Stabilisation pratique par modes glissants pour un système linéaire à retard

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20040
DOI :

Résumé

Stabilisation pratique par modes glissants pour un système linéaire à retard

Métriques

12
7
278.28 Ko
 application/pdf
bitcache://69c0a54ed876b4bdd35b97559e8de93384e7f02c

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2004-4/20040</identifier><creators><creator><creatorName>Michel Dambrine</creatorName></creator><creator><creatorName>NimaYeganefar</creatorName></creator><creator><creatorName>Annemarie Kokosy</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Stabilisation pratique par modes glissants pour un système linéaire à retard</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 30 Sep 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Fri 13 Jul 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">69c0a54ed876b4bdd35b97559e8de93384e7f02c</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>34057</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Stabilisation pratique par modes glissants pour un système linéaire à retard NimaYeganefar1,2 , Michel Dambrine1 , Annemarie Kokosy 1,2 1 Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS) UMR 8146 CNRS École Centrale de Lille, BP 48, 59651 Villeneuve d’Ascq Cedex, France 2 ISEN-ERASM 41 Boulevard Vauban, 59046 Lille Cedex, France (nima.yeganefar,michel.dambrine)@ec-lille.fr, annemarie.kokosy@isen.fr http://syner.free.fr Résumé— Dans cet article, nous étudions une possibilité de réduire les problèmes de réticences liés à la commande par modes glissants. Dans cette optique, nous proposons une manière de réduire la réticence en utilisant les fonctions sig- moı̈des, tout en essayant de conserver le caractère robuste de la commande. Nous étendons ainsi des études déjà réali- sées pour des systèmes sans retard. Mots-clés— commande par modes glissants, systèmes li- néaires à retard, réticence. I. Introduction A. Intérêt de l’étude Les commandes par modes glissants ont été étudiées avec succès sur les systèmes linéaires à retard (pour un bilan, on pourra se référer par exemple à [1] et [2]). Si, comme dans le cas non retardé, ces commandes ont fait leurs preuves quant au niveau de la robustesse, il s’avère aussi qu’elles présentent les mêmes inconvénients que pour les systèmes sans retard, c’est-à-dire avant tout le phéno- mène de réticence, plus connu sous le nom anglais de chatte- ring, qui apparaı̂t une fois la surface de glissement atteinte. La commande oscille alors théoriquement à une fréquence infinie, ce qui peut passablement perturber le système par exemple en excitant des modes non modélisés, dégradant ainsi les performances du système, parfois jusqu’à l’insta- bilité (cf. [3]). Dans le cas des systèmes sans retards, les études se sont alors dirigées vers des techniques permettant de réduire cette réticence, d’abord en essayant d’approcher la fonction signe par des fonctions de type sigmoı̈de [4], [5] et ensuite en essayant d’élargir avec les commandes par modes glissants d’ordres supérieurs [6]. Récemment, un résultat a permis d’étudier un algorithme d’ordre deux sur un système à re- tard [7]. A ce jour, les auteurs ne connaissent aucune étude pour réduire le phénomène de réticence par l’utilisation de fonctions sigmoı̈des pour les systèmes à retards. Nous exposerons donc d’abord le cadre général de notre démarche par la présentation d’une commande classique pour un système linéaire à retard et nous verrons qu’il est possible de réduire le phénomène de réticence en utili- sant des fonctions de type sigmoı̈de. Nous donnerons pour conclure quelques exemples de simulations pour comparer les performances en terme de robustesse/réticence. B. Définitions et notations Les notations seront les suivantes : sign représente la fonction signe qui, à un réel, associe son signe et qui n’est pas définie en 0. Par extension, pour x ∈ 0, z 6= 0 2. σ²(0) = 0 3. |z| ≤ ² ⇒ |σ²(z)| ≥ |z| ² (1 − ²) et |z| ≥ ² ⇒ |1 − σ²(z)sign(z)| ≤ ² Par extension, pour x = ¡ x1 , x2 , ..., xn ¢T un vecteur de > < > > : dx1(t) dt = (A11 + H∆(t)E0)x1(t) + (Ad11 + H∆(t)E1)x1(t − τ(t))+ (A12 + H∆(t)E2)x2(t) + Ad12x2(t − τ) dx2(t) dt = P2 i=1 (A2ixi(t) + Ad2ixi(t − τ)) + Du(t) + f(t, xt) x(t) = φ(t) for t ∈ [−h, 0] (2) où x(t) = (x1, x2), x1 ∈ 0, et les autres matrices, provenant de l’expression de la fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii choisie, véri- fient une certaine LMI (inégalité matricielle linéaire) que nous ne détaillerons pas ici. B. Diminution de la réticence B.1 Cas du retard constant Dans cette section, nous étudions un système où les per- turbations vérifient cette fois la condition dite de recouvre- ment (ou matching en anglais [11]) :    ẋ1 = P2 i=1 (A1ixi(t) + Ad1ixi(t − τ)) ẋ2 = P2 i=1 (A2ixi(t) + Ad2ixi(t − τ)) + Du(t) + f(t, xt) x(t) = φ(t) for t ∈ [−h, 0] (4) On considère la surface de glissement suivante : s(t) = x2(t) − Kx1(t) (5) avec K ∈ 0. (10) De plus, supposons que ω−1 1 (ω2(µ + h`)) + h` < α. (11) Alors, pour toute fonction initiale xt0 satisfaisant kxt0 kc ≤ ω−1 2 (ω1(α − h`)) − h`, (12) il existe T > 0 tel que la solution (1) satisfasse la condition suivante : kx(t)k ≤ ω−1 1 (ω2(µ + h`))h`, ∀t ≥ t0 + T. (13) Proof: Soit Lα l’ensemble de toutes les fonctions lip- schitzienne dans Cα de constante ` : Lα = {ϕ ∈ Cα : kϕ(θ2) − ϕ(θ1)k ≤ ` |θ2 − θ1| , ∀θ1, θ2 ∈ [0, h]}, et soit Λt,ξ = {xt ∈ Lα : V (t, xt) ≤ ξ}, pour ξ > 0. Notons que Lω−1 2 (ξ) ⊂ Λt,(ξ) ⊂ Lω−1 1 (ξ)+h`. Prouvons par exemple la seconde inclusion : si ϕ ∈ Λt,ξ alors kϕ(0)k ≤ ω−1 1 (ξ) et, puisque ϕ ∈ Lα, nous obtenons : kϕ(θ)k ≤ kϕ(0)k + θ` ≤ ω−1 1 (ξ) + h`. Soit ρ = ω−1 2 (ω1(α−h`)). Nous avons alors les inclusions suivantes Lµ ⊂ Lµ+h` ⊂ Λt,ω2(µ+h`) ⊂ Λt,ω2(ρ) ⊂ Lα et Lρ ⊂ Λt,ω2(ρ). Les ensembles Λt,ω2(µ+h`) et Λt,ω2(ρ) sont positivement in- variants. De plus, supposons que xt est à la frontière de Λt,ω2(µ+h`) (ou Λt,ω2(ρ)) alors kxtkc ≥ µ + h` et donc, puisque xt ∈ Lα, kxt(θ)k ≥ µ quelque soit θ ∈ [−h, 0] : nous avons donc V̇ (t, xt) < 0. Pour une fonction initiale xt0 ∈ Cρ−hl, d’après la pro- priété (8), xt est dans Cρ pour t ∈ [t0, t0 + h], et xt appar- tient à Lα pour t ≥ t0 + h. Donc, xt0+h ∈ Lρ. Supposons que xt0+h ∈ Λt,ω2(ρ) \ Λt,ω2(µ+h`), alors V̇ (t, xt) ≤ −k < 0, avec k = maxµ≤s≤α ω3(s). Cette in- égalité implique que V (t, xt) ≤ V (t0 + h, xt0+h) − k(t − t0 − h) ≤ ω2(ρ) − k(t − t0 − h) Finalement, il existe un temps fini T, indépendant de xt0 telle que, pour t ≥ t0 + T, V (t, xt) ≤ µ + h`, et dans ce cas l’inégalité (13) est vérifiée. Le théorème suivant montre qu’en remplaçant la fonction signe par la fonction sigmoı̈de, on peut obtenir un système pratiquement stable. Theorem 2: Sous les hypothèses citées plus haut (A1- A3) et dans le cas d’un retard constant τ = h, l’origine du système (4) est localement pratiquement stable sous la loi de commande suivante : u(t) = −D−1 [Ω(xt) + m1σ²(s) + m2s] (14) avec m1 = m 0 1+2M V 0 M 1−² , m 0 1 ≥ kΨk et m2 ≥ 0, M = max(kA12k, kAd12k) et V 0 M = supx1t∈Cr kV 0 1(x1t)k où V 0 1 est définie plus bas (expression (15)). Proof: D’après l’hypothèse A3, il existe une fonction de Lyapunov-Krasovskii Vr(t, ϕ) : < × Cα → <+ telle qu’il existe ω1, ω2 et ω3 des fonctions définies positives sur [0, α], vérifiant pour tout ϕ ∈ Cα et pour tout t : ω1(|ϕ(0)|) ≤ Vr(t, ϕ) ≤ ω2(kϕk) V̇r|(7)(t, ϕ) ≤ −ω3(|ϕ(0)|) où V̇r|(7) est la dérivée de Vr le long des trajectoires de (7). Suivant les travaux de Kharitonov et en reprenant les mêmes notations (cf. [14]), on peut montrer que cette fonctionnelle, dans le cas d’un système linéaire à retard constant, peut être choisie de la forme suivante : Vr(x1t) = V1(x1t) + V2(x1t) avec V1(x1t) = xT 1 (t)U(0)x1(t) + 2xT 1 (t) Z 0 −h U(−h − θ)Bx1(t + θ)dθ V2(x1t) = Z 0 −h Z 0 −h xT 1 (t + θ1)BT U1(θ1 − θ2)Bx1(t + θ2)dθ1dθ2 + Z 0 −h xT 1 (t + θ)[(h + θ)W2 + W3]x1(t + θ)dθ. où W1, W2, W3 sont des matrices définies positives et U(τ) = R ∞ 0 KT (t)WK(t + τ)dt, où K représente la ma- trice fondamentale du système (4) comme il est défini dans [14] et W une matrice définie positive. Il s’agit alors de faire apparaı̂tre V̇r|(7), en remarquant que seule la dérivée de V1(x1(t)) donne des termes en ẋ1. Pour ce faire, on isole tous les termes en ẋ1 dans un terme que nous noterons V 0 1 ẋ1 avec V 0 1 = 2xT 1 (t)U(0) + µ 2 Z 0 −h U(−h − θ)Bx1(t + θ)dθ ¶T . (15) Le reste sera noté V̇ 0 2 |(4) (=V̇ 0 2 |(7)), ceci, pour ne pas alour- dir l’écriture des équations. Considérons, alors, la fonction de Lyapunov-Krasovskii suivante : V (t) = 1 2 ks(x(t)k2 + M V 0 M Z 0 −h |s(t + θ)|dθ + Vr(x1t). La dérivée de V le long des trajectoires de (4) s’écrit : V̇ (t)|(4) = sT (Ω(xt) + Du(t) + f(t, xt)) + V 0 1 ẋ1 +M V 0 M(|s(t)| − |s(t − h)|) + V̇ 0 2 |(7). (16) 0 5 10 15 20 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Etats Temps [s] x 1 x 2 x3 Fig. 1. Stabilisation par une commande sous perturba- tion 0 5 10 15 20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 Commande Temps [s] u Fig. 2. Commande Si on pose g(xt) = g(x1t, x2t) = 2 X i=1 (A1ixi + Ad1ixdi) = ẋ1, alors d’après (3), l’équation (16) devient : V̇ (t) = sT (t) [−m1σ²(s) − m2s + f(t, xt)] + V 0 1 (g(x1t, x2t) − g(x1t, Kx1t)) + V 0 1 g(x1t, Kx1t) + V̇ 0 2 |(7) + MV 0 M(|s| − |sd|). (17) Par simple calcul, on peut vérifier que g(xt) − g(x1t, Kx1t) = A12(x2 − Kx1) + Ad12(xd2 − Kxd1) = A12s + Ad12sd V̇r|(7) = V̇ 0 2 |(7) + V 0 1 g(x1t, Kx1t). D’après l’hypothèse sur M et en notant que |s| = sT sign(s), (17) est majorée par V̇ (t) ≤ sT (t) [−m1σ²(s) − m2s + sign(s)Ψ] + MkV 0 1 k ¡ sT sign(s) + sT d sign(sd) ¢ +V̇r|(7) + M V 0 M(sT sign(s) − sT d sign(sd)). Par hypothèse, le sous-système (7) étant asymptotiquement stable, le terme V̇r|7 est négatif. Il suffit alors de vérifier, grâce aux propriétés de la fonction sigmoı̈de (définition 1), et les conditions sur m1, que le terme sT (t) [−m1σ²(s) + sign(s)Ψ)] + 2M V 0 MsT sign(s) est négatif pour |s| ≥ ². Ce qui conclut la preuve, par ap- plication du lemme 1. 0 5 10 15 20 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Etats Temps [s] x 1 x 2 x3 Fig. 3. Stabilisation par une commande classique sous perturbation 0 5 10 15 20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 Commande Temps [s] u Fig. 4. Commande classique B.2 Cas du retard variable On suppose dans cette partie que les hypothèses les hy- pothèses supplémentaires suivantes : A4) Le retard τ(t) est borné par h et |τ̇| < β < 1 A5) dx1 dt = (A11 + Ad11 + (A12 + Ad12)K)x1 est asympto- tiquement stable. Corollary 3: Sous les hypothèses (A1-A5), l’origine du système (4) est localement pratiquement stable pour un retard variable |τ(t)| < h sous la loi de commande suivante : u(t) = −D−1 [Ω(xt) + m1σ²(s) + m2s] les constantes étant définies comme dans le cas du théo- rème 2. Proof: La preuve est identique à celle du théorème 2, à cela près que pour le sous-système (7), nous choisissons cette fois la fonctionnelle développée dans [1] Vr(x1t) = xT 1 Px1 + 1 1 − β Z t t−τ Z t s xT 1 (θ)Qx1(θ)dθds, avec Q et P deux matrices définies positives. Le seul terme susceptible de faire apparaı̂tre des termes en ẋ1 est le pre- mier terme de la fonctionnelle xT 1 Px1. Donc d’après les no- tations du théorème 2, on a V 0 1 = 2xT 1 P et la fonctionnelle choisie s’écrit : V (t) = 1 2 ks(x(t)k2 + M V 0 M Z 0 −h |s(t + θ)|dθ + Vr(x1t). Nous montrons de même que cette fonctionnelle est néga- tive pour |s| > ², concluant ainsi la preuve par application du lemme 1. III. Simulations Soit le système perturbé sous forme régulière suivante : 8 > > > > < > > > > : ẋ1 =  −0.5 1 2 −3  x1 +  0 1  x2  0.2 −1 −0.9 −1  xd1 +  1 0  xd2 ẋ2 = 1 1  x1 + x2 + −0.2 0.1  xd1 + Du(t) + p (18) On considère la surface de glissement suivante : s(t) = x2(t) − Kx1(t) avec K ∈ <1×2 . La commande est la suivante : u(t) = −D−1 [Ω(xt) + mσ²(s)] (19) Les simulations ont été faites avec ² = 0.3, K = [1.6, −1], m = 10, σ² = tanh(4s ² ) et τ = 0.2. La perturbation p est un bruit blanc gaussien de moyenne nulle et de variance 0.094. Les conditions initiales sur les différentes variables sont des fonctions constantes (x10 = 2, x20 = 1 et x30 = 0). Les figures 1 et 2 représentent respectivement l’état du sys- tème (18) sous la commande (19) tandis que sur les figures 3 et 4, on visualise l’état du même système mais avec une commande classique cette fois. Nous observons bien, sur la figure 1 que le système (18) est pratiquement stable (|xi| < 0.2) en présence de pertur- bations, tandis que la réticence n’apparaı̂t quasiment plus (Fig. 2) comparée à la commande par modes glissants clas- sique (Fig. 4). IV. Conclusion Dans cet article, nous étudions une possibilité de réduc- tion du problème de réticence rencontré par l’utilisation des commandes par modes glissants d’ordre un. S’il est connu que l’utilisation de fonctions approchant la fonction signe permet de réduire la réticence dans le cas de systèmes sans retard, cet article étend ce résultat au cas des systèmes li- néaires à retard inconnu et variable (le retard restant borné par une valeur supérieure). En effet, nous proposons dans cet article un nouvel algo- rithme permettant de réduire la réticence en remplaçant la fonction signe par une fonction sigmoı̈de. En utilisant cette commande, on garantit l’obtention d’un système dit pratiquement stable pour des perturbations qui vérifient la condition de recouvrement. Ce résultat peut être étendu à des systèmes non-linéaires à retard, et/ou des systèmes avec des perturbations plus générales, du type (2). Remerciements Les auteurs tiennent à remercier la Fondation Norbert Ségard et le Conseil Régional du Nord Pas de Calais de leur soutien financier. Références [1] F. Gouaisbaut. Sur la Commande Par Modes Glissants Des Sys- tèmes À Retards. PhD thesis, Ecole Centrale de Lille, Université des sciences et technologies de lille, 2001. [2] W. Perruquetti et J.P. Barbot. Sliding Mode Control in Engi- neering. Control Engineering Series. Marcel Dekker, New York, 2002. [3] B. Heck. Sliding mode control for sigularly pertubed systems. International Jounal of Control, vol. 53 :985–1001, 1991. [4] J.J.E. Slotine et S.S. Sastry. Tracking control of nonlinear sys- tems using sliding surfaces with application to robot manipula- tor. International Journal of control, vol. 38(2) :465–492, 1983. [5] J.J.E. Slotine et W. Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ, 1991. [6] T. Floquet. Contributions À la Commande Par Modes Glis- sants D’ordre Supérieur. PhD thesis, Université des sciences et technologies de Lille, 2000. [7] L. Levaggi et E. Punta. Stabilization of a second-order variable structure system with unknown input delay. TDS’03, Rocquen- court, France, 2003. [8] A.G. Lukyanov et V.I. Utkin. Methods of reducing equations for dynamic systems to a regular form. Automation and Remote Control, vol. 42(4) :413–420, 1981. [9] W. Perruquetti, P. Borne, et J.P. Richard. A generalized regular form for sliding mode stabilization of mimo systems. Proc. Of the 36th IEEE CDC, San Diego, 1997. [10] E. Fridman, F. Gouaisbaut, M. Dambrine, et J-P. Richard. A descriptor approach to sliding mode control of systems with time-varying delays. ECC’03, Cambridge, England, 2003. [11] V.I. Utkin. Sliding Modes in Control Optimization. Springer- Verlag, New York, 1992. [12] H.K. Khalil. Nonlinear Systems. MacMillan Publishing Com- pany, 1992. [13] V.B. Kolmanovskii et A. Myshkis. Applied Theory of Functional Differential Equations. Kluwer Acad. Pub., 1992. [14] V.L. Kharitonov et A.P. Zhabko. Lyapunov-krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems. Automa- tica, vol. 39 :15–20, 2003.