Identification d’un seuil de commutation pour une classe de systèmes hybrides autonomes

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-2:19945
DOI :

Résumé

Identification d’un seuil de commutation pour une classe de systèmes hybrides autonomes

Métriques

31
11
135.18 Ko
 application/pdf
bitcache://5c6c1b3e20eaa8de728257c5557ccdbc0ba50037

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2006-2/19945</identifier><creators><creator><creatorName>Muriel Gapaillard</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Identification d’un seuil de commutation pour une classe de systèmes hybrides autonomes</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sun 24 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sun 24 Sep 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Tue 13 Nov 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">5c6c1b3e20eaa8de728257c5557ccdbc0ba50037</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>33871</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Identification d’un seuil de commutation pour une classe de syst`emes hybrides autonomes Muriel Gapaillard Laboratoire d’Ing´enierie des Syst`emes Automatis´es 62, avenue Notre-Dame du Lac, 49000 Angers, France muriel.gapaillard@univ-nantes.fr R´esum´e— Un probl`eme d’identification portant sur des param`etres et un seuil de commutation pour des syst`emes hybrides autonomes est pr´esent´e. Une repr´esentation de ces syst`emes par des syst`emes continus sans commutation est introduite. Elle permet d’associer au probl`eme hybride des probl`emes classiques d’identification. Des r´esultats de con- vergence montrent qu’il est possible, lors d’une r´esolution, de remplacer le probl`eme hybride par un probl`eme issu de la repr´esentation. Une m´ethode de r´esolution, bas´ee sur le calcul des variations, met en ´evidence les simplifications ap- port´ees par la repr´esentation. Un exemple num´erique con- firme la validit´e pratique de cette m´ethode. Mots-cl´es—Identification, syst`emes hybrides, repr´esentation, convergence, calcul des variations. I. Introduction Les syst`emes hybrides, qui peuvent ˆetre d´efinis comme des syst`emes continus dans lesquels interviennent des ´ev´enements discrets, command´es ou autonomes (voir par exemple [1] et [2]), sont plus complexes `a ´etudier que les syst`emes continus. En particulier, en ce qui concerne les probl`emes d’identification, de nombreux r´esultats existent pour les syst`emes continus (voir par exemple [3] et [4]) mais l’identification des syst`emes hybrides doit faire appel `a des m´ethodes sp´ecifiques prenant en compte les discontinuit´es. Dans [5], par exemple, les auteurs utilisent une contrainte polynomiale qui d´ecouple l’identification des param`etres du mod`ele et l’estimation de l’´etat hybride. Afin de contourner les difficult´es li´ees aux syst`emes hy- brides, certains travaux pr´esentent des m´ethodes qui per- mettent de ramener l’´etude de syst`emes hybrides `a celle de syst`emes plus simples, souvent appel´es repr´esentation des syst`emes hybrides. Ainsi, dans [6], des r´esultats de stabilit´e pour des syst`emes `a commutations sont d´emontr´es en utili- sant une repr´esentation de ces syst`emes par des syst`emes `a commande perturb´ee sans commutation. Par ailleurs, dans [7] et [8], une repr´esentation continue pour des syst`emes hybrides `a sauts et commutations est introduite et utilis´ee pour r´esoudre plus facilement des probl`emes de commande optimale. On s’int´eresse ici `a un probl`eme d’identification pour des syst`emes hybrides `a commutation autonome. De tels syst`emes peuvent par exemple ˆetre utilis´es pour l’´etude du fonctionnement d’un thermostat ([9]) ou pour d´ecrire le mouvement d’une voiture (voir paragraphe V). Le probl`eme consid´er´e ici consiste `a identifier, `a partir de mesures effectu´ees, le seuil de commutation ainsi que des param`etres agissant sur les mod`eles. Il se traduit par la minimisation d’une fonction coˆut. Une m´ethode de r´esolution utilisant une repr´esentation des syst`emes hybrides est expos´ee. La repr´esentation, constitu´ee de syst`emes ne comportant plus de commutation, permet d’as- socier au probl`eme d’identification hybride des probl`emes non hybrides classiques. Des r´esultats de convergence mon- trent que la r´esolution de ces derniers permet d’obtenir une approximation des param`etres `a identifier tout en ´evitant les difficult´es li´ees aux discontinuit´es. En effet, en utilisant le formalisme du calcul des variations, des discontinuit´es apparaissent dans l’´etat adjoint associ´e au probl`eme hy- bride, ce qui complique le calcul des gradients de la fonction coˆut `a minimiser. En utilisant la repr´esentation introduite ici, l’´etat adjoint est continu et les calculs sont plus simples `a mener. Le probl`eme d’identification ´etudi´e est pr´esent´e, dans le paragraphe II, `a l’aide de syst`emes hybrides `a commuta- tion autonome et d’une fonction coˆut. La repr´esentation de ces syst`emes par des syst`emes sans commutation est in- troduite au paragraphe III ainsi que les probl`emes d’identi- fication associ´es. Le lien avec le probl`eme hybride est ´etabli `a l’aide de r´esultats de convergence. Au paragraphe IV, une m´ethode de r´esolution bas´ee sur le formalisme du calcul des variations est appliqu´ee aux deux types de probl`emes. Elle permet d’obtenir les expressions des gradients des fonctions coˆut. Les simplifications apport´ees par la repr´esentation sont mises en ´evidence. Enfin, au paragraphe V, un exem- ple de r´esolution num´erique d’un probl`eme d’identification est donn´e. Cette application montre les avantages pratiques de la repr´esentation. II. Pr´esentation du probl`eme hybride A. Syst`emes hybrides ´etudi´es Soit a une valeur seuil appartenant `a un ensemble ferm´e born´e K, inclus dans R, et j un indice fix´e dans {1, . . ., d} o`u d ≥ 1. On consid`ere alors les syst`emes hybrides `a com- mutation autonome suivants    ˙x(t) = f1 p1, x(t) si xj(t) < a ˙x(t) = f2 p2, x(t) sinon x(t0)= x0 (1) o`u t ∈ [t0, tf], t0 et tf ´etant fix´es dans R+ , et o`u les param`etres p1 et p2 appartiennent respectivement `a des ensembles ferm´es born´es P1 et P2 de R , ≥ 1. Les fonc- tions f1 et f2, `a valeurs dans Rd , sont suppos´ees de classe C1 sur U × Rd , o`u U est un ouvert de R contenant P1 et P2. De plus, on suppose qu’elles v´erifient ∃C1 > 0 ∃C2 > 0 ∀i ∈ {1, 2} ∀(p, x) ∈ U × Rd fi(p, x) <− C1 x + C2 (2) o`u . d´esigne la norme euclidienne de Rd . Pour assurer l’unicit´e de la commutation, on suppose f1 et f2 `a valeurs strictement positives. De plus, pour la sim- plicit´e de l’expos´e et sans perte de g´en´eralit´e, on suppose que l’´etat initial x0, fix´e dans Rd , est tel que x (j) 0 < a. Avec ces hypoth`eses, les th´eor`emes classiques sur les ´equations diff´erentielles (voir par exemple [10] et [11]) per- mettent d’assurer l’existence et l’unicit´e d’une solution globale pour le syst`eme (1). B. Fonction coˆut associ´ee On consid`ere le syst`eme (1) o`u les param`etres p1, p2 et le seuil a sont suppos´es inconnus. Afin d’identifier ces param`etres, on dispose de mesures x(ti) effectu´ees sur le syst`eme en un nombre fini d’instants t1, t2, . . . , tN appar- tenant `a l’intervalle [t0, tf ]. On note P = P1×P2. Pour (p, a) ∈ P×K, on d´esigne par x(p, a, .) la solution du syst`eme (1), d´efinie sur [t0, tf], o`u p repr´esente le couple (p1, p2). On traduit alors le probl`eme d’identification par la minimisation sur P×K de la fonction coˆut d´efinie par ∀(p, a) ∈ P × K J(p, a) = 1 2 N i=1 x(p, a, ti) − x(ti) 2 . Pour ´etablir, au paragraphe III, les r´esultats de conver- gence, on se place dans un cadre th´eorique dans lequel on dispose de mesures `a chaque instant. On remplace donc la fonction coˆut, d´efinie ci-dessus, par une nouvelle fonction coˆut, encore not´ee J, faisant intervenir un ´etat observ´e con- tinu x d´efini sur l’intervalle [t0, tf ] tout entier. Cette fonc- tion est d´efinie par ∀(p, a) ∈ P × K J(p, a) = 1 2 tf t0 x(p, a, t) − x(t) 2 dt = 1 2 x(p, a, .) − x 2 L2(t0,tf ) . III. Formulation non hybride du probl`eme A. Repr´esentation des syst`emes hybrides Le syst`eme hybride (1) peut ˆetre r´ecrit de la fa¸con sui- vante    ˙x(t) = H a − xj(t) f1 p1, x(t) + 1 − H a − xj(t) f2 p2, x(t) x(t0) = x0 (3) o`u t ∈ [t0, tf] et H repr´esente la fonction de Heaviside. On choisit d’approcher H par la suite de fonctions Hn n≥1 o`u la fonction Hn, de classe C1 , est d´efinie sur R par    Hn(t) = 0 si t < −1/n Hn(t) = 1 2 1 + cos(nπt) si t ∈ [−1/n, 0] Hn(t) = 1 si t > 0 . En rempla¸cant H par Hn dans le syst`eme (3), on obtient le syst`eme continu sans commutation suivant    ˙x(t) = Hn a − xj(t) f1 p1, x(t) + 1 − Hn a − xj(t) f2 p2, x(t) x(t0) = x0 . (4) La suite, qui d´epend de n, form´ee par les syst`emes (4), est la repr´esentation du syst`eme hybride (1). Ceci est justifi´e par la convergence ´etablie au th´eor`eme 1 ci-apr`es. B. Probl`emes d’identification associ´es Le syst`eme (4) admet une unique solution, de classe C1 sur [t0, tf ]. On note xn(p, a, .) cette solution, o`u p = (p1, p2), et on associe au probl`eme hybride d´ecrit au para- graphe II une suite de nouveaux probl`emes d’identification, d´ependant de n, qui consistent `a minimiser sur P × K la fonction coˆut Jn d´efinie par ∀(p, a) ∈ P × K Jn(p, a) = 1 2 xn(p, a, .) − x 2 L2(t0,tf ) . (5) C. Lien avec le probl`eme hybride Deux r´esultats de convergence sont ´etablis dans ce para- graphe. Le th´eor`eme 1 prouve la convergence uniforme des ´etats des syst`emes (4) vers celui du syst`eme (1) tandis que le th´eor`eme 2 montre la convergence `a ε pr`es (voir [12] pour cette notion) des solutions des probl`emes issus de la repr´esentation vers celles du probl`eme hybride. C.1 Lien entre les ´etats des syst`emes On suppose ici p1, p2 et a fix´es. Pour all´eger les no- tations, on notera alors x et xn au lieu de x(p, a, .) et xn(p, a, .) respectivement. Lemme 1. Il existe des constantes positives M et M telles que (a) ∀t ∈ [t0, tf] ∀n > 0 xn(t) <− M ; (b) ∀t ∈ [t0, tf ] x(t) <− M . D´emonstration. (a) Soit n > 0 et t ∈ [t0, tf]. On a xn(t) = x0 + t t0 Hn a − x (j) n (s) f1 p1, xn(s) ds + t t0 1 − Hn a − x (j) n (s) f2 p2, xn(s) ds , d’o`u xn(t) <− x0 + t t0 f1 p1, xn(s) ds + t t0 f2 p2, xn(s) ds . De plus, grˆace `a (2), on peut ´ecrire xn(t) <− x0 + t t0 2C1 xn(s) + 2C2 ds . On obtient donc xn(t) <− x0 + 2C2(tf − t0) + 2C1 t t0 xn(s) ds et, finalement, le lemme de Gronwall (voir [13]) permet d’obtenir xn(t) <− x0 + 2C2(tf − t0) exp 2C1(tf − t0) . (b) Soit τ = inf{t ≥ 0; a − xj(t) = 0} et t ∈ [t0, min(τ, tf)]. On a, par d´efinition de x x(t) = x0 + t t0 f1 p1, x(s) ds et, grˆace `a (2), on obtient x(t) <− x0 + C2(tf − t0) + C1 t t0 x(s) ds . Comme x est continue sur [t0, tf], le lemme de Gronwall permet d’´ecrire x(t) <− K1 o`u K1 = x0 + C2(tf − t0) exp C1(tf − t0) . Si τ ≥ tf , le r´esultat est d´emontr´e. Supposons τ < tf et soit t ∈ [τ, tf ]. On a x(t) = x(τ) + t τ f2 p2, x(s) ds donc (2) entraˆıne x(t) <− K1 + C2(tf − t0) + C1 t τ x(s) ds et le lemme de Gronwall implique x(t) <− K2 o`u K2 = K1 + C2(tf − t0) exp C1(tf − t0) . Finalement, on peut ´ecrire ∀t ∈ [t0, tf] x(t) <− max(K1, K2) . Th´eor`eme 1. La suite (xn)n>0 converge uniform´ement vers x sur [t0, tf]. D´emonstration. Soit n > 0. Par d´efinition de Hn, on a Hn(a − xj) = 1 ⇔ xj <− a . Il s’ensuit, en remarquant que x (j) 0 < a, que le syst`eme con- tinu ´evolue initialement comme le syst`eme hybride jusqu’`a l’instant τ o`u τ = inf{t ≥ t0; a − xj(t) = 0}. Si τ ≥ tf alors xn ≡ x sur [t0, tf] et le th´eor`eme est d´emontr´e. Supposons maintenant τ < tf. On a ∀t ∈ [t0, τ] xn(t) = x(t) . (6) Il reste `a montrer la convergence de xn vers x sur [τ, tf]. Soit t ∈ [τ, tf ]. On a x(t) = x(τ) + t τ f2 p2, x(s) ds et xn(t) = x(τ) + t τ Hn a − x (j) n (s) f1 p1, xn(s) ds + t τ 1 − Hn a − x (j) n (s) f2 p2, xn(s) ds , d’o`u x(t) − xn(t) <− t τ f2 p2, x(s) − f2 p2, xn(s) ds + t τ Hn a − x (j) n (s) f1 p1, xn(s) ds + t τ Hn a − x (j) n (s) f2 p2, xn(s) ds . (7) Or, grˆace au lemme 1 et comme f2 est de classe C1 , l’in´egalit´e des accroissements finis donne ∀s ∈ [t0, tf] f2 p2, x(s) − f2 p2, xn(s) <− C x(s) − xn(s) o`u C est une constante positive. On d´eduit alors de (7) x(t) − xn(t) <− C t τ x(s) − xn(s) ds + (M1 + M2) t τ Hn a − x (j) n (s) ds (8) o`u on a pos´e Mi = supPi×[−M,M]d fi , i = 1, 2, avec M donn´e par le lemme 1. L’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par xn permet d’´ecrire ∀s ∈ [τ, t] ˙x (j) n (s) ≥ Hn a − x (j) n (s) m1 + 1 − Hn a − x (j) n (s) m2 (9) avec mi = infPi×[−M,M]d f (j) i , i = 1, 2. Comme f1 et f2 sont continues, elles atteignent leur mi- nimum sur tout ensemble ferm´e born´e, et comme elles sont strictement positives, on d´eduit de (9) ∀s ∈ [τ, t] ˙x (j) n (s) ≥ m > 0 o`u m = min(m1, m2). On peut alors ´ecrire t τ Hn a − x (j) n (s) ds <− 1  m t τ Hn a − x (j) n (s) ˙x (j) n (s) ds . Par d´efinition de τ et d’apr`es (6), on a x (j) n (τ) = a. En effectuant le changement de variable T = a − x (j) n (s) dans la derni`ere int´egrale, on obtient alors t τ Hn a − x (j) n (s) ds <− 1  m 0 a−x (j) n (t) Hn(T) dT <− 1  m 0 −1/n Hn(T) dT <− 1 n   m . Finalement, on a d’apr`es (8) x(t) − xn(t) <− C t τ x(s) − xn(s) ds + M1+M2 n   m et, comme x se raccorde continˆument, le lemme de Gron- wall (voir [13]) permet d’obtenir x(t) − xn(t) <− M1+M2 n   m exp C(tf − τ) , ce qui ach`eve la d´emonstration. C.2 Lien entre les solutions des probl`emes hybride et issus de la repr´esentation Soit ε > 0. On pose mn = infP×K Jn . Soit alors pn = (p (1) n , p (2) n ) ∈ P et an ∈ K tels que Jn(pn, an) < mn + ε 4 . (10) Proposition 1. La suite J(pn, an)−Jn(pn, an) n>0 con- verge vers 0. D´emonstration. En adaptant la d´emonstration du th´eor`eme 1, on obtient limn→+∞ xn(pn, an, .) − x(pn, an, .) 2 χ[t0,tf ] = 0 . Le lemme 1, dont la d´emonstration est encore valable dans le cas pr´esent, permet d’appliquer le th´eor`eme de con- vergence domin´ee de Lebesgue (voir par exemple [14]), et il en r´esulte limn→+∞ xn(pn, an, .) − x(pn, an, .) L2(t0,tf ) = 0 . Finalement, comme xn(pn, an, .)−x L2([t0,tf ]) − x(pn, an, .)−x L2([t0,tf ]) <− xn(pn, an, .) − x(pn, an, .) L2([t0,tf ]) , on obtient le r´esultat annonc´e. Th´eor`eme 2. Il existe N > 0 tel que pour tout n ≥ N, (pn, an), choisi en (10), r´ealise un minimum `a ε pr`es pour la fonction coˆut J, c’est-`a-dire m <− J(un) <− m + ε o`u m = infP×K J. D´emonstration. Soit n > 0 . D’apr`es (10), on a ∀(p, a) ∈ P × K Jn(pn, an) < Jn(p, a) + ε 4 . Soit N1 > 0, donn´e par la proposition 1, tel que ∀n ≥ N1 J(pn, an) − ε 4 < Jn(pn, an) . On obtient alors ∀(p, a) ∈ P × K ∀n ≥ N1 J(pn, an) < Jn(p, a) + ε 2 . (11) Soit maintenant (˜p, ˜a) ∈ P × K tel que J(˜p, ˜a) < m + ε 4 . L’in´egalit´e (11) permet d’´ecrire ∀n ≥ N1 J(pn, an) < Jn(˜p, ˜a) + ε 2 . Avec les mˆemes arguments que pour la proposition 1, on montre que limn→+∞ Jn(˜p, ˜a) = J(˜p, ˜a) . Soit donc N2 > 0 tel que ∀n ≥ N2 Jn(˜p, ˜a) < J(˜p, ˜a) + ε 4 . En posant N = max{N1, N2}, on obtient alors ∀n ≥ N J(pn, an) < J(˜p, ˜a) + 3ε 4 < m + ε . Le th´eor`eme 2 ci-dessus permet de remplacer la r´esolution du probl`eme hybride par celle d’un probl`eme issu de la repr´esentation. Une illustration num´erique de ce r´esultat sera donn´ee au paragraphe V. IV. M´ethode de r´esolution En vue d’utiliser une m´ethode de descente, on va appli- quer le formalisme du calcul des variations afin d’obtenir les gradients des fonctions coˆut J et Jn (voir par exemple [15] et [16] pour de tels calculs). A. Calcul des gradients pour le probl`eme hybride En notant x `a la place de x(p, a, .), on introduit une nouvelle fonction J `a l’aide d’un ´etat adjoint λ et d’un multiplicateur µ. Cette fonction est d´efinie par ∀(p, a) ∈ P × K J(p, a) = 1 2 tf t0 x(t) − x(t) 2 dt + µ xj(τ) − a + τ t0 λ(t) ˙x(t) − f1 p1, x(t) dt + tf τ λ(t) ˙x(t) − f2 p2, x(t) dt o`u τ repr´esente l’instant de commutation sur le seuil a. La variation de J suivant la direction (ϕ, ν), o`u ϕ ap- partient `a l’espace d’´etat et ν = (ν1, ν2) appartient `a l’espace des param`etres, s’´ecrit δJ = tf t0 x(t) − x(t) ϕ(t) dt + µ δxj(τ) − µ δa + τ t0 λ(t) ˙ϕ(t) − ∂f1 ∂x p1, x(t) λ(t) ϕ(t) dt + λ(τ− ) ˙x(τ− ) − f1 p1, x(τ) δτ − τ t0 ∂f1 ∂p1 p1, x(t) λ(t) ν1(t) dt + tf τ λ(t) ˙ϕ(t) − ∂f2 ∂x p2, x(t) λ(t) ϕ(t) dt − λ(τ) ˙x(τ) − f2 p2, x(τ) δτ − tf τ ∂f2 ∂p2 p2, x(t) λ(t) ν2(t) dt . En int´egrant par parties et en utilisant les relations ∀t ∈ [t0, tf ] ν1(t) = δp1 et ν2(t) = δp2 , et ϕ(τ− ) = δx(τ) − ˙x(τ− ) δτ , ϕ(τ) = δx(τ) − ˙x(τ) δτ , ϕ(tf ) = δx(tf ) , ϕ(t0) = 0 , on obtient δJ = tf t0 x(t) − x(t) ϕ(t) dt + λ(tf) δx(tf ) + λ(τ− ) − λ(τ) δx(τ) + µ δxj(τ) − µ δa + λ(τ) f2 p2, x(τ) − λ(τ− ) f1 p1, x(τ) δτ − τ t0 ˙λ(t) + ∂f1 ∂x p1, x(t) λ(t) ϕ(t) dt − tf τ ˙λ(t) + ∂f2 ∂x p2, x(t) λ(t) ϕ(t) dt − τ t0 λ(t) ∂f1 ∂p1 p1, x(t) dt δp1 − tf τ λ(t) ∂f2 ∂p2 p2, x(t) dt δp2 et le syst`eme adjoint s’´ecrit    λ(tf) = 0 ˙λ(t) = −∂f2 ∂x p2, x(t) λ(t) +x(t) − x(t) si t ∈ [τ, tf] λ(τ− ) = λ(τ) − µ γ ˙λ(t) = −∂f1 ∂x p1, x(t) λ(t) +x(t) − x(t) si t ∈ [t0, τ[ o`u γ = (γi) 1 <− i <− d avec γj = 1 et γi = 0, si i = j. La j`eme composante de l’´etat adjoint λ est discontinue `a l’instant τ. Pour calculer λj (τ− ) et µ, il suffit d’utiliser la d´efinition de γ et les relations λ(τ) f2 p2, x(τ) − λ(τ− ) f1 p1, x(τ) = 0 et λ(τ− ) = λ(τ) − µ γ . On peut en effet ´ecrire λj (τ− ) = 1 f (j) 1 p1,x(τ) λj(τ)f (j) 2 p2, x(τ) + d i=1 i=j λi(τ) f (i) 2 p2, x(τ) − f (i) 1 p1, x(τ) (12) et on en d´eduit µ par la formule µ = λj(τ) − λj(τ− ) . Les expressions des gradients par rapport `a p1 et p2 sont donn´ees par : Jp1 = − τ t0 λ(t) ∂f1 ∂p1 p1, x(t) dt ; Jp2 = − tf τ λ(t) ∂f2 ∂p2 p2, x(t) dt et le gradient par rapport au seuil a s’´ecrit Ja = −µ . B. Calcul des gradients pour les probl`emes issus de la repr´esentation `A l’aide d’un ´etat adjoint λn, on introduit dans Jn l’´equation d’´etat v´erifi´ee par xn. On d´efinit alors une nou- velle fonction Jn par ∀(p, a) ∈ P × K Jn(p, a) = 1 2 tf t0 xn(t) − x(t) 2 dt + tf t0 λn(t) ˙xn(t) − Hn a − x (j) n (t) f1 p1, xn(t) − 1 − Hn a − x (j) n (t) f2 p2, xn(t) dt . La variation de Jn suivant la direction (ϕn, ν) o`u ϕn appartient `a l’espace d’´etat et ν = (ν1, ν2, ν3) appartient `a l’espace des param`etres, s’´ecrit δJn = tf t0 λn(t) ˙ϕn(t) − ∂Hn ∂xn xn(t), p, a, λn(t) ϕn(t) dt − tf t0 ∂Hn ∂p1 xn(t), p, a, λn(t) ν1(t) dt − tf t0 ∂Hn ∂p2 xn(t), p, a, λn(t) ν2(t) dt − tf t0 ∂Hn ∂a xn(t), p, a, λn(t) ν3(t) dt , o`u on a pos´e Hn xn(t), p, a, λn(t) = −1 2 xn(t) − x(t) 2 + λn(t) Hn a − x (j) n (t) f1 p1, xn(t) + 1 − Hn a − x (j) n (t) f2 p2, xn(t) . En int´egrant par parties et en remarquant que ∀t ∈ [t0, tf] ν(t) = (δp1, δp2, δa) , ϕn(tf) = δxn(tf ) , ϕn(t0) = 0 , on obtient δJn = λn(tf ) δxn(tf ) − tf t0 ˙λn(t) + ∂Hn ∂xn xn(t), p, a, λn(t) ϕn(t) dt − tf t0 ∂Hn ∂p1 xn(t), p, a, λn(t) dt δp1 − tf t0 ∂Hn ∂p2 xn(t), p, a, λn(t) dt δp2 − tf t0 ∂Hn ∂a xn(t), p, a, λn(t) dt δa . On obtient alors le syst`eme adjoint λn(tf ) = 0 ˙λn(t) = −∂Hn ∂xn xn(t), p, a, λn(t) , t ∈ [t0, tf] (13) et les expressions des gradients par rapport `a p1 et p2 ∀i ∈ {1, 2} Jn pi = − tf t0 ∂Hn ∂pi xn(t), p, a, λn(t) dt (14) et par rapport au seuil a Jn a = − tf t0 ∂Hn ∂a xn(t), p, a, λn(t) dt . (15) C. Comparaison des calculs Contrairement `a ce qui a ´et´e obtenu dans le cadre hy- bride, le syst`eme adjoint, pour le probl`eme issu de la repr´esentation, ne comporte pas de discontinuit´e. L’utili- sation de la repr´esentation permet donc d’´eviter, `a chaque it´eration, le calcul (12) du saut de l’´etat adjoint. De plus, l’instant de commutation τ, qui d´epend du seuil a et aussi de p1, doit ˆetre calcul´e dans le cas hybride `a chaque ´etape du processus it´eratif du calcul des param`etres `a identifier. Avec la repr´esentation, ce calcul est inutile car cet instant n’intervient pas explicitement dans le syst`eme adjoint ni dans les expressions des gradients. Enfin, la comparaison des longueurs des calculs effectu´es montre que ceux-ci sont plus simples lorsque l’on fait intervenir la repr´esentation du syst`eme hybride. V. Illustration num´erique Nous pr´esentons ici un exemple num´erique de r´esolution d’un probl`eme hybride d’identification `a l’aide de la repr´esentation introduite au paragraphe III et des r´esultats obtenus au paragraphe IV. On consid`ere les fonctions f1 et f2 d´efinies par : ∀i ∈ {1, 2} ∀(pi, x) ∈ Pi × R2 fi(pi, x) = x2, pi gi(x2) , o`u on a pos´e gi(x2) = 1/ 1 + exp (−4i + 6)(x2 − 4) . Les fonctions f1 et f2 ci-dessus v´erifient l’´equation (2). Elles ne sont pas `a valeurs strictement positives sur Pi × R2 . Cependant, si on suppose x (2) 0 > 0, elles sont `a valeurs strictement positives sur [x (1) 0 , +∞[×[x (2) 0 , +∞[. La conver- gence ´enonc´ee au th´eor`eme 1 est encore vraie dans ce cas. Il suffit en effet de remplacer [−M, M]d , o`u d = 2, par [x (1) 0 , M] × [x (2) 0 , M] dans la d´emonstration. Le syst`eme (1) construit avec ces fonctions et dans lequel on a choisi j = 2 d´ecrit le mouvement d’une voiture `a deux rapports de transmission : `a l’instant t0, le premier rapport est utilis´e avec une acc´el´eration p1, jusqu’`a ce que la vitesse de la voiture franchisse un seuil a et le second rapport est alors enclench´e avec une acc´el´eration p2. Afin d’identifier, `a partir de N mesures, les acc´el´erations p1 et p2 et le seuil de commutation a, on utilise la repr´esentation (4) du syst`eme hybride et on cherche `a min- imiser la fonction coˆut Jn d´efinie en (5). Le syst`eme adjoint (13) permet d’obtenir les expressions suivantes des gradi- ents de Jn par rapport `a p1, p2 et a, ´etablies en (14) et (15) : Jn p1 = − tf t0 λ (2) n (t)Hn a − x (2) n (t) g1 x (2) n (t) dt ; Jn p2 = − tf t0 λ (2) n (t) 1−Hn a−x (2) n (t) g2 x (2) n (t) dt ; Jn a = − tf t0 λ (2) n (t) ˙Hn a − x (2) n (t) f1 p1, xn(t) − f2 p2, xn(t) dt . Ces expressions sont utilis´ees pour mettre en œuvre une m´ethode de gradient `a pas fixe. Le table 1 montre les valeurs utilis´ees pour effectuer l’ap- plication num´erique. Les mesures x(ti), i = 1, . . . , N, ont ´et´e obtenues en r´esolvant le syst`eme hybride avec p1 = 0.2, p2 = 0.7 et TABLE I Valeurs utilis´ees pour l’application Param`etres Valeurs t0 0 tf 10 x0 (0, 3) n 5000 N 25 Pi, i = 1, 2 [0.1, 1.5] K [3.5, 4.2] a = 4. L’initialisation a ´et´e effectu´ees avec p1 = 0.5000, p2 = 1.0000 et a = 3.7000. Apr`es 1000 it´erations, on a obtenu p1 = 0.2002, p2 = 0.6967 et a = 4.0056. La repr´esentation a permis de r´esoudre num´eriquement de fa¸con satisfaisante le probl`eme hybride. De plus, elle a apport´e des simplifications dans la programmation. Ainsi, un solver classique suffit pour r´esoudre le syst`eme con- tinu alors que la commutation autonome, intervenant dans le syst`eme hybride, oblige `a utiliser un solver non n´ecessairement disponible sur tous les logiciels scientifiques. En effet, le solver servant `a la r´esolution du syst`eme hybride doit ˆetre capable de g´erer un arrˆet sur ´ev´enement. La fonc- tion ode23 de Matlab, utilis´ee avec l’option events, en est un exemple mais son emploi devient, avec cette option, assez d´elicat. D’autre part, le calcul de l’´etat adjoint associ´e au probl`eme hybride n´ecessite, en plus de plusieurs appels `a la fonction ode23, le calcul du saut. Avec la repr´esentation, l’´etat adjoint s’obtient avec un simple appel `a ode23, ce qui rend la programmation plus ais´ee. VI. Conclusion Nous avons pr´esent´e une m´ethode permettant de simpli- fier la r´esolution d’un probl`eme d’identification pour des syst`emes hybrides `a commutation autonome. Afin d’´eviter les difficult´es li´ees aux discontinuit´es, les syst`emes hybrides ont ´et´e approch´es par une suite de syst`emes continus sans commutation, appel´ee repr´esentation. Celle-ci a ´et´e utilis´ee pour r´esoudre le probl`eme hybride. Cette approche a ´et´e justifi´ee par des th´eor`emes de convergence. La repr´esentation a permis de simplifier le calcul des gra- dients de la fonction coˆut associ´ee au probl`eme d’identifi- cation ainsi que la programmation de la mise en œuvre num´erique. R´ef´erences [1] P. J. Antsaklis et A. Nerode, ¡ Hybrid control systems : An In- troductory Discussion to the Special Issue, ¢ IEEE Transactions on Automatic Control, 43(4), 457-460, 1998. [2] A. Van Der Schaft et H. Schumacher, An Introduction to Hybrid Dynamical Systems, Springer-Verlag, Londres, 2000. [3] P. Eykhoff, System Identification : Parameter and State Esti- mation, Wiley, Londres, 1974. [4] L. Ljung, System Identification : Theory for the User, Prentice Hall, Upper River NJ, 1999. [5] R. Vidal, S. Soatto, Y. Ma, et S. Sastry, ¡ An algebraic geo- metric approach to the identification of a class of linear hybrid systems, ¢ Proceedings of IEEE-CDC, 167-172, 2003. [6] L. Mancilla-Aguilar, R. Garcia, E. D. Sontag et Y. Wang, ¡ On the representation of switched systems with inputs by perturbed control systems, ¢ Nonlinear Analysis : Theory, Methods & Ap- plications, 60, 1111-1150, 2005. [7] M. Gapaillard, ¡ Repr´esentation de syst`emes hybrides par des syst`emes continus, application `a la commande, ¢ Actes de CIFA,, 2004. [8] M. Gapaillard, ¡ Continuous representation for a class of optimal hybrid control problems, ¢ Proceedings of IFAC World Congress, 2005. [9] C. Qu´emard, J. C. Jolly et J. L. Ferrier, ¡ Mathematical study of a thermal device as a hybrid system, ¢ Proceedings of IMACS World Congress, 2005. [10] J. Dieudonn´e, Fondements de l’analyse moderne, Gauthier- Villars, Paris, 1960. [11] C. Zuily et H. Queff´elec, ´El´ements d’analyse, Dunod, Paris, 2002. [12] J. P. Aubin, Mathematical methods of game and economic the- ory, North Holland, 1982. [13] E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, I, Springer-Verlag, New-York, 1993. [14] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw Hill, New York, 1987. [15] E. B. Bryson et Y. C. Ho, Applied Optimal Control, Gin and Company, Waltham, 1968. [16] M. El Bagdouri, B. C´ebron, M. Sechilariu et J. Burger, ¡ Varia- tional Formalism Applied to the Control of Autonomous Switch- ing Systems, ¢ Control and Cybernetics, 2004.