Sur l’unicité de la réponse d’un réseau d’énergie électrique en régime de défauts

27/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-1:19972
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Résumé

Sur l’unicité de la réponse d’un réseau d’énergie électrique en régime de défauts

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	    <date dateType="Created">Wed 27 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Wed 27 Sep 2017</date>
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Sur l’unicité de la réponse d’un réseau d’énergie électrique en régime de défauts Mohamed ZAROUAN(1) , Jean-Yves DIEULOT(2) & Mohamed BENREJEB(1) (1) LA.R.A automatique , École Nationale d’Ingénieurs de Tunis BP 37 le Bélvédère 1002 Tunis Tunisie (2) L.A.G.I.S UMR 8146, Polytech’Lille, 59650 Villeneuve d’Ascq Cedex, France mohamed.zarouan@enit.rnu.tn, dieulot@univ-lille1.fr, mohamed.benrejeb@enit.rnu.tn Résumé - La méthode performante d’élimination d’un défaut phase-terre, présentée dans cet article, permet d’éviter les surtensions permanentes pouvant apparaître dans un réseau d’énergie électrique, fortement non-linéaire. Pour pallier aux phénomènes de saut, qui apparaissent souvent dans un tel réseau du fait de sa sensibilité aux conditions initiales, un domaine d’unicité de la réponse, défini en fonction de la capacité totale du réseau, est déterminé en utilisant le critère de stabilité de Borne et Gentina, appliqué au réseau étudié caractérisé par une matrice de forme en flèche. Ce travail constitue une alternative intéressante à la méthode de continuation, de mise en œuvre plus complexe. Mots-Clés - Réseau électrique, élimination de défauts, méthode de continuation, unicité de la réponse, matrice caractéristique en flèche, phénomènes de saut. I. INTRODUCTION es réseaux d’énergie électrique, présentant plusieurs états d’équilibre dus à la non linéarité de ces éléments, sont de plus en plus étudiés [1-7] dans le but de prévenir les anomalies de fonctionnement et déterminer des conditions d’unicité de la réponse. Ces réseaux sont généralement constitués par des associations diverses de circuits élémentaires dont [5] : − un circuit comportant une résistance, un condensateur et une inductance, montées en cascade, − un circuit "bouchon" [13] comprenant une bobine à noyau de fer shuntée par une capacité, − une cellule en Π ou en T modélisant un traçant de ligne. Toutes ces techniques de modélisation conduisent généralement à une représentation d’état à non linéarités séparables. Les anomalies de fonctionnement de tels systèmes [8-10] et la méthode de la recherche de condition d’unicité de sa réponse basée sur l’estimation du domaine de stabilité du système écart ont été étudiées ultérieurement par Laurent, Maizières, Borne, Gentina, Benrejeb, Khammari, etc [11-16]. Pour un réseau d’énergie électrique, est étudié, dans cet article, l’effet d’un défaut résistif, considéré comme perturbation, sur l’apparition du phénomène de saut. L’apparition et la disparition d’un défaut, pouvant provoquer une surtension permanente dans le réseau d’énergie électrique, est étudiée dans la première partie de cet article, et l’origine de l’anomalie de fonctionnement mise en exergue graphiquement, dans une deuxième partie, en se basant sur la méthode de continuation. Dans la troisième partie, une solution pratique pour maintenir la tension à une valeur normale par l’insertion d’une batterie de capacités entre la phase et la terre est proposée. La recherche d’un domaine d’unicité de la réponse du système étudié, relatif à l’absence d’anomalie de fonctionnement, est, ensuite, menée par l’application du critère de stabilité de Borne et Gentina [11] sur le système écart entre deux réponses, relatives à deux conditions initiales distinctes. II. DESCRIPTION DU RESEAU ELECTRIQUE ETUDIE Le système étudié est un réseau monophasé d’énergie électrique comportant à son départ dix dérivations, auquel estassociéun transformateur demesuredetension,figure 1. Fig. 1. Réseau d’énergie électrique étudié L Ce système est représenté par le schéma équivalent simplifié de la figure 2. Fig. 2. Modèle équivalent du réseau étudié L’alimentation est constituée d’une source de tension sinusoïdale, d’une inductance et d’une résistance, équivalentes aux inductances et résistances sérielles situées en amont. Le modèle du réseau étudié regroupe l’ensemble des départs en une unique cellule [5] de capacité C, d’inductance LC et de résistance RC dont les valeurs équivalentes sont obtenues en agrégeant les capacités phase-terre, les inductances linéiques et les résistances linéiques. La ligne de transmission est considérée comme une ligne à constantes localisées, de conductance négligeable [17,18]. L’enroulement primaire du transformateur de mesure saturable est représenté par une résistance RT, mise en série avec une inductance non linéaire LT(iT) [21]. La relation non linéaire liant le courant iT et le flux φT dans cette bobine est donnée par la fonction polynomiale de la forme (1). 9 ( ) ( )T T T Ti f a b a bφ φ φ + + = = + , ∈ ×R R (1) Le défaut phase-terre est modélisé par une résistance 0R qui varie entre une valeur de 4 Ω, correspondant à l’existence d’un court-circuit direct à la terre et une valeur infinie caractérisant l’absence d’un défaut [19]. Le modèle du circuit de la figure (1) peut être décrit par le système d’équations suivantes : ( ) 90 0 0 90 0 0 9 00 0 1 sin 1 1 Ti e t a a a c T T a a a a c c a c c T T c c c c c c T T T Ta c di R R R R i i a b E t dt L L L L di R R R R i i v a b dt L L L L dv i dt C d R i R i R R a b dt φ φ ω φ φ φ φ φ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ + = − + + + + + = − − − + = = − − + + (2) Il correspond à un système fortement non linéaire, du quatrième ordre. III. DE L’APPARITION D’UN PHENOMENE DE SAUT CONSECUTIF A L’ELIMINATION D’UN DEFAUT Le phénomène de saut, pouvant apparaître après le traitement d’un défaut, est illustré par la figure (3) [19]. Lorsqu’un défaut apparaît au départ de l’une des dix dérivations du réseau, fonctionnant jusqu’alors en régime nominal sans court-circuit à la terre (séquence 1), une chute presque instantanée de la tension vc est observée (séquence 2). Le déclenchement rapide des dispositifs de protection sert à isoler la dérivation défectueuse. Lors de l’élimination du défaut (séquence 3), on note une augmentation de la résistance RC et de l’inductance LC et une diminution de la capacité C, la variation paramétrique du modèle de la ligne n’affectant pas sa structure. Ce changement de la valeur des paramètres a pour effet de modifier la tension maximale correspondante. Le phénomène persiste lors de la remise sous tension de la dérivation isolée et de la reprise du régime de fonctionnement normal du réseau électrique (séquence 4), effectuée automatiquement après l’élimination du défaut. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 4 t(s) vC(V) séquence 1 séquence 2 séquence 3 séquence 4 0 Fig. 3. Mise en évidence du phénomène de saut de tension lors d’une procédure d’élimination d’un défaut IV. ETUDE QUALITATIVE DU PHENOMENE DE SAUT OBTENU Le modèle du réseau étudié est décrit de manière plus générique, en utilisant les notations de l’équation (3) : 4 ( ) dx f t x t x et dt λ λ= , , ∈ , ∈ ∈R R R (3) 0( ) ( )x t t xϕ λ= , , avec : [ ] ,T a c c Tx i i v φ= , , , Cλ = , 0 0(0) (0 )x x xϕ λ= , , = Pour une solution ( ),t uϕ λ, , 2π ω −périodique, la condition initiale u est considérée comme point fixe dépendant essentiellement de la valeur du paramètre λ. En effet, pour tracer le diagramme de points fixes de sa troisième composante VC en fonction de C, figure 4, nous avons utilisé la méthode de continuation [20]. Pour une capacité C comprise entre 15,684μF et 17,955μF, figure 4, les points fixes obtenus représentent deux solutions périodiques stables dont l’une montre une surtension permanente inacceptable dans le réseau. Un seul point fixe existe lorsque la valeur de la capacité varie entre 14μF et 15,684μF, pour lequel le phénomène de saut persiste. Enfin, il existe une solution périodique stable unique et sans surtension permanente lorsque la valeur de C est supérieure à 17,955μF. Le système considéré possède une capacité C=17,02μF et relève ainsi du cas pour lequel deux solutions périodiques stables coexistent, figure 4. La première solution correspond au régime de fonctionnement normal, décrit par la séquence 1 de la figure 3, et la deuxième solution au retour au régime nominal consécutif à l’élimination d’un défaut, l’évolution de la tension correspondant à celle observée sur la séquence 4 de la figure 3. L’unicité de la réponse ne peut donc être garantie, en général, lors de la restauration du régime nominal après élimination d’un défaut. Fig. 4. Diagramme de points fixes V. NOUVELLE METHODE D’ELIMINATION D’UN DEFAUT Lorsque la capacité C est supérieure à 17,955μF, il existe un seul point fixe stable sans apparition de surtension. Cette remarque permet de concevoir une procédure convenable d’élimination des défauts, basée sur une adaptation de la valeur de la capacité C, qui ne provoque pas de surtension après restauration du régime nominal. Si la valeur de la capacité est adaptée de manière convenable, l’allure de la tension vc observée en fonctionnement normal, représentée dans la première séquence de la figure 5, diffère peu de celles correspondant à l’élimination du défaut apparaissant dans les séquences 2 et 3, puis à la restauration du régime nominal (séquences 4 et 5). 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 10 4 t(s) séq.1 séq.2 séq. 4séq.3 séq.5 vC(V) Fig. 5. Conservation de la tension nominale lors d’une procédure adaptée d’élimination de défauts La méthode consiste à intercaler, après l’apparition du défaut, une batterie de capacités entre la phase et la terre, permettant d’augmenter la capacité totale C du système étudié jusqu’à une valeur supérieure à 18μF, dont le résultat est illustré par la troisième séquence de la figure 5. La dérivation défectueuse est isolée dans la quatrième séquence afin d’éliminer le défaut, puis reconnectée dès la cinquième séquence, la batterie de capacités correctrices étant alors éliminée. La tension vC est bien maintenue à sa valeur nominale sans aucun danger pour le réseau, tout au long de la procédure d’élimination du défaut. VI. APPLICATION DU CRITERE DE BORNE ET GENTINA POUR LA RECHERCHE D’UNE CONDITION D’ABSENCE D’ANOMALIES DE FONCTIONNEMENT En utilisant les notations du paragraphe 3, les équations régissant l’évolution du réseau peuvent être reformulées dans l’espace d’état par (4). Le système écart, qui représente la différence entre deux réponses x(1) et x(2) du système étudié soumis à une même entrée et des conditions initiales différentes, est décrit par l’équation (5). 0 12 18 3242 1446 0818 8978 118,3 , 100 1002410 et 1009510 . a a c c T R L H R L mH R R M a b− − = , Ω, = , , = , Ω, = , , = Ω = Ω, = , = , 0 0 0 0 0 0 0 00 0 ( ) 1 1 ( ) 0 01 0 0 0 0 0 ( )( ) a T a a a ac T c c c c T T R R R R h L L L LR R R R h x x eL L L L C R R R R h φ φ φ +⎡ ⎤ − /⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥− − − /⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + /⎣ ⎦ (4) y My= (5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ( ) a a a a a c c c c c T R R R R h L L L R R R R h M L L L L C R R R R h ∗ ∗ ∗ +⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ 0 0 0 00 0 0 ( ) a a T R h L R A h L R R R R h ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∗ ∗ ∗ −= − − + avec : (1) (2) 9 (1) (2) (1) (2) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T y x x h a b h h h φ φ φ φ φ φ φ ∗ = − = + − = − et 0 0 0 0 1 1 0 0 a a a a c c c c R R R L L R R R A L L L C +⎡ ⎤ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Pour l’application numérique, les données sont les suivantes : Les évolutions des parties réelles et imaginaires des valeurs propres de A en fonction de C ont été représentées graphiquement dans la figure 6. Après diagonalisation par la matrice de passage PA, la matrice A devient DA : 1 2 3 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) A C D C C λ λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (6) avec 1 A A AD P AP− = . Fig. 6. Evolutions des parties réelles et imaginaires des valeurs propres de A en fonction de C La reformulation de la matrice M sous une forme en flèche (7) peut ainsi être obtenue à partir de la matrice de passage PF suivante : 0 0 0 0 0 0 1 A F P P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ avec : 1 F FF P MP− = Il vient : 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 0 0 0 0 0 0 F F F F F F F F F F F ⎡ ⎤ ⎢ ⎥, , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , ,⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , ,⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ , , , ,⎣ ⎦ = (7) Le système écart, mis sous cette forme, devient : z Fz= (8) Afin de vérifier l’unicité de la réponse du réseau correspondant au système (4), qui correspond à une condition suffisante d’absence d’anomalies de fonctionnement, il suffit de démontrer la convergence asymptotique vers zéro des solutions du système (8). Cette condition peut être obtenue par l’utilisation du critère de stabilité de Borne et Gentina [11]. Compte tenu que les éléments non-constants de la matrice F du système (8) sont isolés dans une seule colonne, l’application ce critère de stabilité à la matrice F donnée dans (9), obtenue en remplaçant les éléments hors- diagonaux de F par leurs modules et les éléments diagonaux par leurs parties réelles, peut conduire à une condition d’unicité de la réponse du système initial. 1 1 1 4 2 2 2 4 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) F F F F F F F F F F F , , , , , , , , , , | |⎡ ⎤ ⎢ ⎥| |⎢ ⎥= ⎢ ⎥| | ⎢ ⎥ | | | | | |⎢ ⎥⎣ ⎦ R R R R (9) En effet, les mineurs successifs de la matrice F , relatifs aux expressions (10) et à la représentation graphique de la figure 7, sont de signes alternés, le système écart (8) est stable et le système initial (4) possède, ainsi, la propriété d’unicité. 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 3 2 2 3 3 1 1 1 4 2 2 2 4 4 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) C F F C F F C F F F F F F C F F F F F F ξ ξ ξ ξ , , , , , , , , , , , , , , , , = < = > = < | | | | = > | | | | | | | | R R R R R R R R R R (10) Puisque la fonction h∗ est toujours positive et ne dépend que de Tφ , la valeur du mineur 4 ( )Cξ n’est positive que si la capacité est supérieure à 5,95mF. L’application du critère permet ainsi de conclure à l’unicité de la réponse du réseau étudié lorsque la capacité est dans le domaine : C>5,95mF. VII. CONCLUSION Une méthode pratique d’élimination des défauts survenant dans un réseau d’énergie électrique, qui garantit l’absence de surtension permanente endommageant les matériels, a été proposée dans cet article. Fig. 7. Représentation de l’évolution des mineurs successifs de F en fonction de la capacité C Nous avons mis en exergue l’existence d’un phénomène de saut, apparaissant lors de la remise en route du réseau étudié, qui dépend essentiellement de la valeur de la capacité équivalente du système et qui provient, le cas échéant, de sa sensibilité à la valeur des conditions initiales. La méthode de compensation retenue consiste à intercaler, après l’apparition du défaut, une batterie de capacités entre la phase et la terre, permettant d’augmenter la capacité C du système étudié, avant restauration du régime nominal, jusqu’à une valeur pour laquelle la réponse converge vers une valeur unique. Le critère de stabilité de Borne et Gentina, appliqué à la matrice caractéristique en flèche du système écart, permet de déterminer un domaine d’unicité de la réponse, dépendant de la valeur de la capacité C , de manière plus aisée que la méthode de continuation qui est généralement utilisée. Références [1] D.A.N. JACOBSON, Field testing, modeling and analysis of ferroresonance in a 230 KV power system, Proceedings of the 1999 Graduate Students Conference, GRADCON'99, pp 28, Canada, October 1999. [2] A. BEN-TAL, A study of symmetric forced oscillators, PhD, University of Auckland, 2001. [3] F. 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