Application de la synthèse LPV à l’assistance au contrôle latéral d’un véhicule routier

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20037
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Résumé

Application de la synthèse LPV à l’assistance au contrôle latéral d’un véhicule routier

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	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
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Application de la synthèse LPV à l’assistance au contrôle latéral d’un véhicule routier Thibaut Raharijaona1 , Gilles Duc2 , Saı̈d Mammar3 1 Service Automatique de Supélec 3 ,rue Joliot Curie, 91192 Gif-sur-Yvette, France 2 LSC, CNRS-FRE 2494 Université d’Évry val d’Essonne, 40 rue du Pelvoux CE1455, 91025, Evry, Cedex, France thibaut.raharijaona@supelec.fr, gilles.duc@supelec.fr, smam@iup.univ-evry.fr Résumé— Ce travail présente la synthèse et l’application de correcteurs LPV dépendant de la vitesse longitudinale pour l’assistance au contrôle latéral d’un véhicule routier. La stratégie d’assistance retenue consiste à ajouter un couple à celui délivré par le conducteur grâce à l’intégration d’un moteur à courant continu sur la colonne de direction. Le but est d’assurer le confort des passagers en atténuant les effets des accélérations et des secousses latérales dans les situa- tions de maintien et de changement de voie à vitesse longi- tudinale variable et sous l’effet de perturbations extérieures. La stratégie de contrôle à paramètre variant est comparée aux performances obtenues avec un correcteur H∞. Mots-clés— Commande robuste, Synthèse H∞, Synthèse LPV, Système linéaire incertain. I. Introduction Un grand nombre d’accidents de la route sont provoqués par des mouvements de roulis et de lacet excessifs engen- drant des sorties de route. De plus, ce type d’accidents se produisent généralement sur les routes nationales et départementales. Cet article présente une solution dans laquelle un couple supplémentaire est ajouté à celui exercé par l’automobi- liste, au moyen d’une direction motorisée. Il a pour but d’assurer le suivi de route ou la correction de trajectoire, tout en garantissant le confort des passagers [4],[8],[10]. Ce travail s’insère dans le cadre général du pro- jet ARCoS (Action de Recherche pour une Conduite Sécurisée) qui a pour but le développement d’une assis- tance à la conduite combinant les interactions véhicule- infrastructure-conducteur. Le véhicule est un système complexe sujet à de nombreuses incertitudes, sur la vitesse et l’adhérence des pneumatiques par exemple, et soumis à de multiples perturbations telles que des vents latéraux et le dévers de la route. C’est dans ce cadre que les synthèses H∞ et LPV ont été développées et leurs applications ont montré qu’il s’agit d’approches à la fois souples, efficaces et a priori adaptées à la synthèse d’un dispositif d’assistance au contrôle latéral. Les synthèses H∞ s’adressent plus particulièrement à des systèmes invariants avec des incertitudes constantes, tan- dis que les synthèses LPV, qui concernent les systèmes Linéaires à Paramètres Variants, permettent d’obtenir des correcteurs dépendant d’un ou plusieurs paramètres, dans le cas où l’importance de leurs variations ne permet pas l’utilisation d’un correcteur invariant. Dans [12], nous avons considéré la synthèse d’un correcteur H∞ dédié au contrôle latéral. Dans cet article, nous allons étendre la méthodologie adoptée pour construire un correcteur LPV fonction de la vitesse longitudinale v. La commande est le couple d’assistance qui s’ajoute à ce- lui du conducteur. Ce dispositif de braquage actif est im- plantable sur véhicule au moyen de capteurs et actionneurs spécifiques. La combinaison des informations fournies par la vidéo et le DGPS permettent de définir de manière fiable, un guide axial à suivre par le véhicule. Cet article présente dans la deuxième partie les modèles utilisés pour la synthèse ainsi que la stratégie de contrôle. Pour plus de détails, le lecteur pourra se référer à [12]. La troisième partie développe la technique de synthèse LPV employée. La partie 4 est dédiée aux résultats obtenus avec le correcteur LPV pour l’application à l’assistance au contrôle latéral. Une comparaison avec les performances réalisées par un correcteur H∞ fixe est également menée. II. Présentation du modèle de synthèse et Méthodologie de commande Le modèle de synthèse comprend 3 parties, qui modélisent respectivement le véhicule, la colonne de direc- tion et le conducteur. Pour le véhicule, le modèle bicyclette linéaire classique d’ordre 4 est utilisé [1],[6]. Seules les dynamiques du mode latéral sont prises en compte. Le vecteur d’état est xv = [β, r, ψL, yL]T . Ses composantes sont l’angle de dérive du véhicule (β), la vitesse de lacet (r), l’erreur sur l’angle de cap (ψL) et le déplacement latéral (yL) au centre de la voie. Sous la forme d’équations d’état, ce modèle s’écrit de la manière suivante : ½ ˙ xv = A.xv + B.ev zv = C.xv + D.ev (1) où A =     a11 a12 0 0 a21 a22 0 0 0 1 0 0 v lS v 0     B =     b1 e11 0 b2 e22 0 0 0 −v 0 0 0     (2) C =   0 0 1 0 0 0 0 1 −TSβ −TSr 0 0   D =   0 0 0 0 0 0 2Kpcf ηt RS 0 0   (3) et ev = [δf , fw, ρref ]T , où δf est l’angle de braquage des roues avant en radian, fw est la force de vent latéral en Newton et ρref est la courbure de la route en m−1 . Le vecteur de sortie est zv = [ψL, yL, TS]T . La dernière sortie constitue le couple d’auto-alignement des roues avant TS. Les paramètres intervenant dans les matrices sont définis ci-après, et les valeurs numériques sont données dans [12] : a11 = − 2(cr+cf ) mv a12 = −1 + 2(lrcr−lf cf ) mv2 a21 = 2(lrcr−lf cf ) J a22 = − 2(l2 rcr+l2 f cf ) Jv cr = cr0.ν cf = cf0.ν b1 = 2cf mv b2 = 2cf lf J e11 = 1 mv e22 = lw J TSβ = 2Kpcf ηt RS TSr = 2Kpcf lf ηt RS v (4) On note que les matrices A et B dépendent de la vitesse longitudinale v du véhicule. S I 1 s 1 s 1 S R 1 S B + + - a T S T - d δ d δ f δ d T Couple d’assistance Couple d’auto alignement Couple conducteur Fig. 1. Modèle de la colonne de direction Le modèle de la colonne de direction est présenté sur la Figure 1. Les entrées sont constituées du couple d’as- sistance Ta délivré par le moteur électrique, du couple conducteur Td et du couple d’auto-alignement TS. La sortie est l’angle de braquage des roues avant δf qui alimente le modèle véhicule. Enfin, le modèle conducteur vient complèter la structure adoptée pour la synthèse du correcteur (Figure 2) [11], [7]. L y S l 1 L K 1 + s L τ s p e τ − 2 2 2 2 n n n s s ω ξω ω + + F K + + + a T d T L ψ Fig. 2. Modèle conducteur Il est constitué d’un modèle dit de structure qui contient un retard pur τp = 0, 2s qui représente le temps de réaction et les capacités neuromotrices humaines. De façon à conserver une description par équation d’état, ce retard est modélisé par une approximation de Padé d’ordre 1. Le modèle global est constitué de l’assemblage des modèles conducteur, de la colonne de direction et du véhicule. On supposera par la suite que les seules mesures dispo- nibles pour le bouclage sont yL, ψL et v. Les deux premières sont fournies par deux algorithmes de vision exécutés en temps réel en utilisant une mono caméra embarquée sur le véhicule. La Figure 3 présente la stratégie de commande re- tenue. Le correcteur doit élaborer le couple Ta à partir des mesures yL, ψL et v. Les perturbations sont essentiellement dues au vent latéral appliqué au modèle véhicule. β L ψ L y r S T f δ ref ρ w f Modèle véhicule d T L y L ψ T a Modèle conducteur f δ a T d T S T Colonne de direction Trajectoire de référence Vent latéral L ψ L y a T Correcteur LPV Vitesse longitudinale v Fig. 3. Stratégie d’assistance en boucle fermée III. Synthèse du correcteur LPV La méthodologie de synthèse adoptée consiste à déterminer un correcteur K(θ) où θ(t) est le paramètre variant (ici la vitesse longitudinale v) tout en assurant la stabilité de la boucle fermée de la Figure 3. De plus, le gain L2 entre les entrées extérieures w et les sorties régulées e du système bouclé doit être inférieur à γ. Ce qui se traduit par : kek2 < γkwk2 (5) pour toute valeur possible de θ(t). La méthode que nous avons utilisée [3] est applicable lorsque les équations d’état du système à commander sont affines en θ(t) et s’il est possible de mesurer le paramètre variant en temps réel. On suppose que le paramètre évolue dans un polytope dont les sommets sont : θ(t) = πi, i = 1, ..., 2p . Pour tout t, θ(t) est le barycentre des sommets tel que : θ(t) = 2p X i=1 αiπi; αi ≥ 0; 2p X i=1 αi = 1 (6) Les matrices de la représentation d’état peuvent s’écrire comme une combinaison linéaire des matrices correspon- dant aux sommets du polytope :   A(θ) Bw(θ) Bu(θ) Ce(θ) Dew(θ) Deu(θ) Cy(θ) Dyw(θ) Dyu(θ)   = P2p i=1 αi   A(πi) Bw(πi) Bu(πi) Ce(πi) Dew(πi) Deu(πi) Cy(πi) Dyw(πi) Dyu(πi)   (7) où e sont les sorties régulées, w les entrées extérieures, (par exemple les perturbations), u les commandes et y les mesures. Le correcteur LPV a alors la forme suivante : K(θ) : µ ẋK(t) u(t) ¶ = µ AK(θ) BK(θ) CK(θ) DK(θ) ¶ µ xK(t) y(t) ¶ (8) où les matrices de sa représentation d’état sont trouvées par la même combinaison linéaire : µ AK(θ) BK(θ) CK(θ) DK(θ) ¶ = 2p X i=1 αi µ AK(πi) BK(πi) CK(πi) DK(πi) ¶ (9) La faisabilité du problème dépend de l’application du théorème présenté dans [2], [3]. La synthèse du correc- teur est réalisée par la résolution d’un système d’inégalités matricielles (LMI) grâce à l’utilisation d’algorithmes clas- siques d’optimisation convexe [5]. Cette approche garantit à la fois stabilité et performance. Toutefois, elle peut s’avèrer conservative lorsque le pa- ramètre θ varie lentement. IV. Correcteur LPV dédié à l’assistance au contrôle latéral Cette partie présente l’application de la méthode à l’as- sistance au contrôle latéral. La vitesse longitudinale est écrite de la manière suivante : 1 v = 1 v0 + 1 v1 δv (10) où, δv ∈ [−1; +1], les matrices de la représentation d’état du système sont construites de manière à être affines en fonction du paramètre variant scalaire δv, en approximant les termes en v et en 1 v2 par un développement limité au premier ordre. Expérimentalement, δv est déduit de la me- sure en temps réel de la vitesse longitudinale v. La synthèse consiste à choisir deux sommets correpondant aux vitesses v1 et v2 et à construire les matrices AK(πi), BK(πi), CK(πi), DK(πi) pour chaque sommet π1 et π2 par l’intermédiaire d’un système d’inégalités matricielles linéaires [2]. Comme dans une synthèse H∞, les objectifs de commande sont pris en compte par l’introduction de filtres Wi, qui représentent des pondérations fréquentielles appliquées sur différents signaux. Comme le montre la Fi- gure 4, ils sont utilisés ici pour pondérer la commande et les sorties afin d’assurer les performances et de bonnes marges de stabilité au système en boucle fermée. Le choix des filtres est exposé dans [12]. Les fonctions de pondération Wi, i = 1...5, sont des filtres du premier ordre paramétrés par un gain statique G0, un gain à l’infini G∞ et une pul- sation ω0. Le correcteur final est à paramètre variant et s’adapte à toutes les trajectoires possibles du paramètre. Son expres- β r L ψ L y w f a T W1 W3 W4 L y mesuré assistance * a T * w f * L y Conducteur+ Actionneur+ Véhicule W5 + + L ψ mesuré * L ψ W2 Fig. 4. Système augmenté des pondérations sion est la suivante : µ AK(θ) BK(θ) CK(θ) DK(θ) ¶ = ¡δv+1 2 ¢ µ AK(π1) BK(π1) CK(π1) DK(π1) ¶ + ¡1−δv 2 ¢ µ AK(π2) BK(π2) CK(π2) DK(π2) ¶ (11) où δv ∈ [−1; +1]. La synthèse a été effectué en considérant que la vitesse longitudinale du véhicule varie entre v1 = 10m.s−1 et v2 = 20m.s−1 et que les conditions d’adhérence des pneu- matiques sur la route valent ν = 0, 8. L’algorithme donne γopt = 2, 87. L’état du correcteur est de dimension 12. Les Figures 5 à 7 présentent une analyse fréquentielle du correcteur LPV, à vitesse fixe. La Figure 5 présente le diagramme de Bode du correcteur LPV, pour l’entrée yL ; pour les sommets v1 (en ligne pointillée) et v2 (en ligne pointillée discontinue), et pour une vitesse intermédiaire v = 18m.s−1 (en trait plein). 20 40 60 80 Magnitude (dB) 10 −2 10 0 10 2 10 4 10 6 −90 −45 0 45 90 135 180 Phase (deg) LPV v1 v2 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Fig. 5. Diagramme de Bode du correcteur LPV pour l’entrée yL 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 yL/fw Pulsation en rad/s Gain en dB LPV v1 v2 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 −200 −190 −180 −170 −160 −150 −140 −130 −120 −110 −100 psi/fw Pulsation en rad/s Gain en dB LPV v1 v2 Fig. 6. Analyse fréquentielle en boucle fermée (a) | yL fw | et (b) |ψL fw | La Figure 6 présente de même les diagrammes de Bode des transferts |yL fw | et |ψL fw | en boucle fermée. Ils sont particulièrement efficaces aux basses fréquences. En conséquence, il est donc fortement prévisible que le correc- teur LPV améliore notablement le rejet des pertubations extérieures constituées par les forces de vent latéral. Le diagramme de Black de la boucle ouverte corrigée est −270 −225 −180 −135 −90 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 0.25 dB 6 dB 0.5 dB 1 dB 3 dB LPV v1 v2 Black de la boucle ouverte corrigée Open−Loop Phase (deg) Open−Loop Gain (dB) Fig. 7. Diagramme de Black du correcteur LPV (trait plein) présenté sur la Figure 7, toujours pour les mêmes valeurs de vitesse. Il met en évidence de bonnes marges de phase et de gain, ce qui permet d’espérer de bonnes propriétés de robustesse du système en boucle fermée. On peut enfin re- marquer que ces différentes réponses fréquentielles varient de façon régulière avec la vitesse longitudinale. Afin d’étudier le comportement de l’assistance avec le cor- recteur LPV sur le véhicule, face aux perturbations, la par- tie suivante présente les résultats de simulation qui uti- lisent des modèles non linéaires de véhicule intégrant les intéractions pneu/chaussée. V. Simulations et résultats Cette partie propose d’analyser les réponses du système bouclé par le correcteur LPV lorsque celui-ci est soumis à des perturbations extérieures. La stratégie d’assistance est testée dans de multiples situa- tions, en présence de forces de vent latéral, pour des pertes d’adhérence, et pour des variations de vitesse. Un modèle non linéaire de véhicule est présenté, il est utilisé par la suite. A. Modèle non linéaire pneu/chaussée Notre travail étant centré sur le contrôle latéral, un modèle non linéaire simple de véhicule est élaboré en négligeant les mouvements de pompage, de roulis et de tan- gage de la caisse. Ce modèle considère les deux translations suivant les axes x et y et la dynamique de lacet. Les roues du véhicule sont numérotées de 1 à 4. L’interaction entre le pneu i (i = 1, 2, 3, 4) et la route est décomposée en forces longitudinale fxi (λi) et latérale fyi (αi). L’expression de ces forces est détaillée plus loin. Le modèle non linéaire est alors obtenu en écrivant les équations des mouvements de translation et de rotation dans le repère lié au véhicule où vx et vy sont les composantes de la vitesse :                m (v̇x − vyr) = fxf cos δf + fxr − fyf sin δf −kxvx |vx| m (v̇y + vxr) = fxf sin δf + fyr + fyf cos δf −kyvy |vy| + fw Jṙ = lf ¡ fxf sin δf + fyf cos δf ¢ − lrfyr +sb 2 ¡ ∆fx − ∆fyf sin δf ¢ + lwfw (12) où : fxf = fx1 + fx2 ; fyf = fy1 + fy2 fxr = fx3 + fx4 ; fyr = fy3 + fy4 ∆fx = (fx4 − fx3 ) + (fx2 − fx1 ) cos δf ≈ 0 ∆fyf = fy2 − fy1 Table 1. Formules non linéaires des angles de glissement des pneus α1 = δf − tan−1 µ vy−(nt cos δf )δ̇f −(nt cos δf −lf )r vx+(nt sin δf )δ̇f +(nt sin δf − sb 2 )r ¶ α2 = δf − tan−1 µ vy−(nt cos δf )δ̇f −(nt cos δf −lf )r vx+(nt sin δf )δ̇f +(nt sin δf + sb 2 )r ¶ α3 = − tan−1 ³ vy−lrr vx− sbr 2 ´ α4 = − tan−1 ³ vy−lrr vx+ sbr 2 ´ Les forces longitudinales dépendent directement du coeffi- cient de glissement du pneumatique (λi) alors que les forces latérales dépendent des angles de glissement (αi). Le Ta- bleau 1 résume les expressions des angles de glissement. Dans cet article, la formule magique de Pacejka [9] est uti- lisée sur chaque pneu pour déterminer les forces latérales : fyi(αi) = di sin[ci tan−1 {bi(1 − ei)αi+ ei tan−1 (biαi)}] (13) Les coefficients bi, ci, di, ei dépendent des caractéristiques des pneumatiques, des conditions d’adhérence et des pa- ramètres du véhicule. B. Rejet de perturbation Des rafales de vent d’intensité fw = 500N, présentées sur la Figure 8 (a) sont appliquées au véhicule qui se déplace à vitesse variable (Figure 8 (b)) sur une ligne droite. 0 5 10 15 20 25 30 35 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 time in second wind force in Newton 0 5 10 15 20 25 30 35 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 temps en seconde vitesse longitudinale en m/s Fig. 8. (a)Rafales de vent latéral (b)Profil de vitesse 0 5 10 15 20 25 30 35 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 temps en seconde y L en mètre 0 5 10 15 20 25 30 35 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 x 10 −3 temps en seconde ψ L en radian Fig. 9. (a)yL avec les rafales de vent latéral fw = 500N (b) ψL Sur la Figure 9, les tracés en trait plein représentent les réponses du véhicule assisté par le correcteur LPV et en ligne pointillée celles du système en boucle fermée avec un correcteur H∞ fixe, calculé à partir du schéma de la Figure 4 . La Figure 9 (a) en trait plein montre que yL reste inférieur à 7cm, le véhicule reste donc très proche du centre de la voie. La comparaison avec le correcteur H∞ fixe montre que le correcteur LPV est très efficace. La Figure 9 (b) présente l’erreur sur l’angle de cap. Avec le correcteur LPV, celle-ci reste inférieure à 0, 003 radian. De plus, le couple d’assistance Ta est inférieur à 3 N.m, comme le montre la Figure 10, ce qui compatible avec les performances des actionneurs de direction actuels. 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 temps en seconde couple d’assistance en N.m Fig. 10. Couple d’assistance Ta C. Rejet de perturbation et décélération en virage Dans ce cas, le véhicule arrive dans un virage à 20 m.s−1 pour ralentir à 10 m.s−1 , tout en subissant des rafales de vent pour les conditions d’adhérence telles que µ = 0, 7. La stratégie d’assistance intégrant le correcteur LPV est active et les résultats obtenus sont présentés sur la Figure 11. 0 5 10 15 20 25 30 35 −0.3 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 temps en seconde y L en mètre LPV Hinfini 0 5 10 15 20 25 30 35 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 temps en seconde Ψ L en radian LPV Hinifini Fig. 11. (a)yL (b) ψL, avec les rafales de vent fw = 500N en virage La Figure 11 (a) montre que le déplacement latéral yL, avec le correcteur LPV (en trait plein) ne dépasse pas la limite des 20 cm, ce qui correspond à une erreur accep- table. De même, l’utilisation du correcteur LPV améliore la réponse ψL sur la Figure 11 (b). Le système en boucle fermée est stable et la stratégie de commande intégrant le correcteur LPV est plus performante que celle utilisant un correcteur H∞ fixe. Le correcteur LPV s’avère donc parti- culièrement efficace dans cette manoeuvre. D. Rejet de perturbation et perte d’adhérence à vitesse va- riable Cette situation présente une manoeuvre pour laquelle le véhicule aborde un virage à 20 m.s−1 et ralentit à 10 m.s−1 de manière linéaire. L’angle de braquage du conducteur est constant. Il est soumis à deux rafales de vent d’intensité fw = 500N et les pneumatiques traversent des zones de faible adhérence où µ = 0, 1 aux instants t = 10, 15, 20, 25 secondes. Ils retournent sur un revêtement parfaitement sec 2 secondes plus tard. L’assistance au contrôle latéral utilisant le correcteur LPV est active et les résulats sont exposés. 0 5 10 15 20 25 30 35 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 temps en seconde y L en mètre LPV Hinfini 0 5 10 15 20 25 30 35 −0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 temps en seconde Ψ L en radian LPV Hinfini Fig. 12. (a)yL (b) ψL, avec les rafales et pertes d’adhérence en virage Sur la Figure 12 (a), le déplacement yL obtenu avec le correcteur LPV (en trait plein) est inférieur à 4 cm. La Fi- gure 12 (b) présente la réponse de l’erreur sur l’angle de cap ψL. Celle-ci est très satisfaisante de sorte que l’intégration de la commande linéaire à paramètre variant est promet- teuse. VI. Conclusion Dans cet article, la synthèse LPV par approche polyto- pique est utilisée pour la conception d’un dispositif d’assis- tance au contrôle latéral. Le paramètre variant est la vitesse longitunale. Cette méthodologie est plus performante que celles basées sur la construction de correcteurs fixes dans la mesure où la stabilité du système en boucle fermée est garantie pour toute variation du paramètre dans le poly- tope. Une analyse fréquentielle est également réalisée. Elle met en évidence de bonnes marges de gain et de phase, ce qui permet d’espérer de bonnes propriétés de robustesse pour le système en boucle fermée face aux incertitudes représentées par les paramètres du véhicule et du conducteur. Afin d’étudier plus finement l’application de la stratégie de synthèse, des simulations ont été réalisées. Elles mettent en comparaison l’utilisation de correcteurs LPV et H∞ et montrent l’efficacité de la stratégie à paramètre variant dans des situations de conduite dégradées. Les perspectives immédiates de ce travail consistent maintenant à tester et valider les commandes LPV et H∞ expérimentalement sur véhicule. Références [1] Ackermann J., Bartlett A., Kaesbauer D., Sienel W., and Stein- hauser R., ”Robust control : Systems with uncertain physical pa- rameters”, Springer, London, 1993. [2] Apkarian P., Gahinet P., Becker G., ”Self-scheduled H∞ Control of Linear Parameter-varying Systems : a Design Example”, Au- tomatica, vol 31 No 9 pp 1251-1261,1995. [3] Apkarian P., Gahinet P., ”A Convex Characterization of Gain- Scheduled H∞ Controllers”, IEEE Transactions on Automatic Control, vol 40 No 5 pp 853-864,1995. 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