Identification de systèmes à commutation

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-3:20011
DOI :

Résumé

Identification de systèmes à commutation

Métriques

17
5
100.93 Ko
 application/pdf
bitcache://b813a99d48757b5b54e7f1aa32fe6f9d4a133b3e

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2005-3/20011</identifier><creators><creator><creatorName>José Ragot</creatorName></creator><creator><creatorName>Didier Maquin</creatorName></creator><creator><creatorName>Abdelfettah Hocine</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Identification de systèmes à commutation</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sat 30 Sep 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Tue 22 May 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">b813a99d48757b5b54e7f1aa32fe6f9d4a133b3e</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>34026</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Identification de systèmes à commutation. Abdelfettah Hocine, Didier Maquin, José Ragot Centre de Recherche en Automatique de Nancy, CNRS UMR 7039 Institut National Polytechnique de Lorraine 2, Avenue de la forêt de Haye, 54516 Vandœuvre-les-Nancy Cedex, FRANCE {Abdelfettah Hocine, Didier.Maquin, José.Ragot}@ensem.inpl-nancy.fr RESUME L’objectif de cette étude est l’estimation de l’état d’un système à modes multiples connaissant ses entrées et ses sorties. La difficulté sous jacente est liée au fait que la matrice d’état du système n’est pas unique mais prend ses valeurs dans un ensemble fini à valeurs non connues. Le problème posé concerne donc la recon- naissance de la matrice d’état active à un instant donné, l’estimation des paramètres de cette matrice d’état et l’estimation de l’état du système. Se basant sur le principe utilisé dans l’approche EM (expectation maximization) mais sans utiliser de variables dites cachées pour affecter les données aux modes de fonctionnement, on propose une estimation simultanée des paramètres des modèles caractérisant les modes de fonctionnement et des instants de commutation d’un mode à un autre. MOTS CLES : segmentation, commutation, changement de régime, mélange de modèles ABSTRACT Since several decades, researchers have been interested in various types of generalized regression models which ad- mit changing parameters values at different time periods. The so-called regime switching models have given a lot of application in the fields of modelisation of complex sys- tems, robust identification, detection of change of func- tioning and more generally in process diagnosis. Here we examine the case where the change in regime cannot be di- rectly observed but may be estimated from observed vari- ables (the input and the output of the process). For that purpose the well known EM approach may be applied ; to take into account the switches between the regimes, new variables (generally know as hidden or missing) are in- troduced in order to construct a complete data likelihood function. In this paper we show 1-how to directly for- mulate the estimation problem without introducing new variables, 2- a natural way to solve the obtained equations using hierarchical calculus. Some examples are given to illustrate how to use the proposed approach. KEYWORDS : segmentation, data classification, switch- ing, mixture of models x vecteur des observations xi ième composante de x st série temporelle St−1 historique de la série st : St−1 = {st−i}t i=1 θ paramètres σ2 variance αi paramètres de mélange M nombre de modèles locaux N nombre de mesures p(x/θ) probabilité conditionnelle de x φ vecteur de regression Φ critère a paramètres du modèle i rang de l’observation courante j rang du modèle courant L(θ/X) fonction de vraisemblance de X Table 1: Liste des symboles INTRODUCTION La modélisation des systèmes physiques est l’étape préalable et indispensable à toute tentative d’amélioration de fonctionnement. La grande majorité des tech- niques de diagnostic, de surveillance, de régulation et d’optimisation se base sur la connaissance d’un modèle formalisé ou non du système à étudier. Le cas des systèmes à état discret ou à état continu a fait et fait toujours l’objet de très nombreux travaux. Par contre, pour les systèmes présentant simultanément des états continus et des états discrets, les études sont plus récentes. Parmi les travaux précurseurs, on peut mentionner ceux de Hudson [8], de Goldfeld [7] qui ont donné les premiers principes d’une telle représentation. Depuis, de très nombreux travaux ont précisé et développé ce formalisme dont les applications sont nombreuses dès qu’un système présente, de façon naturelle ou provoquée, des change- ments de régime [2], [18], [19]. De façon un peu arbitraire, on peut classer en deux catégories les types de modèles à commutation : - les modèles dont le changement de régime est déterminé par une variable observée. Une situation typique est celle où le changement est réalisé à partir d’un seuil que 1 franchit ou non une variable d’état connue du système. - les modèles dont le changement de régime n’est pas directement observé. Dans ce cas, le processus générateur du changement de régime doit être lui-même modélisé à partir de variables mesurées. On peut aussi noter que les modèles hybrides recouvrent ces deux situations où, de plus, les changements de régime peuvent être décrits par un processus markovien [4], [12]. Avant de représenter le fonctionnement d’un système par un modèle à commutation, la question préliminaire à se poser est l’existence effective de plusieurs régimes de fonctionnement. La situation la plus difficile est celle où l’on ne dispose que de mesures des entrées et des sorties du système sans autre information sur l’existence physique de plusieurs régimes ; il faut donc découvrir ces derniers uniquement à partir des mesures disponibles. Dans la suite de l’exposé, on s’intéresse à une classe par- ticulière de système hybride connue sous le nom PWA (Piece-Wise Affine) [5] [25] et de leur extension aux systèmes dynamiques PWARX (Piece-Wise AutoRegres- sive eXogeneous). Ce type de modèle est construit en partitionnant l’espace des régresseurs en un nombre fini de polyhèdres et en affectant un modèle local affine à chaque région ainsi obtenue. Le problème d’identification qui en résulte est généralement non linéaire [1] ; ceci est du aux conditions logiques qui générent les passages d’une région à une autre région traduisant le point de vue physique du changement de régime ou de mode de fonctionnement. La difficulté essentielle résulte du cou- plage entre l’estimation des paramètres des modèles lo- caux et l’estimation du domaine de validité de ces modèles locaux. Il convient donc, et cela fait l’objet de notre présentation, d’exploiter simultanément plusieurs con- cepts : la segmentation des données, la classification des données, l’estimation des paramètres. Les approches conventionnelles utilisent généralement une procédure à deux niveaux [3] : le premier effectue un partitionnement des données, le deuxième procéde à l’estimation des paramètres des modèles locaux dans l’espace ainsi par- titionné. Dans ce qui suit, on présente une approche globale esti- mant de façon conjointe les paramètres des modèles lo- caux et les coefficients d’appartenance des observations aux modes de fonctionnement. REPRESENTATION DES MODELES A COMMUTATION Un système à commutations peut être représenté par la famille de mélange de modèles : p(x, θ) = M X j=1 αjp(x|θj) x ∈ Rd (1a) M X j=1 αj = 1 αj ∈ {0, 1} j = 1..M (1b) où M et d sont des entiers positifs a priori connus, αj est positif, chaque p(x|θj) est une fonction de densité de probabilité parametrisée par θj ∈ Rp . Les paramètres du modèle sont ψ = (θ1 . . . θM , α1 . . . αM ), x est une variable aléatoire. Le paramètre de mélange αj peut être interprété comme la probabilité d’activation du jième modèle local particulier, tandis que θj caractérise la structure de ce modèle local. Les paramètres de mélange prennent uniquement les valeurs 0 ou 1 puisque les systèmes sont à commutation ; notons cependant qu’une représentation semblable vaut pour les multi-modèles [11], [6] , [13], [15] à condition que les paramètres de mélanges prennent leurs valeurs dans l’intervalle [0 1] ; il y a sans doute de nombreux rapprochements à établir entre multi-modèles et modèles à commutation. Le problème d’identification est le suivant : connaissant le nombre M de modèles locaux, leurs ordres respectifs et un ensemble de mesures des entrées et sorties du système, déterminer : 1) les ensembles de mesures associées à chaque modèle local, 2) les paramètres θj de chaque modèle local, 3) les paramètres de mélange αj. Bien évidemment la difficulté sous-jacente est le couplage entre classification des données et identification de paramètres. En effet, pour estimer les paramètres d’un modèle local, il faudrait connaı̂tre les données qui car- actérisent ce modèle local et il serait simple d’alouer les données à un modèle local si celui-ci était déjà caractérisé. ESTIMATION DES PARAMETRES BASEE SUR LE MAX- IMUM DE VRAISEMBLANCE Formulation du problème La variable x est observé et l’on dispose des données xi supposes indépendantes et identiquement distribuées selon la loi de distribution p. La séquence des observa- tions x est considérée comme une réalisation particulière d’une variable aléatoire X: p(X|θ) = N Y i=1 p(xi|θ) (2) A partir des données disponibles, et en utilisant le modèle de mélange (1a) pour chaque observation xi, la fonction de vraisemblance s’écrit : L(ψ|X) = N Y i=1 M X j=1 αjp(xi|θj) (3) avec ψ = (α1, . . . , αM , θ1, . . . , θM ). Les paramètres op- timaux sont définis par ψ̂ = arg max ψ N Y i=1 M X j=1 αjp(xi|θj) (4) Equations d’optimalité Afin d’expliciter l’estimateur précédent, on définit la fonc- tion de Lagrange : Φ = N X i=1 log   M X j=1 αjp(xi|θj)  − λ   M X j=1 αj − 1   (5) Par la suite, on utilisera la notation : pi(θj) = p(xi|θj) (6) Les équations d’optimalité de Φ par rapport aux paramètres du modèles s’explicitent : ∂Φ ∂αl = N X i=1 pi(θl) PM j=1 αjpi(θj) − λ = 0, l = 1..M (7a) ∂Φ ∂θl = N X i=1 αj ∂pi(θj) ∂θj PM j=1 αjpi(θj) = 0, l = 1..M (7b) ∂Φ ∂λ = M X j=1 αj − 1 = 0 (7c) Mise à part la valeur de λ qui s’explicite λ = N, la résolution du système (7) est en général délicate du fait du couplage non linéaire entre les différents paramètres des modèles locaux, des paramètres des distributions et des paramètres de mélange. Dans la suite, l’usage de distribution gaussienne permet d’expliciter davantage les équations d’optimalité et de proposer une méthode de résolution hiérarchisée. Cas d’un modèle linéaire dynamique sous hy- pothèse gaussienne Un modèle local à temps discret sera choisi sous la forme ARMA : x(t) + n X i=1 γix(t − i) = n X i=0 δiu(t − i) + e(t) (8) où u est une entrée exogène, e(t) est un bruit blanc de moyenne nulle et d’écat-type σ et où n et m sont les ordres a priori connus du modèle. La prédiction à un pas s’écrit : x̂(t) = φ(t)T θ (9a) φ(t) = −x(t − 1).. − x(t − n) u(t − 1)..u(t − m)  (9b) θ = γ1 .. γn δ1 .. δm  (9c) On considère maintenant un ensemble de M modèles lo- caux fournissant les prédictions : x̂j(t) = φj(t)T θj, j = 1..M auxquelles on associe les erreurs de prédiction : j(t) = x̂j(t) − x(t) Avec l’hypothèse d’une distribution gaussienne des er- reurs de modèle j : p(j|σj) = 1 √ 2πσj exp − 1 2  j σj 2 ! (10) La distribution de x est donc : p(x|θj) = 1 √ 2πσj exp − 1 2  x − ϕT aj σj 2 ! (11) où θj = (aj, σj). Φ = N X i=1 log M X j=1 αj 1 √ 2πσj exp − 1 2 „ xi − ϕT i aj σj «2 ! (12) −λ M X j=1 αj − 1 ! Les équations d’optimalité (7a,7b) par rapport à αj, σj and aj deviennent : N X i=1 pi(θl) PM j=1 αjpi(θj) − N = 0, l = 1..M (13a) N X i=1 αjpi(θj) σ3 j xi − ϕT i aj 2 − σ2 j PM j=1 αjpi(θj) = 0 j = 1..M (13b) N X i=1 αjpi(θj) σ2 j ϕi xi − ϕT i aj  PM j=1 αjpi(θj) = 0 j = 1..M (13c) Pour résoudre ce système, il peut être utile de faire les re- marques suivantes relatives à sa structure. On peut tout d’abord noter que (13b) donne une forme un peu plus ex- plicite de σ : σ2 j = 1 N N X i=1 pi(θj) PM j=1 αjpi(θj) xi − ϕT i aj 2 j = 1..M (14) De plus l’équation (13a), dans le cas où M = 2 peut s’écrire : 1 α + γ1 · · · + 1 α + γN = 0 (15) avec les définitions : α = α1 γi = pi(θ1) pi(θ1) − pi(θ2) La résolution de (15) par rapport à α, à partir d’algorithmes à itération, ne pose pas de problème par- ticulier. Le structure exhibée dans le cas M = 2 s’étend au cas M > 2. Enfin, avec wij = αjpi(θj) σ2 j PM j=1 αjpi(θj) l’équation (13c) s’écrit de façon plus condensée : N X i=1 wijϕj(xi − ϕT i aj) = 0 et dont la résolution par rapport aux coefficients des modèles locaux aj est directe : aj = PN i=1 wijϕixi PN i=1 wijϕiϕT i (16) Finalement, un algorithme à itération directe peut être utilisé pour la résolution de (10) : Initialisation : choisir (αj, σj, aj), j = 1..M, Mettre à jour les écart-types σj(14) Mettre à jour les probabilitési(θj), i = 1..N, j = 1..M Mettre à jour les paramètres αj de mélange(15) Mettre à jour les paramètres aj des modèles locaux(16). Tester la convergence des paramètres RESULTATS Un système à deux modèles locaux a été simulé. L’entrée et la sortie sont représentées à la figure 1. La commuta- tion du mode 1 au mode 2 se fait avec une période de 1, la commutation du mode 2 au mode 1 avec une période de 2. La figure 2 indique l’évolution du système dans l’espace d’état ; aucune particularité de commutation n’apparaı̂t vi- suellement sur cette figure. yt+2 = ajyt+1 + bjyt + cjut (17)  j = 1 a1 = 1.2 b1 = −0.9 c1 = 0.2 j = 2 a2 = .25 b2 = −.75 c2 = 0.1 A partir des mesures de l’entrée et de la sortie, les deux modèles locaux ont été parfaitement identifiés (ta- ble 2), les valeurs initiales choisies pour les paramètres des modèles (et issues d’un tirage aléatoire) étant sensi- blement différentes des valeurs vraies. La convergence est obtenue en une dizaine d’itération (figure 4). La figure 3 compare les commutations réelles et celles qui ont été identifiées. Dans le cas de mesures bruitées, l’estimation des paramètres des modèles locaux reste correcte, celle des instants de commutation devient par contre erronée. Pour le même système que précédemment, mais avec des com- mutations à plus basse fréquence et un bruit d’écart-type 0.01 la figure 5 indique les commutations vraies et es- timées montrant ainsi les défauts d’estimation. En dépit des défauts d’estimation des instants de commutation, et bien que les paramètres des modèles locaux aient été cor- rectement identifiés, on peut penser qu’une contrainte ad- ditionnelle sur la répartition des fréquences de commuta- tion puisse améliorer l’estimation. En effet, si l’on impose une durée minimale entre deux commutations, c’est-à-dire un temps de séjour minimal dans un mode de fonction- nement, un filtrage des commutations semble réalisable. par. a1 b1 c1 a2 b2 c2 vrai 0.800 -0.100 0.250 -0.750 0.500 -0.400 init. -0.208 1.208 -0.098 1.098 -0.466 1.466 est. 0.800 -0.100 0.250 -0.750 0.500 -0.400 Table 2: Paramètres 0 20 40 60 80 100 -1 0 1 Input 0 20 40 60 80 100 -1 0 1 Output 0 20 40 60 80 100 -1 0 1 Estimated output Figure 1: Entrée, sortie, sortie estimée -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o Figure 2: Espace d’état DISCUSSIONS ET EXTENSIONS FUTURES Bien qu’élaborée pour une classe particulière de systèmes dynamiques à commutation, la procédure proposée permet de déterminer les instants de commutation c’est-à-dire les instants de changement de régime si l’on s’intéresse au problème de surveillance. Il faut noter que le modèle du système n’est pas a priori connu et que la procédure estime de façon simultanée les paramètres 50 100 0 0.5 1 Estimated switches 50 100 0 0.5 1 True switches Figure 3: Signal de commutations réelles et estimées 0 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 5 10 15 20 -0.75 -0.7 -0.65 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 5 10 15 20 0.1 0.12 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 5 10 15 20 1 1.2 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 5 10 15 20 -0.8 -0.75 -0.7 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 5 10 15 20 0.15 0.2 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Figure 4: Vitesse de convergence des paramètres es- timés 50 100 0 0.5 1 Estimated switches 50 100 0 0.5 1 True switches Figure 5: Signal de commutations réelles et estimées des modèles et les instants de commutation. Ce résultat est obtenu en s’appuyant sur quelques hypothèses qu’il convient de discuter. La première concerne le nombre a priori imposé de modes de fonctionnement, ce qui fixe ainsi le nombre de modèles locaux. C’est une hypothèse assez forte dans le cas de systèmes à comportement mal connus. Une solution envisageable est l’utilisation d’un nombre a priori grand de modèles locaux. Les premiers essais effectués dans ce sens montre qu’il est possible de déterminer ensuite les modèles voisins vis-à-vis d’un indice de similarité puis d’agréger ces modèles. La recherche du nombre de modèles locaux pourrait donc être déterminée de façon heuristique. La deuxième hypothèse concerne l’ordre des modèles locaux. Elle paraı̂t assez peu contraignante, car il reste possible d’utiliser des méthodes existantes de recherche d’ordre de modèle par exemple en se basant sur des critères de type Akaike. La troisième hypothèse est celle de la distribution des erreurs de mesure. Tout d’abord, en ce qui concerne la loi utilisée ici (distribution normale), elle peut être remise en cause facilement, la procédure d’estimation développée ici pouvant s’adapter à d’autres distributions continues. Ce qui semble plus contraignant est sans doute le rapport signal à bruit. Les essais effectués montrent en effet une grande sensibilité du bruit vis-àvis de l’estimation des instants de commutation et notamment à fréquence élevée de commutation ; ce constat est compréhensible car une erreur de mesure même de faible amplitude peut provo- quer un franchissement de la surface de commutation, mais il conviendra sans doute d’améliorer la technique d’estimation peut être en remettant en cause l’utilisation du modèle prédictif à un pas au profit d’un modèle à erreur de sortie. De plus, une connaissance a priori de la distribution des fréquences de commutation pourrait être introduite. Enfin, il semble envisageable d’identifier les paramètres de la loi de commutation lorsque celle-ci dépend de vari- ables propres du système (entrée ou sortie). En effet, comme la procédure proposée identifie la séquence de commutation, un modèle explicatif vis-à-vis des mesures disponibles peut être recherché ; les premiers essais ef- fectués dans ce sens confirment cette possibilité sous réserve de connaissance a priori de la classe des fonc- tions de commutation à utiliser ! Enfin, pour poursuivre ce travail, il conviendra de comparer l’approche proposée à celles existantes ; la récente publication de Juloski [10] peut constituer une base de comparaison. References [1] A. Bemporad, J. Roll and L. Ljung. Identification of hybrid systems via mixed-integer programming. 40th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 786-792, 2001. [2] L. Breiman. Hinging hyperplanes for regression, classification and function approximation. IEEE Transactions on Information Theory, 39 (3), pp. 999- 1013, 1993. [3] A.P. Dempster, N. M. Laird and D. B. Rubin. Max- imum likelihood from incomplete data via the EM algorithm”, J. Royal Statistical Society, Series B 39, pp. 1-38, 1977. [4] Z. Ding and L. Hong. An interactive multiple model algorithm with a switching markov chain. Math. Comput. Modelling, 25 (1), pp. 1-9, 1997. [5] G. Ferrari-Trecate, Muselli M., D. Liberati, M. Morari. Identification of piecewise affine and hybrid systems. Proceedings of the american control con- ference, pp. 3521-3526, 2001. [6] G. Gasso, G. Mourot and J. Ragot. Structure identifi- cation in multiple model representation: elimination and merging of local models. IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, Floride, 2001. [7] S.M. Goldfeld, R.E. Quandt. A Markov model for switching regression. Journal of econometrics, 1, pp. 3-16, 1973. [8] D.J. Hudson. Finding segmented curves whose join points have to be estimated. Journal of the american statistical association, 61, pp. 1097-1129, 1966. [9] A. Juloski, W.P.M.H Heemels, G. Ferrari-Trecate. Identification of an industrial hybrid system. IFAC ADHS2003, 16-18 June, Saint-Malo, France. [10] A. Juloski, W.P.M.H. Heemels, G. Ferrari-Trecate, R. Vidal, S. Paoletti, J.H.G.Niessen. Comparison of four procedures for the identification of hybrid systemps. Hybrid System Computation and Control, Zurich, may 9-11, 2005. [11] McLachlan, G.J., Ng, S.K., and Peel, D. (2003). On clustering by mixture models. In Studies in Classifi- cation, Data Analysis, and Knowledge Organization: Exploratory Data Analysis in Empirical Research, O. Opitz and M. Schwaiger (Eds.). Berlin: Springer- Verlag, pp. 141-148. [12] Lee J.H. Non stationnary Markov switching models of exchange rates, the pound-dollar exchange rate. Dissertation, University of Pensilvania, 1991. [13] L. Mihaylova, V. Lampaert, H. Bruyninckx and J., Sweters. Hysteresis functions identification by multiple model approach. International Conference MFI, Baden-Baden, 2001. [14] E. Münz, T. Hodrus and V. Krebs. Top-down iden- tification of hybrid characteristic maps. Conference on analysis and design of hybrid systems, pp. 34-39, Saint-Malo, France, June 16-18, 2003. [15] R. Murray-Smith and T.A. Johansen, Multiple model approach in modelling and control, Taylor and Fran- cis, 1997. [16] D. Pearson, J. Ragot. Identifying parameters of lo- cal switching models: a geometrical approach. 11th International Workshop on Systems, Signals and Im- age Processing, 2004 [17] K. Plarre. A piecewise linear approximation of con- tinuous functions and application to control. Final project ECE 417, 17 p., 2000. [18] P. Pucar and J. Sjöberg. On the hinge finding algo- rithm for higing hyperplanes. IEEE Transactions of Information Theory, 44 (3), pp. 1310-1319, 1998. [19] R.E. Quandt. The estimation of the parameters of a linear regression system obeying two separate regimes. Journal of the american statistical associa- tion, pp. 873-880, 1958. [20] J. Ragot, A. Hocine, D. Maquin. Parameter estima- tion of switching systems. International Conference on Computational Intelligence for Modelling Con- trol and Automation, 2004. [21] J. Ragot, D. Maquin and M. Pekpe. Signal segmenta- tion and data classification. 10th International Work- shop on Systems, Signals and Image Processing, September 10-11, Prague, 2003. [22] J. Ragot, D. Maquin and E. Domlan. Switching time estimation of piecewise linear systems. Application to diagnosis. Safeprocess, 2003. [23] J. Roll. Robust verification and identification of piecewise affine systems. Thesis N 899, Linköping, 2001. [24] V. Verdult and M. Verhaegen. Identification of a weighted combination of multivariable local lin- ear state-space sysems from input and output data. 40th IEEE Conference on Decision and Control, pp. 4760-4765, 2001. [25] J.R. Yu, G.H. Tzeng and H.L. Li. General fuzzy piecewise regression analysis with automatic change point detection. Fuzzy Sets and Systems, 119, pp. 247-257, 2001.