Modélisation et stabilisation avec des entrées bornées d’un petit hélicoptère possédant deux rotors pivotants

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-3:20013
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Résumé

Modélisation et stabilisation avec des entrées bornées d’un petit hélicoptère possédant deux rotors pivotants

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Modélisation et stabilisation avec des entrées bornées d’un petit hélicoptère possédant deux rotors pivotants Farid Kendoul∗ , Isabelle Fantoni, Rogelio Lozano Heudiasyc, UMR CNRS 6599, UTC, BP 20529 60205 Compiègne, France email :{fkendoul, ifantoni, rlozano}@hds.utc.fr RESUME Dans ce papier, nous avons présenté une nouvelle confi- guration pour un drone miniature autonome. Ce der- nier utilise un mécanisme de contrôle original qui com- porte deux rotors montés latéralement. La direction de la poussée totale peut être obtenue en forçant les rotors à pivoter latéralement et longitudinalement. L’étude de ce mécanisme montre que les couples nécessaires pour la commande peuvent être obtenus en exploitant la nature gyroscopique des rotors pivotants. Cette confi- guration a été aussi validée sur deux prototypes que nous avons construits. Après avoir décrit la modéli- sation de la dynamique de l’hélicoptère birotor, nous avons proposé une loi de commande basée sur des sa- turations imbriquées qui a permis de prendre en compte les contraintes réelles sur les entrées de commande. Les résultats de simulation ont montré les bonnes perfor- mances de la stratégie de commande proposée. MOT CLES : Drones miniatures, hélicoptères, rotors pivotants, modélisation des robots volants, stabilisa- tion, saturations imbriquées. ABSTRACT In this paper, we have presented a new configuration for a small autonomous aircraft. This rotorcraft uses an original mechanism with two propellers mounted late- rally. The direction of the thrust can be obtained by tilting the propellers laterally and longitudinally. The study of this mechanism has showed that the requi- red control moments can be obtained by exploiting the gyroscopical nature of tilting rotors. This aerodynami- cal configuration has also been demonstrated using two prototypes that we have constructed. Once the dyna- mical model of the helicopter is presented, we have syn- thesized a controller which is based on nested satura- tions method with considering the real constraints on the control inputs. The simulation results have showed the good performance of the proposed controller. KEYWORDS : Small UAVs, helicopters, aerial robots modeling, stabilization, nested saturations. I. INTRODUCTION Le domaine des drones miniatures ou UAVs (Unman- ∗Correspondant, e-mail : fkendoul@hds.utc.fr ned Aerial vehicles) a beaucoup évolué pendant cette dernière décennie et a attiré de nombreux chercheurs travaillant dans les disciplines liées notament à l’auto- matique, l’électronique et à l’aérodynamique. Depuis, différentes configurations de drones ont été proposées. Les UAVs les plus connus dans la catégorie des véhicules à voilure tournante sont entre autres les hélicoptères standard avec un rotor principal et un rotor de queue, les quadri-rotors possédant quatre rotors, etc. Récem- ment, Gary Gress [1] a eu l’idée d’exploiter et d’adap- ter la technologie des rotors pivotants pour concevoir un mécanisme permettant la commande d’un drone mi- niature. Dans le cadre du concours universitaire internatio- nal des drones miniatures organisé par la DGA1 et l’ONERA, nous nous sommes inspirés de l’idée ingé- nieuse de G. Gress pour concevoir un petit hélicoptère baptisé BIROTAN (BI-Rotor Orientable en TANdem), (voir la Figure 1). Ce birotor comporte deux hélices Fig. 1 – L’hélicoptère BIROTAN avec deux rotors pi- votants contrarotatives à pas fixe. Les rotors peuvent pivo- ter dans deux directions différentes pour générer les couples de tangage et de lacet. Le couple de roulis est obtenu par la différence de vitesses de rotation des deux rotors. Contrairement aux hélicoptères classiques, cette configuration ne nécessite pas de plateaux cycliques 1Ce travail a été financé par la DGA (Délégation Générale de l’Armement) et la région Picardie. ou d’anti-couple. Elle est donc beaucoup moins com- pliquée mécaniquement. l’absence de tringles permet d’atteindre des vitesses de rotation plus élevées. Cette configuration simple et originale est aussi plus adap- tée à la miniaturisation requise pour les drones. Le drone BIROTAN a un fuselage qui ressemble à celui d’un avion classique, lui permettant ainsi d’augmenter la portance en vol de translation. Un autre challenge des véhicules aériens est leur com- mande. Teel a développé une technique de commande basée sur des saturations imbriquées [2], [3]. Cette tech- nique a été utilisée pour la stabilisation du PVTOL dans [4] et [5] et du quadri-rotor dans [6]. Le grand intérêt de cette stratégie de commande est sa simpli- cité et sa prise en compte de la bornitude des entrées de commande. En effet, les couples de commande ob- tenus par le mécanisme mentionné précédemment dé- pendent essentiellement des angles de pivotement des rotors et de leurs vitesses de pivotement. Or, ces gran- deurs sont limitées par la construction mécanique et la dynamique des servo-moteurs. Ceci nous a conduit à exploiter et adapter la stratégie de commande dévelop- pée dans [6] pour la stabilisation du drone BIROTAN. En plus de la bornitude des entrées de commande, nous avons imposé des contraintes supplémentaires sur leurs conditions initiales. Ces contraintes ont été satisfaites en introduisant des fonctions variant dans le temps [7]. Ce papier est organisé comme suit : dans un premier temps, un modèle mathématique de la dynamique du drone est présenté ainsi que la description et l’analyse du mécanisme de contrôle. Par la suite, en se basant sur le modèle simplifié de l’engin, une loi de commande basée sur des saturations emboîtées est synthétisée. La dernière partie est consacrée à la présentation des ré- sultats de simulation qui témoignent de l’efficacité du contrôleur. II. MODELISATION DU DRONE BIROTAN Dans cette section, une brève description du système de contrôle du drone Birotan est exposée avec l’analyse de ses performances. (a) mécanisme de G. Gress (b) Notre prototype Fig. 2 – Le mécanisme de contrôle basé sur la techno- logie des rotors pivotants Gary Gress [1] a découvert qu’en utilisant deux rotors pivotants, il est possible d’obtenir les trois couples de commande nécessaires pour stabiliser un véhicule aé- rien sur une trajectoire désirée. – Le moment de roulis est obtenu par la différence des deux poussées P1 et P2. – Le moment de tangage se résume aux couples gy- roscopiques issus du pivotement latéral opposé des deux rotors, Figure 5. – Le moment de lacet est généré par la précession longitudinale opposée des rotors, Figure 4. Ce mécanisme utilise quatre servo-moteurs (voir Figure 2(a)) pour contrôler indépendamment le pivotement la- téral et longitudinal des deux rotors. Les deux servos internes permettent de pivoter les rotors longitudinale- ment avec le même angle α et dans deux sens opposés. Quand aux servos externes, ils forcent les rotors à pi- voter latéralement avec un angle β pour le rotor n ˚ 1 et −β pour le rotor n ˚ 2. Inspirés du mécanisme de G. Gress, nous avons construit un prototype comme montré dans la Figure 2(b) qui a donné des résultats prometteurs. La dynamique du drone Birotan peut être décomposée en quatre blocs principaux (voire la Figure 3) : la dy- namique du corps rigide, le processus de génération des vecteurs de commande, l’aéorodynamique des pales et la dynamique des moteurs et des servomoteurs. Dynamique du CorpsRigide Processusde générationdes forcesetdes couplesde commande Aérodyna- mique des pales Dynamique des moteurs Dynamique des servo-moteurs Effets aérodynamiques (fuselage,sol,vent,intéraction des rotors, vent,....) U1 U2 U3 U4 w1 w2 P1 P2 α β F couples position orientation Pivotement longitudinal Pivotement latéral Fig. 3 – La dynamique du drone BIROTAN Génération Des Vecteurs De Commande La stabilisation d’un objet volant à 6 degrés de li- berté nécessite au minimum, une force et trois couples (τφ, τθ, τψ) qui sont le couple de roulis, de tangage et de lacet respectivement. Dans ce qui suit, nous détaille- rons chacun de ces couples et nous adresserons les ex- pressions complètes des vecteurs force et couple. Afin de développer notre analyse, nous allons d’abord définir les repères suivants : – I = (Ex, Ey, Ez) est le repère inertiel lié à la terre. – A = (E1, E2, E3) est le repère lié au corps rigide de l’hélicoptère, Figure 5. – A1 = (A1x, A1y, A1z) et A2 = (A2x, A2y, A2z) sont deux repères supplémentaires qui sont liés aux ro- tors n ˚ 1 et n ˚ 2 respectivement (voir la Figure 4). La position des rotors par rapport au repère A peut être décrite par deux matrices de passages T1 et T2 telles que T1 =   cα sαsβ sαcβ 0 cβ −sβ −sα cαsβ cαcβ   (1) 0X 0X Fig. 4 – Le pivotement longitudinal et T2 =   cα sαsβ −sαcβ 0 cβ sβ sα −cαsβ cαcβ   (2) avec β est l’angle de pivotement latéral et α décrit le pivotement longitudinal des rotors. Expression Du Vecteur Force F La rotation des pales génère des poussées axiales P1 et P2 qui peuvent être modélisées comme suit [9] Pi = Clω2 i , i = 1, 2 (3) où Cl spécifie le coefficient de la poussée axiale qui dépend principalement de la géométrie des pales et de la densité de l’air. La vitesse de rotation du rotor i est notée par ωi. les deux poussées P1 et P2 peuvent être exprimées dans les repères A1 et A2 respectivement comme PA1 1 = (0, 0, P1)T , PA2 2 = (0, 0, P2)T (4) Pour trouver leurs expressions dans le repère lié au drone A, il suffit de multiplier PA1 1 par la matrice T1 et PA2 2 par T2. Après calculs, on trouve F = T1PA1 1 + T2PA2 2 =   (P1 − P2)sαcβ (P2 − P1)sβ (P1 + P2)cαcβ   (5) Les Moments Gyroscopiques Faire tourner un objet en rotation autour d’un axe donné crée un couple gyroscopique qui est perpendicu- laire à ces deux axes. En effet, le pivotement des rotors avec un certain angle donne naissance à des couples gyroscopiques qui sont les produits vectoriels des mo- ments cinétiques des rotors et des vecteurs vitesses des pivotements [7]. Ces moments sont exprimés dans les repères liés aux rotors comme suit MA1 1α = −Irω1α̇A1x , MA2 2α = −Irω2α̇A2x (6) pour le pivotement longitudinal, et MA1 1β = Irω1β̇A1y , MA2 2β = Irω2β̇A2y (7) pour le pivotement latéral. Ir est le moment d’inertie des rotors par rapport à leurs axes de rotation Aiz. En Ey Ex Ez E3 E2 E1 P2 P1 A2z A2y A2x A1z A1x lenght: l lenght: l h G O m.g Q1 Q2 M2 β A1y β M1β β Fig. 5 – Le pivotement latéral et les moments associés multipliant ces couples par les matrices de transforma- tion T1 et T2, on obtient Mα = 2 X i=1 TiMAi iα = Irα̇   −(ω1 + ω2)cα 0 (ω1 − ω2)sα   (8) et Mβ = 2 X i=1 TiMAi iβ = Irβ̇   (ω1 + ω2)sαsβ (ω1 + ω2)cβ (ω1 − ω2)cαsβ   (9) G. Gress a démontré dans [7] que la composante Irβ̇(ω1 +ω2)cβ issue du pivotement latéral des deux ro- tors est suffisante pour la commande de l’angle de tan- gage. Ce moment gyroscopique peut être utilisé comme une entrée principale pour fournir le couple de tangage désiré. Le Moment De La Résistance De L’air Q Quand les pales tournent, elles sont sujettes à des forces de traînées produisant des couples Qi qui agissent dans le sens inverse à la rotation des pales (voir Figure 5). QA1 1 = (0, 0, −Q1)T , QA2 2 = (0, 0, Q2)T (10) Les quantités Qi peuvent être exprimées en fonction de ω comme suit [9] Qi = Ctω2 i , i = 1, 2 (11) Ct est le coefficient du couple de rotor qui est positif et qui dépend aussi des paramètres des pales. De la même manière, ces couples peuvent être exprimés dans le repère A. On écrit Q = 2 X i=1 TiQAi i =   −(Q1 + Q2)sαcβ (Q1 + Q2)sβ −(Q1 − Q2)cαcβ   (12) Les Moments Générés Par La Force F Se référant à la Figure 4, on définit − − → O1G = (0, −l, 0)T et − − → O2G = (0, l, 0)T comme les vecteurs positions exprimés dans A des points d’application des poussées P1 et P2 respectivement. Donc, le couple produit par les poussées par rapport au centre de gravité G et exprimé dans A est donné par MF = (T1P1) × − − → O1G + (T2P2) × − − → O2G (13) Après le développement de cette équation, on obtient MF =   l(P1 − P2)cαcβ 0 −l(P1 + P2)sαcβ   (14) Le Moment De La Réaction Inverse Mr.i Ce couple parasite est causé par le pivotement de chaque rotor. Effectivement, quand un servo-moteur exerce un couple sur un rotor pour le forcer à pivoter, il en résulte un couple de réaction inverse Mr.i qui agit sur le corps rigide du drone. Ce moment auxiliaire dé- pend essentiellement des accélérations (β̈, α̈) et tend à tourner le drone dans le sens inverse au pivotement in- duisant le système en instabilité. Cependant, comme les deux rotors pivotent dans des sens opposés, ces couples se compensent et s’annulent mutuellement. Alors dans ce qui suit, Mr.i va être fixé à zéro. Le Vecteur Couple Total τ L’expression complète du vecteur couple τ = (τ1, τ2, τ3)T qui agit sur le drone et exprimé dans A est donnée par τ = Mα + Mβ + Q + MF (15) Finalement, en remplaçant les termes à droite par leurs expressions, on obtient τ1 = l (P1 − P2)cαcβ − (Q1 + Q2)sαcβ − Irα̇(ω1 + ω2)cα + Irβ̇(ω1 + ω2)sαsβ (16) τ2 = (Q1 + Q2)sβ + Irβ̇(ω1 + ω2)cβ (17) τ3 = − l(P1 + P2)sαcβ − (Q1 − Q2)cαcβ + Irα̇(ω1 − ω2)sα + Irβ̇(ω1 − ω2)cαsβ (18) Dynamique Du Corps Rigide Les équations du mouvement du corps rigide du drone peuvent être obtenues en utilisant l’approche Lagran- gienne. Les coordonnées généralisées utilisées ici sont q = (x, y, z, φ, θ, ψ) ∈ R6 Le vecteur ξ = (x, y, z) représente la position du centre de gravité du véhicule aérien relative au repère iner- tiel I. L’orientation du corps rigide est décrite par les angles d’Euler η = (φ, θ, ψ) qui sont le roulis, le tangage et le lacet, respectivement. En appliquant la méthode d’Euler Lagrange au corps rigide de masse m, soumis aux forces généralisées (Fξ, τη), on obtient les équations standard d’un solide évoluant dans un espace à trois dimensions [6],[10]). m¨ ξ + mgEz = Fξ Iη̈ + İη̇ − 1 2 ∂ ∂η (η̇T Iη̇) = τη (19) Les forces généralisées peuvent être exprimées en fonc- tion de la paire (F, τ) définie en (5) et (16)-(18). Fξ = RF τη = W−1 τ (20) La matrice de rotation R définit la transformation entre les deux repères A et I. Elle peut être obtenue en se basant sur les angles d’Euler : R = Rφ.Rθ.Rψ (21) =   cθcψ cθsψ −sθ sφsθcψ − cφsψ sφsθsψ + cφcψ sφcθ cφsθcψ + sφsψ cφsθsψ − sφcψ cφcθ   W est la matrice qui lie le vecteur de rotation angulaire Ω du drone exprimé dans A au vecteur des vitesses généralisées η̇. Ω = Wη̇ (22) avec W(η) =   cos ψ cos θ − sin ψ 0 sin ψ cos θ cos ψ 0 − sin θ 0 1   (23) En définissant une matrice de coriolis/centrifuge comme C(η, η̇) = (İ − 1 2 ∂ ∂η (η̇T I)) (24) et en introduisant (20) dans (19), on peut écrire m¨ ξ = RF − mgEz Iη̈ = W−1 τ − C(η, η̇)η̇ (25) III. STABILISATION DU VEHICULE AERIEN Dans cette section, nous allons appliquer une loi de commande basée sur des saturations emboîtées pour la commande du système (25). Ce choix est motivé par le fait que cette méthode prend en compte la borni- tude des entrées de commande. Ceci est d’une grande importance dans notre cas, vue que les angles de com- mande α et β sont petits et bornés, et que la vitesse des servo-moteurs est aussi limitée. Les expressions des vecteurs de commande F et τ sont très complexes. Elles présentent de fortes non-linéarités et un grand couplage entre les entrées de commande. ce qui rend leur exploitation pour la synthèse des lois de commande très difficile. Il est donc nécessaire d’analy- ser ces expressions et d’effectuer quelques approxima- tions afin d’aboutir à un modèle simple qui engendre les termes et les caractéristiques essentielles de l’aéronef. En effet, les angles de pivotement α et β sont en général assez petits (< 15◦ ). On va donc adopter les approxi- mations suivantes : cos α = cos β ' 1, sin α ' α et sin β ' β. On va noter u la somme des deux poussées P1 et P2, que l’on va considérer comme la seule force principale. Les composantes longitudinale et latérale du vecteur force F dépendent de la différence des deux poussées et des angles de pivotement. Elles sont donc petites par rapport à u et peuvent être considérées comme des perturbations dans le modèle général. Le vecteur de commande τ peut être représenté comme la somme de deux quantités : le vecteur de commande nominal et une perturbation qui comporte tous les pe- tits termes parasites. En analysant son expression dans (16)-(18), on peut définir les entrées de commande no- minales comme suit τφ = l(P1 − P2) τθ = Ir(ω1 + ω2)β̇ + (Q1 + Q2)β τψ = −l(P1 + P2)α (26) où τφ est le couple de roulis qui est généré par la diffé- rence des deux poussées axiales P1 et P2. Le couple gy- roscopique issu du pivotement latéral opposé et la com- posante du couple de la résistance de l’air agissent dans le même sens et se complimentent pour créer le couple de tangage. En analysant l’expression de τθ, on constate que l’angle de tangage est commandé par l’angle β et de sa dérivée β̇, multipliés par des termes variant dans le temps. Quand au mouvement de lacet, il est commandé par l’angle α. A partir des développements ci-dessus, les vecteurs de commande peuvent être représentés sous la forme sui- vante F = (0, 0, u)T + ∆F τ = (τφ, τθ, τψ)T + ∆τ (27) où ∆F et ∆τ sont des vecteurs dans R3 qui re- groupent les termes parasites présents dans (5),(16)- (18) et non inclus dans les entrées nominales (26). Ces forces/moments non désirées sont supposées être pe- tites avec une influence limitée sur le comportement du système. Elles seront donc négligées dans le modèle qui va servir à la synthèse des lois de commande. L’objectif de commande est maintenant de trouver un retour d’état (P1, P2, β, α) tel que les états q du sys- tème convergent vers leurs valeurs désirées. On va aussi imposer des contraintes supplémentaires sur les condi- tions initiales des entrées de commande β et α. En effet, on aimerait avoir β(0) = α(0) = 0. Physiquement, ceci veut dire que les rotors sont initialement à la position verticale par rapport au corps du drone ce qui corres- pond au cas réel. Pour simplifier les expressions, on propose le change- ment de variables d’entrées suivant τ = W(C(η, η̇)η̇ + Iτ̃) ⇒ η̈ = τ̃ (28) En réécrivant les équations dans (25), on obtient mẍ = −u sin θ, θ̈ = τ̃θ mÿ = u cos θ. sin φ, φ̈ = τ̃φ mz̈ = u cos θ. cos φ − mg, ψ̈ = τ̃ψ (29) Commande de l'altitude Z Linéarisation ==> Cont.Lin.PD Stabilisation de l'angle du lacet ==>Cont.Lin.PD τφ ψ Y Y' φ φ Nonlinear terms ' Couplage via et r φ Début Fin u τ PVTOL 1 Saturations Imbriquées τφ X X' Nonlinear terms ' PVTOL 2 Saturations Imbriquées θ θ 1 3 2 Fig. 6 – Le diagramme de la stratégie de commande Le système (29) contient six variables et quatre entrées de commande. C’est donc un système sous- actionné qui peut être vu comme quatre sous-systèmes connectés entre eux et chacun est commandé par une entrée de commande. La stratégie de commande pré- sentée ici (voire la Figure 6) vise à contrôler chacun de ces sous-systèmes en commençant d’abord par l’alti- tude (z) et l’angle de lacet (ψ). Ensuite, on applique la technique des saturations imbriquées pour commander le mouvement latéral (φ − y) et le déplacement longi- tudinal (θ − x) [12] et [6]. Commande De La Position Verticale Et Du Lacet Ces deux mouvements peuvent être commandés en uti- lisant des contrôleurs linéaires simples. Nous proposons u = m −az1ż − az2(z − zd) + g cos θ cos φ (30) τ̃ψ = −aψ1ψ̇ − aψ2(ψ − ψd) + fψ(t) (31) Les angles θ et φ sont supposés être inférieurs à π 2 . Les gains (az1, az2, aψ1, aψ2) sont positifs et doivent être choisis convenablement. fψ(t) est une fonction dépendante du temps qui permettra de satisfaire les contraintes sur les CI (Conditions Initiales) des entrées de commande. Son expression sera donnée dans la suite. Commande De Roulis-Mouv. Latéral (φ, y) Une fois que z et ψ sont stabilisés, on va considérer le sous système représentant les mouvements de rou- lis et latéral. Ce sous-système peut être représenté par une chaîne de quatre intégrateurs auquel s’ajoutent des termes non linéaires, Figure 6. On peut donc exploiter les résultats obtenus dans [4] et [6] pour proposer un contrôleur qui prend en compte la saturation de τ̃φ et les contraintes sur ses conditions initiales. τ̃φ= −σφ1(φ̇ + fφ1(t) + σφ2(φ̇ + φ + fφ2(t) + σφ3(φ̇ + 2φ + ẏ g + fφ3(t) + σφ4(φ̇ + 3φ + 3 ẏ g + y g + fφ4(t))))) (32) Les fonctions fφi(t) dépendent du temps et des valeurs initiales des états du système. Commande De Tangage-Mouv. Longitudinal (θ, x) A ce stade on considère que φ converge vers zéro et on suit la même procédure que précedement [6]. On obtient alors τ̃θ = −σθ1(θ̇ + fθ1(t) + σθ2(θ̇ + θ + fθ2(t) + σθ3(θ̇ + 2θ − ẋ g + fθ3(t) + σθ4(θ̇ + 3θ − 3 ẋ g − x g + fθ4(t))))) (33) σi représentent des fonctions de saturation, voir [2]. Les fonctions (fψ(t), fφi(t), fθi(t)) peuvent être choisies de manière à satisfaire les contraintes sur les CI des angles de pivotement β et α. Ces fonctions peuvent être prises sous la forme f(t) = −h(ξ0, ˙ ξ0, η0, η̇0)e−rt , r > 0 (34) avec h est une constante qui dépend des CI des états du système dont l’objectif est d’imposer les CI désirées du vecteur couple τ (dans notre cas, on aimerait avoir τ(0) = 0). Le terme e−rt force ces fonctions à converger vers zéro pour ne pas détériorer les performances de commande. La constante r pourrait être utilisée pour le choix de la dynamique de commande. En d’autres termes, plus r est petite, plus les couples de commande varient lentement et par conséquent les servo-moteurs peuvent fournir les commandes instantannées désirées. On peut donc déduire que les fonctions f(t) permettent en plus de prendre en compte la dynamique des servo- moteurs. En utilisant [2] et [4], on peut démontrer que (φ̇, φ, ẏ, y, θ̇, θ, ẋ, x) sont bornées et convergent vers zéro même en présence des fonctions f(t). La prochaine étape consistera à trouver les en- trées de commande originales (P1, P2, α, β). En uti- lisant la transformation (28), on peut calculer (τ = (τφ, τθ, τψ)T ). Maintenant, il reste à résoudre le sys- tème (26) et déduire les entrées originales en fonction de (u, τφ, τθ, τψ) qui sont connues à ce stade. On avait u = P1 + P2, τφ = l(P1 − P2) (35) on déduit alors que P1 = 1 2 (u + τφ l ), P2 = 1 2 (u − τφ l ) (36) En utilisant les équations (3) et (11), on peut calculer la vitesse wi et le couple résistant Qi du rotor i ωi = r Pi Cl , Qi = Ct Cl Pi (37) Maintenant, on peut résoudre l’équation différentielle du système (26) pour trouver l’expression de β. β = e−P (t) Z t 0 eP (τ) τθdτ , avec P(t) = Z t 0 Q1 + Q2 Ir(ω1 + ω2) dτ (38) Finalement, l’angle α peut être déduit de la troisième équation de (26) α = − τψ l u (39) La poussée axiale totale u est supposée être strictement positive pour tout t ≥ 0. IV. SIMULATIONS La construction du drone Birotan n’est pas complè- tement achevée, et l’identification de ses paramètres exacts est difficile. Pour les simulations, on va donc uti- liser des paramètres approximatifs qui ont les mêmes ordres de grandeurs que ceux du "Draganflyer" [6]. Le tableau ci-dessous résume les différents paramètres du modèle du véhicule aérien et aussi les constantes utili- sées pour le réglage du contrôleur. Mi sont les bornes paramètre valeur paramètre valeur m 1 kg Mθ1 2 Inertie (J) I3 Mθ2 1 l 0.2 m Mθ3 0.2 Ir 0.001 kg.m2 Mθ4 0.1 az1 1 Mφ1 2 az2 2 Mφ2 1 aψ1 1 Mφ3 0.2 aψ2 2 Mφ4 0.1 des fonctions de saturations σi. La loi de commande décrite dans ce papier a été simu- lée pour le modèle complet du drone Birotan avec les conditions initiales suivantes : (x(0), y(0), z(0), φ(0), θ(0), ψ(0)) = (1, 1, 0, 0.1, 0.3, 0.4) et η̇ = ˙ ξ = 0. L’objectif est de stabiliser l’hélicoptère à une altitude d’un mètre, avec une orientation désirée pour le lacet, i.e., (zd, ψd) = (1, 0). Les résultats de simulation présentés dans la Figure 7 montrent que tous les états du système convergent vers leurs valeurs désirées et que le véhicule aérien est bien stabilisé après un certain temps de transition. La Figure 8 montre que les contraintes sur les entrées de commande sont satisfaites. En effet, les couples de com- mande sont bornés et les angles de pivotement β et α sont initialement nuls et restent petits. Ces résultats témoignent des bonnes performances du contrôleur dé- crits dans ce papier. Notons aussi que cette loi de com- mande est robuste contre les incertitudes et les dyna- miques non modélisées. Néanmoins, une étude appro- fondie [11] de la robustesse du contrôleur est nécessaire afin de déterminer les conditions de convergence du sys- tème en présence des forces/moments parasites ∆F et ∆τ. 0 10 20 30 40 −40 −20 0 20 x[m] 0 10 20 30 40 0 2 4 6 y[m] 0 10 20 30 40 0 0.5 1 1.5 Time[sec] z[m] 0 10 20 30 40 −0.5 0 0.5 Time[sec] Yaw [rad] 0 10 20 30 40 −0.5 0 0.5 Pitch [rad] 0 10 20 30 40 −0.1 0 0.1 Roll [rad] Fig. 7 – Stabilisation de la position et de l’orientation du drone en considérant le modèle complet (∆F et ∆τ) 0 20 40 8 10 12 14 u 0 20 40 −0.04 −0.02 0 0.02 τ φ 0 20 40 −0.5 0 0.5 τ θ 0 20 40 −0.5 0 0.5 τ ψ 0 20 40 −0.2 0 0.2 Time[sec] α[rad] 0 20 40 −0.5 0 0.5 Time[sec] β[rad] Fig. 8 – Les entrées de commande intermédiaires et originales V. CONCLUSION Dans cet article, nous avons montré que l’utilisation de deux rotors pivotants suffit pour assurer la stabi- lisation d’un engin volant évoluant dans un espace à trois dimensions. Nous avons aussi présenté le modèle 6-ddl du drone qui a servi à la synthèse de la loi de commande. Le contrôleur développé ici est basé sur la méthode des saturations imbriquées qui a permis de prendre en compte les contraintes réelles sur les entrées de commande. Sa robustesse est observée en simulation et sa simplicité permet sa portabilité dans un calcula- teur embarqué à puissance modérée. Références [1] G.R. Gress, “Using dual propellers as gyroscopes for tilt-prop hover control,” AIAA, Inc, 2002. [2] A.R. Teel, “Global stabilisation and restricted tracking for multiple integrators with bounded controls,” Systems and Control Letters, vol. 18, pp. 165-171, 1992. [3] A.R. Teel, “A non linear small gain theorem for the analysis of control systems with saturation,” IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 41, Issue 9, pp. 1256-1270, 1996. [4] R. Lozano, P. Castillo and A. Dzul, “Global Stabi- lization of the PVTOL : Real-Time application to a mini-aircraft,” Int. 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