteindre et rester ultérieurement sur une surface prédéfinie dans l’espace d’état. Contraint sur cette surface, le mouve- ment résultant, appelé mouvement glissant, s’est avéré peu sensible à toutes les incertitudes ou signaux externes de perturbation. Cette propriété inhérente de robustesse a eu comme conséquence le développement de recherches dans le domaine de la commande par modes glissants. Ces idées ont été ultérieurement utilisées dans d’autres situations com- prenant le problème d’estimation d’état par l’intermédiaire d’un observateur. Les premiers travaux ont été réalisés par Utkin en utilisant une structure discontinue dans un obser- vateur [17]. Walcott et Zak ont utilisé une approche basée sur la méthode de Lyapunov consistant à synthétiser un observateur qui, avec des hypothèses appropriées, assure la décroissance asymptotique de l’erreur d’estimation d’état même en présence de non linéarités et d’incertitudes sur l’entrée du système [18]. Edwards et Spurgeon [19] et [20] ont proposé une stratégie de conception d’observateur, sem- blable du point de vue structure de modèle à celle de Wal- cott et Zak, en offrant de plus un algorithme explicite de conception. Dans le cadre de l’approche multimodèle, la synthèse de régulateur par modes glissants a été également considérée [10]. L’étude proposée concerne la conception d’un multiobservateur à modes glissants, capable de recons- truire le vecteur d’état et le vecteur de sortie en présence d’entrées inconnues, tel que chaque observateur local est un observateur du type de celui développé par Walcott et Zak [18]. Dans ce travail, nous considérons l’estimation des vecteurs d’état et d’entrées inconnues d’un système non linéaire représenté sous forme multimodèle, en utilisant un mul- tiobservateur basé sur une somme pondérée d’observateurs locaux de type Luenberger doté d’un terme glissant afin de compenser l’effet des entrées inconnues. Nous étudions également la stabilité de ce multiobser- vateur selon la méthode de Lyapunov ce qui conduit à l’élaboration des contraintes exprimées sous forme LMI [2] [3]. Considérons un système non linéaire, représenté sous forme multimodèle et dépendant d’entrées inconnues :        ẋ = M X i=1 µi(ξ) ³ Aix + Biu + Riū(t) + Di ´ y = Cx (1) avec :        M X i=1 µi(ξ) = 1 0 ≤ µi(ξ) ≤ 1∀ i = {1, ..., M} où x(t) ∈ Rn est le vecteur d’état, u(t) ∈ Rm est le vec- teur des entrées, ū(t) ∈ Rq , q < n, est le vecteur des entrées inconnues et y(t) ∈ Rq représente le vecteur des sorties mesurables. Pour le ième modèle local, Ai ∈ Rn×n est la matrice d’état, Bi ∈ Rn×m est la matrice d’entrée, Ri ∈ Rn×q est la matrice d’influence des entrées incon- nues et Di ∈ Rn×1 représente un vecteur dépendant du point de fonctionnement ; C ∈ Rp×n est la matrice de sor- tie. Enfin, ξ(t) représente le vecteur de décision dépendant de l’entrée connue et/ou des variables d’état mesurables. La procédure permettant d’obtenir cette structure et d’es- timer ses paramètres n’est pas développée ici ; indiquons simplement que l’on peut utiliser des techniques d’estima- tion paramétrique [5] ou des techniques de linéarisation [7]. Le problème considéré ici est celui de la reconstruction des variables d’état et d’entrées inconnues en utilisant seule- ment l’information des entrées connues et des sorties me- surées. A. Structure générale du multiobservateur Nous proposons une démarche originale de conception d’un multiobservateur à entrées inconnues basée sur une somme pondérée d’observateurs de type Walcott et Zak. Dans cette partie, nous considérons que les entrées inconnues ū(t) sont non nulles et bornées, telle que, kū(t)k ≤ ρ, où ρ est un scalaire positif et k · k représente une norme euclidienne. S’il existe des matrices de gain Gi ∈ Rn×p , telles que A0i = Ai − GiC sont stables, des paires de matrices de Lya- punov (P, Qi) et des matrices Fi ∈ Rm×p respectant les contraintes structurelles suivantes : ( AT 0iP + PA0i = −Qi CT FT i = PRi, ∀i ∈ {1, ..., M} (2) alors, pour le multiobservateur de la forme suivante :      ˙ x̂ = M X i=1 µi (ξ) ³ Aix̂ + Biu + Di + Gi (y − Cx̂) + Riνi ´ ŷ = Cx̂ (3) on peut déterminer des matrices Gi et des commandes νi (νi ∈ Rq ) qui garantissent la convergence asymptotique de x̂ vers x. Pour déterminer les matrices de gain Gi et les variables νi, définissons l’erreur d’estimation d’état : e = x − x̂ (4) et celle de sortie : r = y − ŷ = C (x − x̂) = Ce (5) La dynamique de l’erreur d’estimation d’état s’explicite : ė = M X i=1 µi (ξ) ³ (Ai − GiC) e + Riū − Riνi ´ (6) Théorème 1 : L’erreur d’estimation d’état entre le multi- modèle (1) et le multiobservateur robuste (3) converge vers zéro, si les termes νi sont définis par :    si r 6= 0, alors, νi = ρ Fir kFirk si r = 0, alors, νi = 0 (7) et s’il existe une matrice symétrique et définie positive P qui satisfait les inégalités : (Ai − GiC)T P + P(Ai − GiC) < 0, i = {1, ..., M}. (8) Preuve : Afin de démontrer la convergence asymptotique de cet observateur, considérons la fonction de Lyapunov suivante : V (e) = eT Pe (9) Sa dérivée par rapport au temps, le long de la trajectoire du système en utilisant les équations (4) et (6) s’explicite : V̇ = M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e+ (10) 2eT PRiū − 2eT PRiνi ´ En utilisant la deuxième égalité de la contrainte (2), la dérivée de la fonction de Lyapunov s’écrit de la façon sui- vante : V̇ = M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e+ 2eT CT FT i ū − 2eT CT FT i νi ´ = M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e+ 2rT FT i ū − 2rT FT i νi ´ ≤ M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e+ 2ρkFirk − 2rT FT i νi ´ que l’on peut majorer par : V̇ ≤ M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e+ 2ρkFirk − 2rT FT i νi ´ (11) Dans le cas où le résidu r est non nul, et en utilisant la relation (7), la majoration de la dérivée de la fonction de Lyapunov se simplifie : V̇ ≤ M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e ´ (12) Dans le cas où r est nul (r = 0) on obtient la même majora- tion. Le multiobservateur (3) converge donc si les relations (7) et (8) sont satisfaites. B. Estimation des entrées inconnues Plusieurs travaux ont été réalisés pour l’estimation des entrées inconnues dans le cadre des systèmes dynamiques linéaires [20]. La méthode que nous allons présenter pour estimer les entrées inconnues d’un multimodèle est origi- nale ; elle est basée sur la connaissance des matrices Ai, Bi, Di, Ri et la matrice de sortie C du multimodèle (1). Considérons le multimodèle (1) en l’absence d’entrées in- connues :        ˙ x̄ = M X i=1 µi(ξ) ³ Aix̄ + Biu + Di ´ ȳ = Cx̄ (13) La convergence du multiobservateur défini par (3) et (7) est garantie si la condition (8) et la contrainte (2) sont res- pectées. En régime permanent, l’erreur d’estimation d’état (4) tend vers zéro, on a alors x = x̂ ; en remplaçant x par x̂ dans l’équation (1) nous obtenons :        ˙ x̂ = M X i=1 µi(ξ) ³ Aix̂ + Biu + Ri ˆ ū + Di ´ y = Cx̂ (14) où le vecteur ˆ ū représente une estimation de l’entrée incon- nue. Considérons ε(t) l’erreur entre l’état du système (13) et celui du système (14), celle-ci peut s’écrire : ε = x̂ − x̄ (15) La dynamique de cette erreur est régie par l’équation : ε̇ = ˙ x̂ − ˙ x̄ = M X i=1 µi (ξ) ³ Aiε + Ri ˆ ū ´ (16) Sous réserve de l’existence de l’inverse généralisée de la somme pondérée des matrices de transmission des entrées inconnues Ri, on peut exprimer le vecteur d’entrées incon- nues sous la forme : ˆ ū = Ã M X i=1 µi (ξ) Ri !− Ã ε̇ (t) − M X i=1 µi (ξ) Aiε (t) ! (17) Rappelons que ε est défini en (15) et x et x̂ sont définis par les systèmes (3) et (13). C. Conception d’un multiobservateur en relaxant les contraintes Afin d’alléger les conditions d’existence d’un multiobserva- teur pour le multimodèle soumis à l’influence des entrées inconnues, une autre méthode de conception peut être proposée. Si toutes les paires (Ai, C) sont observables, définissons un multiobservateur reconstruisant l’état du multimodèle (1) de la forme suivante :      ˙ x̂ = M X i=1 µi (ξ) ³ Aix̂ + Biu + Gi (y − Cx̂) + νi ´ ŷ = Cx̂ (18) Les matrices Gi et les vecteurs νi avec νi ∈ Rn doivent être déterminés afin de garantir la convergence asymptotique de x̂ vers x. Il faut noter que les termes νi compensent les erreurs dues aux entrées inconnues. Pour déterminer les matrices de gain Gi et les termes νi, définissons l’erreur d’estimation d’état : e = x − x̂ (19) et l’erreur d’estimation de la sortie : r = y − ŷ = C ³ x − x̂ ´ = Ce (20) La dynamique de l’erreur d’estimation est donnée par l’équation suivante : ė = M X i=1 µi (ξ) ³ (Ai − GiC) e + Riū − νi ´ (21) Lemme 1 : pour toutes les matrices X et Y ayant des dimensions appropriées, la propriété suivante est vérifiée : XT Y + Y T X ≤ βXT X + β−1 Y T Y, avec β > 0 (22) Théorème 1 : L’erreur d’estimation d’état entre le mul- timodèle (1) et le multiobservateur robuste (18) converge vers zéro, si les termes νi sont définis par :    si r 6= 0, alors νi = 0.5 ρ2 β−1 kPRik 2 rT r P−1 CT r si r 6= 0, alors νi = 0 (23) avec β un scalaire positif et P est une matrice symétrique et définie positive qui satisfait les inégalités suivantes : (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) + βIn×n < 0 i = {1, . . . , M} (24) Preuve : Afin de démontrer la convergence asymptotique de cet observateur, considérons la fonction de Lyapunov suivante : V (e) = eT Pe (25) La dérivée de la fonction de Lyapunov par rapport au temps le long de la trajectoire du système en utilisant les équations (19) et (21) s’explicite : V̇ = M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC) T P + P (Ai − GiC) ´ e+ (26) 2eT PRiū − 2eT Pνi ´ On remarque de manière évidente que : 2eT PRiū = eT PRiū + uT RT i Pe. En utilisant le lemme (1), nous ob- tenons donc : eT PRiū + uT RT i Pe ≤ βeT e + β−1 uT RT i PPRiū ≤ βeT e + β−1 kPRiūk2 On en déduit : 2eT PRiū ≤ βeT e + β−1 kPRiūk2 . Dans le cas où r est non nul, en utilisant la relation (23) et le fait que les entrées inconnues sont bornées, nous obtenons : V̇ ≤ M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC)T P + P (Ai − GiC) ´ e+ βeT e + βkPRiūk2 − ρ2 β−1 kPRik2 rT r eT CT r ´ = M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC)T P + P (Ai − GiC) + βI ´ e+ ρ2 β−1 kPRik2 − ρ2 β−1 kPRik2 rT r rT r ´ = M X i=1 µi (ξ) ³ eT ³ (Ai − GiC)T P + P (Ai − GiC) + βI ´ e ´ Dans le cas où r est nul, on obtient la même majoration. L’erreur d’estimation d’état converge asymptotiquement vers zéro, si les conditions (23) et les inégalités (24) sont vérifiées. Les inégalités (24) sont non linéaires en P et Gi. Les techniques LMI ne peuvent donc être utilisées qu’après linéarisation du système d’inégalités. Nous avons choisi une technique de changement de variable. D. Méthode de résolution Considérons le changement de variable suivant : Wi = PGi (27) Les inégalités (24) obtenues après ce changement de va- riable s’écrivent de la manière suivante : AT i P + PAi − CT GT i P − PGiC + β−1 1 P2 + βI < 0 (28) En utilisant le complément de Schur [1], les inégalités (28) deviennent : · AT i P + PAi − CT WT i − WiC + βI P P −β1I ¸ < 0 (29) La solution des inégalités (29) peut alors être obtenue en utilisant des techniques classiques de résolution LMI, voir [2]. E. Conclusion A partir d’une représentation multimodèle, on a montré comment concevoir un multiobservateur utilisant le prin- cipe de l’interpolation d’observateurs locaux ; de plus, on a considéré le cas où certaines entrées du système sont in- connues. Le calcul des gains de l’observateur global est alors ramené à un calcul de gains des observateurs locaux ; la stabilité de l’ensemble nécessite cependant la prise en compte de contraintes de couplage entre ces observateurs locaux, ce qui conduit à la résolution d’un problème de type LMI. Sous réserve d’existence de matrices appropriées, nous avons montré que la reconstruction du vecteur d’état et de l’entrée inconnue du multimodèle est possible. Les résultats de simulation montrent que les estimations des vecteurs d’état et d’entrée inconnue sont très satisfaisantes. En fin, nous avons rajouté un bruit (de valeur moyenne nulle et d’amplitude égale à 10 pour cent de la sortie) sur la sortie du multimodèle, les résultats de simulation montrés sur les figures (4) (5) et (6) sont intéressants, l’as- pect théorique pour ce cas de figure (sortie + bruit) n’est pas développé dans cet article. III. Exemple d’application Considérons le multimodèle suivant, composé de deux modèles locaux et comportant deux sorties et trois états.        ẋ = 2 X i=1 µi(ξ) ³ Aix + Biu + Riū ´ y = Cx (30) Les valeurs numériques des matrices Ai, Bi, Ci et Ri sont les suivantes : A1 =   −2 1 1 1 −3 0 2 1 −6   A2 =   −3 2 2 5 −8 0 0.5 0.5 −4   B1 =   1 0.5 0.5   B2 =   0.5 1 0.25   R1 =   1 1 1   R2 =   1 0.5 2   C = · 1 1 1 1 0 1 ¸ Nous avons mis en oeuvre la première méthode de concep- tion proposée. Dans ce cas, le multiobservateur s’écrit :      ˙ x̂ = 2 X i=1 µi (ξ) ³ Aix̂ + Biu + Gi (y − Cx̂) + Riνi ´ y = Cx̂ (31) avec ( (Ai − GiC)T P + P(Ai − GiC) < 0 CT FT i = PRi, ∀i ∈ {1, ..., 2} (32) La résolution simultanée des équations (2) et (8) à l’aide d’un outil de résolution de LMI conduit aux matrices Gi, Fi et P suivantes : G1 =   −2.49 4.10 6.73 −9.21 −1.46 4.11   G2 =   2.45 3.88 3.42 2.94 8.24 −3.00   F1 = £ 0.34 −0.12 ¤ F2 = £ −0.1 0.56 ¤ P =   0.64 −0.45 0.02 −0.45 0.83 −0.03 0.02 −0.03 0.23   Le système (30) a été simulé en choisissant, pour l’entrée inconnue, deux créneaux filtrés se déclenchant aux instants 5s et 20s, de durées 2s et 14s et d’amplitudes respectives égales 1.5 et 1.2. La figure (1) présente l’évolution de cette entrée inconnue et son estimation par le multiobservateur. On constate que les deux tracés sont superposés sauf au voisinage de l’origine ; cela est dû au choix des valeurs initiales de l’observateur qui sont x0 = £ 1.5 0 0 ¤T et x̂0 = £ 0.1 0.1 0.1 ¤T . 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Fig. 1. L’entrée inconnue et son estimée Les figures (2) et (3) présentent les sorties du multimodèle et leurs estimations. Le système (30) a été ensuite simulé en ajoutant un bruit aléatoire centré sur les deux sorties. Les figures (4) (5) et (6) montrent l’estimation de l’entrée inconnue et des deux sorties pour ce cas de figure. Références [1] A. Akhenak, M. Chadli, D. Maquin and J. Ragot, Sliding mode multiple observer for fault detection and isolation, 42th IEEE 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Fig. 2. y1(t) du multimodèle et son estimé 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 Fig. 3. y2(t) du multimodèle et son estimé 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Fig. 4. L’entrée inconnue et son estimée 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Fig. 5. y1(t) du multimodèle et son estimé Conference on Decision and Control, Hawaii, December 9-12, 2003. [2] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, Philadelphia : SIAM, 1994. [3] M. Chadli, D. Maquin, J. Ragot, Multiple observer for discrete- time multiple model, IFAC Congres, Safeprocess, Washington, June 2003. [4] J. Chen and H. Zhang, Robust detection of faulty actuators via unknown input observers Int. J. Systems Sci., vol. 22, n. 10, MIT, October, 1980. [5] K. Gasso, G. Mourot and J. Ragot, Structure identification in multiple model representation : elimination and merging of local models, IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 Fig. 6. y2(t) du multimodèle et son estimé USA, December 2001. [6] Y. Guan, and M. 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