CIFA 2004 Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne d’EDP

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2004-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2004-4:20033
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Résumé

CIFA 2004 Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne d’EDP

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	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
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CIFA 2004 Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne d’EDP. Valérie DOS SANTOS1 , Youssoufi TOURÉ2 , Nathalie CISLO3 Laboratoire de Vision et Robotique, Université d’Orléans, IUT de Bourges, 63, avenue De Lattre de Tassigny, F-18020 Bourges, France 1 Valerie.dossantos@bourges.univ-orleans.fr, 2 Youssoufi.toure@bourges.univ-orleans.fr, 3 Nathalie.cislo@bourges.univ-orleans.fr, http://cifa2004.ec-lille.fr Résumé— Ce papier traite de la régulation d’une classe de canaux d’irrigation en utilisant une forme particulière de la commande par modèle interne (IMC), directement sur les équations aux dérivées partielles (edp) de Saint Venant. Nous considérons le cas plusieurs biefs en cascade. Dans le modèle de régulation retenu, l’aspect non homogène du système en fonction de la dimension spatiale est conservé. De ce fait, il est moins direct d’utiliser la théorie existante, notamment celle de la perturbation en dimension infinie. Dans ce papier, nous proposons une synthèse de commande, passant par le contrôle frontière par modèle interne, qui utilise la perturbation des opérateurs et des semigroupes comme levier de réglage. La régulation de niveaux dans le cas de biefs en cascade est ainsi traitée. Les résultats de simulations puis expérimentaux (sur le micro-canal de Va- lence) sont encourageants pour une extension aux cas réels. Mots-clés— Equations de Saint Venant, canaux d’irrigation, semi-groupe, contrôle frontière multivariable, multibiefs. I. Introduction Que ce soit pour la modélisation ou pour le contrôle, les systèmes hydrauliques à surface libre ont succité des approches très diverses ([6], [11]). En ce qui concerne la commande, il y a actuellement deux approches : la com- mande en dimension finie (identification du système ou ap- proximation des EDP) et l’approche directe en dimension infinie (les méthodes et outils élaborés directement sur les EDP). Ce papier se situe dans la deuxième approche ([13], [15], [17], [18]), en utilisant les équations aux dérivées partielles qui décrivent les écoulements en milieu ouvert (équations de Saint Venant). Nous proposons le contrôle frontière par modèle interne pour la synthèse du contrôle, en vue de la régulation d’un ou plusieurs biefs. Ce contrôle frontière par modèle interne a été introduit dans [17], pour des systèmes paraboliques dissipatifs, exponentiellement stables. Nous l’étendons ici à un cas hyperbolique en tenant compte en plus, du fait que les paramètres sont dépendants de la variable d’espace. L’étude du système pour la synthèse de commande peut alors se ramener à la conservation des propriétés de stabi- lité de semigroupe, par application de certains résultats de la théorie des perturbations ([8]). Dans la première section, le problème de régulation est rap- pelée dans le cas du canal formé de plusieurs biefs en cas- cade et le cas d’un bief en fin de chaı̂ne (avec un déversoir). Le modèle non linéaire d’un canal rectangulaire est ainsi rappelé pour établir le modèle linéarisé pour la régulation autour d’un état d’équilibre. La deuxième partie concerne le système de commande. Le système de contrôle frontière est proprement posé, de manière à établir les propriétés essentielles à conserver suite à la perturbation structurelle qu’est la boucle fermée. As- socié à la structure particulière du modèle interne adoptée, on montre que le système étendu est représenté par un opérateur fermé, générateur d’un C0-semigroupe exponen- tiellement stable. Les paramètres de synthèse sont alors ob- tenus par une application directe des résultats de la théorie des perturbations d’opérateurs et de semigroupe ([8], [13], [17]). Dans la dernière partie, des résultats de simulations et d’application sur le canal expérimental de Valence, concer- nant la poursuite de niveaux de référence autour d’états d’équilibres, sont donnés. II. Le problème de régulation du canal : un système de commande frontière On considère la classe suivante de canaux, représentés par la Figure 1 pour un bief suivi d’un déversoir, et par la Figure 2 pour deux biefs en cascade où : – Q(x, t) est le débit, – Z(x, t) est la hauteur d’eau du canal, – L et L0 sont les longueurs des deux biefs qui sont à réguler entre, l’amont x = 0 et l’aval x = L pour le premier, et x = L et x = L + L0 pour le second. – U0(t), UL(t) et UL+L0 (t) sont les ouvertures des vannes. Fig. 1. Schéma du Canal : une vanne Fig. 2. Schéma du Canal : deux biefs Le problème de régulation concerne la stabilisation du débit et/ou de la hauteur d’eau, autour d’un niveau d’équilibre pour un bief, noté (ze(x), qe(x)). Un modèle linéaire à coefficients variables peut donc être utilisé pour décrire les variations autour de ce comportement d’équilibre. Nous rappelons ces modèles. A. Le Modèle d’un bief On suppose que le canal a une longueur L suffisante, de telle sorte qu’on puisse considérer un mouvement uniforme dans la direction latérale. Les edp, non linéaires, de Saint Venant qui décrivent un canal rectangulaire sont les sui- vantes ([6], [11]) : ∂tZ = −∂x Q b , (1) ∂tQ = −∂x( Q2 bZ + 1 2 gbZ2 ) + gbZ(I − J), (2) Z(x, 0) = Z0(x), Q(x, 0) = Q0(x), (3) où I est la pente du fond, b la largeur du canal, g la constante de gravité et J la pente de frottement, exprimée à partir de la formule de Manning-Strickler, R est le rayon hydraulique : J = n2 Q2 (bZ)2R4/3 , R = bZ b + 2Z . (4) Les différentes conditions aux limites nous amènent à consi- derer deux cas de contrôle possible : Cas a Contrôle monovariable, cas du déversoir : L’équation de la condition en amont du bief (x = xam) est donnée par Q(xam, t) = Uam(t)Ψ1(Z(xam, t)). (5) La condition en aval du bief (x = xav) est l’équation du déversoir (Fig. 1) : Z(xav, t) = Ψ2(Q(xav, t)), (6) où : Ψ1(Z) = Ki p 2g(zam − Z), Ψ2(Q) = ( Q2 2gKi 2 )1/3 + hs. zam est la hauteur d’eau en amont de la vanne, Ki est le produit de la largeur avec le coefficient de débit de la vanne n0 i, Uam(t) est la commande amont. Notons que la variable à contrôler est la hauteur en xav. Remarque 1: On a dans ce cas xam = 0, xav = L, Uam = U0 (cf. Figure 1). Cas b Contrôle multivariable, biefs en cascade : L’équation de la condition amont est toujours (5) : Q(xam, t) = Uam(t)Ψ1(Z(xam, t)). Une autre commande apparaı̂t en aval de chaque bief, i.e. en x = xav (Fig. 2) : Q(xav, t) = Uav(t)Ψ3(Z(xav, t)), où Ψ3(Z) = Ki p 2g(Z − zav) et Uav(t) est la commande aval du bief, zav est la hauteur d’eau en aval de la vanne. Remarque 2: L’amont et l’aval dépendent du bief considéré, il en est de même pour les abscisses et les vannes. B. Un modèle de régulation Un état d’équilibre du système vérifie les équations sui- vantes : ∂xqe = 0 ∂xze = gbze I + Je + 4 3 Je 1 1+2ze/b gbze − q2 e /bz2 e , (7) Remarque 3: On se place dans le cas fluvial : ze > 3 p q2 e/(gb2). (8) Notons que qe est constant mais que ze dépend de la va- riable d’espace. Le système linéarisé autour d’un niveau d’équilibre, est alors (un niveau d’équilibre différent par bief) : ξ(t) = (z(t) q(t))t ∂tξ(t) = A1(x)∂xξ(x) + A2(x)ξ(x) (9) ξ(x, 0) = ξ0(x) q(xam, t) = uam,e∂zΨ1(ze(xam, t))z(xam, t) +uam(t)Ψ1(ze(xam, t)) (10) Cas a : z(xav, t) = ∂qΨ2(qe)q(xav, t) (11) Cas b : q(xav, t) = uav,e∂zΨ3(ze(xav, t))z(xav, t) +uav(t)Ψ3(ze(xav, t)) (12) où uam,e, uav,e sont les ouvertures de vannes pour les points d’équilibre amont et aval d’un bief et uam, uav sont les variations de ces ouvertures. A1(x) = µ 0 −a1(x) −a2(x) −a3(x) ¶ , A2(x) = µ 0 0 a4(x) −a5(x) ¶ , (13) avec a1(x) = 1/b, a2(x) = gbze(x) − q2 e bz2 e (x) , a3(x) = 2qe bze(x) , a5(x) = 2gbJe(x)ze(x) qe a4(x) = gb(I + Je(x) + 4 3 Je(x) 1 + 2ze(x)/b ). Le problème de commande est alors le suivant : Cas a : trouver les variations de uam(t) à l’extrémité x = xam, pour que la variable de sortie en aval, x = xav, suive un signal de référence r(t). Cas b : trouver les variations de uam(t) à l’extrémité x = xam, et uav(t) à l’extrémité x = xav de chaque bief telles que les variables de sorties en aval, x = xav (variables mesurées), suivent un signal de référence r(t), distinct pour chaque bief. Le signal de référence r(t) est choisi, dans tous les cas, soit constant, soit non persistant (une réponse indicielle stable d’un système non oscillatoire). III. Synthèse de la Commande Le système est d’abord écrit comme un système de contrôle frontière classique. Associé à la structure de modèle interne, le système en boucle fermée est décrit sous la forme d’une perturbation du système en boucle ouverte. Les paramètres de synthèse de la loi de commande sont réglés de sorte que cette perturbation garde stable les pro- priétés du système en boucle ouverte : opérateur fermé et semigroupe exponentiellement stable. A. Le système à commande frontière en boucle ouverte Le modèle linéarisé à commande frontière peut être for- mulé comme suit, en se ramenant entre xam = 0 et xav = L pour chaque bief (L pouvant être différent pour chaque bief) et X = L2(0, L) × L2(0, L) : ∂tξ(t) = Ad(x)ξ(t), x ∈ Ω =]0, L[, t > 0 (14) Fbξ(t) = Bbu(t), sur Γ = ∂Ω, t > 0 ξ(x, 0) = ξ0(x) sur Ω (15) où Ad(x) = A1(x)∂x + A2(x), Fb et Bb correspondent aux expressions matricielles des conditions frontières (10)-(12). Dans le cas d’un contrôle monovariable (déversoir) i.e. cas a, u(t) ∈ U, U = R et : D(Ad) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X et z(L) = ∂qΨ2(qe)q(L)}, Ker(Fb) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X et q(0) = u0,e∂zΨ1(ze(0))z(0)} (16) Dans le cas d’un contrôle multivariable i.e. cas b, U = Rn et : D(Ad) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X} Ker(Fb) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X, q(0) = u0,e∂zΨ1(ze(0))z(0), q(L) = uL,e∂zΨ3,2(ze(L))z(L)} La variable de sortie, y, est mesurée en xj = L(j), 1 ≤ j ≤ p dans le cas de p biefs : y(t) = Cξ(t), t ≥ 0, y(t) ∈ Y = Rp (17) où C est un opérateur borné (représentation de la mesure en un point, où 1x±µ(x) = 1[xi−µ,xi+µ](x) est la fonction qui vaut 1 si x ∈ [xi − µ, xi + µ], 0 sinon, et µ > 0) : Cξ =       1 2µ R x1+µ x1−µ 1x1±µ 0 1 2µ R x2+µ x2−µ 1x2±µ 0 . . . . . . 1 2µ R xp+µ xp−µ 1xp±µ 0       ξdx, µ > 0 Le système abstrait équivalent de contrôle frontière est ob- tenu par changement d’opérateurs et de variable ([5], [17]). 1) Opérateur A du système abstrait de contrôle frontière : D(A) = {ϕ ∈ D(Ad) : Fbϕ = 0} = D(Ad) ∩ Ker(Fb) et Aϕ = Adϕ, ∀ϕ ∈ D(A) dans X = L2(0, L) × L2(0, L). En se plaçant dans le cas non homogène, il est nécessaire de montrer que cet opérateur est fermé. Dans le cas constant, ceci est habituellement admis. Proposition 1: L’opérateur A est générateur d’un semi- groupe fermé. Preuve. A(x) = A1(x)∂x + A2(x), A est un opérateur linéaire et à domaine dense. Il suffit de montrer que A1(x)∂x est un opérateur fermé, puisque d’après l’hy- pothèse (8) l’opérateur A2(x) est compact. Rappellons qu’un opérateur fermé T vérifie T : X → Y, ∀zn(x) → z(x), Tzn → y, ∀x ∈ (0, L) ⇒ z ∈ D(T) et Tz = y. (18) Pour A1(x)∂x, définissons f, tel que A1(x)∂xf = y i.e. f(ξ) = (A1(x)∂x)−1 y, où y, z et zn appartiennent à X, avec y = (y1 y2)t , z = (z1 z2)t , zn = (zn qn)t . Ainsi : (A1(x)∂x)−1 µ y1 y2 ¶ = Ã R x 0 a3(s) a1a2(s) y1(s)ds − R x 0 y2(s) a2(s) ds − R x 0 y1(s) a1 ds ! En utilisant le produit propre à X kf − zk = kf − zn + zn − zk ≤ kf − znk + kzn − zk kf − zk ≤ Z L 0 |f1 − zn|2 + |f2 − qn|2 dx + kzn − zk ≤ Z L 0 k 1(0,x) a1a2(x) k2 L2 ka3y1(s) − a1y2 − a1a2z0 nk2 L2 +k 1(0,x) a1 k2 L2(0,L)k − y1 − a1q0 nk2 L2(0,L)dx + C0 ²0 ≤ C² + C0 ²0 → 0 puisque zn(x) → z(x). Donc f = z, et l’opérateur est fermé d’après (18). 2) Système d’état en boucle ouverte. Considérons le changement de variables suivant : ξ(t) = ϕ(t) + Du(t) ∀t ≥ 0 (19) où u(t) ∈ U, D est un opérateur borné de U dans X, tel que Du ∈ D(Ad) Fb (Du(t)) = Bbu(t) ∀u(t) ∈ U Notons que sans perdre en généralité, l’opérateur D peut être choisi tel que l’opérateur Ad reste inchangé i.e. Im(D) ⊂ Ker(Ad)). Le système (14)-(15) devient équivalent à : ϕ̇(t) = Aϕ(t) − Du̇(t), ϕ(t) ∈ D(A), t > 0 ϕ(0) = ξ(0) − Du(0) qui a classiquement pour solution : ϕ(t) = TA(t)ϕ0 − Z t 0 TA(t − s)Du̇(s)ds où u̇ est prise continue et A doit être un générateur in- finitésimal d’un C0 semigroupe TA(t) tel que la solution ϕ(t) = TA(t)ϕ0 existe et appartienne à D(A). Proposition 2: Le système en boucle ouverte est bien posé , i.e. générateur d’un C0-semigroupe. Preuve. A(x) = A1(x)∂x + A2(x), A est un opérateur linéaire, fermé et à domaine dense. D’après l’expression de A1(x) et A2(x) dans (13), pour tout x ∈ [0, L] et (8), les opérateurs A1(x) et A2(x) sont com- pacts, donc l’opérateur B(x) = A−1 1 (x)A(x) = ∂x + A1(x)−1 A2(x) est une transformation bornée inversible de A pour tout x ∈ [0, L]. De ce fait, B(x) est une perturbation bornée de l’opérateur T = ∂x, qui est générateur d’un C0-semigroupe ([8], [12]). Proposition 3: Le système en boucle ouverte a un semi- groupe exponentiellement stable. Preuve. Rappelons que le système abstrait de contrôle frontière, en boucle ouverte, est ϕ̇(t) = Aϕ(t) t > 0 ϕ(0) = ϕ0 dans D(A) et ϕ(t) = TA(t)ϕ0 (selon la proposition 2) où TA(t) est un C0 semigroupe généré par l’opérateur A(x), qui a pour expression : A(x) = A1(x)∂x + A2(x). La démonstration n’est que résumée ici, car assez longue. Considérons les deux membres de cet opérateur : A2(x) est semi-défini négatif, puisque son spectre est : σ(A2(x)) = {0} ∪ {−a5(x)/a5(x) > 0 ∀ 0 ≤ x ≤ L}. Le spectre de A1(x)∂x est défini comme suit : σ(A1(x)∂x) = σp(A1(x)∂x) = {µn : µn(x) = µ(x) + 2iπn Lθ(x) , n ∈ Z, θ(x) > 0} . (20) Comme 0. Finalement, l’exponentielle stabilité est démontrée en trois parties ; dans la première partie, on montre que 0 n’est pas une valeur propre de l’opérateur global A, malgré le fait qu’il soit dans le spectre de A2(x). Deuxièment, l’opérateur A est à résolvante compacte, puis enfin, l’exponentielle stabilité découle de la propriété de croissance spectrale (d’après les théorèmes 3.17 p.214 [8], 5.1.5 et 5.1.6 p223 [3]). L’objectif de régulation peut être atteint en utilisant une loi de commande simple dans la structure de contrôle IMBC. B. Le système en boucle fermée Cette structure de contrôle est un cas particulier de la structure classique IMC puisqu’elle contient un feedback sur le modèle interne. Ce qui permet d’avoir quelques per- formances supplémentaires inhérentes à la boucle fermée. Fig. 3. IMBC structure Les modèles de poursuite Mr et de filtrage Mf sont des systèmes stables dont les entrées et sorties sont de dimen- sion p. Pour une régulation, la loi de commande peut être choisie sous la forme d’un feedback de type intégral u(t) = ακζ(t) (21) avec ζ̇(t) = ε(t) et où ε(t) = yd(t) − y(t), qui présente l’intérêt de se comporter comme un intégrateur par rapport à la sortie ”réelle” mesurée : si e(t) ≡ 0 (i.e. modèle parfait) y(t) = ys(t), ε(t) = r(t) − ys(t) sinon ε(t) = r(t) − y(t) − yf (t) et lim t→∞ ε(t) = lim t→∞ (r(t)−y(t)−(ys(t)−y(t))) = lim t→∞ r(t)−ys(t). (22) En utilisant la relation (19), et en posant xa(t) = (ϕ(t) ζ(t))t , le système d’état étendu de la structure IMBC est ½ ˙ xa(t) = A(α)xa(t) + B(α)r(t) xa(0) = xa0 (23) où A(α) = µ A 0 −C 0 ¶ +α µ DκC 0 0 −κCD ¶ + α2 µ 0 DκCDκ 0 0 ¶ , (24) B(α) = µ −αDκ 1 ¶ . A(α) peut être vu comme une perturbation de A : A(α) = Ae + αA(1) e + α2 A(2) e , où A (1) e et A (2) e sont des opérateurs bornés. C. Stabilité D’après les travaux de Pohjolainen ([13], [14]), sous condition de contrôlabilité entrée-sortie du système, la sta- bilité peut être obtenue par un choix des paramètres de perturbation. Nous rappelons le principal résultat de ces travaux : Théorème 4 ([13]) : Soient CD tel que rg(CD) = p et κ = −[CD]† . Il existe alors un αmax > 0 tel que σ(A) ∈ C− , pour tout α ∈ (0, αmax). Si rg(CD) < p, le système ne peut être stabilisé par aucune sélection de α, κ. († est la pseudo inverse à droite.) La valeur limite suffisante pour αmax est aussi un résultat de la théorie de la perturbation, appliquée à la résolvante de l’opérateur perturbé : Proposition 5 ([17]) : Une condition suffisante pour que la stabilité en boucle fermée est donnée par : 0 < α < min λ∈Γ (akR(λ, Ae)k + 1)−1 avec a = max(kA (1) e k, kA (2) e k), Γ ∈ ρ(Ae), <(σ(−κCD)) < 0. (25) Pour appliquer ceci au système précédent en boucle fermée, il est nécessaire de considérer la relation entrée-sortie dans le cas mono et multibiefs : C : X = L2(0, L) × L2(0, L) → Rp D : Ck ([0, ∞], Rn ) → X = L2(0, L) × L2(0, L) où p est le nombre de hauteurs contrôlées (= nombre de biefs), et n est le nombre de vannes de commande. Or ξ(t) = TA(t)ξ(0) − R t 0 TA(t − s)Du̇(s)ds x(t)−Du(t) = TA(t)(x(0)−Du(0))− Z t 0 TA(t−s)Du̇(s)ds donc, pour des entrées constantes u(t) = ũ, on a u̇(t) ≡ 0, et u(0) = 0. Avec y(t) = Cx(t), on a : y(t → ∞) = yref → CDũ 6= 0. (26) Le raisonnement précédent, nous permets donc d’écrire que CD : Ck ([0, ∞], Rn ) → Rp . Dans le cas du déversoir, Figure 1, p = n, dans le cas deux biefs trois vannes, Figure 2, p = n − 1, donc p ≤ n. La condition du rang de CD (rg(−CD) = p) se vérifie alors par récurrence. IV. Résultats Pour prendre en compte de façon réaliste la dynamique des vannes, un système du second ordre peut être adopté pour décrire leurs mouvements autour de leur position d’équilibre : ü(t) + 2ℵωnu̇(t) + ω2 nu(t) = kω2 nv(t) ⇔ ½ u̇1 = u2 u̇2 = −2ℵωnu2 − ω2 nu1 + kω2 nv(t) Le cas du déversoir (cas a) ayant déjà été traité dans [4], seul des résultats sur le second cas sont donnés. A. Résultats de simulation La variable de sortie est le niveau à l’aval x = L. On impose un signal de référence r(t) qui correspond à une va- riation de −20% par rapport à l’état d’équilibre au temps t = 48s, puis de +20%, toujours par rapport à l’état d’équilibre au temps t = 350s. Sur la figure 4 est représenté le résultat de la poursuite, dans le cas b avec un bief, et le système simulé par les équations non linéaires de Saint Venant [9]. Les courbes du bas représentent les ouvertures de vannes amont et aval. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t référence modèle système 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t dm 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Controle aval t dm Controle amont Fig. 4. Contrôle & régulation d’un bief B. Résultats expérimentaux : application au canal pilote de Valence Le micro canal de Valence est un banc d’essai expérimental (longueur=8 m, largeur=0.1 m), avec une base rectangulaire, une légère pente variable, et trois vannes (trois biefs avec le déversoir). Dans le cas d’un bief avec deux vannes (cf. Figure 2), le débit et la hauteur d’équilibre sont les suivants : Qe = 2dm3 /s, ze(0) = 1.34dm. Le signal de réference est d’atteindre une variation de la hauteur, en x = L de +20% au temps t = 90s, et −10% au temps t = 250s. Le signal de référence est décrit par la courbe ”-.”, les mesures sur le systèmes non linéaire par ”-”, et linéaire par ”- -” (Figure 5) représentatif du cas b, avec un bief. Dans le cas b avec deux biefs, i.e. dans le cas multi- 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 15 20 25 30 35 40 Fig. 5. Contrôle & Hauteurs biefs (Figure 6), la consigne est d’atteindre +20% dans le premier bief, −24% dans le second (avec en vert (-.) la réference à atteindre, en rouge la mesure, en bleue le modèle (–), et pour les vannes 1=vert (-.), 2=rouge, 3=bleue (–)). Les conditions initiales sont : Qe = 1dm3 , ze1(0) = 1.22dm, ze2(0) = 1.02dm, α = 2 V. Conclusion La représentation du système de régulation des canaux d’irrigation en dimension infinie semble bien adaptée au problème posé. Les résultats de simulations et l’application expérimentale semblent bien prometteurs pour une appli- cation à des canaux réels. En effet, la prise en compte de l’évolution spatiale des paramètres du modèle, permettra certainement une meilleure prise en compte des canaux en situation réelle. Le cas monobief ou de plusieurs biefs en cascade sont traités sans difficultés particulières. D’autre part, la partie théorique, liée aux systèmes en dimension infinie, est en phase d’être convenablement établie. Références [1] CHEN M.-L. (2001) Commande optimale et robuste des équations aux dérivées partielles, Thèse de l’Institut National Polytechnique de Grenoble. [2] CHEN P. & QIN H. (2002) Controllability of Linear Systems in Banach Spaces, Systems & Control Letters, 45, 155-161. [3] CURTAIN R.F. & ZWART H. (1995) An introduction to Infinite Dimensional Linear Systems, Springer Verlag . 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0.5 1 1.5 2 premier bief 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0.5 1 1.5 2 second bief 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 vanne 2 vanne 3 vanne 1 Fig. 6. Hauteur aval dans les 2 biefs (dm) et ouvertures des 3 vannes (mm) [4] DOS SANTOS V., TOURÉ Y. (2003) Regulation of Irrigation Canals : Multivariable Boundary Control Approach by Inter- nal Model, Second IFAC Conference on Control Systems Design (CSD’03), Pologne, n abs-056-35-35. [5] FATTORINI H.O. (1968) Boundary Control Systems, SIAM J. Control, Vol. 6, No. 3. [6] GEORGES & al. (2002) Automatique pour la Gestion des Res- sources en Eau, IC2, Systèmes automatisés, Hermès. [7] JOSSERAND L. & TOURE Y. (2000) PI-controller in IMC structure for Distribued Parameter System, Proc. if the CESA IMACS/IEEE-SMC Multiconference, Lille, France, Vol. 2, 1168- 1172. [8] KATO T. (1966) Pertubation Theory for Linear Opera- tors.Springer Verlag, Berlin. [9] KURGANOV A. et LEVY D. (2002) Central-Upwind Schemes for the Saint-Venant System Mathematical Modelling et Numerical Analysis, 36, 397-425. [10] LIN T. & ZHANG B. 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