Approximation et Identification des Interfaces de Diffusion

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-3:20007
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Approximation et Identification des Interfaces de Diffusion

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Approximation et Identification des Interfaces de Diffusion Amel Benchellal Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle - Poitiers Amel.Benchellal @etu.univ-poitiers.fr Thierry Poinot Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle - Poitiers Thierry.Poinot @esip.univ-poitiers.fr Jean-Claude Trigeassou Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle - Poitiers Jean.Claude.Trigeassou @esip.univ-poitiers.fr RÉSUMÉ Les problèmes de transfert de chaleur obéissent à des phé- nomènes de diffusion. Ceux-ci peuvent être modélisés par l’utilisation de systèmes fractionnaires. La simulation de ces systèmes particuliers est basée sur un intégrateur frac- tionnaire où le phénomène non entier n’intervient que sur un domaine spectral limité. A partir de considérations fré- quentielles, une approximation plus générale du système fractionnaire est proposée dans cette communication. Elle permet de définir un modèle d’état pour la simulation des régimes transitoires et la mise en œuvre d’une procédure d’identification par erreur de sortie. Une application réelle sur un système thermique est présentée pour illustrer les avantages du modèle proposé. ABSTRACT Heat transfer problems obey to diffusion phenomenon. They can be modelled with the help of fractional sys- tems.The simulation of these particular systems is based on a fractional integrator where the non integer behaviour acts only on a limited spectral band. Starting from fre- quential considerations, a more general approximation of the fractional system is proposed in this communication. It makes it possible to define a state model for simulation of transients , and to carry out an output-error technique in order to estimate the pameters of the model. A real ap- plication on a thermal system is presented to illustrate the advantages of the proposed model. MOTS-CLÉS : Systèmes fractionnaires, Opérateur frac- tionnaire, Modélisation, Estimation, Identification, Erreur de sortie, Transfert de chaleur. KEYWORDS : Fractional systems, Fractional operator, Modelling, Estimation, Identification, Output-error, Heat transfer INTRODUCTION Le modèle d’une interface de diffusion est caractérisé par un comportement de type fractionnaire. Concrètement, un tel phénomène se manifeste, dans le cas de la machine asynchrone, au niveau des courants de Foucault dans les barres du rotor [2][3][5][13]. On peut aussi le rencon- trer dans le cas de l’équation de la chaleur entre le flux et la température à l’interface du processus [1][4]. Plu- sieurs solutions ont déjà été développées pour modéliser ce type de système. Dans le but d’améliorer l’approxima- tion de ces interfaces de diffusion par modèle fraction- naire, une solution est proposée dans cette communica- tion, basée sur l’utilisation de l’opérateur d’intégration fractionnaire [6][7][11][14]. L’application de cette modé- lisation est d’abord effectuée en simulation numérique, puis grâce à l’identification d’un système thermique de laboratoire. La communication est organisée selon le plan suivant : Après avoir défini l’interface de diffusion, on justifie son approximation par un modèle fractionnaire et on présente quelques techniques de modélisation . L’intégration frac- tionnaire et son application à la simulation et à l’iden- tification d’un modèle fractionnaire est ensuite rappelée. Le nouveau modèle à deux intégrateurs fractionnaires est alors présenté et testé en simulation. Enfin, une applica- tion sur un pilote thermique permet de valider l’intérêt de ce nouveau modèle fractionnaire. POSITION DU PROBLÈME Diffusion de la chaleur Considérons le problème classique du transfert de chaleur à travers un " mur " [1], c’est à dire un dispositif à géo- métrie monodimonsionnelle (voir figure 1). A R φ(x, t) L x φ(0, t) 0 x L B T(x, t) Figure 1: Transfert de chaleur monodimensionnel La température T(x, t) est considérée uniforme en chaque point du plan parallèle aux faces A et B. φ(x, t) est le flux qui traverse le mur à l’abscisse x. T(x, t) et φ(x, t) sont régis par les équations (1) et (2). ∂T (x, t) ∂t = α ∂2 T (x, t) ∂x2 (1) φ (x, t) = −λ ∂T (x, t) ∂x (2) avec – α : coefficient de diffusivité thermique, – λ : conductivité, – ρ : masse volumique, – c : chaleur massique, et α = λ ρ c Interface de diffusion Les équations (1) et (2) spécifient la relation entre φ(x, t) et T(x, t), considérés respectivement comme l’entrée et la sortie du système lorsque x = 0, ce qui définit l’interface de diffusion. Les conditions aux limites pour les points A et B sont : φ(0, t) = u(t); φ(L, t) = T(L, t) R (3) R est la résistance thermique entre le mur et l’air. Dans notre cas, on considère la température ambiante nulle. En appliquant la transformée de Laplace, le transfert entre T(0, t) et φ(0, t) s’écrit : H (s) = λR p s α + 1 + ¡ λR p s α − 1 ¢ e− s α L2 λ p s α ¡ λR p s α + 1 − ¡ λR p s α − 1 ¢ e− s α L2 ¢ (4) Considèrons le cas où le flux φ(0, t) est un échelon de valeur φ. T (0, s) = H (s) φ s (5) lorsque t → ∞ (équivalent à ω → 0) on obtient : T (0, ∞) = y (∞) = φ × R (6) Le mur se comporte alors comme une résistance ther- mique nulle, et réciproquement, lorsque (t → 0 ou ω → ∞) on obtient : H (s) ' √ α λ s0.5 (7) Aux fréquences infinies (ou de manière équivalente aux temps très faibles) le "mur" se comporte donc comme un système fractionnaire, dont l’ordre n est égal à 1/2. Remarque : ce phénomène n’est pas propre à la diffu- sion de la chaleur, on le retrouve aussi dans le phéno- mène de diffusion des courants induits dans les barres ro- toriques d’une machine asynchrone. Une simulation nu- mérique par éléments finis [5] a permis d’établir la ré- ponse harmonique de ce phénomène (voir figure 2). On vérifie que pour ω → ∞, on retrouve la tendance asymp- totique n = 0.5, caractéristique des phénomènes de dif- fusion. Par contre, la géométrie des barres intervient à fréquence intermédiaire : sur l’exemple retenu, la phase excéde −450 , donc n est supérieur à 0.5 dans la bande de fréquence concernée. Figure 2: Réponses fréquentielles des courants de Foucault dans les barres rotoriques d’une machine asynchrone Approximation des interfaces de diffusion Différentes approches ont été proposées pour modéliser ce phénomène. Une solution a été proposée par Cois [4] ; elle consiste à approcher le phénomène par un modèle fractionnaire, dont les ordres de dérivation sont des mul- tiples entier de n = 0.5 : HN (s) = b0 + b1s0.5 + ..... + bN−1(s0.5 )N−1 a0 + a1s0.5 + ..... + aN−1(s0.5)N−1 + (s0.5)N (8) Après discrétisation du dérivateur non entier [11], HN (s) peut être considéré comme un modèle linéaire par rapport aux paramètres, donc les paramètres an et bn sont alors estimés par moindres carrés. Une autre solution consiste à utiliser la théorie des sys- tèmes diffusifs. Cette approche a été développée par Montseny [10] ; elle consiste à utiliser la représentation diffusive exprimée par l’équation :          ∂x(ξ, t) ∂t = ξx(ξ, t) + u(t) y(t) = Z ∞ 0 u(ξ)x(ξ, t)dξ équivalente par discrétisation à : HN (s) = N X k=1 ck s + ξk (9) En fixant les ξk, il est alors facile d’estimer les ck par moindres carrés. Ces approches permettent d’obtenir un modèle boîte noire capable de reproduire de manière sa- tisfaisante la dynamique du système, mais présentant en même temps plusieurs inconvénients : – nécessité d’un choix a priori, (n = 0.5 ou valeurs des ξk) – nombre élevé de paramètres pour obtenir une estima- tion satisfaisante. Par ailleurs, ces approches fournissent des modèles boîte noire, sans lien direct avec la physique de la diffusion. L’approche par intégrateur fractionnaire La solution adoptée au sein de notre équipe [6][14] consiste à utiliser un modèle fractionnaire du type : Hn(s) = b0 a0 + sn (10) Ce modèle est basé sur l’utilisation d’un intégrateur non entier 1 sn tronqué en fréquence. Dans ce modèle, l’ordre non entier n est ajusté par identification, à partir de données temporelles ; ce n’est donc qu’indirectement qu’il réalise une approximation fréquentielle de l’interface de diffusion. Cette approxi- mation est réalisée au mieux dans un domaine fréquen- tiel correspondant au spectre de l’excitation. Concrète- ment, n estimé est tel que la réponse harmonique s’ajuste en basse et moyenne fréquence. Par contre, ce modèle ne peut pas donner satisfaction pour ω → ∞ si n es- timé est différent de 0.5. Néanmoins, l’intérêt de ce mo- dèle [6][7] est sa capacité à approcher le comportement dynamique des interfaces de diffusion en ne demandant qu’un nombre restreint de paramètres à estimer (parci- monie des paramètres). Cependant, ce modèle ne repré- sente pas la meilleure approximation de la dynamique du système fractionnaire, puisque (θ −→ −n 900 lorsque ω −→ ∞). Dans le but d’améliorer le comportement fréquentiel de ce modèle, et plus particulièrement son comportement en haute fréquence (transitoires rapides), une seconde ap- proche est proposée dans cet article ; elle s’appuie sur le modèle à deux intégrateurs fractionnaires : Hn1,n2 (s) = b0 + b1sn1 a0 + a1sn1 + sn1+n2 (11) En imposant n2 = 0.5 et en ajustant l’ordre n1 et les paramètres b0, b1, a0 et a1, on peut améliorer la capacité d’approximation, à fréquence intermédiaire, en respectant par ailleurs la condition (n −→ 0.5, lorsque ω −→ ∞) puisque (ordre relatif n1 + n2 − n1 = 0.5). MODÉLISATION PAR INTÉGRATION FRACTIONNAIRE Intégrateur fractionnaire[6][7][14] Considérons le diagramme de Bode d’un intégrateur non entier tronqué aux fréquences haute et basse (voir figure 3). b ω h ω ω log b ω h ω ω log θ dB ρ ° × − 90 n ° −90 Figure 3: Courbes de Bode de l’intégrateur fractionnaire Il est composé de trois parties : – La zone intermédiaire correspond à l’effet non entier, caractérisé par n. – Dans les deux autres zones, l’effet intégrateur est conventionnel, avec n = 1. Ainsi est défini l’opérateur In(s) comme un intégrateur conventionnel 1/s, excepté dans la bande limitée [ωb, ωh] où il agit comme 1/sn . L’opérateur In(s) est défini en utilisant un filtre fractionnaire à avance de phase [11] et un intégrateur entier grâce à : In (s) = Gn s N Y i=1 1 + s ω0 i 1 + s ωi (12) Cet opérateur est complètement défini par les relations suivantes : ωi = α ω 0 i, ω 0 i+1 = η ωi, n = 1 − log α log α η (13) où α et η sont les paramètres récursifs reliés à l’ordre non entier n. Selon l’expression (12), la représentation d’état corres- pondante s’écrit : · xI = A∗ I xI + B∗ I u (14) où A∗ I = M−1 I AI et B∗ I = M−1 I BI avec BT I = [Gn 0 · · · 0], MI = 2 6 6 6 6 6 4 1 0 · · · 0 −α 1 . . . . . . ... ... 0 0 · · · −α 1 3 7 7 7 7 7 5 , AI = 2 6 6 6 6 6 4 0 0 · · · 0 ω1 −ω1 . . . . . . ... ... 0 0 · · · ωN −ωN 3 7 7 7 7 7 5 Modèle d’état de Hn(s) Le modèle (10) correspond à une équation différentielle fractionnaire, avec 0 < n < 1 : dn y (t) dtn + a0 y (t) = b0 u (t) (15) On lui associe la représentation d’état suivante [6] : ½ ẋ = Ax + Bu y = CT x (16) où A = A∗ I − a0 BICT I , B = B∗ I , CT = b0 CT I Identification du modèle fractionnaire Hn(s) Le modèle du système fractionnaire obtenu (Hn(s)) est exprimé sous forme continue, il est donc préférable d’uti- liser une technique d’identification du type erreur de sor- tie [8][12] avec minimisation du critère quadratique par Programmation Non Linéaire, bien adaptée au traitement de la non-linéarité dans les paramètres. Le modèle d’état du système d’ordre non entier est : ( · x = A(θ) + B(θ)u y = CT (θ)x (17) avec θT i = £ a0 b0 α ¤ Remarque : l’ordre de dérivation fractionnaire n est ca- ractérisé par α, η, ωb, ωh et le nombre N de cellules.En pratique, on impose ωb, ωh et le nombre de cellules ; alors, il suffit d’estimer le coefficient α pour estimer n. On dispose de K couples de données {uk, y∗ k} avec t = kTe (Te : période d’échantillonnage) et où bk est le bruit de sortie. yk ∗ = yk + bk (18) Le modèle d’état étant simulé grâce à une technique d’in- tégration numérique, on obtient ŷk = fk(u, θ̂) où θ̂ est une estimation de θ. La valeur optimale de θ̂ (θopt) est obtenue par minimisation du critère quadratique : J = K X k=1 ε2 k = K X k=1 ³ y∗ k − ŷk(u, θ̂) ´2 (19) Comme ŷ(t) est non linéaire par rapport aux paramètres θ̂, une technique de programmation non linéaire est utilisée pour estimer itérativement θ̂ : θi+1 = θi − n [J00 θθ + λI] −1 J0 θ o θ̂=θi (20) avec : – J0 θ = −2 K P k=1 εkσk,θi : gradient, – J00 θθ ≈ 2 K P k=1 σk,θi σT k,θi : hessien, – λ : paramètre de contrôle, – σk,θi = ∂ŷk ∂θi : fonction de sensibilité de la sortie. Cet algorithme, connu sous le nom d’algorithme de Mar- quardt [9], assure une convergence robuste, même avec une mauvaise initialisation de θ̂. Fondamentalement, cette technique est basée sur le calcul du gradient et du hes- sien, eux mêmes dépendant de l’intégration numérique des fonctions de sensibilité σk,θi [12]. On se référera à [6][14] pour le calcul des fonctions de sensibilité. MODÈLE À DEUX INTÉGRATEURS NON ENTIER Principe L’objectif est d’améliorer l’approximation des interfaces de diffusion grâce aux modèles fractionnaires basés sur l’intégrateur fractionnaire. Le modèle Hn(s) donne une bonne approximation, sauf qu’en transitoire rapide (ω −→ ∞), ce modèle a un comportement asympto- tique du type 1/sn , alors que la modélisation théorique de n’importe quel système diffusif montre un comporte- ment asymptotique du type 1/s0.5 . Par conséquent, une deuxième approche comportant deux intégrateurs (modèle (11)) est proposée. Elle est repré- sentée par le schéma bloc de la figure 4. Sachant que n2 = 0.5, cette approche permet de respecter la condi- tion (n −→ 0.5 lorsque ω −→ ∞), caractéristique des processus diffusifs. In1 (s) −a0 u y In2 (s) b1 b0 −a1 Figure 4: Schéma bloc du modèle Hn1,n2 (s) Modéle d’état de Hn1,n2 (s) La "macro"représentation d’état du modèle Hn1,n2 (s) est donnée par l’équation :    dn1 x1(t) dtn1 = x2 (t) dn2 x2(t) dtn2 = u (t) − a0 x1 (t) − a1 x2 (t) y (t) = b0 x1 (t) + b1 x2 (t) (21) En appliquant les mêmes étapes que pour le modèle (10), on aboutit à la représentation d’état : ẋ =   A∗ I1 B∗ I1 CT I2 −B∗ I2 a0CT I1 A∗ I2 − B∗ I2 a1CT I2   x + · 0 B∗ I2 ¸ u y = £ b0CT I1 b1CT I2 ¤ x sachant que (A∗ I1 , B∗ I1 ) et (A∗ I2 , B∗ I2 ) sont les matrices définissant les deux intégrateurs In1 (s) et In2 (s) respec- tivement, avec CT I1 = CT I2 = £ 0 · · · · · · 1 ¤ Identification du modèle Hn1,n2 (s) L’identification est effectuée par la technique à erreur de sortie, le vecteur paramètre étant défini par : θT i = £ a0 a1 b0 b1 α1 ¤ comme l’ordre n2 est imposé à la valeur 0.5, il suffit d’es- timer l’ordre n1, c’est à dire le coefficient α1. On utilise la procédure d’identification décrite précédemment, mais adaptée au modèle à deux intégrateurs. Remarque : comme dans le cas du modèle Hn(s), les pa- ramètres ωb1 , ωh1 , N1 correspondants à In1 et ωb2 , ωh2 , N2 correspondants à In2 sont imposés. De plus, on im- pose ωb1 = ωb2 , ωh1 = ωh2 et N1 = N2. Exemple simulé On s’est donné pour objectif de vérifier que le modèle à un intégrateur ne peut pas réaliser une bonne approxima- tion fréquentielle sur un domaine large, à la différence du modèle à deux intégrateurs. On a voulu aussi tester l’in- fluence du bruit de sortie sur la qualité de cette approxi- mation. Notre protocole expérimental a donc consisté à simuler un modèle à deux intégrateurs dans le domaine temporel pour créer un fichier de données bruitées, avec un bruit blanc et un rapport signal/bruit = 100. On a alors estimé les deux modèles Hn(s) et Hn1,n2 (s). Les résultats numériques sont reportés dans le tableau 1. Afin de mieux appréhender l’approximation fréquentielle ainsi réalisée, on a tracé les réponses harmoniques du système simulé et des deux modèles estimés (figure 5). Comme prévu, le modèle Hn(s) ne donne satisfaction qu’à basse et moyenne fréquences, ce qui est très visible sur la phase. Le modèle Hn1,n2 (s) permet de retrouver la réponse harmonique initiale, compte-tenu du bruit, et avec des paramètres estimés assez éloignés de ceux du modèle simulé, ce qui signifie certainement que ces valeurs ne sont pas critiques individuellement, c’est par contre leur association qui est pertinente. paramètres exacts Hn(s) Hn1,n2 (s) a0 0.24 0.3218 0.4028 a1 0.23 / 0.8945 b0 0.0016 0.0023 0.0027 b1 0.001 / 0.0013 n1 (n) 0.5 0.7669 0.6927 TAB. 1: −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 Magnitude (dB) 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 −90 −45 0 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Hn1,n2 (s) H(s) Hn(s) Figure 5: Comparaison des modèles estimés APPLICATION À UN PILOTE THERMIQUE Après la validation en simulation du modèle à deux in- tégrateurs, on a voulu vérifier qu’il permettait effective- ment d’améliorer l’approximation temporelle d’une inter- face de diffusion expérimentale. Description Le système expérimental considéré est une sphère de laiton de trois centimètres de rayon (voir figure 6). Un transistor de puissance est placé au centre de la boule afin de générer un flux de chaleur. Un capteur de température est fixé sur la source de chaleur, donc à l’interface du système de diffusion. La boule est placée dans une enceinte où la température d’un fluide en circulation est imposée. L’entrée du système est la puissance fournie par le transistor, tandis que la sortie est la température mesurée par le capteur au centre de la sphère de laiton. Enceinte de Capteur chaleur Flux de température imposée sphère de laiton Transistor de puissance : source de flux de chaleur                                                             Figure 6: Pilote thermique Les valeurs des données d’entrée et de sortie sont mesu- rées par un système d’acquisition de données avec une période d’échantillonnage Te = 1s. On dispose de 2000 couples d’entrée/sortie. Les paramètres a0, a1, b0, b1, n1 ont été estimés par la technique d’identification à erreur de sortie présentée pré- cédemment, le tableau 2 résume les résultats obtenus pour les deux modèles. paramètres Hn(s) Hn1,n2 (s) a0 0.2058 0.0171 a1 / 0.3509 b0 0.0013 1.08 10−4 b1 / 0.022 n1 (n) 0.7736 0.7719 TAB. 2: Le niveau du bruit est relativement important, ce qui donne l’illusion que les deux modèles donnent satisfac- tion. Néanmoins, on peut vérifier que le modéle Hn1,n2 (s) fournit une meilleure approximation temporelle sur toute l’étendue du fichier de points. L’excitation utilisée était relativement pauvre : il est évident qu’avec une excitation plus riche, on pourra encore mieux mettre en évidence les capacités d’approximation du modèle à deux intégrateurs. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Temps(s) Sortie yn1,n2 (t) yn (t) y(t) Figure 7: Comparaison des réponses temporelles des deux modèles à intégrateur fractionnaire CONCLUSION Dans cette communication, nous avons présenté notre contribution à la modélisation et à l’identification des in- terfaces de diffusion par modèle fractionnaire, l’objec- tif recherché étant l’amélioration de l’approximation fré- quentielle. Lors de travaux précédents [2][6][7], la mo- délisation de ces systèmes de diffusion par modèle non entier, à l’aide de l’opérateur d’intégration fractionnaire a montré son efficacité. Une approche théorique montre que le modèle fraction- naire doit être capable de reproduire la caractéristique es- sentielle du phénomène de diffusion (à savoir n = 0.5 lorsque ω −→ ∞) tout en prenant en compte la géomé- trie du phénomène. C’est la réponse harmonique de l’in- terface de diffusion qui pose bien le problème, et tout par- ticulièrement sa phase. La solution proposée dans cette communication consiste à améliorer nos travaux précé- dents grâce à un modèle à deux intégrateurs, l’un étant contraint à la valeur 0.5. Une simulation numérique et une expérimentation sur un pilote thermique ont permis de valider les hypothèses relatives au modèle à deux intégrateurs. Les travaux se poursuivent actuellement sur des systèmes de diffusion traités par simulation numérique et les premiers résultats confirment les travaux présentés dans cette communica- tion. BIBLIOGRAPHIE [1] J.L. Battaglia. 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