Singularités de congruences

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-1:20025
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Singularités de congruences

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Résumé— L’analyse de la synchronisation d’oscillations est souvent modélisée à l’aide d’équations différentielle qui décrivent la structure du système. L’ensemble des contraintes qui gouvernent la solution est condensé en un système d’équations, dont la résolution est souvent très difficile. Nous présentons une approche alternative par séparation des contraintes. Nous envisageons ici l’impact de la seule contrainte de la congruence des fréquences. Elle induit des formes qui sont autant « d’attracteurs » pour les familles de solutions. Ces formes ce déploient dans un espace d’évolution, que nous définissons. Nous analysons des singularités de congruences d’ordre 1 et 2. Dans l’espace d’évolution, nous proposons un scénario pour des séries de bifurcations. Cette proposition est reliée à un exemple expérimental, basé sur un oscillateur de Van Der Pol. Enfin, pour les singularités de congruence d’ordre supérieur à 2, nous exhibons le phénomène d’aplatissement des dérivées. Mots clés—Bifurcations, congruence, synchronisation, contrainte, Van Der Pol. I. INTRODUCTION La synchronisation d’oscillations est utilisée dans un grand nombre d’applications. Ce phénomène connu depuis Huygens [3], s’accompagne parfois de séries de bifurcations dont il est très difficile d’expliciter la loi générale [4][6]. Sur ce thème, nous proposons un point de vue original : la séparation des contraintes. Chacun dans notre spécialité, lorsque nous construisons le modèle d’une classe de systèmes, nous négligeons les phénomènes physiques qui interviennent peu. Rarement cela remet en cause sa crédibilité, d’autant que la prise en compte de ces mécanismes compliquerai grandement ses équations. Ainsi, nous sélectionnons certaines contraintes, essentielles , et nous en ignorons d’autres. Cette pratique n’est pas nouvelle. Nous proposons ici une démarche inverse. Plutôt que de grouper les contraintes qui interagissent dans une classe de systèmes, sous forme d’une équation différentielle, nous analysons une seule contrainte, la contrainte de congruence dans l’interaction des oscillations. Cette unicité généralise les remarques exposées dans notre article à une très vaste classe de systèmes, en fait à tous les systèmes capables de coupler deux oscillations, quelque soit leur nature. Le but est de distinguer les conséquences induites par la contrainte de congruence de celles dictées par les lois physiques, dont le point commun est l'énergie. II. MODELISATION DE LA CONTRAINTE DE CONGRUENCE Par raison de simplicité, nous prenons seulement deux oscillations, de forme sinusoïdale, car : Lemme : La forme sinusoïdale est une forme extrémale du mouvement périodique. Le mouvement sinusoïdal est celui qui, pour une période et une amplitude données, minimise l’accélération. Afin de ne pas induire de contrainte autre que la congruence, nous prendrons l’interaction la plus simple, l’additions des deux mouvements. L’équation de notre modèle est simple: On peut remplacer les deux amplitudes par leur rapport K a b = et prendre le second terme comme phase d’origine d'où une forme plus efficace du modèle de congruence: avec pour condition de congruence : donc Pour K très grand, v(t) est légèrement modulé par sin( ) ωbt . Pour K<<1, v(t) ressemble beaucoup à sin( ) ωbT . Ces deux cas sont sans grand intérêt, mais pour K≈1, les deux sinusoïdes interviennent autant l'une que l'autre et des points singuliers deviennent possibles. Quand les deux sinusoïdes sont en opposition de phase, v(t) peut devenir nul, mais sa dérivée également. Il est donc pertinent d'observer l'évolution de v(t) et dv(t) en fonction du rapport K. Le plan (v, dv) rappelle l'espace des phases d'un oscillateur, mais ici il s'agit de la projection du tore T2 suivant une section droite. Chaque valeur de K définit une solution périodique, donc un graphe dans cette section. Pour observer une singularité de congruence, il faut varier la valeur de K. On aboutit au repère (v, dv, K) dans lequel on peut suivre l'évolution des orbites, telle une famille de solutions. En conséquence, nous appellerons le repère (v, dv, K) l'espace d'évolution, suivant K. La dérivée de v(t) est une fonction paire, en conséquence toutes les courbes dans le plan (v,dv) conserve cette parité, tant que ϕ=0. Lorsque ϕ≠0 cette symétrie est brisée. ROGER TAULIEGNE1,2, JEAN PIERRE BARBOT2 1 Conservatoire National des Arts et Métiers, tauleigne@ensea.fr 2ECS-ENSEA, 6 Av. du Ponceau, 95014 Cergy Pontoise Cedex barbot@ensea.fr Singularités de congruences a a ϕ ϕ ϕ = − 2 2 a b b a a b ou encore T T T T π π ω ω = < = > (1) ( ) sin( ) sin( ) a a b b v t a t b t ω ϕ ω ϕ = + + + (2) ( ) sin( ) sin( ) a b v t K t t ω ϕ ω = + + (3) a b a b n n et m n q m n q ω ω ω ω = = + ⇒ = + III. SINGULARITES DE CONGRUENCE Considérons le cas où q=1 : 2 2 1 b a b cycle b a n mT nT T T n T π π ω = = ⇒ = = + Tant que ϕ=0, nous aurons, pour topp =Tcycle/2 2 2 2 2 2 ( ) . ( ) ( ) T mTa n mTa Ta m Ta v K Sin Sin π π = + A l’instant topp, la dérivée s’écrit : 2 2 2 2 . . 2 2 2 ( ) . ( ) ( ) T mTa n mTa Ta Ta Tb m Ta dv K Cos Cos π π π π = + les signes des fonctions circulaires sont nécessairement opposés, nous pouvons donc déduire la valeur de K qui annule cette dérivée : Soit : 1 n K n = + Pour cette valeur de K, v