Une Méthode pour l’Estimation d’État Pour une Classe de SDH

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-3:20009
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Une Méthode pour l’Estimation d’État Pour une Classe de SDH

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Une Méthode pour l’Estimation d’État Pour une Classe de SDH A.Birouche, J.Daafouz, C.Iung Centre de recherche en automatique de Nancy CRAN - UMR 7039 INPL - ENSEM, 2 avenue de la Forêt de Haye 54501 Vandoeuvre lès Nancy, France {Abderazik.Birouche, Jamal.Daafouz, Claude.Iung}@ensem.inpl-nancy.fr RÉSUMÉ Dans cet article, nous considérons une classe des sys- tèmes linéaires par morceaux en temps discret com- posés par un ensembles de sous-systèmes linéaires en temps discret LTI avec des commutations auto- nomes. Le but est de reconstruire la loi de commuta- tion à partir des sorties du système. On montre que si la condition de temps de séjours minimum dans chaque mode est respectée, on peut exprimer la loi de commutation comme combinaison linéaire des échan- tillons de sortie du système. La méthode proposée est illustrée dans un schéma hybride d’observation cor- respondant à une combinaison de la construction de loi de commutation et d’un observateur linéaire par morceaux. MOTS CLÉS : Système dynamique hybrides, Sys- tèmes linéaires à commutation, Systèmes affines par morceaux, Synthèse d’observateur. ABSTRACT In this paper we consider a class of discrete time piecewise linear systems composed by linear discrete time LTI subsystems with autonomous switching. The aim is to reconstruct the switching law from the system output. It is shown that under conditions re- lated to minimum dwell time of each mode, one can express the switching law as a linear combination of the system output samples. The proposed method is illustrated in a hybrid observation scheme correspon- ding to a combination of the reconstructed switching law and a piecewise linear observer. KEYWORDS : Hybrid systems, Switched linear sys- tems, Piecewise affines hybrid systems, Observer de- sign. INTRODUCTION Les systèmes dynamiques hybrides (SDH) font in- tervenir explicitement et simultanément des phéno- mènes continus et événementiels. C’est une collabo- ration de deux sous modèles, le premier décrit l’as- pect événementiel, qu’on appellera partie discrète, et le deuxième est formalisé par des équations d’état, qu’on appellera partie continue. Un SDH est défini à chaque instant par la paire (q, x) appelée vecteur d’état hybride, c’est l’association d’une situation q et d’une valeur de d’état x. L’estimation d’état pour un SDH revient à identifier la situation courante et donner une estimation pour le vecteur d’état continu, c’est à dire fournir une estimation du vecteur d’état hybride (b q, b x). Pour les systèmes dynamiques hy- brides modélisés par un automate hybride, une mé- thode a été proposée dans [1]. Le schéma d’obser- vation proposé se compose de deux parties : un ob- servateur discret, basé sur la théorie des systèmes à événements discrets, et un observateur continu, basé sur la théorie classique des observateurs. Le premier identifie l’état discret du système hybride, alors que le deuxième produit une estimation de l’évolution de l’état continu du système hybride. Pour la classe des systèmes hybrides linéaires par morceaux (PWA), beaucoup de travaux ont été réalisés ces dernières an- nées [2], [3], [4]. Sous l’hypothèse de la connaissance de l’état discret du système, un résultat intéressant a été obtenu dans [5] pour le problème de synthèse d’observateur pour les systèmes hybrides PWA. Un résultat récent concernant l’estimation à horizon glis- sant est développé dans [6], ce résultat permet de s’affranchir de la connaissance de l’état discret du système. La technique d’estimation repose sur la mi- nimisation d’un critère mettant en jeu les données de la sortie continue sur un horizon glissant. Dans ce papier, on s’intéresse à la synthèse d’observateur pour la classe des systèmes hybrides affines par mor- ceaux, où les commutations dépendent de la valeur du vecteur d’état. Nous présentons, dans un premier temps, une méthode pour la détection des instants de commutation et l’identification de l’état discret. Cette méthode est la transposition en temps discret de l’idée introduite dans [7]. On montre qu’il existe des différences entre le cas temps continu et le cas temps discret et on propose une solution pour tenir compte de ces spécificités. L’observateur continu est basé sur la technique d’observateur commuté déve- loppée dans [5]. L’identification de l’état discret per- met alors d’attribuer en-ligne le gain de l’observateur correspondant. Nous terminons par un exemple illus- tratif et une conclusion. POSITION DU PROBLÈME Considérons la classe des systèmes dynamiques hy- brides en temps discret décrits par l’équation sui- vante : ½ x(k + 1) = Aix(k) + Biu(k) si Hx(k) ∈ [ai, ai+1] y(k) = Cix(k) pour i = 1, ..., s (1) Chaque paire de matrices (Ai, Bi, Ci pour i = 1, ..., s) caractérise la dynamique du système dans une région de l’espace d’état, qu’on appellera sous- système, s est le nombre de région. H est de di- mension 1 × n. La loi de commutation Hx(k) défi- nie une partition de l’espace d’état où les différentes régions sont séparées par des hyper-plans de type Hx(k) = ai, avec ai ∈ R et a1 < a2 < ... < as. Dans ce papier, on souhaite construire un observa- teur hybride qui fournit une évaluation de mode en cours d’évolution b q(k), et une estimation du vecteur d’état b x(k), pour cela l’observateur hybride que nous proposons se compose de deux parties observateur discret et observateur continu comme indiqué sur la figure (1). L’observateur discret reçoit comme en- trées les données entrées/sorties continue sur un ho- rizon µ, (y(k), u(k), k = 1, ..., µ) et il a comme sortie i ∈ {1, 2, ..., s}. Sa tâche est de fournir b q une évalua- tion de l’état discret q du système hybride. Cette in- formation est utilisée par l’observateur continu pour construire b x l’évaluation du vecteur d’état continu tout en garantissant sa convergence vers le vecteur d’état x de façon classique. Les deux parties de l’ob- servateur sont décrites dans les sections suivantes. Fig. 1 – Structure de l’observateur hybride proposé OBSERVATEUR DISCRET Dans cette section, on propose une méthode pour la détection des instants de commutation et d’identi- fication du mode en cours d’évolution en analysant les données entrées/sorties sur un horizon de temps. Dans un premier temps, nous limiterons notre étude à les systèmes sans entrée. Dans la prochaine section nous généraliserons la méthode pour les systèmes avec entrée. On s’interesse à la classe des systèmes à commutation décrits par l’ équation suivante : ½ x(k + 1) = Aix(k) y(k) = Cix(k) si Hx(k) ∈ [ai, ai+1] i = 1, ..., s (2) On suppose que tous les sous-systèmes sont obser- vables, c’est à dire les matrices : Oi =      Ci CiAi . . . CiAn−1 i      , pour 1 ≤ i ≤ s sont de rang plein. Les instants de commutation sont déterminés par la valeur de la quantité Hx(k). Si on arrive à exprimer cette dernière, on peut facilement détecter lequel des sous-systèmes est en cours d’évo- lution. Vu qu’on dispose uniquement des sorties y(k) sur un horizon fini, l’idée la plus simple est d’ex- primer Hx(k) en fonction de ces sorties disponibles. L’idée présentée dans [7] en temps continu, consiste à écrire Hx(t) comme une combinaison linéaire de la sortie y(t) et de ses dérivées successives. La transpo- sition en temps discret revient à écrire Hx(k) comme une combinaison linéaire des sorties y(k) prises sur un horizon N. La relation entre les sorties et la loi de commutation s’écrit comme : Hx (k) = N−1 X j=0 αjy(k + j) (3) où le vecteur des cœfficients de pondération α = £ α0 α1 · · · αN−1 ¤ Il existe une différence importante entre les deux cas (continu et discret). Dans le cas continu, le calcul des dérivées successives y(n) , n = 1, ..., N met en jeu toujours le même mode, par contre dans le cas temps discret les échantillons y(k+i), i = 1, ..., N ne corres- pondent pas nécessairement au même mode. En ef- fet, si les mesures sont effectuées sur un même mode (exemple i), on a : [Hx(k)]i = N−1 X j=0 αi jCiAj i x(k) Cette relation donne s valeurs différentes de Hx(k) et ne permet pas de conclure. Si par contre la quan- tité Hx(k) est identique pour tous les sous-systèmes, le mode actif peut être déterminé facilement. Cette quantité sera identique si les vecteurs cœfficients de pondération αi = £ αi 0 αi 1 · · · αi N−1 ¤ sont identiques pour tous les sous-systèmes : α1 = α2 = ... = αs = αc L’expression H s’écrit alors sous la forme : H = n−1 X j=0 αc jC1Aj 1 = n−1 X j=0 αc jC2Aj 2 = · · · = n−1 X j=0 αc jCsAj s (4) Dans ce cas, les cœfficients peuvent être calculés de façon similaire au cas temps continu développé dans [7]. MÉTHODE DE CALCUL DES COEFFICIENTS αc On associe au système (2), la matrice suivante (ap- pelée matrice jointe d’observabilité étendue) : G =       C1 C2 ... Cs C1A1 C2A2 ... CsAs ... ... ... ... C1Ak 1 C2Ak 2 ... CsAk s ... ... ... ...       (5) L’indice global d’observabilité est défini par µ = rang(G) On défini aussi la matrice Gµ (matrice jointe d’ob- servabilité) [8] : Gµ =     C1 C2 ... Cs C1A1 C2A2 ... CsAs ... ... ... ... C1Aµ−1 1 C2Aµ−1 2 ... CsAµ−1 s     (6) De l’équation (4), H est une combinaison linéaire des lignes de la matrice GT µ , donc : rang ¡£ GT µ hT ¤¢ = µ avec h = ( H H ... H | {z } s fois ) A partir de maintenant, on considère un horizon de taille µ au lieu de N. Les cœfficients αc = £ αc 0 αc 2 · · · αc µ−1 ¤ sont obtenus par la résolution de l’équation algé- brique linéaire suivante : GT µ     αc 0 αc 1 ... αc µ−1     = hT (7) La quantité [Hx(k)]αc (mesurée par la pondéra- tion des sorties y(k) avec les cœfficients αc ) s’écrit comme : [Hx (k)]αc = µ−1 X j=0 αc jy (k + j) (8) Rappelons que cette relation n’est valable que si les µ échantillons y(k) proviennent du même mode. Cela signifie que µ peut être considéré comme le temps de séjours minimum dans chaque mode. Pour illustrer ce fait, considérons un système à commutation du type (2) où la dynamique du système est gouvernée par les matrices : A1 = · 0 1 −1.05 1 ¸ , C1 = £ 1 1 ¤ 1 4 7 10 13 −6 −4 −2 0 2 4 6 k [Hx(k)] r / [Hxtk)] α c [Hx(k)]r [Hx(k)]α c 2 4 6 8 10 12 14 0.5 1 1.5 2 2.5 k mode (k) Fig. 2 – La quantité Hx(k)r réelle et la quantité [Hx(k)]αc mesurée (en haut) et l’indice du mode (en bas) A2 = · 0 1 2 0 ¸ , C2 = £ 0 1 ¤ Pour H = £ 1 0 ¤ , on trouve µ = 4. Sur la figure (2), on trace l’allure de la courbe Hx(k)r (la vrai valeur de Hx(k)) et la courbe [Hx(k)]αc . Sur cet exemple, on remarque un transitoire de µ échantillons lors de la commutation d’un mode vers un autre où Hx(k)r 6= [Hx(k)]αc . Ce transitoire est dû à la mesure de Hx(k) avec des échantillons pro- venants de deux modes différents. En effet, lors de la commutation, Hx(k) est mesurée avec (µ−1) échan- tillons du mode 1 (mode avant commutation), et un échantillon du mode 2 (mode après commutation). Si cette valeur de Hx(k) n’appartient pas à l’inter- valle [ai, ai+1], on détecte l’instant de commutation. Dans le cas contraire, il y a une ambiguı̈té dans la dé- tection de l’instant de commutation. Rappelons qu’il s’agit là d’une spécificité du cas temps discret et que cette situation ne se produit pas dans le cas temps continu. SOLUTION PROPOSÉE Pour enlever cette ambiguı̈té, on propose d’attribuer à chaque sous-système des cœfficients différents αi = £ αi 0 αi 1 · · · αi µ−1 ¤ L’équation suivante nous donne les cœfficients pour un mode i : H = n−1 X j=0 αi jCiAj i (9) La solution proposée consiste à comparer la quantité [Hx(k)]αc , calculée avec les cœfficients αc communs, avec les quantités : [Hx(k)]αi = µ−1 X j=0 αi jy(k + j), pouri = 1, ..., s (10) calculées avec des cœfficients αi différents (9). Les modes estimés, désignés par b q, et les instants de com- mutation tc sont donnés par la relation suivante : ½ Si [Hx (k)]αc = [Hx (k)]αi , b qk = i Sinon commutation tc = k + µ − 1 (11) Pour détecter le mode, on utilise les sorties dispo- nibles sur un horizon de taille µ. Hx(k) est calculé avec αc et αi , i = 1, ..., s, par une simple comparaison (11), on décide lequel des sous-systèmes est en cours d’évolution et on détecte l’instant de commutation. Sur l’intervalle [k, k + tc], la mesure des quantités [Hx(k)]αc et [Hx(k)]αi est inutile car elles sont mesu- rées avec des échantillons provenants de deux modes différents. Le mode estimé sur l’intervalle [k, k + tc] est forcément égale à l’estimé du mode à l’instant k − 1, car la véracité de la condition [Hx(k)]αc = [Hx(k)]αi confirme que les prochains µ échantillons proviennent bien d’un même mode, donc : b q(t) = b q(k − 1) pour t = k, ..., k + µ − 1 Pour éviter un calcul inutile, on propose de faire un saut de µ−1 échantillons dès la détection de l’instant de commutation. ALGORITHME.1 On résume dans l’algorithme suivant les différentes étapes pour la mise en œuvre de la méthode de dé- tection de mode. – INITIALISATION – UTILISONS (5) DETERMINER LA VALEUR DE µ ET METTRE k = 0 – POUR i = 1, . . . , s, CALCULER αc EN RÉSOLVANT(7) αi EN RÉSOLVANT(9). – TANT QUE k < T FAIRE : – POUR i = 1, . . . , s CALCULER [Hx(k)]αc EN UTILISANT (8) [Hx(k)]αi EN UTILISANT (10) – SI [Hx(k)]αc = [Hx(k)]αi – b q(k) = i – k = k + 1 – SINON – tc = k + µ − 1 – b q(t) = b q(k − 1) POUR t = k, . . . , k + µ − 1 – k + µ − 1 (SAUT) – FIN DE SI – FIN DE TANT QUE GÉNÉRALISATION POUR LES SYSTÈMES À COMMU- TATION AVEC ENTRÉES Dans cette section, nous allons traiter le cas d’un sys- tème à commutation avec entrée (1). En suivant la même procédure décrite pour les systèmes à commu- tation sans entrée, on mesure une quantité Q, com- binaison linéaire des sorties prises sur un horizon µ : Q = µ−1 X j=0 αjy (k + j) Sous forme vectorielle : Q = αY (12) où α = £ α0 α2 · · · αµ−1 ¤ et Y = £ y(k) y(k + 1) · · · y(k + µ − 1) ¤T Pour chaque mode, nous avons : Y = Oix (k) + ΓiU (13) où Oi est une définie comme : Oi =      Ci CiAi . . . CiAµ−1 i      Γi est une matrice Toeplitz définie par : Γi =       0 · · · · · · 0 CiBi ... ... . . . . . . ... ... . . . CiAµ−2 i Bi · · · CiBi 0       (14) et U = £ u (k) u(k + 1) ... u (k + µ − 1) ¤T On remplace l’équation (13) dans (12), on obtient : Q = αOix (k) + αΓiU Puisque αOi = µ−1 X j=0 αjCiAj i Si α = αc , de l’équation (7), αc Oi = H, alors Q s’écrit : Q = Hx(k) + αc ΓiU L’expression de Hx(k) est donnée par : Hx (k) = αc Y + βc i U (15) où βc i = −αc Γi (16) Pour chaque sous-système, la quantité Hx(k) est ex- primée sous forme d’une combinaison linéaire des sorties et des entrées sur un horizon µ. À cause de l’apparition du terme βc i dans l’équation (15), on mesure s valeurs différentes de Hx(k). Comme pour le cas des systèmes à commutation sans entrée, on peut attribuer des cœfficients αi différents pour chaque sous-système. Pour chaque sous-système, on mesure la quantité Hx(k) de deux manières diffé- rentes, [Hx(k)]αc,βc i et [Hx(k)]αi,βi définis par : ½ [Hx (k)]αc,βc i = αc Y + βc i U [Hx (k)]αi,βi = αi Y + βi U (17) où βi = −αi Γi (18) La relation suivante, nous permet d’identifier les modes b qk et détecter les instants de commutation tc comme suit : ½ Si [Hx (k)]αc,βc i = [Hx (k)]αi,βi alors b qk = i Sinon commutation tc = k + µ − 1 (19) ALGORITHME.2 L’algorithme proposé précédemment peut être uti- lisé en remplaçant la condition (11) par la nouvelle condition (19). – INITIALISATION – UTILISONS (5) DETERMINER LA VALEUR DE µ ET METTRE k = 0. – POUR i = 1, . . . , s, CALCULER αc EN RÉSOLVANT(7) , βc i EN UTILISANT (16) αi EN RÉSOLVANT(9) , βi EN UTILISANT (18). – TANT QUE k < T FAIRE : – POUR i = 1, . . . , s CALCULER [Hx(k)]αc,βc i ET [Hx(k)]αi,βi EN UTILISANT (17) – SI [Hx(k)]αc,βc i = [Hx(k)]αi,βi – b q(k) = i – k = k + 1 – SINON – tc = k + µ − 1 – b q(t) = b q(k − 1) POUR t = k, . . . , k + µ − 1 – k + µ − 1 (SAUT) – FIN DE SI – FIN DE TANT QUE OBSERVATEUR CONTINU L’observateur continu est un système linéaire par morceaux, sa dynamique est régie par l’équation sui- vante : ½ b x(k + 1) = Aib x(k) + Biu(k) + Li(y(k) − b y(k)) b y(k) = Cib x(k) (20) Le problème consiste à calculer le gain Li pour que l’état estimé b x(k) converge vers l’état du système x(k) quelles que soient les conditions initiales, c’est-à-dire : ∀ε0 ∈ Rn lim k→∞ kεkk = 0 (21) où εk = x(k) − b x(k) est l’erreur d’estimation. Ce problème est un problème d’observation de systèmes linéaires par morceaux (ou de systèmes linéaires à commutation). Une approche LMI (Linear Matrix Inequalities) a été développée dans [5]. Cette ap- proche nécessite d’associer un indicateur de région ξk = (ξ1 k, ξ2 k, ..., ξs k)T pour établir une correspondance entre l’état discret qi et le triplet (Ai, Bi, Ci) : ξi k = ½ 1 si Hx(k) ∈ [ai, ai+1] 0 sinon (22) A partir des équations (1) et (20), l’erreur d’estima- tion est de la forme : εk+1 = s X l=1 ξi k(Ai − LiCi)εk (23) La résolution du problème revient à déterminer les gains Li permettant de garantir la stabilité asymp- totique du système polytopique (23). Les conditions établies dans [5] s’appliquent dans ce cas. Cela re- vient à trouver des matrices définies positives Si, des matrices Gi avec i = 1, ..., s telles que : · Gi + G 0 i − Si G 0 iAi − F 0 i Ci A 0 i Gi − C 0 i Fi Sj ¸ > 0 (24) avec j = 1, ..., s. Dans ce cas, les matrices Li sont données par Li = G 0 −1 i F 0 i La stabilité asymptotique est garantie par la fonction de Lyapunov V = ε0 N P l=1 ξi kPiε avec Pi = S−1 i . Cette approche présente l’avantage d’être facilement exploitable. En effet, il suffit de résoudre un problème LMI [9] pour lequel il existe de nombreuses boites à outils efficaces (Lmitool de Matlab, Scilab, Sedumi et l’interface tklmitool). De plus, elle peut être étendue pour prendre en compte des incertitudes de modéli- sation et/ou des perturbations tout en profitant du formalisme LMI. EXEMPLE ILLUSTRATIF Le schéma d’observation proposé est illustré ici, pour un système affine par morceaux où la dynamique est gouvernée par des équations du type (1), avec : A1 = · 0.60 0.44 −0.44 0.60 ¸ , A2 = · 0.87 0.17 −0.17 0.70 ¸ B1 = · 0.40 0.40 ¸ , B2 = · −0.30 0.00 ¸ C1 = £ 1 1 ¤ , C2 = £ 1 −1 ¤ et H = £ 0 1 ¤ la loi de commutation Hx(k) est définie comme : ½ si (0.2 ≤ Hx (k) ≤ 10) , i = 1 sinon, i = 2 Pour ce système µ = 4 et la résolution des équations (7), (9) donne : αc =     −8.9845 27.6426 −31.9959 13.4126     et α1 =     0.2059 0.4323 0.4047 0.2464     T , α2 =     0.9674 0.1315 0.4164 0.7411     T Sur la figure (3), on trace le mode réel (en haut) et le mode estimé (en bas). On remarque que les modes sont parfaitement identifiés. Pour le calcul des gains de l’observateur continu, les 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 0.5 1 1.5 2 2.5 k mode(k) 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 0.5 1 1.5 2 2.5 k mode est (k) Fig. 3 – Mode (en haut) et l’estimé du mode (en bas) LMI (24) sont faisables, on obtient : L1 = · 0.5469 −0.0946 ¸ , L2 = · 0.3500 −0.4382 ¸ Les erreurs d’estimation des deux composantes du vecteur d’état, sont schématisées sur la figure (4). On constate la convergence asymptotique des erreurs d’estimation pour les composantes du vecteur d’état. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Erreur d’estimation k e 1 (k) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 k e 2 (k) Fig. 4 – Erreur d’estimation du vecteur d’état CONCLUSION Dans ce papier, nous avons utilisé une idée dévelop- pée dans le cas temps continu dans [7] pour s’affran- chir de la connaissance du mode actif dans la syn- thèse d’observateur d’état continu pour les systèmes à commutations. L’adaptation au cas temps discret du résultat de [7] n’est pas immédiate et introduit certaines spécificités détaillées dans cet article. Nous avons montré que l’association de cette méthode de détection du mode actif et de la synthèse d’obser- vateurs à commutation par une approche LMI [5] permet de proposer un schéma d’observation (état continu, état discret). L’étude de la robustesse d’un schéma d’observation hybride de ce type est néces- saire et est entrain d’être menée. BIBLIOGRAPHIE 1. Balluchi, A. Benvenuti, L. and Sangiovanni- Vincentelli, A.L. Observers for Hybrid Systems with Continuous State Resets. Proceedings of the 10th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED2002), Lisbon, Portugal, July 2002. 2. Bemporad, A. Ferrari-Trecate, G. and Morari, M. Observability and controllability of piecewise affine and hybrid systems, IEEE Trans. Autom. Contr., vol.45, pp.1864–1876, 2000. 3. Johansson, M. Piecewise linear control systems. 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