Approche multi-modèles pour la commande des feux de trafic

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-2:20014
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Résumé

Approche multi-modèles pour la commande des feux de trafic

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	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 30 Sep 2017</date>
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Approche multi-modèles pour la commande des feux de trafic CHERIF TOLBA 1 , DIMITRI LEFEBVRE 2 , PHILIPPE THOMAS 1 , ABDELLAH ELMOUDNI 1 1 Laboratoire systèmes et Transport, Université de Belfort-Montbéliard, 90010 Belfort Cedex, France 2 Laboratoire GREAH, Université du Havre, 25 rue P. Lebon-BP1123-76063 LE HAVRE, France {prénom.nom@utbm.fr 1 /univ-lehavre.fr 2 } Résumé—Dans cet article nous présentons une nouvelle approche dédiée à la commande des feux de trafic basée sur les réseaux de Petri hybrides. Après avoir décomposé le modèle RdP hybride du trafic en multi-modèles, nous proposons une commande par rupture de seuils. Les performances de cette commande sont analysées et comparées par rapport à des commandes usuelles (commande à cycle fixe et à intervalle véhicule). Mots clés—trafic urbain, RdP hybride, multi-modèles, commande, feux de signalisation. I. INTRODUCTION La mise en place de stratégies de commande des feux de signalisation constitue l’épine dorsale de la gestion du trafic urbain. Ces stratégies reposent principalement sur l’estimation des temps d’attente et des longueurs des files d’attente aux intersections. Ces paramètres permettent d’évaluer la qualité de service des intersections à feux. Dans les dernières décennies, de nombreux travaux y compris ceux de Webster [14] et Allsop [1] ont été effectués dans le but d’améliorer ces performances. L’approche traditionnelle dans la commande des feux utilise des plans de signalisation à période fixe pour lesquels les durées des feux sont prédéterminées. Dans ce cas les paramètres essentiels de la commande, comme la durée du cycle, le partage du vert et les décalages sont calculés hors ligne, à partir d’un historique des données. Bien que la réalisation de cette stratégie soit basée sur des données recueillies sur le terrain, la gestion du trafic reste éloignée d’une exploitation optimale des ressources car on ne parvient pas à suivre les fluctuations de la demande. Ces faits ont été constatés et des stratégies de commande plus efficaces basées sur l’estimation de la demande réelle aux intersections ont été développées [2]. Ces stratégies portent le nom de commandes adaptatives des feux de signalisation dans lesquelles l’état des feux dépend de la présence ou non de véhicules à l’intersection. L’exploitation du potentiel des réseaux de Petri (RdP) [4] dans la régulation des feux de trafic a été initiée par Jensen [6] en modélisant les feux de signalisation par un RdP coloré. Wang et al. [13] ont utilisé les RdP pour la commande et l’évaluation des performances d’une intersection isolée en se basant sur le simulateur SIMNET(Simulation Nets). DiCesare et al. [5] ont proposé une approche modulaire pour l’évaluation et la commande de six intersections adjacentes. Ces résultats étaient simulés sur le simulateur POSES (Predicate Transition Net Oriented Simulation). Nous présentons dans ce papier un système de commande des feux de signalisation articulé sur les RdP hybrides. Après avoir modélisé l’écoulement du trafic ainsi que les interactions événementielles résultant des changements des états de feux de signalisation, le comportement non linéaire du trafic est décomposé en multi-modèles linéaires. La détection des limites du domaine de validité (seuils) de ces modèles linéaires permet d’évaluer l’état du trafic et par conséquent de commuter ou non le feu. Ce manuscrit est organisé en six sections principales. Après une description du système étudié, nous présentons dans la section II le modèle RdP hybride du trafic. L’approche multi-modèles et la commande par rupture de seuils sont présentées respectivement dans les sections III et IV. Des simulations pour l’analyse et la comparaison de la commande par rupture de seuils par rapport à des commandes usuelles (cycle fixe et intervalle véhicule) font l’objet de la section V. Enfin, les conclusions et les perspectives de recherches sont détaillées dans la section VI. II. MODELE RDP HYBRIDE D’UNE INTERSECTION ISOLEE A. Description d’une intersection isolée L’intersection étudiée comporte quatre voies (L1, L2, L3 et L4) avec un feu de signalisation (T1, T2, T3 et T4) implanté à l’extrémité de chaque voie (figure 1). Chaque feu possède trois états : vert, orange et rouge. Par hypothèse, la durée de signalisation de l’orange est rajoutée à celle du rouge. Des boucles de détection des véhicules sont implantées à l’entrée de chaque voie. Le trafic s’écoule dans deux directions principales : Est-Ouest (E-O) et Nord-Sud (N-S). Les mouvements des tournes à gauche et à droite ne sont pas pris en compte. L1 Figure 1. Intersection isolée. B. RdP hybrides Les réseaux de Petri hybrides sont une extension des RdP [7] dans lesquelles la présentation des systèmes est décrite par deux parties différentes. Un RdP hybride est composé par des places et des transitions continues ainsi que par des places et des transitions discrètes. Le marquage d’une place continue est présenté par un nombre réel et le marquage d’une place L2 L3 L4 T2 T1 T3 T4 Boucle de détection des véhicules File d’attente Ligne d’arrêt discrète est représenté par un nombre entier. L’intersection de la figure 1 est un système hybride dans lequel l’écoulement du trafic sur les voies est présenté par un RdP continu et le changement des états de feu par un RdP discret. C. Modèle de l’intersection Le comportement du trafic à l’intersection est hétérogène car l’interaction entre l’écoulement du trafic et les changements d’états de feu de signalisation sont étroitement liés. C’est pourquoi nous modélisons l’intersection isolée par un RdP hybride, dans lequel le trafic est considéré de façon macroscopique avec des variables moyennes (densité, débit, vitesse) [8] [10]. Sur chaque voie de l’intersection le trafic est modélisé par l’évolution continue du marquage d’un RdP continu à vitesses variables. La dynamique discrète du feu de signalisation est présentée pour sa part par un RdP temporisé (figure 2). Figure 2. Modèle RdP hybride d’une intersection isolée. Le marquage mi=1,2 de la place Pi=1,2 (figure 2) représente la longueur de la file d’attente sur chaque voie E-O et N-S. qmax j=1,..,4 est la fréquence de franchissement de la transition Tj=1,..,4. mi et m’i forment un invariant de marquage. Il en est de même pour m’’j, (équation 1). ⎩ ⎨ ⎧ = ∀ ≥ ∀ = = ∀ ≥ ∀ = + 4 ,..., 1 , 0 ) ( " 2 ,..., 1 , 0 ) ( ' ) ( j t a t m i t c t m t m j j i i i (1) aj, ci sont respectivement le nombre de franchissements simultanés de la transition Tj et la capacité de chaque voie. La présence d’un jeton dans la place P* i indique l’état du feu. Le vert reste affiché sur la voie E-O (N-S) pendant une durée ( ). Cette durée est subordonnée au type de commande appliquée aux feux de l’intersection. O E vert d − S N vert d − Pendant un cycle de feu [t0, tf] l’écoulement du trafic dans l’intersection est régi par les deux systèmes d’équations suivants : Pour t ∈ [t0, tc] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − = = t 2 m 2 c 3 a 3 max q t 2 m )) t ( 1 m 2 a 2 max q t 1 m 1 c 1 a 1 max q t 1 m 1 S )) ( , min( ) ( , min( )) ( , min( ) ( & & (2) avec les conditions initiales m1(0) = m10 et m2(0)= m20. Pour t ∈ [tc tf] ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − = = )) t ( m a max q t 2 m 2 c 3 a 3 max q t 2 m t 1 m 1 c 1 a 1 max q t 1 m 2 S 2 , 4 min( 4 )) ( , min( ) ( )) ( , min( ) ( & & (3) avec les conditions initiales m1(tc) et m2(tc) calculées par S1. Les paramètres du modèle RdP hybride (Table 1) sont calculés en fonction de ceux caractérisant l’intersection [11]. Paramètres de l’intersection Paramètres du RdP hybride Vitesse limitée sfree 54 km/h qmax j 0.5 hz Longueur de la voie ∆ 60 m aj 1 véh. Capacité 8 véh. ci 8 véh. Débit maximal de sortie 1 véh/s Table 1. Paramètres de l’intersection et du RdP hybride. III. APPROCHE MULTI-MODELES L’intersection isolée décrite par les deux systèmes S1 et S2 (équation 2 et 3) et ses interactions événementielles sur les transitions T* 1 et T* 2 est un système hybride non linéaire. La décomposition du modèle en multi-modèles linéaire fournit un support pour l’analyse, la synthèse et la commande du carrefour. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à la détection des seuils naturels (limites du domaine de validité des modèles linéaires) pour la commande des feux de l’intersection. P’2 P’’4 T*2 a1 a2 a4 a3 m2 P2 P’’2 P’’1 P’1 P1 m1 qmax 1 T1 T3 T4 T2 qmax 2 qmax 4 qmax 3 T*1 P*1 P*2 Partie discrète Partie continue N-S P’’3 E-O Partie continue m’1 m’2 O E vert d − S N vert d − A. Décomposition en phases linéaires Le modèle RdP hybride de l’intersection est un modèle non linéaire hybride avec des commutations qui résultent de la fonction minimum dans les équations (2) et (3). Ce modèle peut être décomposé en plusieurs modèles linéaires qui sont activés séquentiellement en fonction des conditions initiales m10 et m20. La période pendant laquelle un même système linéaire est activé est appelée phase linéaire. Le modèle correspondant à chaque phase linéaire est un modèle linéaire continu où les fréquences de franchissements q (j = 1, 3) sont consid max j érées comme des entrées du système. Le passage d’une phase linéaire à la suivante est appelé commutation. Une phase linéaire est différente d'une phase de feu qui correspond à la durée pendant laquelle l'état du feu ne change pas. La durée d'un cycle complet de phases de feu est appelée période. Chaque période comporte plusieurs phases de feu (2 pour le modèle (2) – (3)), et chaque phase de feu peut comporter une ou plusieurs phases linéaires. Par contre une phase linéaire ne correspond qu'à une seule phase de feu (en changeant de phase de feu, on change aussi de phase linéaire). B. Domaines d’évolution des variables de marquage La linéarisation de la partie continue du système hybride non linéaire par l’approche multi-modèles fournit globalement un modèle linéaire régi par un ensemble de N systèmes de deux équations différentielles du premier ordre. La résolution de ces systèmes selon la valeur initiale de m1 et de m2 et l’occurrence de l’événement de commutation du feu sur la transition T*1 ou T*2 (phase de feu) permet d’énumérer toutes les phases linéaires de m1 et de m2 qui forment respectivement deux ensembles Γ1 et Γ2. Γ1= {E1 1, E1 2, E1 3, E1 4, E1 5, E1 6} (4) Γ2= {E2 1, E2 2, E2 3, E2 4, E2 5, E2 6} (5) C. Commutation des phases linéaires Si l’on s’intéresse uniquement au marquage m1, le changement de phases E1 i, i=1,…,6 est obtenu par commutations selon l’automate ci-dessous (figure 3). Les transitions en gras correspondent à des changements de phase de feu agissant sur la partie discrète du modèle RdP hybride. Les autres événements correspondent à des ruptures de seuils de la partie continue. Figure 3. Commutations de phases linéaires pour m1. Un automate similaire existe pour m2 (figure 4). Figure 4. Commutations de phases linéaires pour m2. Notons que les phases linéaires E1 4 et E2 4, représentée par une case sur fond gris dans la figure 3 et 4, ne sont jamais validées du fait que a2 a2 m1(t) ≤ a2 m1(t) > a2 m1(t) ≤ a2 c1-m1(t) ≤ a1 c1-m1(t) > a1 c1-m1(t) > a1 c1-m1(t) ≤ a1 c1-m1(t) ≤ a1 c1-m1(t) > a1 c1-m1(t) > a1 c1-m1(t) ≤ a1 Phase linéaire pour m1 et m2 E1 1 E1 2 E1 3 E1 4 E1 5 E1 6 E1 6 E1 5 c2-m2(t) ≤ a3 E2 5 S1 1 S1 3 S1 5 S1 7 X X X X m2(t) > a4 c2-m2(t) > a3 E2 6 S1 2 S1 4 S1 6 S1 8 X X X X c2-m2(t) > a3 E2 6 S1 2 S1 4 S1 6 S1 8 X X X X S1 m2(t) ≤ a4 c2-m2(t) ≤ a3 E2 5 S1 1 S1 3 S1 5 S1 7 X X X X c2-m2(t) ≤ a3 E2 1 X X X X S2 1 S2 2 S2 2 S2 1 m2(t) > a4 c2-m2(t) > a3 E2 2 X X X X S2 3 S2 4 S2 4 S2 3 c2-m2(t) > a3 E2 3 X X X X S2 5 S2 6 S2 6 S2 5 S2 m2(t) ≤ a4 c2-m2(t) ≤ a3 E2 4 X X X X S2 7 S2 8 S2 8 S2 7 Table 2. Phases linéaires pour le modèle S1 et S2. E2 6 E2 2 E2 3 E2 1 E2 4 E2 5 Ev = T* 1, T* 2 m2 = c2 – a3 m2 =c2 – a3 m2= a4 m2 = a4 Ev = T* 1, T* 2 Ev = T* 1, T* 2 Ev = T* 1, T* 2 m 2 = c 2 – a 3 Arc étiqueté par le seuil mi=c1-a1 Arc étiqueté par l’événement : Ev = (dfeu>=GM) ou ((m1=a2) ∧ (dfeu>=Gm)) Arc étiqueté par l’événement Ev = (dfeu>= GM) sur la transition T* 2 Figure 6. Automate simplifié de m1. Arc étiqueté par le seuil mi=c2-a3 Arc étiqueté par l’événement : Ev = (dfeu>=GM) ou ((m2=a4) (d ∧ feu>=Gm)) Arc étiqueté par l’événement Ev = (dfeu>= GM) sur la transition T* 1 où d repr feu ésente la durée du feu. Figure 7. Automate simplifié de m2. L’automate de synchronisation devient : Arc étiqueté par l’événement : feu>=Gm)) Figure 8 d tion. Ev = (dfeu>=GM) ou ((m2=a4) ∧ (d . Simplification de l’automate e synchronisa B. Algorithme de commande L’algorithme de commande résultant des automates simplifiés se résume comme suit : 1. Initialiser m1(t0), m2(t0) et dfeu 2. Evaluer la durée d’activation de la phase linéaire dlin 3. Evaluer la durée d’activation de la phase du feu dfeu 4. Test sur dfeu 4.1. Si dfeu < Gm 4.1.1. Evaluer les longueurs des files d’attentes m1 et m2 4.1.2. Aller à l’étape 2 4.2. Si Gm ≤ dfeu< GM 4.2.1. Evaluer les longueurs des files d’attentes m1 et m2 4.2.2. Si mi ≤ aj, commuter le feu et aller à l’étape 1 4.2.3. Sinon aller à l’étape 2 4.3. Si dfeu≥ GM 4.3.1. dfeu = dfeu - dlin 4.3.2. dlin = GM - dfeu. Prendre le reste de la durée du feu 4.3.3. Evaluer les longueurs des files d’attentes m1 et m2 4.3.4. Commuter le feu et aller à l’étape 1 5. Fin V. SIMULATIONS Dans cette section nous allons comparer les performances de la commande par rupture de seuils par rapport à des commandes usuelles (à cycle fixe et à intervalle véhicule). A. Commande à cycle fixe Le changement de phases de feu est obtenu en fonction d’un échéancier, (i.e. la durée du cycle est prédéterminée). Dans ce cas l’occurrence des franchissements des transitions T* 1 et T* 2 dépend uniquement de l’horloge commune. Dans les simulations qui suivent, l’horizon est de 300 secondes et le feu est supposé à cycle fixe avec des durées de vert et de rouge identiques et égales à 60 secondes. B. Commande adaptative (intervalle véhicule) Du fait de sa simplicité, la commande intervalle véhicule est devenue une stratégie très répandue dans la régulation adaptative des feux de signalisation [9]. Son algorithme se résume comme suit [3] [9]. Au début de la phase, on donne au temps de vert une durée minimale Gm. Si aucun véhicule n’a été détecté pendant ce temps, le vert est alors coupé et la phase suivante commence. Le même processus est ensuite appliqué à cette phase (dans le cas d’un feu où toutes les approches sont commandées par le trafic). Si au contraire, le détecteur est informé du passage d’un véhicule, la durée du vert est prolongée d’un temps ∆t après la détection de ce véhicule. Cette prolongation est fixe, elle doit permettre au véhicule de franchir la distance entre la boucle et la ligne d’arrêt. Une nouvelle prolongation du vert est accordée dés qu’un nouveau véhicule se présente pendant un intervalle de temps I appelé intervalle véhiculaire. Cet intervalle est l’écart maximum entre deux véhicules au-delà duquel aucune prolongation n’est accordée au suivant. Pendant chaque intervalle véhiculaire on observe si un nouveau véhicule est détecté afin d’accorder une nouvelle prolongation de la durée du vert. Dans le cas où aucun véhicule n’est détecté le feu passe à la phase suivante. Afin d’éviter une conservation du vert sur une durée trop longue sa prolongation est contrainte par une durée maximale, 2 1 S 1 2 S 1 3 S 1 8 S 1 1 S 2 6 S 1 6 S 1 4 S 1 5 S 2 5 S 2 3 S 2 2 S 2 4 S 1 7 S 2 7 S 2 8 S E2 6 E2 2 E2 3 E2 1 E2 4 E2 5 E1 6 E1 2 E1 3 E1 1 E1 4 E1 5 appelée vert maximum qui ne pourra être dépassée quelle que soit la demande pour la phase considérée. Figure 9. Architecture de la commande à intervalle véhicule. Considérons l’intersection isolée présentée précédemment (figure1). Nous allons appliquer aux feux de cette intersection ces trois commandes avec des arrivées de véhicules uniformes et aléatoires. C. Simulations avec des entrées uniformes Cette série de simulations est effectuée avec les paramètres suivants : E-O N-S Arrivées de véhicules 3 secondes 5 secondes Marquage initial mi(0) 8 véh. 2 véh. Intervalle véhiculaire I = 4 secondes Vert minimum 30 secondes Vert maximum 60 secondes Table 3. Paramètres du carrefour, arrivées uniformes Figure 10. Séquences de commutation de chaque commande. 0 50 100 150 200 0 5 10 File d'attente E -O 0 50 100 150 200 0 5 10 File d'attente N-S 0 50 100 150 200 8 10 12 S om m e des files d'attente rupture de seuil cycle fixe intervalle véhicule tem ps tem ps tem ps cycle fixe rupture de seuil rupture de seuil cycle fixe rupture de seuil rupture de seuil * représente une commutation de phase linéaire. o représente une commutation de phase de feu. Figure 11. Evolution des Files d’attente. La figure (11) présente l’évolution instantanée des files d’attente au carrefour. Les changements de phases linéaires sont représentés par des étoiles (*) alors que les changements de phases de feu le sont par des cercles (o). Dans l’intervalle du temps [0, 40s], les files d’attente évoluent de la même manière sur les deux voies (E-O et N-S). Au-delà de cet intervalle, la dynamique des files d’attente est inhérente au comportement de chaque stratégie de commande. On peut remarquer que les commutations du feu se déclenchent au plus tôt par la commande à rupture de seuils (figure 10). Cependant, le nombres de véhicules attendant au carrefour (somme des files d’attente (voir figure 11)) est approximativement le même pour les trois stratégies de commande de feux. Lorsque les entrées sont uniformes, les performances des trois commandes sont voisines. Système Superviseur Boucles de détection D. Simulations avec des entrées aléatoires Dans cette série de simulations nous allons utiliser des distributions de débits d’entrées qui suivent une loi exponentielle. t k k e k t t λ λ π − = ] ! ) [( ) ( (6) où λ représente le taux d’arrivée de véhicules et k =1, 2,…, t représente le temps de simulation. E-O N-S Marquage initial mi(0) 5 véh. 8 véh. Intervalle véhiculaire I = 4 secondes Vert minimum 10 secondes Vert maximum 60 secondes Table 4. Paramètres du carrefour, arrivées aléatoires. Figure 12. Arrivées de véhicules. temps temps temps 0 50 100 150 200 E-O Séquence de commutation (rupture de seuil) N-S 0 50 100 150 200 Séquence de commutation (intervalle N-S 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 rang des véhicules Distribution des temps inter-véhiculaire (E-O) 0 100 200 300 0 1 2 3 4 Fonction débit-densité véh/s 0 10 20 30 40 50 0 5 10 15 20 25 Distribution des temps inter-véhiculaire (N-S) 0 100 200 300 0 5 10 15 20 25 Fonction débit-densité temps (s) rang des véhicules temps (s) temps (s) véh/s temps (s) E-O 0 50 100 150 200 Séquence de commutation (cycle N-S E-O Figure 13. Séquences de commutation de chaque commande. 0 50 100 150 200 250 0 5 10 0 50 100 150 200 250 0 5 10 File d'attente N-S 0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 temps temps temps rupture de seuils cycle fixe intervalle véhicule intervalle véhicule rupture de seuils cycle fixe cycle fixe intervalle véhicule rupture de seuils File d'attente E-O Somme des files d'attente Figure 14. Evolution des files d’attente. Les simulations avec des entrées aléatoires de la figure (12) ont pour but de présenter l’influence des instants d’arrivées de véhicules sur le comportement de chaque stratégie de commande des feux. Les courbes de la figure 14 montrent que la commande par rupture de seuils fournit de bons résultats sur presque tout l’horizon de simulation, car le nombre de véhicules attendant (somme des files d’attente) sur l’intersection est minimal lorsque les feux sont commandés par rupture de seuils. D’autres simulations avec des entrées uniformes et aléatoires ont été réalisées : des conclusions similaires ont été obtenues. VI. CONCLUSION Dans ce manuscrit nous avons présenté une approche multi- modèles pour la commande des feux de signalisation en s’articulant sur le potentiel des réseaux de Petri hybrides. Nous avons également comparé les performances de cette commande par rapport à des commandes usuelles (à cycle fixe et à intervalle véhicule) avec des entrées uniformes et aléatoires. Les résultats obtenus montrent l’intérêt de poursuivre l’investigation de la commande du trafic à partir de modèles hybrides. En se basant sur la détection des différents seuils naturels caractérisant les commutations du multi- modèles (mi=ci-aj), nous avons développé de nouvelles stratégies de régulation des feux de signalisation [12]. Nos futurs travaux auront pour but d’étendre cette approche aux intersections complexes en tenant compte d’une part des tournes à droite et à gauche et d’autre part de seuils externes. Ces seuils seront déterminés à travers des critères d’optimisation. Une autre perspective qui mériterait l’investigation est la coordination entre plusieurs carrefours à feux par le biais d’une stratégie de régulation permettant de minimiser les longueurs des files d’attente sur tous le réseaux. VII. REFERENCES [1] R. E. Allsop, “Delay at a fixed time traffic signal I: theoretical analysis”, Transportation Science 6 (3), pp. 260-85, 1972. [2] M. Cassidy and B. 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