Approche adaptative de commande décentralisée par mode de glissement des systèmes articulés

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20042
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Résumé

Approche adaptative de commande décentralisée par mode de glissement des systèmes articulés

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	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 30 Sep 2017</date>
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Approche adaptative de commande décentralisée par mode de glissement des systèmes articulés T. Madani1 , D. Boukhetala2 , F. Boudjema2 et N.K. M’Sirdi1 1 Laboratoire de Robotique de Versailles, 10-12, avenue de l’Europe, 78140 Vélizy, France. 2 Laboratoire de Commande des Processus, 10, avenue Hassen-Badi, B.P. 182, 16000 El-Harrach, Algérie. madani@robot.uvsq.fr Résumé– Dans cet article, une approche de commande dé- centralisée adaptative par mode de glissement est dévelop- pée pour les systèmes articulés rigides. La structure de com- mande proposée considère le système comme un ensemble de sous-systèmes interconnectés dont chacun caractérise une articulation. Chaque sous-système est commandé par une unité de commande qui n’a accès qu’aux informations lo- cales. L’objectif visé par la commande est de garantir la poursuite d’un modèle de référence local. Les lois d’adapta- tion des gains sont élaborées en se basant sur la théorie des modes glissants et la théorie de la stabilité au sens de Lya- punov. La synthèse des lois de commande ne nécessite pas la connaissance exacte du modèle et n’utilise que l’informa- tion locale au niveau de chaque sous-système. La faisabilité et les performances de cette commande sont démontrées à travers des résultats expérimentaux effectués sur un robot manipulateur à trois degrés de liberté. Mots-clés– commande décentralisée, commande adaptative, modèle de référence, mode glissant, robot manipulateur. I. Introduction La synthèse et l’implémentation de la commande des sys- tèmes non linéaires interconnectés sont généralement diffi- ciles. Cette difficulté provient soit du nombre important de variables et des interconnexions entre elles, soit de la di- mension élevée du modèle. Pour cette classe de systèmes, une structure de commande décentralisée a été proposée. En effet, beaucoup de recherches ont été menées dans ce sens [1][2][3][4][5]. Grâce à sa structure, la commande dé- centralisée présente un certain nombres d’avantages, à sa- voir : La minimisation du taux d’information traitée par les unités de commande, la simplicité des lois de commande élaborées par rapport au cas centralisé ainsi que l’amélio- ration de la fiabilité de transfert de données en n’utilisant que l’information locale. Par ailleurs, la commande à structure variable, caractéri- sée par sa robustesse vis-à-vis des perturbations externes et des variations paramétriques, constitue un moyen très effi- cace pour la commande des systèmes interconnectés, et ce pour compenser l’effet des interconnexions [2]. Cette tech- nique a été développée suite aux travaux du mathématicien soviétique Fillipov [6], suivis par des recherches menées par Emelyanov [7] et Utkin [8]. La loi de commande à struc- ture variable est caractérisée par la discontinuité du signal de commande lors du passage par une surface de glissement préalablement synthétisée. La dynamique du système équi- valent est implicitement liée à cette surface. Dans certains procédés, les paramètres physiques sont généralement variables dans le temps. Pour ce type de sys- tèmes, les lois de commande classiques à paramètres fixes deviennent inefficaces et des commandes adaptatives sont nécessaires. Parmi ces commandes on peut distinguer l’ap- proche à modèle de référence [9][10]. Cette dernière consiste à forcer les états du système à suivre un modèle de référence fixé par le concepteur. Dans le présent travail, et dans le but de profiter des avantages de chacune des notions sus citées, nous combi- nons la structure décentralisée, les modes glissants et la commande adaptative à modèle de référence, pour élaborer une loi de commande décentralisée robuste et auto-reglable. Dans la section II, nous donnons une formulation dé- centralisée du modèle du système où nous mettons en évi- dence les sous systèmes ainsi que les interconnexions entre eux. La section III est consacrée à la synthèse de la loi de commande avec démonstration de la stabilité au sens de Lyapunov. Sachant que l’utilisation du mode de glisse- ment engendre le phénomène de broutement (Chattering) qui est indésirable en pratique à cause la fréquence élevée du signal de commande, nous proposons, dans la section IV, une autre forme continue du signal de commande en introduisant un secteur de glissement continu. Dans la sec- tion V, nous présentons des résultats expérimentaux de la commande proposée appliquée à un robot manipulateur à trois degrés de liberté. II. Modèle dynamique Le modèle dynamique général d’un système articulé ri- gide à n degrés de liberté peut être représenté par un système d’équations différentielles non-linéaires du second ordre : M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + G(q) = u(t) + up(t) (1) avec q ∈ 0. La commande décentralisée proposée pour la ièmè arti- culation s’écrit : ui = φT i xi + ϕiri + ψT i ei + γi (12) où ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ φi = φ̄i + ∇φi ∈ <2×1 ϕi = ϕ̄i + ∇ϕi ∈ < ψi = ψ̄i + ∇ψi ∈ <2×1 γi = γ̄i + ∇γi ∈ < avec φ̄i, ϕ̄i, ψ̄i et γ̄i des termes constants, et ∇φi, ∇ϕi, ∇ψi et ∇γi des termes discontinus. La commande décentralisée (12) est une commande à structure variable. Elle contient dans sa forme quatre chan- gements de structure, à savoir : — un retour d’état variable φT i xi, — une anticipation variable de la consigne désirée ϕiri , — un retour d’erreur de poursuite variable ψT i ei, — un signal auxiliaire variable γi servant pour l’élimina- tion les effets des interconnexions et des perturbations externes. Les termes discontinus de la commande locale (12) sont : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∇φi = 3 P j=1 k̂ij keik j−1 sgn(sixi) ∇ϕi = k̂i4 sgn(siri) ∇ψi = k̂i5 sgn(siei) ∇γi = k̂i6 sgn(si) (13) avec k̂ij des gains positifs d’adaptation tels que : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ k̂ij = wij keik j−1 |si| 2 P p=1 |xip| , j = 1, 2, 3 ˙ k̂i4 = wi4 |siri| ˙ k̂i5 = wi5 |si| 2 P p=1 |eip| ˙ k̂i6 = wi6 |si| (14) où wij > 0 des gains arbitraires. La figure 1 représente un organigramme de la commande proposée. Station de commande locale i γi ϕi ψi φi Λ i xi ei xmi si upi vi ri Modèle de référence Articulation i ui qi Fig. 1. Schéma de la commande décentralisée Soit A+ i une matrice définie par : A+ i = ∙ 0 −1 λi 1 + λi ¸ (15) Cette matrice est choisie de manière à ce que l’égalité ΛT i = ΛT i A+ i est vérifiée. On peut remarquer que la matrice Ni = (I −A+ i ) représente l’espace nul du vecteur ΛT i , c’est- à-dire, ΛT i Ni = 0. Posant B+ i ∈ <1×2 le vecteur ligne suivant : B+ i = £ 0 mii ¤ (16) Il est facile de démontrer, à l’aide des équations (5)- (8)-(15)-(16), que ∀mii(q) ∈ <+ , ∀cii(q, q̇) ∈ < et ∀di(q, q̇, q̈, t) ∈ < nous avons : (I − BiB+ i )Bmi = 0, (I − BiB+ i )(Ami − Ai) = 0, (I − BiB+ i )(Ami + A+ i ) = 0, (I − BiB+ i )Hi = 0. (17) Hypothèses : Dû aux caractéristiques mécaniques phy- siques des systèmes articulés rigides (1), aux stabilités des surfaces de glissement (11) et aux stabilités des modèles de références (7), les hypothèses suivantes sont valides [10] : 0 < βi1 ≤ ΛT i Bi ≤ βi2, ° ° °B+ i (Ami − Ai) − φ̄ T i ° ° ° ≤ 3 P j=1 αij keik j−1 , ¯ ¯B+ i Bmi − ϕ̄i ¯ ¯ ≤ αi4, ° ° °B+ i (Ami + A+ i ) − ψ̄ T i ° ° ° ≤ αi5, ¯ ¯B+ i Hi − γ̄i ¯ ¯ ≤ αi6. (18) avec αij > 0 et βij > 0 des constantes positives. La stabilité du système en boucle fermée peut être dé- montrée en choisissant la fonction de Lyapunov suivante : V = n X i=1 ⎡ ⎣s2 i 2 + βi1 2 ⎛ ⎝ 6 X j=1 (kij − k̂ij)2 wij ⎞ ⎠ ⎤ ⎦ | {z } Vi (19) où k̂ij sont les estimations des kij, tel que : kij ≥ αij βi2 βi1 (20) En dérivant la fonction Vi par rapport au temps nous obtiendrons : V̇i = siṡi + βi1 ⎛ ⎝ 6 X j=1 − ˙ k̂ij (kij − k̂ij) wij ⎞ ⎠ (21) Le développement de (21), avec la surface de glissement (10), la commande (12), les termes discontinus (13), les termes d’adaptation (14) et les propriétés (17), donne : V̇i = −s2 i +siΛT i Bi{ [B+ i (Ami − Ai) − φ̄ T i ]xi +[B+ i Bmi − ϕ̄i]ri +[B+ i (Ami + A+ i ) − ψ̄ T i ]ei +[B+ i Hi − γ̄i]} (22) −siΛT i Bi{ 3 P j=1 k̂ij keik j−1 sgn(sixi)T xi +k̂i4 sgn(siri)ri +k̂i5 sgn(siei)T ei +k̂i6 sgn(si)} −βi1{ 3 P j=1 (kij − k̂ij) keik j−1 |si| 2 P p=1 |xip| +(ki4 − k̂i4) |siri| +(ki5 − k̂i5) |si| 2 P p=1 |eip| +(ki6 − k̂i6) |si|} L’utilisation de (18) permet d’écrire : V̇i ≤ −s2 i − Pi |si| (23) où Pi = 3 X j=1 (βi1kij − βi2αij) keikj−1 2 X p=1 |xip| (24) +(βi1ki4 − βi2αi4) |ri| +(βi1ki5 − βi2αi5) 2 X p=1 |eip| +(βi1ki6 − βi2αi6) +(ΛT i Bi − βi1) { 3 P j=1 k̂ij keikj−1 2 P p=1 |xip| +k̂i4 |ri| + k̂i5 2 P p=1 |eip| + k̂i6} D’après (18) et (20) on peut affirmer que la quantité Pi est positive. Par conséquent, l’inégalité (23) implique que si si 6= 0 alors V̇i < 0. On obtient donc : V̇ = n X i=1 V̇i < 0 (25) Finalement, le système global (1) en boucle fermée est donc asymptotiquement stable avec la commande décen- tralisée (12). IV. Secteur de glissement Apres avoir assuré le comportement désiré, la commande est discontinue autour de la surface de glissement, qui conduit vers une commande forte, phénomène de réticence (chattering en anglais). Celui-ci est indésirable en pratique, de plus il provoque une utilisation maximale de l’activité de la commande, ainsi qu’une excitation avec une haute fré- quence. Ce phénomène peut exciter les modes de résonance hautes fréquences. On peut remédier à cette situation en lissant la commande par une l’introduction d’un secteur de glissement près de la surface de glissement en remplaçant les termes {∇φi, ∇ϕi, ∇ψi, ∇γi} de (13) par les termes sui- vants : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∇φi = 3 P j=1 k̂ij keik j−1 Fδi (si, keik) sgn(xi) ∇ϕi = k̂i4Fδi (si, keik) sgn(ri) ∇ψi = k̂i5Fδi (si, keik) sgn(ei) ∇γi = k̂i6Fδi (si, keik) (26) où la fonction Fδi est définie par : Fδi (si, keik) = si |si| + δi0 + δi1 keik (27) avec δi0 et δi1 sont deux constantes positives, tels que δi1 >> δi0. La figure 2 montre un exemple de secteur de glissement pour δi0 = 0.05 et δi1 = 1. −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 si || ei || F δi Fig. 2. Forme possible du secteur de glissement V. Expérimentation Nous avons procédé à la vérification et le test de la com- mande proposée en expérimentation au robot manipulateur 3ddl (figure 3) du Laboratoire de Robotique de Versailles (LRV). Celui-ci réalise trois mouvements rotationnels : le premier suivant l’axe vertical, le second et le troisième sui- vant deux axes horizontaux. Ces mouvements sont carac- térisés respectivement par les trois coordonnées générali- sées q1, q2 et q3. Les paramètres physiques de ce manipu- lateur sont : m1 = 0, 78kg, m2 = 0, 18kg, m3 = 0, 08kg, l1 = 0, 270m, l2 = 0, 225m, l3 = 0, 365m, r1 = r2 = 0.015m et r3 = 0.055m. mi, li, ri, i = 1, 2, 3 sont, respectivement, la masse, la longueur et le rayon du segment i. Un schéma de principe de ce manipulateur est donné par la figure 4. La loi de commande est implémentée à l’aide d’un PC Pentium II à 200MHz équipé d’une carte dspace de type DSP DS1103 PPC real-time controller et le logiciel Matlab 5.3.0 avec Simulink 3.0.1. La période d’échantillonage est fixée à 0.001sec. Fig. 3. Robot manipulateur 3ddl Nous avons utilisé la méthode de Range-Kutta du qua- trième ordre pour la résolution numérique des systèmes d’équations différentielles de la loi commande. Le choix des modèles de références, des trois articulations du robot, est le suivant : Ami = ∙ 0 1 −2 −2 ¸ , Bmi = ∙ 0 2 ¸ et Cmi = ∙ 1 0 ¸ pour i = 1, 2, 3. Ce modèle admet deux pôles complexes (−1, ±1), un co- efficient d’amortissement 0, 7 et un temps de montée 2, 35 Base du robot Articulation 3 Articulation 2 Articulation 1 q1 q2 q3 Fig. 4. Schéma de principe du robot 3ddl sec. Les conditions initiales des modèles sont fixées à zéro pour l’application pratique. Les surfaces de glissement sont caractérisée par λi = 5 pour i = 1, 2, 3. Les termes constants © φ̄i, ϕ̄i, ψ̄i, γ̄i ª dans (12) doivent être choisies de manière à réduire les bornes αij dans (18). Due à la complexité de la structure réelle du robot uti- lisé, nous avons opté pour des valeurs nulles des termes © φ̄i, ϕ̄i, ψ̄i, γ̄i ª . Tous les coefficients d’adaptations wij dans (14) sont fixés à 10 et les gains d’adaptatifs k̂ij sont initialisés à zéro. Afin de réduire les fortes excitations (réticence) de la commande, nous avons utilisé les formules (26) et (27) avec δi0 = 5 et δi1 = 100 pour i = 1, 2, 3. Le choix des deux paramètres δi0 et δi1 est réalisé après plusieurs expériences sur le robot réel. Pour visualiser le comportement dynamique transitoire du robot commandé, nous avons appliqué un signal de réfé- rence de type carré d’amplitude 1 rad et de période 16 sec. Les figures 5 et 6 montrent respectivement les positions et les erreurs de poursuites articulaires. Nous remarquons une bonne poursuite en position du modèle de référence. Les er- reurs de positions sont très faibles (erreur maximale égale 2, 5%). Le mouvement, de toutes les articulations du robot, suit fidèlement la dynamique fixée par le modèle malgré les interconnexions et les couplages entre les articulations. Les figures 7 et 8 représentent respectivement les vitesses et les erreurs de vitesses articulaires. Ces figures montrent la bonne qualité de poursuite en vitesse. L’erreur maximale est de l’ordre de 0, 1rad/sec. Les commandes, appliquées aux moteurs du robot, sont illustées dans la figure 9. On constate que le phénomène de réticence est pratiquement inexistant dans les signaux de commande. La forte excitation des articulations est donc complètement éliminée. Les commandes sont physiquement acceptables. 0 4 8 12 16 20 24 28 32 0 0.5 1 Articulation 1 (rad) consigne modèle robot 0 4 8 12 16 20 24 28 32 0 0.5 1 Articulation 2 (rad) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 0 0.5 1 Articulation 3 (rad) Temps (sec) Fig. 5. Positions articulaires du robot 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.02 0 0.02 Articulation 1 (rad) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.02 0 0.02 Articulation 2 (rad) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.02 0 0.02 Articulation 3 (rad) Temps (sec) Fig. 6. Erreurs de positions articulaires 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.5 0 0.5 Articulation 1 (rad/sec) modèle robot 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.5 0 0.5 Articulation 2 (rad/sec) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.5 0 0.5 Articulation 3 (rad/sec) Temps (sec) Fig. 7. Vitesses articulaires du robot 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Articulation 1 (rad/sec) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Articulation 2 (rad/sec) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 Articulation 3 (rad/sec) Temps (sec) Fig. 8. Erreurs de vitesses articulaires 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −2 −1 0 1 2 3 Articulation 1 (volt) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −2 0 2 4 6 Articulation 2 (volt) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 −2 0 2 Articulation 3 (volt) Temps (sec) Fig. 9. Commandes des articulations VI. Conclusion Nous avons proposé une approche de commande décen- tralisée adaptative par mode de glissement des systèmes ar- ticulés rigides. La loi de commande n’exige pas une connais- sance parfaite du modèle dynamique. Uniquement la struc- ture générale et les propriétés fondamentales sont néces- saires pour synthétiser la commande. La stabilité en boucle fermée est démontrée par la théorie de Lyapunov. L’inté- rêt majeur de la décentralisation est la simplification de la synthèse et de l’implémentation des régulateurs. Chaque articulation est considérée comme un sous-système com- mandé par une commande locale. Cette dernière n’utilise pas les informations des autres articulations. L’élimination du phénomène de réticence est fait par une introduction des secteurs de glissement. La faisabilité et les performances de la commande proposée sont démontrées à l’aide d’une im- plémentation pratique au robot manipulateur à trois degrés de liberté. Les résultats ont montré la bonne qualité de ré- glage et la robustesse vis-à-vis des perturbations externes. Références [1] E.J. Davison and N. Tripathi. The optimal decentralized control of large-power systems : load and frequency control. IEEE Trans. Autom. 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