Identification Robuste de la "Formule Magique" pour la Caractérisation du Pneumatique

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-2:19947
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Identification Robuste de la

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Résumé — Ce papier présente une méthodologie d’identification robuste de la "formule magique", représentation très répandue dans l’industrie pour la modélisation fonctionnelle des pneumatiques. La méthode proposée offre de nombreux avantages par rapport à celles existantes. La solution correspond à un optimum global, est automatiquement restreinte aux paramètres identifiables et peut être obtenue sur tout type de trajectoires, y compris celles de mesures embarquées. Après quelques ajustements méthodologiques pour couvrir au mieux le domaine d’excitation des mesures embarquées, l’algorithme proposé est appliqué à la trajectoire standard utilisée sur les bancs de caractérisation pneumatique de PSA Peugeot-Citroën pour l’identification du modèle d’effort latéral. La comparaison des résultats avec ceux obtenus par la routine habituelle de PSA Peugeot Citroën démontre la viabilité de la méthode. En plus de l’identification robuste, elle permet de faire de la conception automatique de modèle juste nécessaire. Elle peut donc servir de support à la définition de futurs modèles plus robuste et plus précis, aussi bien adaptés à des excitations sur banc que sur véhicule. Mots clés — Pneumatique, Formule magique, Flat Trac, Mesures embarquées, Identification, Moindres Carrés. I. INTRODUCTION Pour de nombreux équipementiers et constructeurs automobiles, le modèle de référence pour la représentation fonctionnelle du pneumatique est la "Formule Magique", dont la première version a été proposée par Baker et Pacejka en 1987 [1]. Cette représentation empirique se base sur une approche de similitude et permet de paramétrer l’allure des courbes représentant l'effort longitudinal, l'effort latéral ainsi que le couple d’auto-alignement en fonction du taux de glissement et de l'angle de dérive. Elle a connu depuis sa création de nombreuses évolutions : dépendances de plus en plus complexes par rapport à la charge et au carrossage, ajout de la longueur de relaxation, explicitation de la chasse, influence de la chaussée… Le lecteur trouvera dans [4] un état de l’art sur le sujet. Il convient de souligner que ce modèle empirique n’a pas pour vocation de prédire précisément le comportement d’un pneumatique donné. En l’absence de bases physiques rigoureuses, la compatibilité des différents paramétrages obtenus sur des séquences d’excitation différentes ne peut pas être garantie. Le paramétrage global correspond donc à une moyenne et est nécessairement moins précis que les autres paramétrages appliqués directement à leur trajectoire spécifique. Le choix de la trajectoire d’excitation est ainsi particulièrement important : trop riche par rapport à la situation de vie du pneumatique, le modèle perd en précision sur le domaine de fonctionnement normal. Trop pauvre, le modèle peut s ’avérer fortement biaisé sur certaines sollicitations. Ce problème de richesse d’excitation est d’autant plus délicat qu’il est lié en pratique à l’algorithme d’identification utilisé. La formule magique est non linéaire par rapport aux paramètres et sur-paramétrée. L’identification des paramètres par optimisation non linéaire conduit difficilement à l'optimum global. Le problème ne devient abordable qu’en travaillant sur des modèles simplifiés, valables sur des trajectoires spécifiques. Mais se pose alors le problème de la validité des modèles simplifiés et de leur raccordement. En dehors de ces problèmes liés au caractère empirique et non linéaire de la formule magique, la caractérisation invariante d’un pneumatique est intrinsèquement impossible avec les moyens actuels. Deux pneumatiques a priori identiques ont en effet des caractéristiques différentes, fonctions des conditions de rodage, du degré d’usure, du moule de fabrication, de la pression, de la température… En l’absence de quantification de ces phénomènes (par simple absence de modèle ou de capteurs), il y a nécessairement introduction d’une incertitude qui ne peut être levée. C’est sans doute ce qui explique l’utilisation répandue de la formule magique malgré son absence de justification physique. Les erreurs introduites par l’approche empirique se confondent avec les variations des caractéristiques du pneumatique. Mais ce qui a initié son succès est sans aucun doute l’interprétation graphique et comportementale qu’elle permet. La formule magique constitue ainsi un standard qui permet aux différents industriels de communiquer autour du pneumatique. Par exemple, un concepteur automobile attend d’un pneumatique des caractéristiques cohérentes avec le comportement dynamique du véhicule. La conception passe donc nécessairement par l’élaboration d’un cahier des charges fonctionnel (réponses à la pince statique, en transitoire, au report de charge, allure de la non linéarité en dérive…). La formule magique offre la possibilité de paramétrer un tel cahier des charges. Il est ainsi possible de travailler directement en avant projet sur simulateur ce qui évite la construction d'un prototype équipé de pneus spécifiques. D’où une substantielle économie financière et temporelle. De plus lorsqu’il passe de la phase de conception à la phase d’intégration, le concepteur peut vérifier à travers le PIERRE-JEAN RIPERT 1/2 ,MAXIME GAUTIER 1 ,WISAMA KHALIL 1 ,PHILIPPE BODSON 2 1 Institut de Recherche en Communication et Cybernétique de Nantes : IRCCyN, Ecole Centrale de Nantes – Ecole des Mines de Nantes – Université de Nantes 1 rue de la Noë, BP 92101, 44321 Nantes Cedex 03, France 2 PSA Peugeot Citroën Boite VB026, Centre technique de Vélizy, Route de Gisy, 78943 Vélizy-Villacoublay Cedex, France Identification Robuste de la "Formule Magique" Pour la Caractérisation du Pneumatique paramétrage que le pneumatique qui lui a été fourni est conforme à ses spécifications. Il est alors en mesure de l’accepter, demander des modifications ou réajuster le réglage du train en conséquence. Etant donné ce contexte, les critères suivants ont été fixés pour caractériser l’algorithme d’identification recherché : 1- Solution pertinente au sens des spécifications du constructeur, même si le modèle ne correspond pas parfaitement à la réalité, 2- Applicable à des mesures embarquées, 3- Compatible avec l’interprétation graphique de la formule magique L’algorithme présenté dans cet article répond à ces critères de la manière suivante : 1- La solution d’identification est une solution au sens des moindres carrés d’erreur de sortie. Cet optimum est global et restreint à la partie identifiable, 2- Les hypothèses de trajectoire d’excitation sont suffisamment peu contraignantes pour permettre d’englober le cas de mesures véhicules, 3- Le modèle utilisé pour l’identification est consistant avec la macro structure de la formule magique. La seconde partie de cet article présente la structure macroscopique de la formule magique. La troisième introduit les variables intermédiaires qui permettent d'obtenir un modèle linéaire par rapport aux paramètres qui sont identifiés au sens des moindres carrés de manière globale. La quatrième partie présente l’algorithme d’identification séquentiel proposé dans le cas où le pneu est excité dans l’ensemble de son domaine de fonctionnement. La cinquième partie concerne les modifications à apporter à la méthode dans le cas où seul le domaine de fonctionnement routier standard est disponible. La dernière partie fournit des résultats d’identification obtenus sur banc de mesure. II. EXPRESSION MACROSCOPIQUE DE LA"FORMULE MAGIQUE" A. Macro structure de la formule magique La formule magique a la forme suivante : Y = D.sin(C.atan(ϕ)) + Sv (2.1) ϕ = (1-E).ψ + E.atan(ψ) ( )hSx DC BCD += . ψ Avec : - Y : force à modéliser (effort ou moment), - x : grandeur d’entrée principale (angle de dérive ou taux de glissement longitudinal). - C, D, E, Sh et Sv coefficients macroscopiques, invariants pour une charge et un carrossage constant : o Sh et Sv : offset horizontal et vertical, o BCD : pente au centre de symétrie, o D : valeur du pic, o C : facteur de forme. Permet de fixer le nombre d’extrema et de passages par 0. (efforts longitudinal et latéral : 1 < C < 2, moment d’auto alignement : 2 < C < 3). o E : facteur de courbure : (E<1). Le lecteur trouvera dans [3] une étude détaillée de l’influence des contraintes appliquées aux macro coefficients. Ces derniers sont interprétables comme le paramétrage de la courbe de réponse en effort, indiqué figure 1. Fig.1 : Illustration graphique des macros coefficients : excitation complète De la formulation générale, on peut déduire plusieurs modèles simplifiés dont la macro structure est linéaire : - le modèle de petits déplacements (|x| → 0): Ypd = BCD.(x-Sh) + Sv (2.2) - le modèle de grands déplacements (|x| → ∞): Ygd = sign(x).D.sin(C.π/2) + Sv (2.3) - le modèle à l’extremum ( max ~xSx h =− ) : Yopt = sign(x).D+ Sv (2.4) B. Modèles des macro-cœfficients Il existe de nombreuses formulations permettant d’exprimer la dépendance des macro cœfficients à la charge et au carrossage. En effet ces dernières sont régulièrement mises à jour et de plus chaque équipementier et constructeur apporte ses propres modifications (confidentielles) pour en améliorer la qualité. Il semble néanmoins exister un dénominateur commun à tous ces modèles : pour les macros coefficients Sh, Sv, D et E, les dépendances sont polynomiales. On peut donc poser sans perte de généralité : Sh(γ, Fz) = WSh(γ, Fz).XSh (2.5) Sv(γ, Fz) = WSv(γ, Fz).XSv (2.6) D(γ, Fz) = WD(γ, Fz).XD (2.7) E(γ, Fz) = WE(γ, Fz).XE (2.8) Les quantités Wx(γ, Fz).Xx correspondent à des polynômes multivariables en la charge et au carrossage. Chaque vecteur Xx est directement assimilable aux cœfficients de la forme développée. Le macro-cœfficient BCD est plus délicat car il peut avoir une dépendance non linéaire. On fait ici l’hypothèse que cette dernière peut être exprimée ou approximée par le modèle rationnel suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) BCDdzBCDzBCD BCDnzBCD z XFDFP XFN FBCD .,, ., , γγ γ γ + = (2.9) Un exemple de formulation des matrices Wx(γ, Fz), NBCD(γ, Fz), PBCD(γ, Fz) et DBCD(γ, Fz) tiré de [2] est indiqué §VI.B. D.sin(C.k)D Sv Sh Y x E atan(BCD) max ~x III. VARIABLES INTERMEDIAIRES UTILES A. Notion de produit de convolution sur les colonnes Afin d’alléger les écritures et éviter les confusions on définit le produit de convolution ⊗ sur les colonnes de 2 matrices A et B : :,1 :,2 :, :,1 :,2 :,p qA B A A A B B B   ⊗ = ⊗   L L (3.1) :,1 :,1 :,1 :, :,2 :,1 :,2 :, :, :,1 :, :,.* .* .* . * .* .*q q p p qA B A B A B A B A B A B A B ⊗ =  L L L L Où ".*" correspond au produit élément par élément de deux vecteurs. Le produit de 2 polynômes : Wa.Xa et Wb.Xb s’écrit ainsi : [ ][ ] ( )( ) ababbababbaa XWXXWWXWXW ..... =⊗⊗= (3.2) Il se peut qu’il y ait plusieurs occurrences d’un même paramètre dans Xab . La simplification par regroupement se fait automatiquement lors de l’identification par les moindres carrés [6]. B. Définition des variables intermédiaires Afin d'obtenir des modèles d’identification linéaires par rapport aux paramètres, les variables intermédiaires suivantes sont définies : ( )2.sin. ~ πCDD = (3.3) ( ) DSYY V ~~ −= (3.4) ( )2.sin. ~ πCD BCD B = (3.5) ( )hSxBx += . ~~ (3.6) La formule magique (2.1) peut ainsi être exprimée sous la forme : ( ) ( )( )ϕ π arctan.sin. 2.sin ~ ~ C C D Y = (3.7) ( ) ( )ψψϕ arctan.1 EE +−= ( ) x C C ~. 2.sin π ψ = On définit de plus les polynômes suivants : ( )[ ] ( )[ ]DDgdgd XCWxsignXW .2.sin.. π⊗= (3.8) [ ]       ⊗ ⊗⊗= ShBCDn BCDn ShBCDBCDpdpd XX X WNxNXW .. (3.9) On en déduit les expressions rationnelles suivantes : - variables intermédiaires : gdgd XWD . ~ = (3.10) ( ) ( )SvSvgdgd XWYXWY ... ~ 1 −= − (3.11) ( )         + = − BCDdBCDBCD pdpd gdgd XDP XW XWx . . ..~ 1 (3.12) - modèle à petite dérive : SvSv BCDdBCDBCD pdpd pd XW XDP XW Y . . . + + = (3.13) - modèle à grande dérive : SvSvgdgdgd XWXWY .. += (3.14) IV. IDENTIFICATION SEQUENTIELLE : EXCITATION COMPLETE Compte tenu de la linéarité par rapport aux paramètres des modèles développés la stratégie d’identification repose sur l’utilisation des moindres carrés linéaires qui permettent une analyse de la sensibilité du résultat et un rejet des phénomènes négligeables. [6] présente l’application de cette technique à l’identification des robots articulés, [8] fourni une introduction aux méthodes et concepts numériques utiles. A. Identification de la raideur de dérive La valeur de XBCDd est identifiée à partir du modèle de petite dérive (3.13). Après passage à un dénominateur commun, on obtient : ( )            ⊗− − −             ⊗ ⊗ ⊗ =⊗ SvBCDd Sv pd BCDd T BCDSv BCDSv pd BCDpd BCDpd XX X X X DW PW W DY PY (4.1) (4.1) est linéaire par rapport aux paramètres et peut être résolue via la méthode des moindres carrés totaux (avec la contrainte d’avoir le paramètre relatif à Ypd ⊗PBCD égal à -1). Un état de l’art sur cette technique de calcul est réalisé dans [7]. A cause du produit de convolution, il y a beaucoup plus d’invariants que de paramètres initiaux. Pour éviter de complexifier le modèle en l’exprimant en fonction de ces invariants, seule la valeur de XBCDd est retenue et utilisée dans la suite. B. Identification simultanée des modèles de petits et grands déplacements Une fois XBCDd connu, la grandeur suivante peut être calculée : ( ) pdBCDdBCDBCDpd WXDPW ⊗+=′ −1 . (4.2) Après substitution de (4.2) dans (3.13), le modèle de petite dérive est polynomial. Ses équations peuvent alors être concaténées avec celles du modèle à grande dérive (3.14). On obtient ainsi un modèle de la forme:                 ′ =      gd Sv pd gdSv Svpd gd pd X X X WW WW Y Y . 0 0 (4.3) (4.3) est linéaire par rapport aux paramètres et correspond à la concaténation d’équations issues de deux modèles indépendants. Le calcul de la solution peut être réalisé via la méthode des moindres carrés pondérés [6]. C. Identification du facteur de forme et de courbure. Après application des deux premières étapes, les vecteurs paramétriques Xpd, Xsv et Xgd sont connus. Les quantités x~ , Y ~ peuvent alors être calculées. En explicitant E de (3.7), il vient : ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )xCCxCC xCCCyCxx E ~.2.sin~.2.sinarctan ~.2.sin~.2.sinarcsin.~~tan 21 ππ ππξξ − −+ = avec ( ) 0~ 1 =xξ et ( ) 1~ 2 =xξ si max ~~ xx ≤ (4.4) ( ) 2~ πξ =x et ( ) 1~ 2 −=xξ si max ~~ xx < ( ) 2~ πξ −=x et ( ) 1~ 2 =xξ si max ~~ xx > Soit une formulation linéaire par rapport aux paramètres de la forme : ( ) ( ) ( )        < < ∈ = 1. 1 ., EE E C EzEE XW CY IC XFWCY γ (4.5) La résolution est réalisée par application de la méthode des moindres carrés contraints (fonction matlab lsqlin.m, voir [9]) aux multiples problèmes d’optimisation : Ci ∈ IC, ( )( )      − < = EEiE EE i XWCY XW H .min 1. (4.6) L’ensemble des Ci est défini de sorte à balayer l’ensemble de l’intervalle IC. Les valeurs de C et XE retenues sont celles pour lesquelles la norme du résidu sur Hi est minimale. D. Retour au modèles des macro coefficients initiaux . Les paramètres XE, C, XSv, XBCDd sont déduit directement des étapes précédentes. XD est déduit de C et Xgd : ( )2.sin πCXX gdD = (4.7) On peut déduire XBCDn de Xgd en remarquant que les termes de XBCDn devraient être les seuls à avoir une relation de proportionnalité avec x. L’étude de la robustesse de ce retour aux paramètres initiaux est un sujet à part entière, à développer dans des études ultérieures. Nous nous permettons d’anticiper ces résultats en affirmant qu’il est préférable d’écrire directement le modèle de ψ à partir de (3.7) et (3.12) sans expliciter sa relation affine avec x telle qu’elle apparaît dans (3.6). E. Recalage par optimisation non linéaire Afin d’éviter le problème du au cumul d’erreur du a l’approche séquentielle, une optimisation non linéaire est réalisée sans hypothèse de trajectoire sur l’ensemble du modèle obtenu en substituant : (2.6), (2.7), (2.8), (3.7) et (3.10) dans (2.1). Le point de départ est fixé par les résultats obtenus aux étapes précédentes. L’algorithme utilisé est l’algorithme des moindres carrés non-linéaires de Matlab (fonction lsqnonlin.m), basé sur la méthode de Levenberg-Marquardt. V. IDENTIFICATION SEQUENTIELLE : EXCITATION ROUTIERE Sur des excitations représentatives du comportement routier, le régime asymptotique de l’effort latéral est rarement atteint. Des trajectoires spirales ou d’évitement à grande vitesse permettent bien de l’exciter, mais se pose alors le problème de la destruction du pneu qu’on rencontre aussi sur banc de mesure. Dans ce domaine en effet, la sollicitation du pneumatique est telle que sa structure interne se dégrade et ses caractéristiques s’en trouvent modifiées. C’est pourquoi on cherche en pratique à éviter d’aller exciter ce domaine. L’excitation est dimensionnée de sorte à ne pas aller au delà de la dérive générant le maximum en effort. La courbe en effort se ramène ainsi à celle indiquée figure 2. Pour prendre en compte l’absence d’excitation du régime asymptotique, il convient de faire quelques modification sur l’algorithme d’identification présenté §IV. Afin d’extraire des informations du domaine du maximum plutôt que de celui de l’asymptote, l’équation (3.3) est remplacée par : DD = ~ (5.1) Dans l’équation (4.4) les termes relatifs au domaine de fonctionnement peuvent être simplifiés : ( )( ) ( ) CxCx CxCy E ~~arctan .~~arcsintan − − = (5.2) Dans ces conditions d’excitation il apparaît que l’information du macro coefficient C sur le régime asymptotique ne peut pas être retrouvée. Mais C intervient toujours dans l’allure de la non linéarité. Néanmoins en l’absence de justification physique sur la structure du modèle, il n’y a aucune garantie pour que ces deux informations soient consistantes entre elles. Aussi dans ces conditions d’excitations, l’interprétation asymptotique de C n’est plus viable. Fig 2 : Illustration graphique des macro coefficients. Excitation normale. VI. APPLICATION : MESURES SUR BANC A. Contexte expérimental L’algorithme d’identification est testé sur la caractérisation de l’effort latéral pur d’un pneumatique. Ce dernier est un Dunlop Sport 01, 215/55 R17 avec une jante 7" et gonflé à 3 bars de pression. Les mesures sont réalisées sur un banc de caractérisation pneumatique. Le pneu est excité en charge, carrossage et dérive suivant une trajectoire bien précise. Pour des raisons de confidentialité, cette trajectoire d’excitation n’est pas présentée en détail. On peut dire néanmoins qu’elle comporte 4 séquences : 1- Excitation à petite dérive (|δ|<1°) à carrossage nul, 2- Excitation à dérive nulle à grand carrossage (|γ|=5°), 3- Excitation à moyenne dérive (1°<δ<9°) et à petit carrossage (0.5°<γ<1°), 4- Excitation à moyenne dérive (1°<δ<9°) et à grand carrossage (3°<γ<6°). Cette trajectoire est utilisée pour renseigner un algorithme d’identification interne à PSA Peugeot Citroën (confidentiel lui aussi). Les résultats fournis par cet algorithme sont indiqués §VI.B et constituent la référence indiquée dans les tables 1 - 2. D Sv Sh Y x atan(BCD) E B. Expression de référence de la formule magique L’expression des macro coefficients est tirée de [2]. Bien que ce ne soit pas la formulation la plus récente (et donc a priori la plus précise), elle offre le double avantage d’être didactique, avec une caractérisation satisfaisante pour un faible jeu de paramètres et d’être compatible avec la routine d’identification utilisée par PSA Peugeot–Citroën. Le modèle exprimé dans le formalisme présenté §II est le suivant : cyaC λ.0= [ ]zzD FFW 2 = , [ ] y T D aaX µλ.21= [ ]γzzBCD FFN −= , [ ]T KyBCDn aaaX 543 1....2 λ= 2 zBCD FP = , 1=BCDD , 2 4aXBCDd = [ ]1zE FW = , [ ] Ey T E aaX λ.76= [ ]1zSh FW γ= , [ ] Hy T Sh aaaX λ.1098= [ ]1..2 zzzSv FFFW γγ= [ ] yVy T Sv aaaaX µλλ ..1312112111= Les coefficients ai, λi permettent respectivement de caractériser le pneumatique et la chaussée. Sans mesures d’un même pneumatique sur de multiples chaussées, il n’est pas possible de discriminer les ai des λi. Tous les λi sont donc supposés unitaire dans la suite. La routine de PSA Peugeot Citroën identifie les valeurs suivantes sur ce modèle de référence : a0 = 1.7 a1 =-33.64 a2=1197 a3 = 1974 a4 =12.3 a5=0.01399 a6 =-0.1551 a7 =1 a8=-0.03007 a9 = -0.01612 a10 = -0.05072 a111=-12.05 a112 =0.236 a12 = -4.804 a13 = 89.3 C. Résultats obtenus L’algorithme présenté §IV et §V est appliqué à la trajectoire d’excitation standard de PSA Peugeot Citroën. La table 1 présente les résultats obtenus après la séquence d’identifications linéaires (étapes décrites de §IV.A à §IV.D) et après recalage non linéaire (étape §IV.E). Le paramètre ayant le plus grand écart type relatif (rapport de l’écart type paramétrique sur la valeur absolue du paramètre) est supprimé itérativement tant que l’erreur de sortie reste inférieure à 2% en norme relative. Le modèle juste nécessaire à l’identification pour l’excitation fournie est ainsi généré automatiquement. La technique d’identification présentée n’est applicable qu’à des polynômes développés. Or ces derniers ont nécessairement un nombre d’invariants paramétriques supérieur ou égal à celui du polynôme factorisé. Le modèle de référence fourni en §VI.B correspond à un polynôme factorisé à 15 invariants. Après développement on obtient un modèle à 18 invariants. Leur relation avec le modèle de départ est indiquée dans le tableau 1. La table 2 indique l’erreur relative (ratio de la norme du résidu et de la norme du vecteur de sortie) de chaque modèle identifié sur chaque séquence de la trajectoire. La figure 3 indique en trait plein l’effort latéral et en pointillé le résidu d’identification après recalage non linéaire. L’échelle de temps n’est pas indiquée par soucis de confidentialité. La figure 4 indique la valeur mesurée de y~ en fonction de x~ . On constate que l’aspect de la courbe correspond bien à celui de la figure 2. On vérifie ainsi l’hypothèse d’absence d’excitation dans le domaine asymptotique. La figure 5 présente la simulation des différentes grandeurs macroscopiques avec le modèle identifié (en trait plein) et leur résidu par rapport au modèle de référence (en pointillés gras). Invariants Ref. Ident Lin Recal. NL C a0 1.7 1.21 1.7 XD1 XD2 a1 a2 -33.64 1197 -23.1 1173.6 -36.08 1218.9 XBCDd a4 2 151.29 140.94 141.4 E1 E2 a6 a7 -0.155 1 -0.016 0.601 -0.32 1.85 Xpd1 Xpd2 Xpd3 Xpd4 Xpd5 Xpd6 Xpd7 Xpd8 2.a3.a4 2.a3.a4.a5 2.a3.a4.a8 2.a3.a4.a9 2.a3.a4.a10 2.a3.a4.a5.a8 2.a3.a4.a5.a9 2.a3.a4.a5.a10 48560 679.36 -1460.2 -782.8 -2462.9 -20.4 -10.9 -34.4 45448 -2438 0 0 0 0 0 0 45568 -1771 -841 -1674 923.5 -108.9 -59.5 208.5 XSv1 XSv2 XSv3 XSv4 a111 a112 a12 a13 -12.05 0.2361 -4.804 89.3 -49.2 136.8 -0.52 0 -5.02 86.9 -0.315 -7.69 TAB. 1 : RESULTATSD ’IDENTIFICATION Séquence Ref. Ident. lin. Recal NL |δ|<1° γ=0° 1.9% 3.5% 2.5% δ=0° |γ|=5° 7% 4.9% 3% 1°<δ<9° 3°<γ<6° 2.3% 4.4% 2% 1°<δ<9° 0.5°<γ<1° 2.4% 4.9% 3% Global 2.4% 5.9% 2.1% TAB. 2 : ERREURS RELATIVESDE VALIDATION DIRECTE On constate que l’identification séquentielle permet de négliger les paramètres non identifiables de manière efficace (11 paramètres identifiables sur 18 contre 15 dans la formulation de référence), en fixant à 0 les paramètres Xsv4 et de Xpd3 à Xpd8. Le recalage non linéaire qui prend ce résultat comme condition initiale permet effectivement d’atteindre un optimum ayant une excellente qualité de précision. Bien que le modèle identifiable comporte moins de paramètres que le modèle de référence, il a une meilleure réponse en carrossage pur que ce dernier. Or sa structure permet une représentation correcte de ce phénomène. On peut donc s’interroger sur la qualité de l’identification ayant abouti aux résultats de référence. Il semble également y avoir un problème de sensibilité avec la structure macroscopique. Le modèle identifié et le modèle de référence ont une valeur de C identique. D’autres grandeurs macroscopiques sont proches, sauf pour E (voit figure 5). Comme ces deux modèles ont une précision équivalente, malgré ces variations, E a nécessairement un mauvais conditionnement dans la macrostructure (pour le type d’excitation utilisé en tout cas). On notera la possibilité de calibrer l’algorithme de sorte à obtenir un meilleur compromis précision / robustesse. Le seuil d’erreur relative sur la sortie fixé à 2% et le recalage non linéaire de tous les paramètres plutôt que sur les seuls identifiables sont des choix réalisés sans réelles justifications. L’étude de cette calibration n’a pas été réalisée ici car sa valeur serait beaucoup trop restrictive sur ce modèle avec cette seule trajectoire et ce seul pneumatique. Mais réalisée sur une grande richesse de trajectoires routières, de multiples pneumatiques et un modèle intégrant un maximum de phénomènes, elle permettrait d’aboutir à un modèle fonctionnel juste nécessaire du pneumatique. Contrairement aux autres modèles de ce type construits sur des postulats a priori et potentiellement sensibles à des erreurs d’hypothèses (ce qui finit généralement par arriver en l’absence de cadre physique), ce modèle serait généré a posteriori par les mesures observées. Il offrirait donc nécessairement une garantie de représentativité malgré son caractère empirique. Fig 3 : Effort latéral et résidu d’identification Fig 4 : Allure de la non linéarité, eq. (5.2) Fig 5 : Macro coefficients et écarts par rapport au modèle de référence VII. CONCLUSION Ce papier présente un nouvel algorithme d’identification des paramètres pneumatiques. Ce dernier utilise la structure macroscopique de la formule magique, reconnue malgré son caractère empirique comme le modèle fonctionnel le plus représentatif des modèles d’effort longitudinal, d’effort latéral et du moment d’auto alignement. La résolution se base sur les techniques les plus avancées de la régression linéaire robuste. Elle peut ainsi se passer de conditions initiales, se restreindre automatiquement aux paramètres identifiables et fournir des critères d’identifiabilité sur le résultat. Le séquencement de la résolution a été pensé de sorte à poser un minimum d’hypothèses d’excitation et de pouvoir ainsi traiter des mesures embarquées. Les modèles des macro coefficients peuvent être modifiés et enrichis à loisir tant qu’ils restent polynomiaux. Cette possibilité, associée à la simplification automatique que permet l’algorithme de résolution permet d’utiliser la méthode comme un outil de conception de modèles juste nécessaires. Les futurs travaux s’appuieront sur cette possibilité pour proposer une expression de la formule magique plus robuste, plus précise et plus facilement interprétable. L’objectif à moyen terme est de pouvoir atteindre une description suffisamment précise pour pouvoir caractériser le pneumatique de manière invariante aussi bien sur banc que sur mesures embarquées. A terme il s’agira d’identifier le pneumatique sur véhicule sans utiliser de roue dynamométrique. L’effort appliqué au moyeu pouvant être reconstruit à l’aide du modèle dynamique inverse du véhicule dont les paramètres auraient été préalablement identifiés (voir méthodologie dans [5]). VIII. REFERENCES [1] E. Bakker, L.Y. Nyborg, H. B. Pacejka, Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies, SAE paper n°870421, 1987. [2] E. Bakker, L.Lidner, H.B. Pacejka, A new Tyre Model with an Application in Vehicle Dynamics Studies, SAE Paper 890087, 1989. [3] D. Schuring, W. Pelz, M. Pottinger, The BNPS Model – An Automated Implementation of the “Magic Formula” concept, Society of automotive engineers, SP-1016, Feb 1994. [4] Hans B. Pacejka, Tyre and Vehicle Dynamics, Butterworth-Heinemann, 2002. [5] G. Venture, Identification des paramètres dynamiques d’une voiture, Thèse de doctorat. IRCCyN. Nantes. 2003. [6] M. Gautier, W. Khalil, Analyse et modélisation des robots manipulateurs, IC2, Identification des paramètres des robots, Hermès 2001, chap.4, sous la direction de E. Dombre. [7] S. Van Huffel, J. Vandewalle, The Total Least Squares Problem : Computational Aspects and Analysis, SIAM 1991, Frontiers in Applied Mathematics vol. 9. [8] M. Kern, Problèmes inverses, Support de cours 2002- 2003, Ecole Supérieure d’Ingénieurs Léonard de Vinci, http://www-rocq.inria.fr/~kern/Teaching/ESILV/ inverse.pdf. [9] Coleman, T.F. and Y. 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