COMMANDE PRÉDICTIVE NON-LINÉAIRE -PLATE POUR LES SYSTÈMES DE TÉLÉ-OPÉRATION BILATÉRALE

30/09/2017
Publication e-STA e-STA 2005-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2005-3:20005
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Résumé

COMMANDE PRÉDICTIVE NON-LINÉAIRE -PLATE POUR LES SYSTÈMES DE TÉLÉ-OPÉRATION BILATÉRALE

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	    <date dateType="Created">Sat 30 Sep 2017</date>
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COMMANDE PRÉDICTIVE NON-LINÉAIRE P-PLATE POUR LES SYSTÈMES DE TÉLÉ-OPÉRATION BILATÉRALE Tahar Slama, Didier Aubry, Pierre Vieyres et Frédéric Kratz Laboratoire de Vision et Robotique (UPRES EA 2078) 63, Av. De Lattre de Tassigny, 18000 Bourges, France e-mail : Prenom.Nom@bourges.univ-orleans.fr Résumé : Cet article présente une Commande Prédic- tive Généralisée Retardée (CPGR) par modèle interne pour les systèmes de télé-opération bilatérale en pré- sence d’un environnement extérieur non-linéaire. Dans un premier temps, le concept de P-platitude des systè- mes non-linéaires à retards est utilisé sur le système es- clave global afin de suivre la trajectoire du système maître. Ensuite, la CPGR assure la stabilité du système esclave en dépit des retards de communication, des perturbations ou du retour d'effort. L’originalité de l’approche proposée réside dans une extension de la CPGR grâce à une sortie plate permettant d’intégrer le cas où la trajectoire de référence n'est pas connue a priori (cette difficulté est due au retour d’effort). Les résultats en simulations illustrent les performances du contrôleur polynômial prédictif proposé. Mots clés : Systèmes de télé-opération bilatérale, Commande Prédictive Généralisée Retardée, Com- mande par modèle interne (CMI), Système non-linéaire à retards, P-platitude. I. INTRODUCTION Les systèmes robotisés de télé-opération ont été dévelop- pés afin de permettre à des opérateurs humains d'exécu- ter des tâches précises dans des environnements loin- tains, inconnus ou dangereux. Dans les systèmes de télé- opération bilatérale, les commandes de l'opérateur hu- main, situé au poste maître, sont envoyées, puis exécu- tées à distance par le robot manipulateur situé au niveau du poste esclave. Le robot manipulateur est en contact direct avec l'environnement extérieur, et retourne à l'opé- rateur humain les forces de contact des tâches effectuées à travers le système maître via un joystick par exemple. Il est montré qu’un tel retour d'effort améliore considéra- blement les performances des systèmes de télé-opération. Ces échanges d'information s’effectuent à travers un ré- seau de communication qui induit irrémédiablement des retards de transmission pouvant dégrader les performan- ces voire déstabiliser le système en boucle fermée. Pour surmonter ces difficultés, plusieurs solutions ont été proposées dans la littérature : le cas des retards constants a été traité dans [2] avec une approche par variables d'ondes, l'approche Lyapunov-Krasovski a été utilisée dans [12] avec une commande par placement de pôle. Dans l'article [4], les auteurs ont introduit une commande à mode glissant basée sur une commande à impédance. Un correcteur H¥ basé sur une commande à impédance a été donné dans [6]. Dans [11], une approche dans le do- maine fréquentiel est utilisée pour l’analyse de la stabilité en boucle fermée. Notre approche est basée sur les résultats d’un travail précédent [13] où la stratégie de commande est détermi- née pour les systèmes linéaires à retards avec une CPGR utilisant la sortie P-libre du système esclave. Contraire- ment au travail précédent, l’environnement extérieur est décrit par un modèle non-linéaire afin de retranscrire de grandes déformations ou des contacts complexes plus réalistes par rapport aux applications envisagées : télé- médecine, télé-échographie,... . La loi de commande pro- posée s’élabore en deux étapes : tout d’abord une loi de commande en boucle ouverte basée sur le concept de P- platitude [10] permettant au système esclave global non- linéaire de suivre la trajectoire du système maître, ensuite une stabilisation du système esclave autour de cette tra- jectoire désirée avec une commande prédictive basée sur un modèle en prenant en compte les retards de transmis- sion et le retour d'effort. L’originalité de cette approche réside dans une extension de la CPGR associée à la pla- titude pour inclure le cas où la trajectoire de référence n'est pas connue a priori (cette difficulté étant due au re- tour d’effort). L'article est organisé de la manière suivante : la section 2 présente la formulation du problème et la section 3 dé- veloppe la stratégie de la commande en boucle ouverte basée sur le concept de P-platitude du système esclave global. La section 4 montre la stabilisation du système esclave global autour de la trajectoire de référence par la CPGR. Enfin, les simulations sont reportées en section 5 pour illustrer notre approche pour le contrôle d'un sys- tème de télé-opération bilatérale. II. FORMULATION DU PROBLEME Dans cet article, les systèmes maître et esclave à un degré de liberté sont modélisés par un système linéaire du se- cond ordre (Figure 1) : Figure 1: Les modèles mécaniques du maître et de l'esclave avec l’environnement extérieur. Les systèmes maître et esclave sont décrits de la manière suivante: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . .. sm e h m m m m m m t F t F t x K t x B t x M t - - = + + (1) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . .. t F t u t x K t x B t x M e ms s s s s s s s - - = + + t (2) L’environnement extérieur est décrit par : ) ( ) ( ) ( t x x K t F s s e e ´ = (3) avec ( ) ) /( ) ( ) ( s o e s e x h h k x K - ´ = et h xs < où ) (t xm et ) (t xs sont respectivement les positions du système maître et du robot manipulateur. ) (t Fh est la force exercée par l'opérateur humain, ) (t us est la com- mande à distance du robot manipulateur. + Â Î ) ( ), ( t t ms sm t t sont respectivement les retards de communication du système maître vers le système es- clave et du système esclave vers le système maître. B M , et K représentent respectivement la masse, le coefficient de frottement et la constante de raideur. 0 e k est une constante de raideur et h représente l’épaisseur de l’environnement extérieur au delà de laquelle aucune dé- formation n’est plus possible. Le robot manipulateur est supposé en contact direct avec l'environnement extérieur (voir Figure 1). Ainsi, on considère un modèle global du système esclave qui est décrit par : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . .. ms s s s se s s s s t u t x x K t x B t x M t - = + + (4) avec ) ( ) ( s e s s se x K K x K + = . Le contrôleur à distance commande directement le sys- tème esclave global. L'objectif de cette commande est d'imposer le comportement dynamique du système maître au système esclave global en prenant en compte les re- tards de transmission et le retour d'effort. III. STRATEGIE DE COMMANDE EN BOUCLE OU- VERTE La stratégie de la commande en boucle ouverte est basée sur le concept de P-platitude [10] qui est une extension de la notion de platitude [7] pour les systèmes non- linéaires et de la propriété algébrique de P-liberté [9] pour les systèmes linéaires à retard. Ce concept autorise un paramétrage explicite de toutes les trajectoires par un ensemble de variables, et de leurs dérivées successives, appelées sorties P-plates. Cette loi de commande en boucle ouverte est établie pour le système esclave global (le robot manipulateur et l'environnement extérieur non- linéaire) afin de suivre la trajectoire du système maître. Elle est basée sur la prédiction de la trajectoire du sys- tème maître. Cette stratégie se prête très bien aux systèmes télé- robotisés. En effet, les robots manipulateurs rigides ont un nombre d'actionneurs égal au nombre de variables ar- ticulaires. Les modèles de ce type de systèmes sont in- versibles et expriment le couple d'entrée en fonction des variables articulaires et de leurs dérivées successives. Les robots manipulateurs rigides sont donc des systèmes plats dont les sorties plates sont les variables articulaires. Pour les systèmes de télé-opération bilatérale en présence de retards de communication, nous allons utiliser le con- cept de P-platitude qui permet de caractériser le com- portement dynamique du système à l'aide du comporte- ment dynamique de ses sorties P-plates. Le système esclave global (4) est P-plat avec une sortie P-plate s x . En d’autres termes, tout l’état et l’entrée du système esclave global (4) peuvent être décrits en fonc- tion de la position s x et d’un nombre fini de ses dérivées successives. On obtient ainsi la loi de commande en bou- cle ouverte qui autorise le suivi de la trajectoire désirée ref s x du système esclave global avec m s x x ref = : ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( . .. ms m ms m se ms m s ms m s s t x t x K t x B t x M t u t t t t + ´ + + + + + = (5) Pour la commande en boucle ouverte (5) du système es- clave global, la prédiction de la trajectoire du système maître est nécessaire à l'instant ms t t + . Dans la suite, les retards sont considérés constants et égaux : t t t = = sm ms . Cette hypothèse peut être vérifiée à partir de retards variables ou aléatoires en utilisant des files d'attente du type FIFO (First-In-First-Out). De plus, la force de l'opérateur humain h F est considérée constante sur l’horizon de prédiction et sera remise à jour à chaque période d'échantillonnage. Les simulations numériques présentées en section 5 montreront également que cette hypothèse n’est pas restrictive. Le système linéaire maître (1) est P-libre avec comme base m x (voir [13] pour les systèmes linéaires à retards), d'où : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . .. t F t F t x K t x B t x M e h m m m m m m - + = + + + + + t t t t (6) A partir des hypothèses précédentes, la force extérieure )) ( ( t - t Fe doit être extrapolée à l'instant t pour obtenir la prédiction de la trajectoire du système maître. La sor- tie du modèle interne non retardée est utilisée avec le modèle statique de l’environnement extérieur afin d'éva- luer la force extérieure à l’instant t (voir figure 2). La correction de l’estimation ) ( ˆ t Fe est réalisée à partir du signal d’erreur entre la force extérieure estimée retardée ) ( ˆ t - t Fe et la force extérieure mesurée au niveau du poste esclave ) ( t - t Fe . Ce terme correctif permet de prendre en compte les erreurs de modélisation de l’environnement extérieure et les pertes de contact. Remarque : il est possible, voire préconisé, d’appliquer un filtre passe-bas sur le signal d’erreur afin de rendre l’estimation ) ( ˆ t Fe moins sensible aux erreurs de modéli- sation et aux bruits de mesure. Ainsi, la commande en boucle ouverte (5), qui dépend de la prédiction de m x , permet d’imposer le comportement du système maître au système esclave et de transformer le système esclave global non-linéaire (4) en un système linéaire équivalent composé d’un double intégrateur : ) ( ) ( t t + = + t w t y s s & & (7) où s w est la nouvelle entrée non retardée et s s x y = est la sortie P-plate (cf. figure 2). IV. STABILISATION AVEC UNE COMMANDE PREDIC- TIVE GENERALISEE RETARDEE La commande en boucle ouverte (5) est la commande de référence qui permet d'orienter le système esclave global sur la trajectoire du système maître sans prendre en compte les erreurs de modèle, de prédiction ou les per- turbations. La stabilité du système esclave global autour de la trajectoire désirée sera assurée par une Commande Prédictive Généralisée Retardée (CPGR) telle que pré- sentée dans [8]. La Commande Prédictive Généralisée (CPG), proposée par [5], est basée la minimisation d'une fonction coût quadratique utilisant une séquence de commande future sur un horizon fuyant. La mise en œuvre de la commande prédictive généralisée nécessite une réécriture numérique du système. Une version incrémentale du modèle CA- RIMA (Controlled Auto-Regressive and Integated Mo- ving Average) est couramment utilisé : ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 k z C k u z B k y z A x - - - + - D = D (8) avec ï ï î ï ï í ì + + + = + + + = + + + = - - - - - - - - - - c c b b a a n n n n d n n z c z c z C z b z b b z z B z a z a z A ... 1 ) ( ) ... ( ) ( ... 1 ) ( 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 où ) (k y et ) (k u sont respectivement la sortie et la commande du système, 1 1 1 ) ( - - - = D z z est l'opérateur de différentiation discrète et ) (k x est un bruit blanc gaus- sien. A , B et C sont des polynômes en 1 - z . Le para- mètre N Î d est le retard pur du système. On omettra par la suite les notations 1 - z pour alléger les écritures. Pour les systèmes de télé-opération bilatérale, le retour d'effort modifie la dynamique du système maître, et donc la trajectoire de référence du système esclave n'est pas connue a priori mais dépend implicitement de la com- mande du système esclave via la sortie esclave P-plate s y . Ainsi, le modèle maître peut être écrit en fonction de la commande du système esclave global afin de prendre en compte le retour d'effort et de résoudre le problème de minimisation. Par contre, en utilisant la CPG, le signal de commande ne dépend pas des valeurs des sorties passées. La CPGR permet de surmonter ce point en prenant en compte les valeurs des sorties retardées. En utilisant les notations suivantes : ) ( ) ( t - = k y k y s s ( , ) ( ) ( t x x - = k k s s ( , ) 1 ( ) ( ~ - = k y k y ref ref m m et ) 1 ( ) ( ~ - = k k ref ref m m x x , le modèle li- néaire équivalent esclave (7) et le modèle maître (1) peu- vent être écrits alors sous la forme incrémentale du mo- dèle CARIMA : ) ( ) 1 ( ) ( k C k w B k y A s s s s s se x ( ( + - D = D (9) ) ( ~ ) 1 ( ) ( ~ k C k u B k y A m m m m m m ref x + - D = D (10) avec ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( - - - = - - k F z k F k u e h m t . Les polynômes se A (resp. m A ) et s B (resp. m B ) sont obtenus à partir de la discrétisation de (7) (resp. (1)). La force de l'opérateur h F étant toujours supposée constante, l’équation (10) devient : ) ( ~ ) 1 ( ) ( ~ k C k F z B k y A m m e m m m ref x t + - D - = D - (11) La force extérieure (3) est fonction de la sortie esclave P-plate s y et, par définition de la propriété de P- platitude, dépend implicitement de la commande du sys- teme esclave via cette sortie P-plate s y . Ainsi, le mo- dèle maître (11) peut s'écrire en fonction de la nouvelle entrée du système esclave linéaire équivalent (7), après avoir effectué un développement en série de Taylor de l’environnement extérieur (3) autour de la trajectoire dé- sirée à chaque pas d’échantillonnage : ) 1 )( ( )) 1 ( ( ) 1 ( - - + - = - k y y dy dF k y F k F ref ref m ref m s y s e m e e (12) + termes du second ordre En négligeant les termes du second ordre, on obtient : )) 1 ( ( ) 1 ( ) 1 ( - + - » - k y l k y K k F ref m m s e e (13) avec 2 2 )) 1 ( ( - - ´ = k y h h k K ref m m o e e et )) 1 ( ( - k y l ref m un terme de linéarisation parfaitement connu à l’instant 1 - k . L’équation (11) devient : ) ( ~ ) 1 ( ) 1 ( ) ( ~ k C k l B k y K B k y A m m m s e m m m m ref x t t + - - D - - - D - = D (14) L’expression de ) 1 ( - - D t k ys est déterminée à partir de (9) et elle dépend du bruit à l'instant 1 - -t k . Comme le bruit ) 1 ( - -t x k est, par définition, indépendant des si- gnaux de mesure à l'instant t - k , l'équation (15) est obtenue : ) 2 ( ) 1 ( 1 - D = - - D - k w B A k y s s se s t (15) Alors, le modèle maître dépend de la nouvelle entrée du système linéaire équivalent esclave : ) 1 ( ) ( ~ ) 1 ( ) ( ~ - D - + - D - = D k l D k C k w B k y A sem m sem s sem ref m sem x (16) avec m se sem A A A = , 1 - = z B K B B s m e m sem , m se sem C A C = et t - = z B A D m se sem . La structure de la commande prédictive par modèle in- terne est utilisée pour prendre en compte les erreurs de modélisation du système esclave global (4) et rejeter les perturbations sur la sortie du système esclave. La sortie du système esclave ) (k yp est déterminée à partir de la sortie du modèle et du signal d'erreur, ) ( ) ( ) ( k e k y k y s p + = (cf. figure 2). Cette structure de la CMI est caractéristique d'un contrôleur de type intégra- teur. L'objectif est de déterminer une séquence de commandes futures s W qui minimise l'erreur quadratique entre les prédictions de la sortie future du système maître m y et du système esclave s y . Les prédictions de ces sorties dé- pendent de la sequence de commandes futures due à la prise en compte du retour d’effort. Ainsi, le problème re- vient à minimiser la fonction coût quadratique suivante : ç ç è æ - + D = å = u H w H j j R w s s H j k w k W J 2 ) ( , ) ( 2 1 ) , ( ÷ ÷ ø ö + - + + å = Hp w H j j Q s ref m s p W j k y W j k y 2 ) ( ) , ( ) , ( (17) où w p H H , sont respectivement les horizons de prédic- tion et d'initialisation. u H est l'horizon de commande avec p u H H < et 0 ) ( = + D j k ws , u H j ³ " . 0 ) ( et 0 ) ( ³ ³ j R j Q sont respectivement les éléments diagonaux des matrices de pondération R Q et . s W est une séquence de commandes futures [ ] u H T u s s s H k w k w W Â Î - + D D = ) 1 ( )... ( ( . Les valeurs futures des sorties des systèmes ) ( j y p et , ), ( p m H j j y ref Î sont estimées à partir de l'instant t - k . L'erreur retardée ) ( t - k e et le terme de linéarisa- tion connu ) 1 ( - k l sont considérés constant sur l'horizon de prédiction et ils sont mis à jour à chaque période d'échantillonnage. Pour calculer la prédiction de la sortie ref m y ~ , trois équations de Diophantine doivent être réso- lues : [ ] ) 1 ( ) 1 ( ) ( ~ ) ( ) ( ) 1 ( ˆ ~ 1 1 1 1 1 1 - D - - D - + + D - + D - = + + + + + + + - k l I k w H k y F C j k l J j k w G j k y j j ref j j j ref m s m m m sem m s m m (18) avec ) 1 ( ) ( - = + k l j k l , alors 0 ) ( = + D j k l . où les polynômes j m E , j m F , j m G , j m H , j m J et j m I sont solutions des équations de Diophantine : j j j j j j j j m j m sem sem m m j m sem sem m m j sem m sem I z J C D E H z G C B E F z A E C - - - + = + = + D = (19) Pour la prédiction de la sortie s y ( , on obtient : [ ] ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ˆ 1 k y F k w H C j k w G j k y s s s s s s s s j j j ( ( t t t t t + + + + - D + - + + D = + + - (20) Cette équation vérifie les deux équations de Diophantine suivantes : j j j s j s s s j s s j se j s s H z G C B E F z A E C - - + = + D = (21) Figure 2 : Structure de la CPGR par modèle interne du système de télé-opération bilatérale En substituant ) 1 ( ) ( ~ - = k y k y ref ref m m dans (18) et ) ( ) ( t - = k y k y s s ( dans (20), on obtient bien une prédic- tion à j pas des sorties des systèmes maître et esclave qui permet de résoudre le problème de minimisation de la fonction coût (17). La solution optimale est calculée à chaque période d'échantillonnage. L’horizon d’initialisation w H est supérieur ou égal à t pour obte- nir une concordance avec le système esclave linéaire équivalent en boucle ouverte (7) et il vient : [ ] ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 t t - - - D - - D + - - - - = - - - - - k E k l I C k w H C H C k y F C k y F C K W m sem s s s m sem s s s m m sem opt s ref (22) où )) 1 ( ( 1 ) ( + - ´ - Â Î Q + Q Q = w p u H H H T T opt Q R Q K avec s m G G + = Q , T p H i w H i i F F F ] ... [ = , T p H i w H i i H H H ] ... [ = avec ) , ( s m i = , T p H m w H m m I I I ] ... [ = ) 1 ( )] ( )... ( [ ) ( + - Â Î - - = - w p H H k e k e k E t t t . La stratégie de commande à horizon glissant veut que seule la première valeur de s W soit utilisée. A partir de la séquence de commandes futures optimales (22), les polynômes de la commande prédictive par modèle in- terne sont obtenus avec la structure suivante (cf. figure 2) : ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 t t - - - D - - - - = D - - - - - k e z W k l z X k y z R k y z T k w z D s m opt s ref (23) avec : cpgr sem s m cpgr s s cpgr sem K C C z W F K C z T F K C z R = = = - - - ) ( ) ( ) ( 1 1 1 m cpgr s ms cpgr sem s I K C z X H K C C z D = + = - - ) ( ) ( 1 1 où cpgr s sem m s ms K z H C H C H et ) ( 1 - + = est la pre- mière ligne de la matrice opt K . Cette structure particulière de la commande prédictive généralisée retardée synthétise une loi de commande sous forme polynômiale équivalente à l’aide des polynômes W X T D R , , , , . On remarquera que le polynôme ) ( 1 - z T ne renferme pas une structure non causale de la forme ) (z T généralement inhérente à la commande prédictive polynômiale, dans la mesure où la trajectoire de réfé- rence n'est pas connue a priori à cause du retour d’effort. A partir du système esclave (9) et de la commande en boucle fermée (23), le système esclave en boucle fermée est obtenu : ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 k e z Rz B A D Wz B k l z Rz B A D Xz B k z Rz B A D z DC k y z Rz B A D Tz B k y s se s s se s s s se s m s se s s ref t t t t t t x - - + - - - - - - - - - - + - - D + - + + - + = ) ) ) ) (24) où D = se se A A ) Ainsi l’équation caractéristique est donnée par : 0 ) ( 1 = + - - t z Rz B A D s se ) (25) avec 1 ) ( - + + = z H C H C K C C D s sem m s cpgr sem s et s cpgr sem F K C R = . En tirant s F et s H de (21), l’équation caractéristique (25) peut s’écrire sous la forme suivante : 0 = sem C s P C (26) avec : ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + - + = - = - = - å å 1 1 ) ( j H H j cpgr sem s se s j sem m H H j cpgr se sem c z k C B A z G z C H k A C z P p w j j j p w j sem ) ) t Ainsi, la fonction de transfert du système esclave en bou- cle fermée (24) devient : ( ) ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )) 1 ( ( 1 k e z k P C B k P Dz k l I k y F k P z B k y p w j sem sem p w j ref j j sem H H j j cpgr c sem s s c H H j m m m cpgr c s s å å = + - - = - - + - D - - = t t x (27) Nous pouvons aisément vérifier que le polynôme de transfert caractéristique des perturbations ) ( 1 - z Cs du système esclave est simplifié et n’a aucune influence sur la fonction transfert du système esclave en boucle fermée entre la sortie et la trajectoire de référence (cf eq. (27)), la stabilité et les performances de notre stratégie de commande dépendent donc des racines du polynôme sem c P . Ainsi, les racines du polynôme sem c P sont bien liées aux paramètres classiques w H , u H , p H , ) ( j Q et ) ( j R de la commande prédictive mais aussi à un nou- veau paramètre de réglage m se sem C A C = (où ) ( 1 - z Ase est fixe). Ce nouveau paramètre de réglage sem C est introduit par la structure particulière de notre commande prédictive généralisée retardée qui prend en compte le retour d’effort (la trajectoire de référence n'est pas connue a priori). Ce dernier polynôme doit être sta- ble, mais il est très difficile d’établir un lien clair entre son influence sur le système et son réglage. Ce polynôme sem C a notamment un impact important sur la robustesse et le rejet des perturbations. Par contre, les polynômes s C et sem C apparaissent dans la fonction transfert du système esclave en boucle fermée entre la sortie et la perturbation (cf eq. (27)). A partir des équations (18) et (20), ces derniers peuvent être traités comme des filtres atténuant les erreurs de prédiction cau- sées par les erreurs de modèle et ce particulièrement en hautes fréquences. En d’autres termes, s C et sem C sont des paramètres qui peuvent influencer la robustesse de notre stratégie de commande mais il reste non trivial de les définir [3]. En adoptant des choix appropriés des longueurs des ho- rizons u w p H H H , , et des matrices de pondération R Q, dans la CPGR, nous obtenons un excellent suivi de tra- jectoire du maître par le système esclave global. Cette propriété va être illustrée par quelques résultats de si- mulations. V. RESULTATS DES SIMULATIONS Dans les simulations proposées, les paramètres du sys- tème maître, du système esclave et de l’environnement extérieur sont : m N B m N B kg M kg M s m s m 5 . 2 5 . 2 5 , 2 5 , 1 = = = = cm h m N K m N K m N K o e s m 5 , 4 5 . 1 5 . 0 8 = = = = Les systèmes sont discrétisés avec une période d’échantillonnage ms Ts 50 = , les retards de transmission sont s sm ms 1 = =t t et les conditions initiales sont nulles. Les polynômes s m C C , sont choisis égaux à 1 pour sim- plifier l’algorithme. Différentes simulations sont considé- rées pour illustrer les performances et la robustesse de la CPGR proposée. Les paramètres de la CPGR ont été choisis afin de concevoir un contrôleur robuste ( GM : marge de gain (db) et M F : marge de phase (degrés)) : w H u H p H ) ( j Q ) ( j R GM M F 45 46 52 1 7322 9 42 Tableau 1 : Choix des paramètres de la CPGR Dans la simulation 1, la réponse du système de télé- opération bilatérale résultante est présentée dans la figure 3. La simulation montre l’efficacité du contrôleur pour le suivi de trajectoire du système maître. L’hypothèse sur la force de l’opérateur de l’opérateur humain ( h F constant) n’est pas restrictive puisque nous avons un bon suivi de trajectoire en dépit d’une force h F non constante. Nous avons introduit dans la simulation 2 (cf. figure 4) des erreurs de % 30 sur le modèle et sur les retards : nous notons que le système esclave tend à suivre la trajectoire du maître. Une perturbation statique de 1 cm est ajoutée à la sortie du système esclave à t = 17,5 secondes. La compensation des erreurs de modèle et le rejet de la perturbation statique sont effectuées par la CPGR. Par contre, la force prédite ) ( ˆ t Fe peut se distordre avec des erreurs importantes sur les retards. Figure 3 : Simulation 1 de la CPGR Figure 4 : Simulation 2 de la CPGR VI. CONCLUSION Une Commande Prédictive Généralisée Retardée en utili- sant une sortie P-plate du système esclave a été proposée pour la commande des systèmes de télé-opération bilaté- rale avec un environnement extérieur non-linéaire. Notre approche réside dans une extension de la CPGR grâce à une sortie P-plate qui inclus le cas où la trajectoire de ré- férence n'est pas connue a priori due par exemple au re- tour d’effort. Le concept de P-platitude et la CPGR per- mettent d’assurer d’excellentes performances en dépit des retards de communication et du retour d’effort. Une étude sur la stabilité du système et sur la robustesse en termes d’incertitudes, fait partie de nos futurs travaux. Cette étude se rapportera aussi sur l’éventuel réglage du nouveau paramètre sem C dans notre CPGR P-plate. Une application de notre approche sur un robot à 6 degrés de liberté télé-opéré, développé dans le cadre d’un projet européen OTELO[1], est envisagée pour améliorer une télé-échographie à distance sur un patient. VII. BIBLIOGRAPHIE 1. L. Al Bassit, G. Poisson et P. Vieyres. Kinematics of a dedicated 6 dof robot for tele-echography. In: Proc. 11th International Conference on Advanced Robotics, ICAR’03, pp. 906-910. 2. R. J. Anderson et M. W. Spong. Bilateral control of teleoperators with time delay. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 34, No. 5, 1989, pp. 494- 501. 3. E.F Camacho et C. Bordons. Model Predictive Con- trol, London: Springer, 1995. 4. H. C. Cho, J. H. Park, K. Kim, et J.-O. Park. Slid- ing-mode-based impedance controller for bilateral teleoperation under varying time-delay. In: Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics & Automation, 2001, pp. 1025-1030. 5. D. W. Clarke, C. Mohtadi et P. S. Tuffs. General- ized predictive control – part. 1 & 2. 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