Approche hybride de la stabilité locale de la boucle à verrouillage de phase par impulsions de charge

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20038
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Résumé

Approche hybride de la stabilité locale de la boucle à verrouillage de phase par impulsions de charge

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Approche hybride de la stabilité locale de la boucle à verrouillage de phase par impulsions de charge Pascal Acco1 , Jamal Daafouz2 , Danièle Fournier–Prunaret1 , Abdel–Kaddous Taha1 1 Laboratoire d’Étude des Systèmes Informatiques et Automatique, INSA de Toulouse, 31077 Toulouse Cedex 4, France 2 Centre de Recherche en Automatique de Nancy, CRAN-ESSTIN, 54500 Vandoeuvre Les Nancy, France Pascal.Acco@insa-tlse.fr, Jamal.Daafouz@cran.fr Résumé— La Boucle à Verrouillage de Phase par Impulsions de Charge (BVP–IC)1, bien qu’elle soit de nature hybride, a toujours été analysée sur la base de modèles linéaires. Nous proposons d’une part une modélisation hybride exacte du circuit et d’autre part un théorème traitant de la stabilité locale d’une récurrence discrète non–linéaire dé- finie par morceaux. Cette méthode d’analyse utilisant les fonctions de Lya- punov multiples est appliquée au modèle hybride discrétisé. Le conservatisme de la méthode est réduit en utilisant la S–procédure pour relâcher judicieusement les contraintes. On obtient ainsi une région de stabilité beaucoup plus étendue que celle utilisée jusqu’à présent. Ces résultats sont confrontés à des mesures expérimentales. Mots-clés—Boucle à verrouillage de phase, CP–PLL, modèles hybrides, fonctions de Lyapunov multiples, stabilité poly– quadratique, S–procédure. I. Introduction Les boucles à verrouillage de phase ont été très étudiées dans le passé du fait de l’ampleur et de la variété de leurs utilisations. Les modèle linéaires développés par Gardner pour la BVP–IC [1] font référence et les limites de stabilité données par ces modèles sont encore utilisées de nos jours. Ces modèles linéaires sont basés sur de fortes approxima- tions, des modélisations exactes ont été proposées dans [1] et [2] sans expliciter les modèles sous leur véritable forme hybride. Aucune analyse de stabilité n’as pu être proposée à partir de l’un de ces modèles exacts. Après la présentation de l’architecture de la BVP–IC du § II, nous présentons le modèle hybride exact dans le § III. Le modèle est ensuite discrétisé dans le § IV pour aboutir à une récurrence non–linéaire définie par morceaux. Nous proposons dans le § V un théorème sur la stabilité locale d’un tel système afin de l’appliquer à la récurrence de la BVP–IC d’ordre deux dans le § VI. Les limites de stabilité obtenues avec cette technique sont confrontées à des mesures expérimentales présentées dans le § VII. II. Le circuit Le principe des boucles à verrouillage de phase (BVP) est d’asservir la phase d’un oscillateur contrôlé sur celle d’un 1Charge Pump Phase Locked Loop en anglais, noté BVP–IC signal de référence. Si le signal de sortie est en retard (resp. en avance) sur le signal d’entrée, la fréquence instantanée est augmentée (resp. réduite). Une BVP est constituée en général des trois blocs sui- vant : L’Oscillateur Contrôlé en Tension (OCT2 ) : délivre un si- gnal de sortie vs de fréquence foct directement proportion- nelle à la tension d’entrée : foct = Koctvoct + Fol. Le para- mètre Koct est le gain de l’OCT et Fol sa fréquence d’oscil- lation libre. La sortie est bouclée vers le DPF directement ou via un diviseur de fréquence. III vref vb DPF Ic Ic ic OCT vs voct 1 N R C vhaut vbas Fig. 1 Boucle à verrouillage de phase considérée Le filtre passe–bas : rejette les perturbations à la sortie du DPF et délivre un signal lissé à l’entrée de l’OCT. Nous considérons dans la suite le cas simple d’un filtre passif du premier ordre caractérisé par une résistance R et une capacité C. Le Détecteur de Phase et de Fréquence (DPF3 ) : machine à états finis qui commande le courant de charge du filtre passe–bas ip en fonction de l’erreur de phase et de fréquence entre le signal bouclé vbet le signal d’entrée vref . La BVP–IC est une architecture, illustrée dans la fig. 1, qui a la particularité d’utiliser un DPF à logique séquen- tielle asynchrone. Les sorties binaires de la machine à états commandent un circuit, la « pompe de charge », qui charge le filtre avec différentes valeurs du courant ip(t). 2Voltage Controlled Oscillator en anglais, noté OCT 3Phase Frequency Detector en anglais, noté DPF Nous limitons cette étude au cas d’une machine à trois états (DPF de type III), dont le diagramme d’état est pré- senté dans la fig. 2. Les deux sorties permettent de générer un courant de charge ic(t) pouvant prendre les trois va- leurs de l’ensemble I = {−Ic, 0, +Ic}, où Ic est la valeur des sources de courant stabilisées de la pompe de charge. ↓ vref ↓ vref ↓ vb ↓ vref ↓ vb ↓ vb E(t) = 0 E(t) = −1 E(t) = 1 Fig. 2 Diagramme d’état du PFD (↓ pour front descendant) Les signaux binaires d’entrée et de sortie (signaux de forme carrée) et le courant de charge à valeur ternaire (les trois valeurs de I) coexistent avec les grandeurs du filtre de nature analogique : l’OCT et l’ensemble de la BVP–IC sont donc des systèmes hybrides. Jusqu’à présent, cette difficulté d’analyse a été écartée en proposant un modèle linéaire à temps continu ou dis- cret pour une période d’entrée T constante. Ces travaux initiés par Gardner modélisent le DPF par un simple gain Kdpf multipliant l’erreur de phase entre vref et vb. On estime ainsi un courant de charge moyen ic(t) = Kdpf ϕref − ϕb  . Ce modèle continu est un modèle linéaire du second ordre théoriquement stable quels que soient les paramètres. En ne représentant plus le courant ic par un courant moyen ic mais par une impulsion de courant de durée tp = (ϕref −ϕb) 2 π Ic apparaissant à chaque début de période, Gardner propose un modèle linéaire à temps discret de la BVP–IC. La condition de stabilité obtenue avec ce modèle s’ex- prime avec les paramètres normalisés a et b par : b < 4 − 2 a avec a = Koct Ic R T N et b = Koct Ic T2 N C (1) Cette condition de stabilité est encore très utilisée à dé- faut de résultat plus précis, cependant, les simulations ef- fectuées à partir de modèles exacts laissent entrevoir une région de stabilité beaucoup plus étendue : une preuve de stabilité effectuée à partir d’un modèle exact permettrait de fournir un résultat moins restrictif. III. Le modèle hybride Nous proposons dans cette partie un modèle hybride de la BVP–IC d’ordre deux. Une modélisation similaire du circuit d’ordre trois, avec un filtre passif linéaire d’ordre deux, peut être trouvée dans [3]. Nous choisissons de définir la phase des signaux de forme carrée en adoptant une représentation analytique des si- gnaux. Une tension V (t) d’un signal quasi–périodique de forme carrée est donc caractérisée par la phase ϕ(t) du signal analytique zv(t) = a(ϕ(t)) ei ϕ(t) tel que V (t) = <[zv(t)]. La forme carrée du signal est donnée en choisissant une fonction module du signal analytique a(ϕ) adéquate. On représente donc les grandeurs binaires vref , vs et vb par leurs phases instantanées respectives ϕref , ϕoct et ϕbdéfinies de la sorte. Pour simplifier l’analyse, on considère un signal de réfé- rence de fréquence constante et égale à F = 1/T dont on peut déduire la phase ϕref en intégrant. La fréquence ins- tantanée de l’OCT, déduite de voct par la relation (??), permet d’exprimer la phase du signal de sortie : ϕoct = 2 π t Z 0 foct dt = 2 π t Z 0 (Koct voct(t) + Fol) dt (2) La tension voct issue de la sortie du filtre est déduite du courant de charge ic et exprimée à l’aide de la variable de Laplace p : voct(p) ic(p) = RC p + 1 C p (3) L’état du DPF est représenté par la variable d’état e dont les valeurs sont prises dans l’ensemble E = {−1, O, 1}. Le courant de charge commandé par le DPF s’exprime ainsi directement par la relation ic(t) = Ic e(t). La dynamique de cette machine à état de la fig. 2 est représentée par une fonc- tion de transition du type e+ (t) = φ e(t), ϕref (t), ϕb(t)  , où e+ (t) représente la valeur de e immédiatement après l’instant t. Les événements ↓ vb et ↓ vref correspondent aux instants où les phases respectives ϕb et ϕref traversent une valeur multiple de 2π. À partir de ces deux définitions des événe- ments et du diagramme d’état, on en déduit la fonction de transition φ de l’état discret suivante : e+ (t) = φ e(t), ϕref (t), ϕb(t)  =    min(1, e(t) + 1) si ϕref = k 2π, k ∈ N max(−1, e(t) − 1) si ϕb = k 2π, k ∈ N e(t) sinon (4) On définit ainsi le modèle hybride exact dont une repré- sentation est donnée dans la fig. 3. vref ϕb ϕoct F e+ ic Koct RC p+1 RC p 1 p foct Fol 1 p φ voct + + vb vs ϕref ϕb e <[a(ϕ)eiϕ ] <[a(ϕ)eiϕ ] <[a(ϕ)eiϕ ] 1 N Ic Fig. 3 Modèle hybride de la BVP–IC. En trait fin les grandeurs analogiques et en trait gras les grandeurs à valeurs discrètes La simulation de ce modèle hybride peut être faite en cal- culant la valeur des variables d’états d’événement en événe- ment de manière entièrement analytique. On retrouve ainsi le modèle événementiel initialement proposé dans [2]. La simulation du modèle hybride du circuit d’ordre trois nécessite l’utilisation d’un algorithme numérique pour cal- culer les dates des événements. Ce type de simulation semi– analytique a été proposé dans [4]. Les simulations rapides et exactes de ces modèles ont été exploitées dans [4] afin d’établir des propriétés statistiques du circuit, et dans [5] pour effectuer une optimisation des performances par force brute. Aucune analyse n’a été proposée sur la base de ce modèle hybride continu : la présence de l’événement extérieur pé- riodique ↓ vref empêche l’utilisation de beaucoup de tech- niques d’analyse. IV. Discrétisation du modèle hybride En considérant un signal d’entré vref de période T constante, on élimine l’événement ↓ vref apparaissant à chacun des instants k T (k ∈ N) en discrétisant le modèle hybride à ces instants. On obtient ainsi une récurrence autonome d’ordre deux non–linéaire dont l’écriture est simplifiée en utilisant les deux variables d’état suivantes illustrées dans la fig. 4 : – νk – l’erreur de fréquence normalisée lorsque le courant ic(t > tk) = 0, soit νk = y (max(tk, tk + τk)) avec y(t) = Koct T N vc(t) + Fol T N − 1 ; – τk – le temps s’écoulant entre le prochain événement ↓ vb et l’instant tk = k T normalisé par la période T (lorsque le signal de référence est en avance, τk est positif et inversement). vref t T t T t T tk = k tk+1 = k + 1 T = 1 τk toct τk+1 vb νk+1 νk a b −1 y Fig. 4 Variables d’état du modèle non–linéaire discret Dans le plan de phase (νk, τk), le point origine O est l’unique point fixe de la récurrence. Dans un voisinage relativement large du point fixe, les occurrences de l’événement ↓ vb produisent quatre cas de figure correspondant aux signes des impulsions du courant de charge aux instants k T et (k + 1) T. La fig. 4 repré- sente le cas « + + » où deux impulsions de charge positives se succèdent. Les équations de la récurrence dépendent de ces différents cas de figure, elles se présentent donc sous la forme d’une récurrence définie par morceaux. Cette discrétisation du modèle hybride fournit la même récurrence que celle proposée, avec des variables similaires, dans [6] où l’on trouvera le détail des calculs du modèle. Ce modèle discret non–linéaire peut être vu comme une transformation T qui associe le point Xk+1, de coordonnées (νk+1, τk+1), au point Xk de coordonnées (νk, τk). Cette transformation T est définie à partir de quatre transformations composites, T++, T+−, T−+ et T−−, par : T : Xk+1 = Ti (Xk) lorsque Xk ∈ Ri avec i ∈ Ξ (5) L’ensemble des indices i repérant chacune des transfor- mations composites est appelé Ξ. Cet ensemble Ξ corres- pond aux quatre combinaisons {++, +−, −+, −−}. Une transformation composite Ti est appliquée au point Xk lorsque ce point appartient à son domaine de définition Ri. Les équations des transformations composites peuvent être trouvées dans [6] ou [3], nous donnons en exemple les équations de la transformation T−− : T−− (Xk) : ( νk+1 = νk + b τk+1 τk+1 = τk − 1 + 1−a τk− b 2 τk 2 1+νk (6) Les domaines de définition Ri, représentés avec leurs frontières dans la fig. 5, sont définis par des inégalités qui ont été déterminées dans [3]. On donne comme exemple la définition de la région R+− : R+− :  (ν, τ) | (τ ≥ 0) & (ν ≥ τ 1 + τ )  (7) νk R++ R+− R−− R−+ F−? F?− F?+ F+? ν−?(τk) τk ν+?(τk) Fig. 5 Le plan de phase (νk, τk) et les quatre domaines de définition des transformations composites Cette récurrence est une écriture très condensée du mo- dèle dont l’analyse n’est pas aisée car le point fixe appar- tient aux quatre domaines de définition. Il est possible de mener une étude de stabilité locale au point origine qui prenne en compte toutes les trajectoires possibles dans ce voisinage. V. Théorème sur la stabilité locale d’un système non–linéaire définit par morceaux Nous proposons ici une manière de prouver la stabilité lo- cale d’un système non–linéaire discret défini par morceaux de la forme (5) à l’aide de fonctions de Lyapunov multiples (FLM). Les FLM sont introduites dans le cas des systèmes discrets à paramètres variants dans le temps dans [7]. Nous attachons une fonction quadratique Vi(X) = XT Pi X à une région Ωi du plan de phase. Les régions Ωi sont en nombre fini (i ∈ ΞΩ = 1 . . . n) et doivent former une partition du plan de phase pour définir correctement la FLM candidate par V (X) = Vi(X) lorsque X ∈ Ωi avec i ∈ ΞΩ Définition 1: domaine d’une transition (Zi j→k) – pour tout triplet {ijk} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ, nous définissons les en- sembles Zi j→k des points X tels que les trois conditions suivantes soient vérifiées simultanément : X ∈ Ri, X ∈ Ωj et T (X) = Ti(X) ∈ Ωk. En d’autres termes, Zi j→k est l’en- semble des points menant de la région Ωj à la région Ωk par la transformation Ti. La preuve de stabilité se fait alors en imposant une contrainte de décroissance de la fonction de Lyapunov du type Vk(Ti(X)) − Vj(X) < 0 uniquement pour les points X ∈ Zi j→k. Ces contraintes s’expriment sous forme d’inégalités ma- tricielles linéaires (IML) dans un voisinage proche du point origine par Ai T Pi Ai − Pj < 0, où Ai est la jacobienne de Ti calculée à l’origine O du plan de phase : Ai = J(Ti)|O Nous utilisons la S–procédure pour imposer une telle contrainte uniquement pour les points appartenant à une région Zi j→k. La S–procédure consiste à rajouter une quan- tité α Q(X) (α > 0) qui est définie négative en dehors de la région Zi j→k et définie positive à l’intérieur de cette région. De cette manière, la quantité ajoutée à l’IML relâche la contrainte à l’extérieur de la région d’intérêt et peut être vérifiée à l’intérieur de la région pour un coefficient α suf- fisamment petit. Pour aboutir à une formulation entièrement sous forme d’IML, nous ajoutons une quantité de forme quadratique Q(X) = XT Q X. La matrice symétrique Q définit la région dans laquelle la contrainte sera imposée. Une telle formu- lation permet de définir uniquement des régions du plan de phase délimitées par des formes coniques. Définition 2: incluant conique d’une région – nous ap- pelons incluant conique d’une région R toute région du plan de phase incluant R qui soit définie uniquement par des frontières de forme conique. On note b R cette région qui peut être entièrement déterminé par une matrice sy- métrique QR telle que XT QR X > 0 si et seulement si X ∈ b R. Pour une partition Ωi de l’espace de phase donnée, le théorème 1 établit des conditions suffisantes de stabilité locale du système non–linéaire. Ce théorème utilise les in- cluants coniques \ Zi j→k des régions Zi j→k pour appliquer les contraintes de décroissance de la fonction de Lyapunov uniquement dans les régions où elles sont nécessaire. Théorème 1: Soit un système non–linéaire discret dé- fini par morceaux de la forme (5) différentiable sur chaque morceau dans un voisinage proche de l’origine. On suppose sans perte de généralité que l’origine est le point fixe d’in- térêt. Soit Ai les jacobiennes des transformations Ti du système non–linéaire calculées à l’origine O du plan de phase. Soit une partition du plan de phase Ωi (i ∈ ΞΩ = 1 . . . n) et Zi j→k les domaines des transitions associés à cette par- tition et à la transformation T . Soit \ Zi j→k les incluants coniques des domaines Zi j→k, et Qijk les matrices symétriques définissant ces régions. Soit Qi les matrices symétriques associées aux incluants coniques des régions Ωi telles que XT Ei X > 0 si X ∈ Ωi. Le système (5) est uniformément et asymptotiquement stable dans un voisinage de l’origine s’il existe des matrices Pi (i ∈ ΞΩ) symétriques, des scalaires αi (i ∈ ΞΩ) et αijk (ijk ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ) strictement positifs tels que l’on ait : AT i Pk Ai − Pj + αijk Qijk < 0 ∀{i, j, k} ∈ Ξ × ΞΩ × ΞΩ (8a) et Pi − αi Qi > 0, ∀i ∈ ΞΩ (8b) Démonstration (éléments) : La preuve se fait en démontrant qu’il existe un voisinage du point origine tel que la fonction V (X) = Vi(X) lorsque X ∈ Ωi est une fonction de Lyapunov multiple du système. La condition (8b) garantit que la matrice Pi est semi–définie positive lorsque X ∈ Ωi. La fonction V (X) est donc elle même semi–définie positive. Toute trajectoire du système non–linéaire passant par un point Xk du voisinage de l’origine appartient à un domaine de transition Zi j→k et donc à son incluant conique \ Zi j→k. Il existe donc une contrainte (8a) vérifiée pour tout point de toute trajectoire de ce voisinage. Un développement de Taylor du premier ordre du terme L = V (T (Xk))−V (Xk) permet de prouver que si la condition (8a) est vérifiée alors L est semi–défini négatif dans un voisinage non nul de l’origine propre au domaine de transition Zi j→k. L’intersection des voisinages liés à chaque domaine Zi j→k est le voisinage dans lequel la fonction de Lyapunov V est décroissante le long de toutes les trajectoires.  L’application de ce théorème comprend deux difficultés majeures : – les propriétés topologiques du système non–linéaire doivent se prêter au calcul des zones de transition Zi j→k ; – les incluants coniques de Zi j→k et Ωi doivent être les plus petits possible de manière à réduire le conserva- tisme du résultat fourni avec cette technique. Le partitionnement Ωi du plan de phase sur lequel on découpe la FLM intervient directement dans le compromis entre le conservatisme du résultat et les difficultés de calcul des incluants coniques. Ce compromis peut être géré de manière progressive et permet de recourir successivement à des techniques exis- tantes de plus en plus complexes : – la stabilité quadratique – s’obtient avec une partition du plan de phase par une région Ωi unique recou- vrant le voisinage du point origine, les domaines Zi j→k couvrent alors le plan de phase entier (Qijk = 0 et Qi = 0) ; – la stabilité poly–quadratique – s’obtient avec une par- tition du plan de phase par des régions Ωi, les do- maines Zi j→k couvrent toujours le plan de phase entier (Qijk = 0 et Qi = 0) ; – la stabilité poly–quadratique relâchée – s’obtient de la même manière en relâchant les contraintes liées à des transitions impossibles (Qijk = −∞ lorsque la transi- tion de Ωj vers Ωk par Ti est impossible) ; – la stabilité S–poly–quadratique simplifiée – s’obtient en choisissant une partition Ωi = Ri et en calculant les incluants coniques, de matrice QRi , des domaines Ri (Qijk = QRi et Qi = QRi ) ; – la stabilité S–poly–quadratique – s’obtient de la même manière en ajoutant le calcul des domaines de tran- sition Zi j→k et leurs incluants coniques de matrice QZi j→k (Qijk = QZi j→k et Qi = QRi ) ; – la stabilité S–poly–quadratique fine – s’obtient de la même manière en prenant une partition Ωi plus fine que la précédente en scindant les domaines Ri en une ou plusieurs partitions. On enlève ainsi progressivement du conservatisme aux résultats en rajoutant progressivement de l’information sur la topologie et les transitions du système. Nous avons appliqué cette technique à la BVP–IC d’ordre deux jusqu’au stade de la stabilité S–poly– quadratique. VI. Application à la BVP–IC d’ordre deux Dans cette section nous proposons une partition du plan de phase de type Ωi = Ri. Nous déterminons d’abord les régions Zi j→k dans lesquelles des conditions doivent être re- lâchées, puis nous indiquons une technique pour obtenir les incluants coniques à partir de la linéarisation des frontières des Zi j→k. La partition de l’espace de phase avec Ωi = Ri pour tout i ∈ Ξ est un cas particulier du théorème 1. La partition Ωi est ainsi entièrement définie par les inégalités (7) définissant les domaines Ri. A. Domaines de transition Les domaines de transition Zi j→k correspondant au pas- sage de Ωj à Ωk par la transformation Ti avec i 6= j sont vides puisque l’on applique Ti uniquement si X ∈ Ri = Ωi. Remarquons que pour une transition de Ri vers Rj, le second symbole (+ ou −) de l’identificateur i ∈ Ξ = {++, +−, −+, −−} du domaine Ri (occupé à l’instant tk) indique l’état du DPF à l’instant tk+1. Le premier symbole de l’identificateur j du domaine de Rj, (occupé à l’instant tk+1), indique l’état du DPF au début de la période, soit à l’instant tk+1. Le second symbole de i doit donc être égal au premier symbole j pour que la transition ait un sens physique : il ne peut succéder à la transformation T+− que les matrices dont le premier symbole est « − », c’est–à–dire les trans- formations T−+ et T−−. On peut ainsi éliminer la moitié des transitions possibles et donc réduire de moitié le nombre de contraintes. Pour cela, on définit un ensemble des séquences réalisables S par S : {(ij, kl) tels que ij et kl ∈ Ξ, et j = k} Les seuls domaines de transition non vides à déterminer sont les domaines Zi i→j pour tout i et j pris dans S. On note ces domaines Rij de manière plus allégée. Pour définir les régions Rij, il est nécessaire de déter- miner l’ensemble des points Xk tels que le point Xk+1 = Ti(Xk) appartienne à Rj. Cet ensemble est celui des anté- cédents par Ti de Rj. Il peut être défini grâce à la trans- formation inverse de T par T −1 i (Rj). On montre dans [5] que l’existence d’une transformation inverse continue permet d’établir une relation d’équivalence entre la topologie du plan de phase de T et celle de son conséquent par la transformation. Les transformations Ti étant des difféomorphismes, on peut utiliser cette équivalence topologique [8] pour déter- miner la région T −1 i (Rj) à partir de l’image des frontières de Rj par la transformation inverse T −1 i . La définition de l’ensemble Rij est alors l’ensemble des points de Ri tels que leur image par Ti appartient à Rj. Les régions Rij sont donc définies par l’intersection suivante : Rij = Ri ∩ T −1 i (Rj) (9) On définit ainsi analytiquement les régions Rij à partir de l’une des deux frontières de Ri et de l’image par T −1 i de l’une des deux frontières de Rj. B. Calcul des incluants coniques Pour chacune des régions du type Ri et Rij, nous cher- chons à représenter l’appartenance du point X à une de ces régions par une inégalité de type XT Qi X > 0. Nous appelons indifféremment Di une région de type Ri ou Rij. Chacune des régions Di est définie à l’aide de deux frontières FDi (X) = 0 et FDi (X) = 0 par : Di = {X ∈ R2 tels que FDi (X) > 0 et FDi (X) > 0} (10) Les régions Di issues du découpage du plan de phase de la BVP–IC ont l’avantage d’occuper chacune un voisinage de l’origine du plan de phase. On peut alors approcher la région Di en linéarisant ses frontières autour du point ori- gine. Ainsi, on définit l’incluant c Di de Di par les inégalités suivantes : c Di = {(x, y) ∈ R2 ∂FDi (X) ∂x x + ∂FDi (X) ∂y y > ι et ∂FDi (X) ∂x x + ∂FDi (X) ∂y y > ι } (11) où ι est un scalaire positif très petit4 . Si l’on prend ι = 0, on définit une région ayant pour frontière les tangentes des frontières de Di : des points de Di peuvent alors ne pas être inclus. En prenant un ι légè- rement positif on élargit le domaine défini ce qui permet de construire une région c Di capable d’inclure Di dans un voisinage proche de l’origine. La région c Di est donc définie par l’intersection de deux demi–plans correspondant aux inégalités linéaires (11). Ce type de région est facilement mis sous la forme quadratique en associant une matrice Ei de la manière suivante : Ei = "∂FDi (X) ∂x ∂FDi (X) ∂y ∂FDi (X) ∂x ∂FDi (X) ∂y # Ei X ≥ ι2 ⇔ X ∈ c Di ⇒ X ∈ Di, avec ι2 =  ι ι  (12) Dans cette expression, l’inégalité signifie que chaque composante du vecteur Ei X doit être supérieure à ι. Cette condition est strictement équivalente à la condition X ∈ c Di. Nous notons par la suite Ei les matrices liées aux régions Ri par la relation (12) et Eij celles liées aux régions Rij. Dans le cas simple de frontières sous forme de droites, le terme quadratique Qi recherché pour appliquer la S– procédure s’exprime simplement par Qi = Ei T Ei. Pour 4Le symbole ι se prononce iota simplifier l’implantation des IML dans le logiciel de résolu- tion numérique, nous remplaçons la recherche de scalaires positifs par la recherche d’une matrice Ui à entrées posi- tives. Le terme ajouté pour relâcher les contraintes devient ainsi Ei T Ui Ei > 0 au lieu de αi Qi. De même, on applique la S–procédure dans une région Rij en cherchant une matrice Uij à éléments positifs et en ajoutant le terme Eij T Uij Eij > 0. Le théorème 1 appliqué avec ces définitions permet d’af- firmer que la fonction V (Xk) = Vi(Xk) lorsque Xk ∈ Ri est une fonction de Lyapunov de (5), s’il existe des ma- trices Pi (i ∈ Ξ), des matrices Ui (i ∈ Ξ) et Uij (i ∈ S) à entrées positives telles que : Ai T Pj Ai − Pi + Eij T Uij Eij ≥ 0, ∀(i, j) ∈ S Pi − Ei T UiEi ≥ 0, ∀i ∈ Ξ (13) VII. Vérification expérimentale La résolution des IML précédentes a été réalisée à l’aide des deux logiciels suivants : Matlab couplé avec SeDuMi et Scilab couplé avec LmiTool. Ces résolutions ont été effec- tuées pour plusieurs couples de paramètres (a, b) répartis sur une grille de calcul suffisamment fine. On a pu ainsi mettre en évidence une région du plan des paramètres pour laquelle le test de stabilité a été vérifié sur tous les points de la grille de cette région. Cette région de stabilité présumée est un triangle, présenté dans la fig. 6 que l’on peut définir par les trois côtés a > 0, b > 0 et b < 5 − a. Pour valider ces résultats, un circuit expérimental à été conçu de manière à obtenir un comportement le plus proche possible de son modèle théorique. Grâce à ce circuit, on vérifie d’une part l’exactitude des calculs, et on mesure d’autre part l’impact de forts bruits et de dynamiques né- gligées sur ce résultat. Les mesures de la frontière de stabilité de la fig. 6 ont été faites en observant la valeur moyenne de la sortie d’un discriminateur à fenêtre placé à l’entrée de l’OCT. Lorsque le système est instable, la tension voct s’écarte de la valeur centrale de la fenêtre et génère une impulsion positive à la sortie du discriminateur. On déclare le système instable lorsque la tension moyenne du discriminateur dépasse une valeur limite. 0 1 2 3 4 5 5.5 0 0.5 1 1.5 2 mesure theorie b a Fig. 6 Confrontation du résultat théorique avec la mesure expérimentale de la région de stabilité La fig. 6 montre la région de stabilité ainsi mesurée, cette région correspond vaguement à celle obtenue théo- riquement. Les écarts importants observés entre mesure et théorie pour les faibles valeurs de a, ce qui correspond à une faible résistance du filtre, s’expliquent par le fait que le système est très peu amorti et converge très lentement vers le point fixe : le bruit maintient la tension voct dans un voisinage du point fixe qui devient de plus en plus étendu lorsque la valeur de a diminue bien que le système soit stable. Au vu des difficultés de mesure générées par le bruit, les résultats expérimentaux semblent corroborer relativement bien les résultats théoriques. VIII. Conclusion À la lumière de la théorie des systèmes hybrides, l’étude de la BVP–IC s’est révélée fructueuse. Ces nouveaux mo- dèles et leurs méthodes d’analyses émergentes ont permis de rendre compte avec exactitude de l’interaction entre le détecteur de phase séquentiel et les parties analogiques de ce type de BVP. La stabilité du circuit a été prouvée sans approximation pour tout type de trajectoire se produisant dans un voisi- nage de l’origine. La condition de stabilité communément admise b < 4 − 2 a, qui a été déterminée à partir du mo- dèle linéaire discret, peut être remplacée par la condition beaucoup moins restrictive b . 5 − a développée dans cet article. Les mesures effectuées sur une platine expérimentale tendent à confirmer ces résultats théoriques. Le domaine de stabilité locale de la BVP–IC d’ordre deux serait donc beaucoup plus étendu que celui proposé par les études li- néaires (b < 4 − 2 a). Les algorithmes de résolution d’IML offrent la possibilité d’optimiser un critère quadratique. L’écriture d’un critère quadratique pertinent permettrait de proposer une certaine valeur du filtre au concepteur. On obtiendrait ainsi un sys- tème stable et optimal au sens d’un critère tel que ceux utilisés dans les synthèses robustes de type H∞ ou H2. Références [1] F. M. Gardner. Charge-pump phase-lock loops. IEEE trans. on Communications, COM–28(11) :1849–1858, nov 1980. [2] C. D. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, et G. Benbassat. High- level modeling apllied to the second-order charge-pump pll circuit. Technical report, Texas Instrument Technical Journal, volume 14, number 2, mar–apr 1997. [3] P. Acco. Étude de la boucle à verrouillage de phase par impulsions de charge : prise en compte des aspects hybrides. PhD thesis, INSA de Toulouse, Décembre 2003. [4] C. D. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, et G. Benbassat. 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