Identification et déconvolution d’un modèle de dispersion de pollution dans un cadre multi-sources

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-1:20029
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Identification et déconvolution d’un modèle de dispersion de pollution dans un cadre multi-sources

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Identification et déconvolution d’un modèle de dispersion de pollution dans un cadre multi-sources Eric Ternisien1 - Gilles Roussel2 1 Centre de Recherche en Automatique de Nancy IUT de Saint-Dié des Vosges, 11 rue de l’Université, 88100 Saint-Dié des Vosges, France 2 Laboratoire d’Analyse des Systèmes du Littoral Université du Littoral- Côte d’Opale, Maison de la recherche Blaise Pascal, 50 rue Ferdinand Buisson, BP699, 62228 Calais cedex, France eric.ternisien@iutsd.uhp-nancy.fr Gilles.Roussel@lasl.univ-littoral.fr Résumé—Nous proposons d’aborder ici le problème de l’esti- mation de la matrice A d’un système d’état discret (A, B, C), image d’un modèle linéaire de transport-diffusion multi- sources-multi-capteurs à partir des observations y(n). Les sources sont localisées, mais leurs évolutions temporelles sont inconnues et leurs déconvolutions sont un objectif. Dans cette étude, l’utilisation de méthodes d’identification de type sous-espace nous permet d’envisager l’estimation de  comme l’optimisation d’un critère dont les termes corres- pondent à l’orthogonalisation des sous-espaces sources res- pectifs et bruit. Pour cela, on supposera la direction et la vitesse d’advection connues (i.e le vent). L’estimation des paramètres manquants des systèmes source-capteurs nous permet ensuite d’aborder l’étape de déconvolution tempo- relle des flux de sources. Mots-clés— Identification aveugle, Modèle de dispersion, Modèle d’état, Déconvolution. I. INTRODUCTION Retrouver le débit d’émission de plusieurs sources actives simultanément peut se concevoir selon deux approches. La première, résolument statistique, consiste à prendre des hy- pothèses sur la densité de probabilité des sources et leur indépendance mutuelle. On est alors amené à utiliser des méthodes de séparation de sources, actuellement en plein essor. L’autre approche, plus déterministe, consiste à inver- ser un modèle de dispersion multi-sources, choisi a priori et sensé représenter de la manière la plus fidèle possible les phénomènes de transport et de diffusion anisotrope qui sont à la base du comportement de la pollution atmosphérique. Effectuer l’estimation de l’état de la pollution sur une zone d’intérêt à partir des mesures issues de quelques capteurs dispersés est un problème très important. Il porte souvent le nom d’assimilation de données. Lorsque l’on s’intéresse plus spécifiquement aux causes, en caractérisant les sources, on cherche alors à estimer divers paramètres du système ainsi modélisé (détection, localisation, restauration, iden- tification). Divers cas peuvent être abordés [1], [2], [3], [4]. Cependant, rares sont ceux qui s’attachent à estimer les paramètres indéterminés du modèle avant de l’inverser. Cette étude, se classant dans cette dernière méthode, est consacrée à l’application d’une technique d’identification à entrées inconnues pour l’estimation de paramètres man- quants d’un modèle de dispersion de pollution. Elle est le prolongement d’un travail initialement ciblé au cas mono- source. Si le modèle est correctement identifié, il est alors envisageable de procéder à la déconvolution des mesures de concentration pour l’estimation des débits aux sources. Alors que dans le cas statistique cet objectif est compliqué par l’ambiguı̈té qu’entraı̂ne le mélange des contributions relatives à plusieurs sources, l’approche déterministe s’af- franchie complètement de cette difficulté car le modèle multi-canaux est structurellement et spectralement défini par le modèle direct. Nous optons dans cette étude pour un modèle de conservation de masse à opérateurs linéaires par rapport aux débits et au temps. Certes le comportement réel est plus complexe, surtout lorsque l’on veut prendre en considération les réactions chimiques dont certaines espèces sont le siège. Nous écartons ces cas en nous concentrant es- sentiellement au cas des espèces primaires peu réactives, par exemple le cas des particules fines à l’échelle locale. Alors que la mesure du vent est chose aisée, l’estimation des paramètres résumant la diffusion turbulente du milieu de dispersion pose de vrais problèmes. Pour s’affranchir de sa mesure, l’estimation d’un paramètre de diffusion peut s’envisager en utilisant une méthode d’identification des paramètres d’un système à entrées inconnues (les sources), à partir des observations aux capteurs et du modèle d’état représentant la connaissance du système. Ce travail a déjà donné lieu à des résultats dans [5], [6], [7]. Ici, nous conser- vons les fondements de la méthode de sous-espace dont la présence de sources multiples ne remet pas en cause, comme nous le montrons, son application. Au contraire, l’apport informationnel renforce la précision de l’estimation en en- richissant le spectre de l’excitation. Nous terminerons cette présentation, en rappelant l’implémentation de la méthode de déconvolution basée sur une approche robuste de com- mande optimale, à partir du système d’état préalablement identifié. Cette méthode présente l’avantage d’éviter une inversion directe du modèle et offre des propriétés de sta- bilité indiscutables. II. MODÈLE D’ÉTAT DE L’ÉQUATION DE DISPERSION Les modèles d’écoulement fluidiques réactifs du type déterministe donnent lieu à des équations aux dérivées par- tielles où intervient un couplage entre cinétique chimique, transport et diffusion. Dans le cas qui nous préoccupe, l’équation décrivant l’évolution de la concentration est, dans le cas de sources ponctuelles : ∂υ(x, y, z, t) ∂t + ∇.(Uυ(x, y, z, t)) = ∇.(K.∇υ(x, y, z, t)) + χ(υ(x, y, z, t)) + S1(x1, y1, z1, t) + .... + Sns (xns , yns , zns , t) (1) Nous évoquerons seulement le cas bidimensionnel qui constitue une approximation acceptable lorsque les écarts d’altitude entre la source et les différents capteurs sont négligeables vis à vis des dimensions de l’espace des ob- servations. Pour cette étude, les hypothèses simplificatrices suivantes sont énoncées : – Les recombinaisons chimiques χ(υ(.)) ne sont pas considérées (hypothèse réaliste si l’on s’intéresse à une espèce chimique très peu réactive où n’ayant pas eu le temps de réagir pendant le temps de son transport à l’échelle locale). – Les éléments diagonaux Kx, Ky du tenseur de diffusion K sont pris constants spatialement et temporellement. – Le vecteur vent U (défini par ses composantes Ux et Uy) est supposé constant et connu en direction et en intensité dans la fenêtre temporelle d’observation. La forme du modèle devient donc : ∂υ(x, y, t) ∂t + Ux ∂υ(x, y, t) ∂x + Uy ∂υ(x, y, t) ∂y = Kx ∂2υ(x, y, t) ∂x2 + Ky ∂2υ(x, y, t) ∂y2 + S1(x1, y1, t) + .... + Sns (xns , yns , t) (2) Lorsque le maillage est suffisamment fin, l’utilisation des différences finies, et plus spécifiquement de la méthode décentrée en espace dite méthode ”upwind” [8] mène à un modèle discrétisé de la forme : Υn+1 i,j = m1Υn i+1,j + m2Υn i,j + m3Υn i−1,j + m4Υn i,j+1 + m5Υn i,j−1 + m6(S1 n i,j + ... + Sns n i,j) (3) qui peut se mettre sous la forme d’un modèle d’état com- portant une équation d’état décrivant l’évolution de la concentration sur la zone observée, et une équation d’ob- servation permettant la capture des signaux capteurs : ( Υn+1 = AΥn + m6BSn yn = CΥn avec Sn =    S1 . . . Sns    (4) yn est le vecteur d’observation obtenu à l’aide des cap- teurs situés dans la zone à observer. Cette représentation d’état a la particularité de séparer le terme d’évolution du vecteur d’état AΥn du terme de commande BSn lié aux sources. L’estimation de ce système conduit donc à la caractérisation de la dispersion d’un point de vue spa- tial et temporel. La matrice A modélise la réponse libre du système de dispersion selon la définition analytique de l’équation différentielle (2). Le vecteur d’état est donc l’image de la concentration sur la zone de taille ((L × k) × (l × h)) (h et k étant les pas spatiaux) observée à l’instant t. La matrice A est une matrice tri-diagonale par blocs où chaque bloc dépend des paramètres mi de l’équation (3). Les matrices B et C sont construites en fonction des positions respectives des sources et des capteurs. Dans ces matrices, le 1 correspond à la présence d’une source ou d’un capteur dans la maille et le 0 à une maille libre. La matrice B possède autant de colonnes que de sources, et la matrice C autant de lignes que de capteurs. B =         0 ··· 0 . . . . . . 0 1 . . . . . . 1 0 . . . . . . 0 ··· 0         C = 0 ··· 0 1 0 ··· 0 . . . . . . 0 1 0 ··· ··· ··· 0 ! La forme particulière des matrices d’état fournit alors une information structurelle a priori très importante pour l’identification du système de propagation. On entend par identification l’estimation des paramètres mi de la matrice A, en particulier les paramètres manquant à la connais- sance complète de l’évolution. III. IDENTIFICATION L’identification se fait à l’aide de la méthode sous- espace dont les principes ont été présentés dans [9] et [10]. Elle a pour but l’identification de la réponse impulsion- nelle des canaux de transmission (les transferts sources- capteurs peuvent être assimilés à des canaux). Cette méthode est applicable pour l’estimation des réponses im- pulsionnelles multi-canaux des systèmes linéaires dans le cas de séquence d’observations de taille limitée (une cen- taine d’échantillons). Cette condition coı̈ncide avec des hy- pothèses pour lesquelles le système doit être à paramètres quasi constant, c’est à dire un échantillonnage rapide pen- dant une période assez courte d’observation. De plus, la paramétrisation du modèle d’état permet l’identifiabilité complète des réponses à l’ordre deux. La démarche présentée dans [6] concernait le cas mono- source. Nous nous intéresserons ici au cas avec deux sources, la généralisation à un plus grand nombre se fai- sant aisément. Soit s1n une source émettant dans un canal h1n, et s2n une source émettant dans un canal h2n, les observations bruitées yn issues du produit de convolution sont alors : yn = M X ∆=0 h1ns1n−∆T + h2ns2n−∆T + bn (5) où T est la période d’échantillonage, et bn est un bruit blanc indépendant des sources et de variance σ2 . En prenant N échantillons du signal reçu, (5) peut s’écrire sous une forme matricielle : Yn = HN Sn + Bn (6) avec Yn = [yn, · · · , yn−N−1]T , Bn = [bn, · · · , bn−N−1]T et HN la matrice de filtrage (ou de Sylvester) de taille N × 2(M + N) associée aux canaux h1 et h2. HN =    h10 ··· h1M 0 ··· 0 h20 ··· h2M 0 ··· 0 0 ... ... ... . . . 0 ... ... ... . . . . . . ... ... ... 0 . . . ... ... ... 0 0 ··· 0 h10 ··· h1M 0 ··· 0 h20 ··· h2M    En généralisant à nc capteurs et à ns sources, et sous réserve que les conditions d’identifiabilité soient respectées [10], on peut procéder à l’identification des canaux en cal- culant tout d’abord la matrice d’autocorrélation des sorties Ry = E[YnY T n ]. L’indépendance supposée des sources et du bruit permet également d’écrire : Ry = HN RsHT N + Rb (7) où Ry est de taille (ncN) × (ncN) et Rs de taille (ns(N + M)) × (ns(N + M)). HN devient une matrice de taille (ncN) × (ns(N + M)) ayant la forme suivante : HN = H11 ··· H1ns . . . . . . Hnc1 ··· Hncns ! Rappelons que la décomposition en valeurs propres EVD de la matrice Ry permet la séparation des vecteurs propres associés aux sous-espaces signal et bruit. Si l’on suppose que le bruit à la même variance sur tous les capteurs, on peut isoler l’espace bruit de l’espace signal engendré par les sources. On peut par ailleurs considérer que chaque es- pace source est orthogonal à l’espace bruit total, et que chaque espace signal est le même que celui engendré par les colonnes de HN . De fait, les réponses impulsionnelles modélisant le transfert entre la source S1 et les capteurs satisfont la relation d’orthogonalisation HT S1 QHS1 = 0. Il en va de même pour tous les canaux source S2-capteurs, etc.... Plus généralement, le critère de sous-espace multi- source peut donc s’écrire comme une somme des critères d’orthogonalisation mono-source : J(H) = HT S1 QHS1 + · · · + HT Sns QHSns (8) avec Q = PncN−M−N−1 i=0 ViVT i où Vi est la ma- trice de filtrage associée au vecteur propre Vi du sous-espace bruit. HSi prend ici la forme d’un vec- teur contenant toutes les réponses impulsionnelles is- sues d’une même source, sous la forme HSi = [H (1) Si T , · · · , H (nc) Si T ]T . En considérant le fait que H (a) Si = [C(a) B(i) , · · · , C(a) Aq B(i) , · · · , C(a) AM−1 B(i) ]T (a = 1 · · · nc), où C(a) correspond à la aieme ligne de C et B(i) à la iieme colonne de B, il est possible de réduire la recherche des ns × ncM paramètres des réponses im- pulsionnelles dépendantes à deux paramètres c m1 et c m4 indépendants, dont la matrice A dépend. Ceux-ci sont alors le résultat du programme de minimisation : ( c m1, c m4) = arg min m1,m4 (J(H(mi))) = arg min m1,m4 (HS1 (mi)T QHS1 (mi) + · · · + HSns (mi)T QHSns (mi)) (9) Cette réduction du nombre de paramètres à estimer est très significative. La figure 1 montre l’évolution de M (ordre de la plus grande réponse impulsionnelle) en fonc- tion du pas spatial et du coefficient de diffusion (même paramètres de simulation que pour le paragraphe V, mais la force de vent est réduite de moitié), il est logique de constater que l’ordre augmente avec la précision spatiale. En revanche, l’évolution du coefficient de diffusion a peu d’influence (variation de l’ordre de deux échantillons pour une plage de variation de 5 du coefficient de diffusion). L’ex- plication de cette faible sensiblilité vient de la formulation des coefficients mi [7]. 200 400 600 800 1000 0 1 2 3 4 5 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Coefficient de diffusion (Kg/m−2 ) Evolution de l’ordre M des réponses impulsionnelles Pas spatial de la discrétisation (m) Ordre de la plus grande réponse impulsionnelle Fig. 1. Evolution de l’ordre des réponses impulsionnelles Par la méthode développée, on remarque une légère augmentation du coût calculatoire de l’estimation avec l’élévation de l’ordre principalement dans la reconstruction du vecteur HSi qui intervient dans le calcul du critère (9). Rappelons que l’ordre est lié à la distance source - capteurs, et que la taille des matrices est liée à la taille de la zone observée. En absence de contrainte, la méthode originelle estime les réponses impulsionnelles à un facteur d’échelle près. Pour cette étude, la minimisation du critère est exempte de contraintes en raison de la forme structurelle de la matrice d’état et des relations de dépendance de ses coefficients qui contraignent implicitement la recherche. Les réponses im- pulsionnelles qui sont estimées le sont donc sans facteurs d’échelle. Elles sont donc l’image fidèle du système de dis- persion. La résolution numérique conduit à une solution assez satisfaisante en terme d’erreur d’estimation sur les réponse impulsionnelles. IV. DECONVOLUTION Nous supposons maintenant notre modèle (Â, B, C) connu suite à l’étape d’identification précédente. Il est alors possible d’estimer l’allure des signaux sources à l’origine des observations capteurs en inversant le modèle identifié. Une des approches de déconvolution consiste à restituer la commande optimale que représente les sources d’entrées S∗ au sens de la poursuite de trajectoire présentée dans [11]. Les mesures yn obtenues en sortie du système direct sont comparées à celles issues du modèle identifié ŷn. On recherche le signal S∗ minimisant la différence (ŷn −yn) au sens du critère (10). r = 1 2 (yN − CΥN )T M(yN − CΥN ) | {z } O1 + 1 2 N−1 X k=0    (yk − CΥk)T Q(yk − CΥk) | {z } O2 + Sk T RSk | {z } O3     (10) O1 : erreur terminale minimale. O2 : critère de poursuite en sortie. O3 : terme de régularisation. R, Q, et M sont des matrices de pondération. L’ap- plication des équations d’Hamilton, conduit à l’expression récurrente suivante : S∗ k = (R − BT Pk+1B)−1 BT Pk+1ÂΥk + (R − BT Pk+1B)−1 BT ϕk+1 (11) où le calcul de S∗ k est un calcul itératif dépendant du calcul à rebours préalable de Pk et de ϕk selon les expressions récurrentes : Pk = −CT QC + ÂT h Pk+1 + Pk+1B[R − BT Pk+1B]−1 BT Pk+1 i  (12) ϕk = C T Qyk +  T  Pk+1 + Pk+1B h R − B T Pk+1B i−1 B T Pk+1  BR −1 B T + I  ϕk+1 (13) Bien que cette méthode nécessite un surcoût mémoire pour le stockage intermédiaire des Pk et des ϕk, elle présente une stabilité intéressante face aux effets du bruit d’observation, comme le montre l’exemple de la figure 6 pour un RSB moyen assez faible de 22db, la reconstruction permet non seulement de retrouver l’allure du signal, mais également d’estimer les quantités émises. Néanmoins, elle présente un coût calculatoire qui va dépendre de la taille du système d’état, donc par conséquent de la taille de la zone à observer et du maillage choisi (précision du modèle de dispersion). L’effet des matrices de pondération Q et R est décrit par la figure 2. Si l’on observe le rapport Q/R (ratio de la poursuite par rapport à la régularisation), on remarque que l’erreur quadratique moyenne de reconstruction du signal original présente un minimum pour un rapport Q/R situé dans l’intervalle [103 , 104 ]. Cette plage de variation fournit un bon compromis entre reconstruction de la dynamique du signal et lissage du bruit de restauration. Le choix du rapport dans l’intervalle précédent dans de nombreuses si- tuations de fournir une bonne qualité de déconvolution. V. RÉSULTATS La simulation a été réalisée dans les conditions suivantes : – Le vent U est constant et égal à (14m/s, π 4 ). – La taille de la zone est de (10km, 10km) maillée tous les 500m. Conformément à la figure 1, Les sources sont placés respectivement à (2.5km, 1.5km), (2km, 4km), et les capteurs sont placés respecti- vement à (8.5km, 3km), (7km, 8km), (3km, 7.5km), (5km, 5.5km). – La longueur de la plus grande réponse impulsionnelle est de M = 35. 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Erreur quadratique moyenne de reconstruction en fonction du rapport Q/R Rapport Q/R Erreur quadratique moyenne de déconvolution Source 1 Source 2 Fig. 2. Erreur quadratique moyenne de reconstruction en fonction du rapport Q/R – La variance du bruit est de σ2 = 1, ce qui induit un RSB moyen de 22 dB sur les signaux. Pour cet exemple, nous considérons le cas du dioxyde de soufre mesuré par des analyseurs chimiques de l’at- mosphère. Notons que ces simulations pourraient être re- produite dans des conditions similaires sur le terrain, où des tests d’évaluation des erreurs d’estimation de flux se- raient envisageables si l’on connaissait le débit d’émission des sources de l’espèce polluante ou du traceur en sortie de cheminée. La figure 4 montre les signaux sources à l’ori- 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 S 1 S 2 C 2 C 3 C 4 C1 U Fig. 3. Zone d’observation gine de l’émission et les signaux reçus au niveau des quatres capteurs, selon le positionnement spatial représenté figure 3. On peut alors constater que le placement joue une grande influence sur la qualité des signaux perçus. Ainsi, le signal du capteur C1 est proche du bruit de mesure car le capteur est très excentré par rapport à la direction du flux. La fi- gure 5 montre qualitativement les réponses impulsionnelles reconstruites avec une erreur acceptable vu le nombre de coefficients. Ce constat est renforcé en observant figure 6 la bonne qualité de la reconstruction des sources compara- tivement aux signaux sources émis. VI. CONCLUSION Dans un contexte où la mesure de certains paramètres de diffusion du système est impossible, une solution consiste à proposer, en absence de connaissance sur les signaux 0 20 40 60 80 100 120 0 100 200 0 20 40 60 80 100 120 −2 0 2 4 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 Nombre d’itérations signaux sources (g/s) signaux capteurs (µg/m 3 ) Fig. 4. Signaux sources et capteurs. 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Réponses impulsionnelles estimées Fig. 5. Réponses impulsionnelles estimées. sources, une méthode d’identification ”myope” ne repo- sant que sur les observations et l’expression du modèle in- complet. La méthode du sous-espace, fournit un résultat intéressant concernant l’estimation des réponses impulsion- nelles des canaux sources-capteurs. Dans les conditions fa- vorables où la chimie-dispersion se modélise par un système linéaire invariant, nous adaptons au cas multi-sources ce que nous avions déjà appliqué au cas mono-source. La modification apportée au critère classique du sous-espace nous permet de retrouver les réponses impulsionnelles ini- tiales dans de bonnes conditions et sans facteur d’échelle. Cela s’avère très intéressant dans le cas de la pollution at- mosphérique où les grandeurs qui sont mesurées sont sou- mises à la réglementation. En effet, il est clair que si le système est estimé à un facteur d’échelle près, ce facteur se répercute sur les signaux sources déconvolués qui ne sont alors plus représentatifs des véritables quantités émises. L’idée intuitive, selon laquelle l’augmentation du nombre de sources augmentent la quantité d’information obtenue en sortie est vérifiée. La méthode semble par ailleurs ne pas trop souffrir du niveau assez élevé du bruit (RSB ≈ 22db en moyenne sur les 3 capteurs les plus significatifs) y compris dans des cas de RSB faible. Nous prolongeons cette étude par la déconvolution des signaux sources via une méthode robuste aux bruits de mesure. Seuls des résultats synthétiques sont ici présentés, pour des raisons de valida- tion. En effet, la difficulté d’obtenir à la fois l’enregistre- 0 20 40 60 80 100 120 −50 0 50 100 150 200 Source 1 Nombre d’itérations Débit de la source (g/s) 0 20 40 60 80 100 120 −50 0 50 100 150 200 250 Source 2 Nombre d’itérations Débit de la source (g/s) Sources estimées Sources réelles Fig. 6. Estimation des signaux sources. ment des émissions de toutes les sources et des mesures aux capteurs synchronisées, dans des conditions de vent stable, est assez délicate. De plus, l’hypothèse de vent stable est ici assez restrictive. Le cas de la variation du vent n’a pas été soulevé dans cette étude. La méthode d’identification suppose ici que le modéle du système est invariant dans le temps, ce qui n’est bien sûr pas le cas dans les conditions réelles de vent in situ. En pratique, le vent est différent à chaque pas d’échantillonnage et par conséquent la transmission source- capteur fait apparaı̂tre une réponse impulsionnelle variable dans le temps. Si cette variation est modérée en direction l’algorithme fournit alors une estimation relativement rai- sonnable. VII. REMERCIEMENTS Ce travail a été réalisé avec le soutien du Fonds Européen de Développement Régional Références [1] Bret A. Schichtel. The Estimation of Pollutant Emissions from Ambient Concentration Data. PhD thesis, Washington Univer- sity Sever Institute of Technology, 1994. [2] B.-E. Ainseba, J.P. Kernevez, et R. Luce. 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