Détection de faute par filtrage de Kalman désynchronisé et estimation séquentielle robuste

30/09/2017
Auteurs : Olivier Bilenne
Publication e-STA e-STA 2005-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-2:20020
DOI :

Résumé

Détection de faute par filtrage de Kalman désynchronisé et estimation séquentielle robuste

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Détection de faute par filtrage de Kalman désynchronisé et estimation séquentielle robuste Olivier Bilenne1 1 Multitel A.S.B.L. Parc Initialis - Avenue N. Copernic 1, B 7000 Mons, Belgique bilenne@multitel.be Résumé— Cet article aborde le problème de l’estimation d’état dynamique des systèmes observés par des mesures en temps discret dans le contexte d’applications demandant de très hauts niveaux d’intégrité. L’estimation d’état à objectif d’intégrité à pour but de fournir des intervalles de confiance pour l’état avec des risques d’erreur extrêmement bas. Les bruits de process et de mesure sont modélisés par des va- riables gaussiennes. L’évolution de la distribution de pro- babilité de l’état est déduite par estimation linéaire MMSE récursive. L’estimateur présenté est équivalent au filtre de Kalman, à la différence que les données sont traitées par pa- quets et avec un léger décalage par rapport aux instants de réception de ces données. Il convient particulièrement pour la détection de faute car les décisions peuvent se baser sur un plus grand nombre d’observations. Un estimateur mixte robuste à différents scénarios de fautes est ensuite construit en utilisant l’approche bayésienne. L’estimateur est testé sur un problème de navigation ferroviaire. Mots-clés— Estimation d’état dynamique, détection de faute, estimation robuste, fusion de données de capteurs, filtre de Kalman, observations asynchrones, intégrité. I. Introduction L’objet de cet article est le problème de l’estimation d’état dynamique des systèmes observés par des mesures en temps discret. L’estimation linéaire au sens des moindres carrés (MMSE) est optimale dans le contexte de variables gaussiennes. Malheureusement, les capteurs réels son sou- vent biaisés et peuvent fournir des mesures erronées (“out- liers”), provoquant des biais importants dans l’estimation linéaire et la chute de l’intégrité de l’estimation. Cela pour- rait avoir des conséquences dramatiques dans des applica- tions où l’intégrité de l’estimation est de première impor- tance. Contrairement aux estimateurs linéaires, les estima- teurs robustes présentent une sensibilité réduite aux me- sures erronées, et ont tendance à être plus performants dans les applications pratiques. La littérature sur l’estimation robuste est assez vaste. Il s’agit en général de déterminer l’estimateur qui fournit les meilleures performances dans les conditions de fonctionnement des capteurs les moins fa- vorables [1]. Le critère de performance est alors un critère de précision, tel que la variance de l’erreur d’estimation. Ce genre de critère ne convient pas dans le contexte d’ap- plications demandant des niveaux de confiance très élevés sur les estimations d’état, tels que les systèmes de naviga- tion sécuritaires. Dans ce cas, la certification de l’intégrité des estimations prime sur leur précision. Cet article se base sur les travaux de P.B. Ober, qui propose une solu- tion complète au problème statique d’estimation robuste pour les systèmes de navigation [2]. L’approche d’Ober consiste en gros à utiliser des techniques de détection de faute pour isoler les capteurs défectueux, fournir une es- timation non linéaire à partir des mesures non biaisées seulement et adjoindre à l’estimation d’état un intervalle de confiance qui certifie un très haut niveau d’intégrité. L’objectif de cet article est de montrer comment ces tech- niques d’estimation robuste statique peuvent être adaptées au problème dynamique. Nous utilisons, comme outil de base, un estimateur linéaire récursif équivalent au filtre de Kalman, qui a la caractéristique de pouvoir traiter de manière récursive et asynchrone des “paquets” de données recueillies à des instants différents et en nombres divers. Ce filtre récursif peut non seulement manipuler des obser- vations asynchrones mais offre également une plus grande flexibilité en ce qui concerne la détection de faute car l’algo- rithme de détection fonde ses décisions sur un nombre non limité d’observations de natures quelconques et peut ainsi accroı̂tre la fiabilité de ses diagnostics. Nous améliorerons la robustesse de l’algorithme linéaire en développant un algorithme d’estimation récursif non linéaire utilisant l’ap- proche bayésienne. Dans la Sec. IV, les algorithmes sont testés sur un problème de navigation ferroviaire. II. Estimation d’état linéaire récursive au moyen d’observations en temps discret Nous considérons des systèmes en temps continu de dy- namique linéaire connue. Le problème consiste à estimer, en temps réel, l’état du système à partir d’observations en temps discret. Nous ne faisons aucune hypothèse sur la ca- dence des observations ou sur une éventuelle synchronisa- tion de ces observations. Nous faisons une distinction entre les instants d’estimation t1, t2, . . . , tk, . . ., qui délimitent les étapes de l’algorithme d’estimation, et les instants d’obser- vation. Nous appelons xk l’état de dimension n du système à l’instant tk. L’étape k (k = 1, 2, . . .) est la partie de l’al- gorithme qui a lieu dans l’intervalle de temps ]tk−1; tk] et mène à l’estimation de xk à partir de toutes les mesures antérieures à tk. Lors de l’étape k, on forme un paquet de nk observations yk 1 , yk 2 , . . . , yk nk récoltées aux instants d’obser- vation ok 1, ok 2, . . . , ok nk , appartenant à l’intervalle ]tk−1; tk]. Nous nommons xi k l’état du système à l’instant d’observa- tion ok i . Nous utilisons la dynamique linéaire du système dans sa forme discrétisée, obtenue après partitionnement du temps en intervalles finis et intégration des variables à l’intérieur de ces intervalles [3]. On obtient les équations en temps discret suivantes : pour tout k ≥ 1, xk 1 = Fk 1 xk−1 + Gk 1 uk 1 + ωk 1 , xk i = Fk i xk i−1 + Gk i uk i + ωk i , 1 < i ≤ nk , xk = Fk nk+1xk nk + Gk nk+1uk nk+1 + ωk nk+1 , yk i = Hk i xk i + Jk i uk i + υk i , 1 ≤ i ≤ nk , (1) où Fk i est la matrice de transition d’état de rang plein, Hk i la matrice d’observation, uk i un signal de commande connu, le vecteur aléatoire ωk i le bruit de process de la matrice de covariance Ωk i , et le vecteur aléatoire υk i le bruit de mesure de la matrice de covariance Υk i . De plus, nous supposons les bruits de process et de mesure “sans mémoire” et non- corrélées, c.-à-d. E{ωk i ωl j T } = 0 si (k, i) 6= (l, j) , (2) E{υk i υl j T } = 0 si (k, i) 6= (l, j), (3) E{ωk i υl j T } = 0 pour tous k, i, l, j. (4) Nous supposons que toutes ces variables aléatoires sont gaussiennes, ou qu’elles peuvent être substituées de manière sécuritaire par des variables gaussiennes par une technique appelée “overbounding”1 [2][4]. Dans cet article, les observations yk i des états xi k sont vues comme des observations décalées de xk. Toutes les observations yk i (i = 1, . . . , nk) récoltées à l’étape k sont rassemblées dans un vecteur composite zk, qui est considéré comme le vec- teur d’observation du système à l’instant d’estimation tk. En ignorant les instants d’observation, et en résolvant le modèle de propagation (1) par rapport aux variables xk, on obtient les équations d’état pour les instants d’estimation : xk = Fkxk−1 + Gkuk + Wkωk zk = Hkxk − Θkωk + ˜ Jkuk + υk . (5) Les matrices Fk, Hk, Gk, ˜ Jk , Wk, Θk sont définies expli- citement dans [5]. La matrice Hk propage xk de l’instant d’estimation tk en arrière dans le temps, jusqu’aux ins- tants d’estimation de l’étape k. La matrice Θk peut être vue comme une matrice de correction dont le rôle est de compenser le bruit de process postérieur aux observations et néanmoins présent dans la variable xk. Une particularité de ces équations est que les observations zk et le bruit de process ωk sont dépendants conditionnellement à xk. A. Estimation d’état Il est bien connu que la distribution postérieure de l’état d’un système dont la dynamique et les observations sont linéaires et gaussiennes est également de type gaussien. Les variables gaussiennes sont estimées au moyen du filtre de Wiener (ou filtre optimal), qui identifie univoquement la distribution de ces variables en fournissant l’estimation MMSE ainsi que la matrice de covariance de l’erreur d’esti- mation. Quand l’algorithme est appliqué à des signaux tem- porels, les dimensions toujours grandissantes des matrices de covariance rendent impossible l’application en ligne du filtre de Wiener. On a alors recours au filtre de Kalman, 1L’overbounding consiste à utiliser des distributions gaussiennes qui garantissent la conservation des exigences au niveau des perfor- mances. Cette technique dépasse le cadre de cet article. qui fournit une solution récursive au problème d’estimation linéaire. Dans le contexte de l’estimation MMSE linéaire, il est généralement nécessaire de synchroniser les instants où les mesures sont relevées avec les instants d’estimation pour respecter l’hypothèse de non-corrélation entre les bruits de process et de mesure [3]. Cette contrainte n’est cependant pas respectée par les Eqs. (5). Le but de cette section est de montrer comment la contrainte peut être levée par de simples corrections des équations de base de l’estimateur de Kalman. L’objectif est de déduire de l’Eq. (5) un estimateur de l’état xk se basant sur les observations z1, z2, . . . , zk antérieures à tk. L’estimation récursive ou séquentielle est basée sur les concepts de prédiction et d’innovation. La procédure à suivre lors de l’étape k de la récursion peut être subdivisée en trois phases. Premièrement, l’algorithme prédit une estimation a priori x̂k|k−1 de xk en propageant dans le modèle dynamique la dernière estimation calculée à l’étape k − 1 : x̂k|k−1 = Fkx̂k−1|k−1 + Gkuk . (6) On appelle ek|k−1 l’erreur d’estimation sur la prédiction à l’étape k, et Pk|k−1 la matrice de covariance de cette erreur : ek|k−1 = xk − x̂k|k−1 , (7) Pk|k−1 = E{ek|k−1eT k|k−1} . (8) Ensuite, la prédiction est confrontée à la nouvelle obser- vation zk. L’information qui en résulte est généralement appelée innovation. L’innovation γk à l’étape k est définie comme la différence entre l’observation zk recueillie à l’étape k et la prédiction ẑk|k−1 de l’observation. On note Γk la matrice de covariance de l’innovation γk à l’étape k : ẑk|k−1 = Hkx̂k|k−1 + Jkuk , (9) γk = = zk − ẑk|k−1 , (10) Γk = E{γkγT k } . (11) Enfin, l’estimation a posteriori x̂k|k s’obtient en actuali- sant la prédiction x̂k|k−1 selon le principe d’orthogonalité E{ek|kγk} = 0, qui affirme que l’erreur d’estimation (ek|k) de l’estimateur optimal est orthogonalle aux donnnées uti- lisées pour l’estimation (γk) [6] : x̂k|k = x̂k|k−1 + E{ek|k−1γT k }E{γkγT k }−1 γk. (12) De même, on appelle ek|k l’erreur d’estimation à l’étape k et Pk|k sa matrice de covariance : ek|k = xk − x̂k|k , (13) Pk|k = E{ek|keT k|k} . (14) Le développement de ces équations mène directement à l’al- gorithme de la Table I. On remarque que notre algorithme est très proche des équations de base du filtre de Kalman, à l’exception de quelques termes additionnels issus de la dépendance entre les observations et le bruit de process. Remarque. L’originalité de la version récursive de l’esti- mateur optimal provient du fait que le problème d’estima- tion est divisé en une succession de problèmes d’estimations plus petits que l’on résoud selon l’équation de Wiener-Hopf. TABLE I Estimateur récursif linéaire. Initialisation : k ← 0 , x̂0|0 = x̂0 , P̂0|0 = P̂0 Répéter : k ← k + 1 Prédiction : x̂k|k−1 = Fkx̂k−1|k−1 + Gkuk Pk|k−1 = FkPk−1|k−1FT k + WkΩkWT k ẑk|k−1 = Hkx̂k|k−1 + ˜ Jkuk Innovation : γk = zk − ẑk|k−1 Γk = HkFkPk−1|k−1FT k HT k + Υk +(HkWk − Θk)Ωk(HkWk − Θk)T Mise à jour : Kk = (Pk|k−1HT k − WkΩkΘT k )Γ−1 k x̂k|k = x̂k|k−1 + Kkγk Pk|k = (I − KkHk)Pk|k−1 + KkΘkΩkWT k Fin de la boucle. La différence avec le filtrage de Kalman “classique” est que les données sont traitées non pas l’une après l’autre, mais par paquets de plusieurs observations consécutives. Cet al- gorithme présente un degré de liberté en ce qui concerne le choix des instants d’estimation. Dans un sens, l’algo- rithme peut être vu comme une généralisation du filtre de Kalman, établissant le lien entre l’estimateur de Wiener statique (toutes les données sont traitées en même temps) et la formulation récursive de base du filtre de Kalman (hypothèse d’orthogonalité entre les séquences de bruit de process et de mesure). Estimation robuste. Cet estimateur linéaire donne des résultats satisfaisants quand les capteurs sont parfaitement non biaisés. Malheureusement, quand une faute apparaı̂t, l’estimateur linéaire cesse de fonctionner correctement, et un estimateur non linéaire est alors nécessaire. Les estima- teurs non linéaires appelés estimateurs robustes ont la pro- priété d’être moins sensibles aux mesures présentant des erreurs anormalement grandes. Cet objectif peut être at- teint par exemple en laissant tomber les mesures qui sont vraisemblablement erronées et en effectuant l’estimation d’état à partir des autres mesures valides (nous revien- drons sur cette stratégie dans la section Sec. III). Il reste encore à déterminer une méthode visant à cerner les me- sures entâchées d’erreurs. Nous basons nos décisions sur des informations a priori sur la nature des capteurs et leur pro- babilité d’être défectueux, et sur les mesures-mêmes. Une façon de guetter les fautes consiste à estimer le bruit de me- sure υk des capteurs. C’est l’objet de la prochaine section. B. Estimation du bruit de mesure Le but de cette section est de montrer que la détection de faute peut être couplée à l’algorithme d’estimation d’état récursif de la Table 1. Un algorithme de détection de faute fiable nous permettrait d’envisager l’estimation robuste de l’état du système. Notre première idée consiste à inspec- ter la taille de l’innovation γk à chaque étape k de l’al- gorithme2 . Plus l’innovation est grande, plus les mesures ont de chances d’être erronées. Utiliser cette méthode pour inspecter la validité des capteurs est cependant hasardeuse parce que l’innovation γk est contaminée par le buit de process ωk. On peut tirer la même conclusion en ce qui concerne l’emploi, en tant que détecteur de faute, du résidu de l’algorithme d’estimation d’état récursif : rk = zk − (Hkx̂k|k−1 + ˜ Jkuk) = (I − KkHk)γk. (15) Ce résidu dépend du bruit de process également. Une meilleure solution, suggérée par [2], consiste à estimer a posteriori le bruit de mesure υk selon le critère d’optimi- sation MMSE. Ce critère vise à minimiser la matrice de covariance de l’erreur sur l’estimation du bruit de mesure υk. Tout comme l’état du système, le bruit de mesure peut être estimé récursivement au moyen d’un algorithme de type prédiction/correction : υ̂k|k = υ̂k|k−1 + E{(υk − υ̂k|k−1)γT k }E{γkγT k }−1 γk, (16) où υ̂k|k−1 et υ̂k|k sont respectivement les estimations du bruit des mesures relatives à l’étape k avant et après obser- vation de ces mesures. De l’Eq. (3), on déduit que le bruit de mesure υk s’estime directement à partir des innovations γk de l’algorithme récursif linéaire : υ̂k|k = ΥkΓ−1 k γk. (17) Tout comme l’estimateur de la Sec. II-A, cet estimateur du bruit de mesure a la propriété d’être biaisé quand l’un des capteurs est défectueux. Cette propriété est à la base de notre stratégie de détection de faute. Au contraire lors- qu’aucune faute ne se produit et sous l’hypothèse gaus- sienne, l’Eq. (3) implique le bruit de mesure υk suit une distribution normale centrée en υ̂k|k de matrice de cova- riance Υ̂k|k = ΥkΓ−1 k ΥT k , (18) tandis que l’erreur d’estimation du bruit de mesure (υk − υ̂k|k) suit une distribution normale centrée en 0 et de ma- trice de covariance Υk(Υ−1 k − Γ−1 k )Υk. On introduit une norme de l’estimation des erreurs de mesure appelée “Sum of the Squared (estimated) Errors” : SSEk = υ̂T k|kΥ̂−1 k|kυ̂k|k (19) Cette norme, qui est utilisée dans [2] également, inter- vient directement dans l’estimation de la probabilité de réalisation de Υ̂k|k en tant que bruit de mesure lorsque les capteurs fonctionnent parfaitement. Dans ce travail, la vraisemblance a posteriori de l’hypothèse “aucune faute” est alors déduite de cette probabilité en appliquant la Règle de Bayes et en comparant avec les probabilités a posteriori des différents scénarios de fautes. Ceci constitue l’étape fi- nale de l’algorithme de détection de faute. III. Estimation robuste A. L’approche bayésienne Nous présentons ici un estimateur d’état non linéaire qui s’avère plus robuste que l’estimateur linéaire de la Table I. 2L’innovation est couramment utilisée dans la littérature sur l’es- timation par modèles multiples pour estimer les vraisemblances rela- tives de différentes modélisations d’un système [3]. Cet algorithme d’estimation linéaire repose sur l’approche bayésienne et consiste à envisager successivement une série d’hypothèses hi sur la validité des mesures et à indexer toutes les possibilités d’ensembles de mesures correctes. La moyenne et la variance de la distribution conditionnelle de l’état xk sous chaque hypothèse hi sont données par l’algo- rithme d’estimation linéaire récursif de la Table I alimenté avec l’ensemble de mesures correspondant à hi seulement : x̂k|k,i = E{xk|hi, z1, . . . , zk}, (20) Pk|k,i = E{(xk − x̂k|k,i)2 |hi, z1, . . . , zk}. (21) A chaque étape k, l’estimateur linéaire récursif se scinde en plusieurs estimateurs parallèles partant de la même estima- tion initiale x̂k−1|k−1 mais opérant sous des hypothèses hi différentes. L’espérance postérieure globale x̂k|k de l’état xk peut alors être dérivée en marginalisant sur toutes les hy- pothèses de fautes : x̂k|k = X i p(hi|z1, . . . , zk) x̂k|k,i . (22) L’espérance postérieure est l’estimation de xk qui minimise l’erreur quadratique moyenne Pk|k = X i p(hi|z1, . . . , zk) (Pk|k,i + ∆k,i) , (23) où le terme supplémentaire ∆k,i = (x̂k|k,i − x̂k|k)(x̂k|k,i − x̂k|k)T (24) résulte de la divergence entre les hypothèses de fautes. La distribution postérieure de xk n’est plus gaussienne et pas nécessairement symétrique ou unimodale si les cap- teurs n’offrent pas des mesures parfaitement cohérentes. La distribution mixte de xk, qui est en fait une mix- ture gaussienne, représente un problème pour l’algorithme de détection de faute de la Sec. II-B exigeant des va- riables normales uniquement, ou à défaut, une connaissance complète de la distribution de probabilité de l’estimation du bruit de mesure. Malheureusement, la structure nor- male est perdue dans la récursion. Dans l’application de la Sec. IV, on assimile, à l’étape k + 1, la distribution de probabilité postérieure de xk à une distribution gaus- sienne de mêmes moyenne et matrice de covariance. Cette procédure de simplification de la distribution mixte de xk est connue dans la littérature sous les noms de “moment matching” ou encore “collapsing by moments” [7][8]. Bien sûr, une telle opération ne peut être valide sans prendre cer- taines précautions afin de garantir l’intégrité des distribu- tions postérieures estimées et la justesse de l’algorithme de détection de faute lors d’étapes futures. D’autres méthodes de simplification de la distributon mixte de xk, telles que les algorithmes dits “pseudo-bayésien généralisé” (GPB) et “à modèles multiples interagissants” (IMM) sont présentées en détail dans [3]. De nouvelles techniques, visant à mi- nimiser la perte d’intégrité lors de la simplification de la distribution mixte de xk sont en cours de développement [9][10]. B. Certification de l’intégrité Dans l’introduction, nous avons souligné l’importance de la certification de l’intégrité des estimations. L’intégrité mesure la probabilité que l’information fournie par l’esti- mateur soit fausse. On parle de “misleading information” (MI) quand l’état réel du système est en dehors de l’in- tervalle de confiance estimé. Il s’agit d’un concept capital dans les domaines où les erreurs d’estimation ne peuvent être tolérées. L’intégrité de l’estimateur est compromise dès que le taux de MI maximal toléré est dépassé. L’intégrité de l’estimateur d’état peut être évaluée directement à partir de la distribution de probabilité de l’état du système, à condi- tion que celle-ci soit connue, en intégrant la fonction de densité sur une partie de l’espace d’état située à l’intérieur de certaines bornes qui délimitent l’intervalle de confiance. Ces bornes sont généralement appelées “alert limits”, et sont déterminées en fonction des exigences du problème au niveau de la continuité et de la précision de l’estimation. Le rôle de l’estimateur robuste, selon l’approche d’Ober, est de placer l’estimation et son intervalle de confiance dans l’espace d’état de manière telle que l’état réel ait la plus grande probabilité postérieure de se trouver à l’intérieur de l’intervalle de confiance. La Sec. III-A précise que la distri- bution de probabilité postérieure de l’estimateur mixte est non normale et peut être difficile à estimer. Dans l’applica- tion qui suit, l’assimilation lors de l’étape k de l’estimation postérieure de xk−1 à une variable normalement distribuée mène à une mixture gaussienne pour l’estimation x̂k|k sur laquelle des bornes d’alerte se placent facilement. IV. Détection de fautes et estimation robuste : une application Nous considérons le problème de l’estimation en temps réel de la vitesse d’un train, basée sur les mesures de plu- sieurs capteurs de vitesse. Nos tests ont été réalisés sur une base de données enregistrée en Italie sur un trajet entre Arezzo et Pontassieve. L’estimation de la vitesse du train se base sur les données récoltées par trois capteurs : un cap- teur d’essieu, un radar Doppler, et la sortie Doppler d’un récepteur GPS. Les sorties des capteurs sont la projection selon l’axe de la voie de la vitesse tri-dimensionnelle du train, ce qui réduit le problème à une inconnue scalaire. En conditions normales, les capteurs fournissent des mesures distribuées normalement autour de la vitesse du train, avec pour écarts-types respectifs σW S = 1m/s, σDR = 2m/s, et σGP S = 0.5m/s. A chaque capteur est également assignée la probabilité a priori de ne pas être en fonctionnement normal. Cette probabilité de défaillance a été fixée à la valeur pessimiste de 0.1. Nous avons considéré que ces pro- babilités a priori étaient constantes, et ne dépendaient pas de mesures passées ou des diagnostics pour les autres cap- teurs. Dans le cas d’une défaillance, nous avons supposé que les mesures suivaient une distribution uniforme dans un grand intervalle autour de la vitesse réelle du train. A. Modélisation de la dynamique du système. Nous avons choisi arbitrairement d’employer un modèle à accélération constante pour décrire la dynamique du train. La vitesse x1 et l’accélération x2 du train forment le vecteur d’état bidimensionnel du système. La dynamique du train suit les équations différentielles ẋ1(t) = x2(t) , ẋ2(t) = τ , (25) où τ est un bruit blanc additif d’écart-type constant στ = 0.04ms−2 par seconde. La perturbation τ représente le jerk subi par le train. En intégrant les Eqs. (25) sur les in- tervalles de temps définis dans la Sec. II, nous obtenons les équations d’état discrètes dans le temps qui corres- pondent aux Eqs. (5). Le choix d’un modèle à accélération constante est populaire dans la littérature et convient par- ticulièrement bien à ce problème d’estimation de vitesse [3]. Il est motivé par les limitations physiques et les contraintes de sécurité du transport ferroviaire, mais reste bien sûr ar- bitraire. B. Estimation d’état linéaire En premier lieu nous avons testé le filtre linéaire récursif présenté en Sec. II-A. Puisque ce filtre peut être vu comme une version on-line du filtre de Wiener, dont les propriétés sont bien connues, nous ne nous sommes pas attardés sur le comportement de ce filtre tout au long de l’enregistre- ment mais plutôt concentrés sur la propriété d’invariance du processus d’estimation d’état selon la fréquence d’esti- mation. Le tableau II réunit les premières estimations de la vitesse (m/s) et les erreurs standards sur l’estimation de la vitesse (m/s), pour plusieurs fréquences en progression géométrique f0, 1 2 f0, 1 4 f0 (f0 = 5Hz). Nous observons bien la correspondance parfaite de ces trois estimateurs. TABLE II Invariance estimateur / fréquence d’estimation. f f0 1 2 f0 1 4 f0 T0 8.5211, 0.2862 − − 2T0 8.5482, 0.3295 8.5482, 0.3295 − 3T0 8.6938, 0.3465 − − 4T0 8.7135, 0.3481 8.7135, 0.3481 8.7135, 0.3481 5T0 8.9498, 0.3444 − − 6T0 8.9741, 0.2850 8.9741, 0.2850 − 7T0 8.9562, 0.3090 − − 8T0 9.0269, 0.3254 9.0269, 0.3254 9.0269, 0.3254 C. Estimation d’état robuste. Cette section illustre les limitations de l’estimation d’état linéaire, optimale dans le cadre gaussien, mais biaisée et sous-optimale dès qu’un ou plusieurs capteurs cessent de fonctionner normalement. Dans nos tests réalisés sur ce même trajet Arezzo-Pontassieve, le filtre linéaire de la Sec. II-A est comparé à l’estimateur désensibilisé de la Sec. III. La base de données ne fournit malheureusement pas l’évolution au cours du temps de la vitesse réelle du train, ce qui nous empêche d’évaluer les performances des algorithmes d’estimation de manière quantitative. Nous adoptons plutôt une approche qualitative en analysant comment les estimateurs linéaire et non linéaire traitent des situations ambiguës classiquement rencontrées dans le do- maine ferroviaire, comme des défaillances isolées, des cap- teurs biaisés de manière permanente, des roues en patinage lors d’accélérations ou de freinages subits sur rails glissants, la non visibilité des satellites GPS dans les tunnels, etc. La Fig. 1 montre les mesures de trois capteurs dans l’in- tervalle 1590s − 1630s. La ligne noire épaisse correspond à 1590 1595 1600 1605 1610 1615 1620 1625 90 100 110 120 130 140 s km/h 1590 1595 1600 1605 1610 1615 1620 1625 90 100 110 120 130 140 s km/h Fig. 1. Estimateurs linéaire et mixte (10Hz). l’estimation d’état calculée par le filtre linéaire récursif (fi- gure du haut) et par l’estimateur mixte (figure du bas). Les croix représentent les mesures considérées comme erronées par l’hypothèse la plus probable, c.-à-d. l’hypothèse ayant la plus grande probabilité a posteriori. La fine ligne poin- tillée est la limite d’alerte correspondant à une intégrité de 1 − 10−11 . La Fig. 1 met en exergue le problème de l’ab- sence de signaux GPS lorsque le train se trouve dans un tunnel. Le GPS donne alors une valeur constante égale à la dernière valeur mesurée. La Fig. 1 montre comment l’esti- mateur mixte détecte ce comportement anormal et ignore les données jusqu’à ce que le GPS retourne dans un mode de fonctionnement normal. La donnée aberrante du radar (1600s, 103km/h) a été rejetée également, ce qui confirme que l’estimateur mixte détecte aussi les erreurs isolées. Sur la Fig. 2, l’estimation de la vitesse est basée sur les mesures de trois radars Doppler différents d’écarts-types respectifs σDR1 = 2m/s, σDR2 = 1m/s, σDR3 = 0.5m/s. Tous les capteurs semblent perdre la trace de la vitesse du train entre les instants 1792s et 1796s. Les mesures des cap- teurs 1 et 3 chutent brutalement alors que la vitesse reste constante. Les mesures fournies par le capteur 3, par contre, dévient seulement progressivement de leur dernière valeur correcte. L’estimateur mixte a été testé à deux fréquences d’estimation différentes. L’estimateur à 10Hz détecte la défaillance des capteurs 1 et 3 et suit naı̈vement les me- sures du capteur 2 jusqu’à ce que la vitesse réelle du train dépasse les bornes d’alerte de l’intervalle de confiance. Cette confusion peut être évitée en abaissant la fréquence de la détection de faute et de l’estimation et en basant les décisions sur un plus grand nombre de mesures. L’esti- mateur à 1.25Hz détecte la convergence soudaine et inat- tendue des mesures des trois capteurs à l’instant 1796s et considère tous les capteurs comme fautifs sur un intervalle de temps plus grand. Diminuer la fréquence d’estimation 1790 1792 1794 1796 1798 1800 0 20 40 60 80 100 120 s km/h 1790 1792 1794 1796 1798 1800 0 20 40 60 80 100 120 s km/h Fig. 2. Estimateurs mixtes (10Hz et 1.25Hz). augmente la quantité de données contribuant aux décisions de l’algorithme de détection de faute et peut augmenter la fiabilité de ces décisions. L’inconviénient de la diminution de la fréquence est l’augmentation de la taille des matrices, ce qui peut conduire à une charge de calcul excessive. V. Conclusion et travail futur Dans cet article, nous avons développé un estimateur MMSE linéaire récursif capable de traiter des données asynchrones. Nous avons montré que cet estimateur était équivalent à un estimateur de Kalman où l’utilisateur choi- sirait librement les instants d’estimation, indépendamment des instants de réception des mesures. Dans les applica- tions pratiques, les capteurs peuvent fournir des mesures erronées. Celles-ci introduisent un biais au niveau de l’es- timateur MMSE, dont la précision et l’intégrité ne sont plus garanties. C’est pourquoi un processus de détection de faute est nécessaire. Nous sommes partis des méthodes statiques de détection de faute développées dans [2] pour des applications demandant des niveaux d’intégrité très élevés, et avons adapté au problème dynamique un algo- rithme qui détecte les fautes des capteurs en se basant sur une estimation du bruit de mesure. L’intérêt de notre estimateur récursif linéaire est qu’il permet l’analyse des mesures par paquets de tailles indéfinies, et offre à l’algo- rithme de détection de faute la possibilité de prendre des décisions plus fiables car basées sur des paquets de mesures de grandes tailles. Enfin, un estimateur récursif robuste aux capteurs défectueux a été obtenu à partir du moyennage d’estimateurs récursifs linéaires opérant sous différentes hy- pothèses. La vraisemblance de ces hypothèses est estimée par l’algorithme de détection de faute. Les résultats obte- nus sur une base de données de mesures de capteurs de vi- tesse montrent que l’estimateur récursif se comporte bien même en présence de disfonctionnements multiples et si- multanés. Plusieurs questions restent cependant ouvertes en ce qui concerne l’application de techniques d’estima- tion robuste à des problèmes nécessitant des niveaux de sécurité élevés. La première concerne l’erreur introduite par la modélisation de la dynamique du système, qui dans notre application a été réduit à un modèle à accélération constante différant légèrement de la réalité. La seconde provient du fait que dans notre application nous avons considéré que les mesures étaient soit parfaitement non biaisées, soit complètement erronées. Cette démarche doit être rejetée dans les applications réelles où les capteurs présentent des biais permanents d’amplitudes variables et où l’estimation d’état doit se baser, par défaut, sur des me- sures biaisées. Une approche rigoureuse du problème exige- rait l’analyse du biais que ces erreurs introduisent dans l’es- timation de l’état du système. La certification de l’intégrité des estimations en présence d’erreurs de modélisation ou lorsque les capteurs sont biaisés en permanence est un problème difficile car il nécessite l’étude du profil dyna- mique de ce biais [2]. D’autre part, nous avons considéré dans l’application que la distribution de probabilité des me- sures de capteurs défectueux était connue, ce qui n’est pas le cas dans les applications réelles. Le problème de la cer- tification de l’intégrité du processus d’estimation lorsqu’il existe un degré de liberté sur le comportement des cap- teurs défaillants reste ouvert. Enfin, la procédure de sim- plification de la distribution postérieure de l’état utilisée dans cet article à chaque étape de l’algorithme d’estima- tion ne permet pas de placer des intervalles de confiance dans l’espace d’état de manière précise et sécuritaire. Des procédures de simplification plus élaborées et en accord avec les objectifs de certification de l’intégrité sont en cours de développement [9]. Remerciements. Ce travail a été soutenu par Multitel A.S.B.L.. Les données sont la propriété de ALSTOM Trans- port Belgium. Références [1] P.J. Huber. Robust Statistics. John Wiley, New York, USA, 1981. [2] P.B. Ober. Integrity Prediction and Monitoring of Navigation Systems. PhD thesis, Technische Universiteit Delft, The Nether- lands, 2003. [3] Y. Bar-Shalom, X. Rong Li and T. Kirubarajan. Estimation with Applications to Tracking and Navigation : Theory Algorithms and Software. John Wiley and Sons, 2001. [4] B. Decleene. Defining pseudorange integrity. In Proc. ION-GPS, Salt Lake City, Utah, 2000. [5] O. Bilenne. Fault detection by desynchronized Kalman filtering, introduction to robust estimation. In Proceedings of the Seventh International Conference on Information Fusion, pages 99–106, Stockholm, Sweden, 2004. [6] D.G. Manolakis, V.K. Ingle, S.M. Kogon. Statistical and Adap- tive Signal Processing. McGraw-Hill, Boston, MA., 2000. [7] D. Peña and I. Guttman. Optimal collapsing of mixture dis- tributions in robust recursive estimation. Communications in Statistics, Theory and Methods, 18(3) :817–833, 1989. [8] I.C. Schick and S.K. Mitter. Robust recursive estimation in the presence of heavy-tailed observation noise. Annals of Statistics, 22(1) :1045–1080, 1994. [9] O. Bilenne. Integrity-directed sequential state estimation : as- sessing high reliability requirements via safe confidence intervals. Soumis à Information Fusion, Elsevier Science (en révision). [10] O. Bilenne. 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