Observateurs à Mémoire Finie pour les Systèmes à Commutations : Application à la détection de défauts

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20039
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Observateurs à Mémoire Finie pour les Systèmes à Commutations : Application à la détection de défauts

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Observateurs à Mémoire Finie pour les Systèmes à Commutations : Application à la détection de défauts Abdelfettah Hocine, Didier Maquin, José Ragot Centre de Recherche en Automatique de Nancy Institut National Polytechnique de Lorraine 2, Avenue de la Forêt de Haye - 54 516 Vandoeuvre les Nancy Cedex, France {ahocine, dmaquin, jragot}@ensem.inpl-nancy.fr Résumé— Dans cet article, nous développons une méthode pour la détection de défauts et l’estimation d’entrées incon- nues affectant un système dynamique représenté par plu- sieurs modèles (système non linéaire, système à commu- tations . . . ) Chaque modèle étant associé à un régime de fonctionnement, la méthode proposée détermine également le modèle actif à un instant particulier. Cette méthode est basée sur l’utilisation des Observateurs à Mémoire Finie et le calcul de probabilités d’activation des modèles dans le but d’identifier le mode de fonctionnement du système et d’esti- mer l’entrée inconnue ; il s’appuie également sur la connais- sance d’information a priori sur les commutations entre les différents modes de fonctionnement, représentées par une chaı̂ne de Markov. L’algorithme proposé appartient à la classe des algorithmes supervisés dans le sens où les défauts à détecter sont a priori répertoriés et modélisés. Dans un premier temps, la méthode est utilisée pour la détection de défauts dans le cas d’un système linéaire caractérisé par un modèle de bon fonctionnement et plusieurs modèles de défaut. Ensuite, elle est appliquée pour la détection de défauts dans le cas d’un système linéaire avec entrée in- connue. On procède alors simultanément à la détection de défauts et à l’estimation de l’entrée inconnue ; une compa- raison avec la méthode GPB est effectuée dans le but de montrer les avantages de la méthode proposée. Mots-clés— Diagnostic, système à commutation, multi- modèles, observateur à mémoire finie, entrée inconnue, es- timation d’état. I. Introduction C’est une évidence de constater que la commande des systèmes devient de plus en plus complexe ; cela est dû à la nature des systèmes, mais aussi à la volonté de contrôler tous les paramètres et perturbations affectant le système. Dans cette dynamique s’est développée la discipline de la sûreté de fonctionnement et, plus particulièrement, l’une de ses composantes connue sous l’acronyme anglo-saxon FDI (Fault Detection and Isolation)[12]. Les techniques de FDI sont généralement basées sur l’estimation de l’état de fonctionnement du système et l’analyse de cet état vis-à- vis d’états de référence. En pratique, il est souvent plus simple de générer une estimation de la sortie du système. A partir de cette estimation, on calcule un résidu, différence entre la sortie mesurée et la sortie estimée, qui a la pro- priété d’être sensible aux défauts. L’estimation d’état ou de sortie du système est à la base des méthodes de FDI. L’approche GPB1 (Generalized Pseudo-Bayesian approach of first order) [2] est un outil adapté pour la détection de défauts qui se base elle aussi sur un calcul de résidus. Dans la réalité, un système peut souvent être représenté par un ou plusieurs modèles de bon fonctionnement, mais également par un ensemble de modèles décrivant les si- tuations de défaut de capteurs, d’actionneurs ou de dom- mages sur ces composants. Ainsi, le fonctionnement global du système peut être décrit par un ensemble de modèles que l’on peut quelquefois réunir dans une structure multi- modèles. Durant ces dernières années, l’approche par mul- timodèles s’est popularisée et a été largement utilisée pour l’estimation [1][2][3][7], la commande [9] ainsi que pour la modélisation [5] ; elle est également à la base de la méthode GPB. L’approche GPB a été appliquée avec succès dans le domaine du suivi de trajectoire d’une cible où le compor- tement du système est sujet à des changements fréquents [1][2]. Elle s’appuie sur l’utilisation d’un banc de filtres dis- posés en parallèle, chaque filtre étant calé sur un modèle local associé à un comportement particulier du proces- sus réel. De l’évaluation des résidus des filtres, on peut détecter le modèle actif et donc détecter les défauts si ceux- ci sont représentés par des modèles appropriés. La méthode GPB s’appuie essentiellement sur le filtre de Kalman et les lois de probabilité d’activation des modèles. Dans ce travail, nous avons remplacé le filtre de Kalman par un Observateur à Mémoire Finie (OMF) [8][11] qui présente des caractéristiques intéressantes ; l’estimation à l’instant k est indépendante de celle de l’instant k − 1 et l’influence constatée des bruits sur l’estimation d’état est plus faible en utilisant un OMF qu’en utilisant un filtre de Kalman. Dans le deuxième paragraphe, nous présentons l’élaboration de l’observateur à mémoire finie. Dans le troisième para- graphe, nous utilisons l’OMF pour l’estimation d’entrées inconnues. Le quatrième paragraphe permet d’énoncer une méthode originale qui permet d’utiliser l’OMF, dans le cadre d’un système à commutations, dans le but de détecter les changements de régime. Dans la cinquième partie, l’OMF à entrées inconnues est utilisé, dans le cadre des systèmes à commutation, pour simultanément détecter les changements de régimes et estimer les entrées inconnues. Finalement, on conclut sur l’utilisation des OMF pour les systèmes à commutation et sur les techniques proposées. II. L’observateur à mémoire finie L’observateur à mémoire finie, comme son nom l’indique, utilise uniquement les mesures dans un intervalle de temps fini appelé horizon. On considère le système discret, inva- riant dans le temps, suivant : ( xk+1 = Axk + Buk + Gwk yk = Cxk + vk (1) où xk est le vecteur d’état à l’instant k, A est la matrice d’évolution d’état, uk est le vecteur de commande à l’instant k, B est la matrice des gains de l’entrée, C est la matrice des gains de la sortie, vk et wk sont respectivement le bruit d’état et le bruit de mesure considérés blancs, gaussiens et centrés enfin yk est la sortie du système à l’instant k. En l’absence de bruits, le système s’écrit :  xk+1 = Axk + Buk yk = Cxk (2) En écrivant les équations d’observation sur l’horizon [k−m, k] de taille m+1 , on peut, de manière très classique, établir l’équation suivante : Yk = Pmxk−m + BmUk + GmWk + Vk (3) avec : Zk =  zT k−m zT k−m+1 . . . zk T , Z ∈ {Y, U, W, V } (4) Pm =  CT (CA)T . . . (CAm )T T (5) Bm =          0 0 . . . . . . 0 CB 0 ... ... 0 CAB CB ... ... . . . . . . . . . ... ... 0 CAm−1 B CAm−2 B . . . CB 0          (6) Gm =          0 0 . . . . . . 0 CG 0 ... ... 0 CAG CG ... ... . . . . . . . . . ... ... 0 CAm−1 G CAm−2 G . . . CG 0          (7) Posons Ŷk = Pmx̂k−m + BmUk. L’estimation x̂k−m de l’état, à l’instant k − m (premier instant de la fenêtre d’observation), peut être obtenue aisément à l’aide de la méthode des moindres carrés, en minimisant le critère Jk = (Ŷk−Yk)2 par rapport à l’inconnue x̂k−m. On obtient : x̂k−m = (PT mPm)−1 PT m(Yk − BmUk) (8) L’erreur d’estimation d’état s’exprime à partir des équations (3) et (8) : ek−m = x̂k−m − xk−m = (PT mPm)−1 PT m(GmWk + Vk) (9) Des calculs élémentaires montrent que cette erreur est d’espérance nulle et de variance constante ; l’estimateur est donc non biaisé. On notera que l’estimation (8) ne peut être calculée que si la matrice Pm est de plein rang colonne. Cette contrainte peut toujours être satisfaite en augmentant suffisamment la taille de l’horizon d’observation [10]. Cette taille est un paramètre de réglage qui permet d’ajuster la dynamique de l’observateur. Elle sera choisie en fonction du niveau du bruit sur les mesures. L’estimation de l’état à l’instant terminal k de la fenêtre d’observation s’obtient en intégrant le système (2) : x̂k = Am x̂k−m + TmUk (10) avec Tm =  (Am−1 B)T (Am−2 B)T . . . BT 0 T (11) III. L’observateur à mémoire finie avec entrée inconnue L’observateur à mémoire finie peut être utilisé en présence d’une entrée inconnue en considérant cette dernière comme un état du système. Le système considéré est le suivant :  xk+1 = Axk + Buk + Edk + Gwk yk = Cxk + vk (12) où dk est l’entrée inconnue à l’instant k et E la matrice des gains de l’entrée inconnue. Dans toute la suite de l’exposé, on posera l’hypothèse suivante : dk+1 = dk + δk (13) où δk est un bruit blanc gaussien centré de moyenne nulle. On peut alors écrire un système augmenté de la manière suivante : ( x 0 k+1 = Aax 0 k + Bauk + Gaw 0 k yk = Cax 0 k + vk (14) avec x 0 k =  xT k dT k T , w 0 k =  wT k δT k T Aa =  A E 0 I  , Ba =  B 0  Ca =  C 0  et Ga =  G 0 0 I  L’estimation de l’état augmenté x̂ 0 k−m peut être effectuée comme dans le cas précédent ; on obtient : x̂ 0 k−m = (PT m,aPm,a)−1 PT m,a(Yk − Bm,aUk) (15) où les matrices Pm,a et Bm,a sont construites comme les matrices Pm et Bm des équations (5) et (6) en remplaçant les matrices A, B et C respectivement par Aa, Ba et Ca. Comme précédemment, on déduit de (15) l’expression de l’estimation de l’état augmenté à l’instant k : x̂ 0 k = Am a x̂ 0 k−m + Tm,aUk (16) avec Tm,a =  (Am−1 a Ba)T (Am−2 a Ba)T . . . BT a 0 T (17) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 estimation entrée inconnue Fig. 1. Entrée inconnue constante estimée avec bruit 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 estimation entrée inconnue Fig. 2. Entrée inconnue variable estimée avec bruit Cette formulation permet donc l’obtention simultanée d’une estimation de l’état du système et de l’entrée incon- nue. Exemple : On considère le système à entrée inconnue suivant : xk+1 =  0, 45 0 0 0, 4  xk+1 +  0, 1815 1, 7902  uk +  0, 0129 −1, 2504  dk +  1 10  wk yk =  1 0 0 1  xk + vk Dans un premier temps, nous considérons une entrée inconnue constante (δk est centré) qui intervient dans un intervalle de temps spécifié. Nous considérons ensuite une entrée inconnue en forme de rampe (δk de valeur moyenne non nulle). L’examen de la figure 1 permet de constater une bonne estimation de l’entrée inconnue avec, cependant, un certain décalage dû à l’horizon d’observation de l’OMF choisi ici égal à 11 (m = 10). La figure 2 présente des résultats analogues dans le cas où l’entrée inconnue évolue selon une rampe. IV. OMF pour système à commutations Dans ce paragraphe, nous considérons un système représenté par un ensemble de modèle Mi, i = 1, . . . , r ; chaque modèle représentant un comportement du système. L’objectif est de détecter, à chaque instant, le modèle qui approche le mieux le comportement du système et de si- multanément estimer d’état du système. On suppose que les transitions d’un modèle à l’autre sont décrites par un processus Markovien régi par la matrice Π de transition de Markov donnée par : Π =    p11 · · · p1r . . . ... . . . pr1 · · · prr    où pij est la probabilité de transition conditionnelle de pas- sage du modèle Mi vers le modèle Mj. Ces probabilités peuvent être fixées à partir d’une connaissance a priori ou être issues d’une analyse de fiabilité par exemple. Dans la suite, on note µk j la probabilité que le jème modèle soit actif à l’instant k. A. Développement de la méthode Considérons le jème modèle : Mj :  xk+1 = Ajxk + Bjuk + Gjwk yk = Cjxk + vk (18) L’estimation d’état de ce modèle peut être effectuée à l’aide d’un OMF selon la méthode décrite à la section II. On obtient ainsi : x̂j k−m = (PT j,mPj,m)−1 PT j,m(Yk − Bj,mUk) (19) et x̂j k = Am j x̂j k−m + Tj,mUk (20) Les matrices Pj,m, Bj,m et Tj,m sont construites en uti- lisant les définitions (5), (6) et (11) en remplaçant les ma- trices A, B et C par les matrices Aj, Bj et Cj décrivant le jème modèle. L’estimation de l’état x̂k du système à commutations est alors calculée comme une somme pondérée des états des différents modèles : x̂k = r X j=1 x̂j kµj k (21) Remarque : Cette formulation est très proche de celle utilisée pour les mélanges gaussiens où la densité de probabilité f d’une variable aléatoire x est définie comme un mélange de r distributions gaussiennes de moyenne et de variance connues. f(x) = r X j=1 N x; x̂j , Ξj  µj (22) où N x; x̂j , Ξj  désigne la loi normale de moyenne x̂j et de variance Ξj et µj les pondérations relatives à chaque composante telles que µj > 0, ∀i et Pj r µj = 1. L’estimation de la variable aléatoire mélange est alors calculée comme l’espérance de la distribution mélange : x̂ = E(x) = +∞ Z −∞   r X j=1 µj x N x; x̂j , Ξj   dx = r X j=1 µj +∞ Z −∞ x N x; x̂j , Ξj  dx = r X j=1 x̂j µj (23) En nous inspirant des travaux de Bar-Shalom et al. [2], la probabilité que le système fonctionne selon le jème modèle à l’instant k est calculée de la manière suivante : µj k = P{Mj(k)|Yk} (24) Définissons alors Ỹk−1, le vecteur des observations ef- fectuées sur l’horizon [k − m, k − 1] ; on a : Yk = h Ỹ T k−1 yT k i (25) L’équation (24) peut alors s’écrire : µj k = P{Mj(k)|Ỹk−1, yk} (26) puis, en utilisant la formule de Bayes : µj k = p h yk|Mj(k), Ỹk−1 i P{Mj(k)|Ỹk−1} Pr l=1 p h yk|Ml(k), Ỹk−1 i P{Ml(k)|Ỹk−1} (27) Afin d’alléger les notations, posons : Li(k) = p h yk|Mi(k), Ỹk−1 i (28) Développons également la probabilité d’activation du modèle j à l’instant k, conditionnellement au modèle actif à l’instant k − 1 : P{Mj(k)|Ỹk−1} = r X i=1 P{Mj(k)|Mi(k − 1), Ỹk−1}P{Mi(k−1)|Ỹk−1} (29) De manière à élaborer une récurrence sur le calcul des µj k, on effectue l’approximation suivante : P{Mi(k − 1)|Ỹk−1} ≈ P{Mi(k − 1)|Yk−1} = µj k−1 (30) Cela revient à considérer que l’information apportée par le premier vecteur d’observation yk−m−1 du vec- teur Yk−1 défini sur l’horizon [k − m − 1, k − 1] n’est pas très importante et peut être négligée (cela dépend évidemment de l’horizon choisi). Dans ce cas, en considérant les équations (27) à (30) et en remarquant que, par définition, P{Mj(k)|Mi(k − 1), Ỹk} = pij, on ob- tient alors la récurrence suivante sur la probabilité que le système opère selon le modèle j à l’instant k : µj k = Lj(k) Pr i=1 pijµj k−1 Pr l=1 Ll(k) Pr i=1 pilµj k−1 (31) B. Modèles des défauts Un défaut d’actionneur peut être modélisé par la modifi- cation d’une colonne de la matrice de commande B. Ainsi, un défaut du ieme actionneur est pris en compte en écrivant le système sous la forme : xk+1 = Axk + (B + ∆Bi) uk + wk où ∆Bi est une matrice de même dimension que B et dont toutes les colonnes sont nulles sauf la ieme qui caractérise le défaut sur le ieme actionneur. De la même manière, on peut décrire un défaut de capteur par : yk = (C + ∆Ci) xk + vk où ∆Ci et une matrice de même dimension que C et dont toutes les lignes sont nulles sauf la ieme qui caractérise le défaut sur le ieme capteur. C. Exemple élémentaire Pour l’application de la méthode proposée, on considère un modèle de fonctionnement normal (A1, B1, C1), un modèle de défaut d’actionneur (A2, B2, C2) et un modèle de défaut de capteurs (A3, B3, C3), les différentes matrices étant définies par : Ai =  0.45 0 0 0.4  , i = 1 . . . 3 B1 =  0.1815 1.7902 T , C1 =  1 0 0 1  . B2 =  1.1815 1.7902 T , C2 =  1 0 0 1  . B3 =  0.1815 1.7902 T , C3 =  1.5 0 0 1.5  . La matrice de transition de Markov Π choisie est la suivante : Π =   0.9 0.05 0.05 0.05 0.9 0.05 0.05 0.05 0.9   . Pour tester la méthode, le scénario suivant a été établi : initialement le système est en bon fonctionnement, puis à l’instant 100, survient un défaut sur l’actionneur, à l’instant 500, le système revient au mode de bon fonctionnement et, à l’instant 800, un défaut sur les capteurs est introduit. Les résultats sont présentés aux figures 3, 4 et 5 où l’on constate clairement les changements de régime ; la probabilité d’activation des modèles, dans leur zones de fonctionnement respectives, fluctue autour de un et donc une détection du défaut est réalisée. Pour cet exemple particulier, on remarque que les résultats de la méthode proposée sont meilleurs que ceux de la méthode GPB1. Cela est sans doute dû à la différence de sensibilité des méthodes au bruit sur les états du système. Ce constat a été effectué pour de nombreux autre exemples. Cependant, une étude plus précise concernant la sensibilité des résultats par rapport aux variations des paramètres de réglage (choix du gain de Kalman en relation avec les propriétés statistiques 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ1 OMFM GPB1 Fig. 3. Probabilité d’activation du modèle 1 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ2 OMFM GPB1 Fig. 4. Probabilité d’activation du modèle 2 des bruits dans le cas de la méthode GPB1, choix de l’horizon d’observation pour la méthode proposée) devra être conduite afin de tirer des conclusions définitives sur ces deux méthodes. V. Extension de la méthode pour les systèmes à entrée inconnue Nous allons appliquer la méthode proposée à la section précédente au cas des systèmes à entrée inconnue. Pour cela, l’observateur à mémoire finie de la deuxième section est remplacé par un observateur à mémoire finie avec entrée inconnue (cf. la troisième section). Le jeme modèle s’écrit sous la forme : Mj ( xk+1 = Ajxk + Bjuk + Edk + Gwk yk = Cjxk + vk où dk est l’entrée inconnue à l’instant k et où E est la ma- trice des gains de l’entrée inconnue. En utilisant un modèle augmenté, comme indiqué à la section III, pour chaque modèle Mj, on peut estimer l’état et le vecteur d’entrée inconnue. L’estimation de l’état glo- bal est ensuite obtenue en suivant la démarche exposée au paragraphe IV.A. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ3 OMFM GPB1 Fig. 5. Probabilité d’activation du modèle 3 Exemple : On considère les mêmes modèles de fonction- nement normal, de défaut d’actionneur et de défauts de capteurs que précédemment perturbés par l’entrée incon- nue dk avec : E =  0.0129 −1.2504 T Pour tester la méthode, le scénario suivant a été établi : ini- tialement le système est en bon fonctionnement, à l’instant 100 intervient une entrée inconnue d’amplitude constante, puis à l’instant 200, survient un défaut sur l’actionneur, à l’instant 300, l’entrée inconnue devient nulle, à l’instant 500, le système revient au mode de bon fonctionnement et, à l’instant 800, un défaut capteur est introduit. Les résultats des figures 6 à 8, en présence de bruit, permet- tant de constater clairement les changements d’un régime à l’autre ce qui permet donc la détection des défauts. La figure 9 montre l’estimation de l’entrée inconnue en l’ab- sence de bruit. En présence de bruit, cette estimation est représentée à la figure 10. On peut affirmer que l’utilisation d’un observateur à mémoire finie avec entrée inconnue pour la détection de défaut et l’estimation de l’entrée inconnue, dans le cadre de système à commutations, donne de bons résultats malgré la présence de bruit. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ1 Fig. 6. Probabilité d’activation du modèle 1 en présence de bruit VI. conclusion Dans ce travail, nous avons tout d’abord rappelé la struc- ture d’un observateur à mémoire finie. Nous l’avons ensuite 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ2 Fig. 7. Probabilité d’activation du modèle 2 en présence de bruit 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 µ3 Fig. 8. Probabilité d’activation du modèle 3 en présence de bruit appliqué avec succès à l’estimation d’entrées inconnues. Ce type d’observateur a été utilisé dans le cadre d’un système à commutations pour lequel on doit également détecter les instants de commutation entre modèles. La comparaison des résultats obtenus avec ceux de la méthode GPB1 a en- suite été effectuée sur un exemple. L’utilisation d’un obser- vateur à mémoire finie, qui ne s’appuie que sur des sorties mesurées, contrairement à la méthode GPB1 qui utilise des estimations, donne de meilleurs résultats, principalement en présence de bruits. Finalement, la méthode proposée a été étendue au cas de systèmes soumis à des entrées inconnues. Dans cette situa- tion, la détection des instants de commutation s’effectue simultanément à l’estimation de l’entrée inconnue. 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Estimation de l’entrée inconnue en l’absence de bruit 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 estimation entrée inconnue Fig. 10. Estimation de l’entrée inconnue en présence de bruit filter residuals in the presence of mismodeling ». IEEE Transac- tions on Aerospace and Electronic Systems, 36 (1), pp. 114-131, 2000. [7] P.D. Hanlon and P.S. Maybeck, « Interrelationship of single-filter and multiple-model adaptative algorithms ». IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 34 (3), pp. 934-946, 1998. [8] F. Kratz, S. Bousghiri, G. Mourot, « A finite memory observer approach to the design of fault detection algorithms ». American Control Conference, Baltimore, Maryland, pp. 3574-3576, 1994. [9] R. Murray-Smith, T.A. Johansen, Multiple Model Approaches to Modelling and Control. Taylor and Francis, UK, 1997. [10] D.N.P. Murthy, « Observability in discrete time system with faulty sensor ». Automatica, (16), pp. 709-710, 1980. [11] W. 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