Estimation Active de la Phase Initiale des Moteurs Synchrones

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-2:19943
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Estimation Active de la Phase Initiale des Moteurs Synchrones

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Estimation Active de la Phase Initiale des Moteurs Synchrones Jérémy Malaizé1,2, Jean Lévine1, Roger Desailly2 1Centre Automatique et Systèmes École Nationale Supérieure des Mines de Paris, 35 rue Saint-Honoré, 77300 Fontainebleau, France 2 Micro-Controle Z.I. de Beaune-la-Rolande , 45340 Beaune-la-Rolande, France jeremy.malaize@newport.com, jean.levine@ensmp.fr, roger.desailly@newport.com RésuméOnconsidèreleproblèmed'estimationdelaphaseinitiale (ou angle de calage) à partir de mouvements micro-métriques pour les moteurs synchrones. La méthode n'uti-lise que des mesures de déplacement et le gain du moteur,sachargeetlesfrottementssontinconnus.Lemodèleutiliséest à second membre discontinu en raison des frottements.On génère une famille de trajectoires (méthode active) per-mettant d'obtenir la phase initiale comme fonction de l'am-plitudedesdéplacementsenséparantlescontributionsdelaphase initiale, des frottements et de la masse. Cette sépa-ration est obtenue grâce à une classication des comporte-ments dynamiques du système à second membre discontinuen réponse à des entrées périodiques. Une formule appro-chée de l'estimée est proposée et des résultats expérimen-taux présentés. On compare ces résultats avec ceux d'uneméthode classique, implémentable dans les mêmes condi-tions. Mots-clésmoteurs synchrones, phase initiale, angle de ca-lage, estimation, planication de trajectoires, classicationd'orbites périodiques. I. Introduction On s'intéresse aux moteurs synchrones linéaires et rota- tifs utilisés dans des applications de positionnement haute précision, telles que la fabrication des micro-processeurs ([1] et [2]). La suppression du système collecteur-balai per- met d'atteindre un niveau de performance supérieur tout en garantissant une meilleure abilité. En présence de balais, les commutations de courant, ainsi que l'initialisation du moteur, sont réalisées mécaniquement. Par contre, en l'ab- sence de contact, pour réaliser les commutations en phase avec le champ magnétique, des mesures supplémentaires et un algorithme sont nécessaires. C'est cette synchronisation du courant avec la position des bobines au sein du champ magnétique que l'on appelle initialisation. Cet article pro- pose une méthode pour estimer la position initiale (modulo la période magnétique) du rotor des moteurs synchrones en n'utilisant que des mesures de déplacement1. Pour certaines applications industrielles, on cherche à pi- loter les moteurs synchrones avec un minimum de capteurs. Les capteurs de courant sont préférés à ceux de position qui sont nettement plus onéreux et délicats à installer et mettre en ÷uvre. De nombreuses contributions permettent de dé- terminer la position initiale du rotor (par rapport au champ 1La méthode fait l'objet d'un dépôt de brevet en cours aux USA. magnétique) à partir de mesures de courant. On distingue principalement deux méthodes dont la première consiste à estimer la force contre-électromotrice induite dans le mo- teur à l'aide d'un observateur ([3] et [4]), et la seconde à évaluer la valeur de l'inductance des phases électriques du moteur en envoyant des signaux spéciques ([5], [6] ou [7]), ou aucun signal ([8] ou [9]). Pour atteindre des précisions micrométriques, voire infé- rieures, il est indispensable d'ajouter des capteurs optiques de position. Les résolveurs, ou capteurs absolus sont très onéreux et diciles à mettre en place. Dans cet article, les capteurs utilisés sont des codeurs optiques incrémen- taux qui mesurent le déplacement relatif autour de la posi- tion initiale. Pour des raisons technologiques qui sortent du cadre de cet article, les mesures électriques ne sont pas uti- lisées ici. La gure 1 montre le schéma bloc de l'ensemble moteur, contrôleur, initialisation. Insistons sur le fait que, dans les conditions de la gure 1, il n'est pas nécessaire d'ajouter des capteurs à eet Hall redondants et qui se- raient uniquement dédiés à l'initialisation. A cette solution technologique, on oppose une méthode algorithmique utili- sant des capteurs de toutes façons indispensables pour les applications de haute précision considérées. prédénies Contrôleur de courant Moteur synchrone Capteur de déplacement Capteur de courant Consignes Méthode d'initialisation Fig. 1. Procédure d'estimation. Dans le contexte de la gure 1, on peut envisager une pre- mière solution (dite  classique  par la suite) qui consiste à maintenir un courant constant sur une des phases du moteur jusqu'au repos mécanique. Il est alors possible de relier les informations fournies par les codeurs incrémen- taux au champ magnétique. Cette méthode présente ce- pendant l'inconvénient de générer des déplacements dont l'amplitude est comparable à la période spatiale du champ magnétique, c'est-à-dire plusieurs millimètres. Cet aspect n'est pas acceptable pour les applications considérées. Dans ce travail, les déplacements générés peuvent être choisis arbitrairement faibles (typiquement quelques cen- P i1 i2 l P 2 P 4 0 x Fig. 2. Moteur linéaire biphasé. taines de microns). L'originalité des résultats provient d'une part de l'utilisation d'un capteur de déplacement pour déterminer la position initiale (modulo le pas des ai- mants) sans mesurer le champ magnétique, ni utiliser les mesures de courant, et, d'autre part, du fait que les para- mètres du moteur (gain, masse embarquée et frottements) ne sont pas connus. Dans ces conditions, la méthode pro- posée estime la phase initiale tout en ne nécessitant que peu de calculs. Dans la suite, on modélise la dynamique des moteurs synchrones tout en mettant en évidence les enjeux relatifs à la détermination de la phase initiale avec précision : ga- rantir un positionnement stable et précis tout en ayant une ecacité énergétique maximale (section II). On établit en- suite le lien existant entre la phase initiale et l'amplitude des déplacements en réponse à une sollicitation périodique (section III). Cette analyse s'appuie notamment sur une classication complète des orbites périodiques du système soumis à des oscillations forcées. En particulier, on montre comment l'amplitude des frottements, modélisés par une fonction du signe de la vitesse et donnant lieu à un sys- tème à second membre discontinu au sens de Filippov [10], modie les trajectoires suivies par le système. On compare alors le déplacement mesuré à celui prédit par cette classi- cation pour en extraire la phase initiale en s'appuyant de plus sur une approximation. Dans la section IV, des résul- tats expérimentaux valident les diérentes hypothèses et illustrent la supériorité de notre méthode par rapport à la méthode  classique . II. Le problème d'estimation A. Modèle des moteurs synchrones Par souci de simplicité, on ne considère que les moteurs linéaires synchrones biphasés (gure 2), la transposition au cas général étant immédiate. Une voie magnétique crée un champ sinusoïdal d'amplitude inconnue B0 et de période spatiale connue P. En notant l la longueur des enroule- ments actifs, la force F1 créée par la première phase est donnée par : F1 = i1 l B0 sin 2π P x + (−i1) l B0 sin 2π P (x − P 2 ) = Km i1 sin 2π P x = Km i1 sin 2π P (x0 + d) , (1) avec Km = 2 l B0 le gain du moteur, x0 la position initiale, x la position instantanée et d = x − x0 le déplacement. Un calcul analogue à (1) conduit à l'expression de la force F2 engendrée par la seconde phase : F2 = Km i2 cos 2 π P (x0 + d) . (2) Dans (1) et (2), les courants i1 et i2 sont supposés en ré- gime établi. En réalité, leur dynamique est stable et rapide par rapport à la dynamique mécanique grâce à un contrô- leur de courant, déjà mentionné gure 1. Le fonctionnement complet du moteur se résume alors à : ¨x = Km m i1 sin 2π P (x0+d) + i2 cos 2π P (x0+d) − f m sign( ˙x) (3) où les frottements secs sont modélisés par la fonction f sign( ˙x). Leur intensité f, tout comme le gain Km et la charge m sont inconnus. Pour piloter (3), puisque x0 est inconnu, supposons connue une estimée x0 (rappelons que sa détermination est l'objet de cet article). On propose de choisir les courants i1 et i2 comme suit : i1 = I(t) sin 2π P (x0 + d) + ϕ i2 = I(t) cos 2π P (x0 + d) + ϕ , (4) avec I(t) une consigne de courant et ϕ un degré de liberté supplémentaire. L'équation (3) avec ces consignes s'écrit : ¨x = Km m cos(ϕ0 − ϕ0 − ϕ) I(t) − f m sign( ˙x), avec ϕ0 = 2 π P x0 la phase initiale et ϕ0 = 2 π P x0. On note Km et m des estimées de Km et m respective- ment. Comme bKm bm I est homogène à une accélération, on note dans la suite : Km m I(t) = ¨xref (t) (5) ce qui, avec α = Km m × bm bKm , donne : ¨x = α cos(ϕ0 − ϕ0 − ϕ) ¨xref (t) − f m sign( ˙x). (6) B. Rôle de la phase initiale Dans l'équation (6), seules la consigne ¨xref (t) et la va- riable ϕ sont à la disposition de l'utilisateur. Grâce à ces degrés de liberté, on cherche une estimée ϕ0 de la phase ini- tiale ϕ0 malgré la méconnaissance des autres paramètres du système. Quand on xe ϕ = 0, la force développée par le moteur se met sous la forme : F = F1 + F2 = Km cos(ϕ0 − ϕ0) I(t), soit |F| ≤ |Km I(t)| = m α |¨xref (t)| . Ainsi, pour une consigne ¨xref (t) donnée, la force dévelop- pée est inférieure en norme à la valeur désirée dès que ϕ0 est erroné. En raison de la dissipation thermique qui en ré- sulte, l'ecacité énergétique n'est donc optimale que si ϕ0 est précisément déterminé. De plus, le gain de la boucle ouverte entre x et ¨xref dépend de cos(ϕ0 − ϕ0). La qualité de l'estimation est éga- lement nécessaire pour assurer précision et stabilité du po- sitionnement des moteurs synchrones. III. La méthode d'estimation A. Choix des trajectoires On va proposer des consignes particulières générant des déplacements aussi petits que possible (à la diérence de la méthode  classique ) et permettant de séparer les contri- butions des diérents paramètres du modèle (6). Observons que dans les conditions particulières sui- vantes : α = 1, ϕ0 = 0, f = 0, le système (6) est un simple double intégrateur. Ainsi, si ¨xref est la dérivée seconde d'une trajectoire xref oscillante d'amplitude ξ1 − ξ0, l'amplitude des déplacements mesurés est donnée par cos(ϕ0 −ϕ) (ξ1 − ξ0). En choisissant succes- sivement ϕ = 0 et ϕ = π 2 , on estime facilement cos(ϕ0) et sin(ϕ0). Par ailleurs, on génère des déplacements d'ampli- tude aussi faible que voulu en réglant ξ1 − ξ0 en fonction de la résolution du capteur. On construit une trajectoire oscillante de ce type en deux étapes. Tout d'abord, on dénit xelem(t), trajectoire allant de ξ0 au repos à ξ1 au repos en un temps T > 0 : 1. On se donne les conditions initiales xelem(0) = ξ0, ˙xelem(0) = 0, ¨xelem(0) = 0. 2. On xe aussi les conditions nales xelem(T) = ξ1, ˙xelem(T) = 0, ¨xelem(T) = 0. 3. Une interpolation polynômiale de degré 5 pour xelem(t), avec les conditions précédentes est donnée par : xelem(t) = ξ0 + (ξ1 − ξ0) 5 i=1 ai t T i . (7) 4. Les coecients {ai}1≤i≤5 sont obtenus par identica- tion du polynôme précédent avec les conditions initiales et nales : a1 = a2 = 0, a3 = 10, a4 = −15, a5 = 6. De la même façon, on détermine la trajectoire arrêt-arrêt de ξ1 à ξ0 en un même temps T. Grâce à l'interpolation polynomiale (7), on dénit ¨xM , dérivée seconde d'une tra- jectoire oscillante composée de M allers-retours de ξ0 à ξ1 : ∀k ∈ {0, . . . , 2 M − 1} , ∀t ∈ [k T , (k + 1) T] , ¨xM (t) = (−1)k ¨xelem(t − k T). (8) Comme suggéré précédemment, si ¨xref = xM , en l'ab- sence de frottements (f = 0) et si le gain et la charge du moteur sont connus (α = 1), on estime aisément la phase initiale à partir de l'amplitude des déplacements eectués. Remarquons que si α = 1, l'amplitude des mouvements avec ϕ = 0, puis ϕ = π 2 rend toujours possible la détermi- nation de la phase initiale facilement en l'absence de frot- tement. En revanche, en prenant en compte les frottements secs (f = 0), on ne lie plus aussi aisément la mesure des déplacements aux paramètres du système, notamment à la phase initiale. La partie suivante explicite cette relation. B. Classication des comportements dynamiques L'idée sous-jacente de ce travail est d'intégrer (6) deux fois avec ¨xref = ¨xM , pour lier l'amplitude des déplacements mesurés aux diérents paramètres du modèle (6), qui est à second membre discontinu dès que f = 0. Au voisinage de la surface de discontinuité ˙x = 0, le système peut soit glis- ser sur cette surface, soit la traverser, ces comportements étant illustrés dans [10]. Pour intégrer (6), il est nécessaire de connaître le comportement du système en fonction des paramètres inconnus. Pour faire cette disctinction, on introduit le paramètre µ : µ = α m| cos(ϕ0 − ϕ0 − ϕ)|¨xmax/f, (9) où ¨xmax est la valeur maximale de la consigne d'accéléra- tion : ¨xmax = max 0≤t≤T |¨xelem(t)| . (10) Ce paramètre permet de réaliser une classication com- plète des comportements dynamiques du système (6) en réponse à la sollicitation périodique ¨xM , notamment en ce qui concerne l'occurence ou non de glissement sur la surface de discontinuité. Théorème 1: Pour tout µ > 1, le système (6) commandé par ¨xref = ¨xM , initialement au repos, admet une unique orbite périodique attractive de période 2 T. Il existe deux réels µ1 et µ2, 1 < µ1 ≤ µ2, qui dépendent uniquement de xM et qui déterminent trois et seulement trois comporte- ments possibles : (i) 1 < µ ≤ µ1 ≈ 1.4 : Le système atteint une orbite pé- riodique instantanément et des phases de glissement sur la surface ˙x = 0 se produisent (voir résultats de simulation gure 3). (ii) µ1 < µ ≤ µ2 ≈ 1.7 : Le système atteint une orbite périodique en un temps inférieur à 2 T et des phases de glissement sur la surface ˙x = 0 se produisent (voir résultats de simulation gure 4). (iii) µ > µ2 : L'orbite est atteinte en temps inni et au- cune phase de glissement ne se produit (voir résultats de simulation gure 5). En outre, si µ ≤ 1, le système reste au repos. Preuve: On se contente d'indiquer l'idée de la preuve en notant y = m µ−1 x/f et u = ±¨xref /¨xmax, de sorte que : ¨y = u − µ−1 sign( ˙y), ˙y0 = ¨y0 = 0, |u| ≤ 1. (11) Si la vitesse s'annule en t tel que µ|u(t)| < 1, on véri- e que la surface de discontinuité est attractive et qu'il y a glissement jusqu'à t , tel que µ|u(t )| = 1. Si µ 1, quand la vitesse s'annulle, la commande est supérieure aux frottements et le système traverse la surface de disconti- nuité. A partir d'une valeur µ2, dès que ˙x = 0, la sur- face de discontinuité est attractive. La mémoire du système étant alors eacée, un cycle limite est établi en temps ni. Pour µ1 ≤ µ ≤ µ2, il y a deux phases de glissement sur les intervalles de temps [k T, (k + 2) T], puis quatre pour 1 < µ ≤ µ1. C. Intégration de l'équation (6) D'après le théorème 1, un régime permanent étant atteint quelle que soit la valeur de µ, on note δ l'amplitude des x 6420-2-4-6 -0.03 -0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 0 ×10−3 ˙x 8 0 1 2 3 4 5 6 Temps (s) 6 8 4 2 0 -2 -4 -6 -8 x(t) ×10−3 Fig. 3. 1 < µ ≤ µ1 : trajectoires dans l'espace d'état (à gauche) et temporelles (à droite). ˙x 0.01 0.02 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.1 0.05 x 0 -0.04 -0.01-0.02-0.03 0 0 1 2 3 4 5 6 0 0.01 0.02 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 y(t) Temps (s) Fig. 4. µ1 < µ ≤ µ2 : trajectoires dans l'espace d'état (à gauche) et temporelles (à droite). -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 -0.4 0.1 -0.3 0.1 -0.2 -0.1 0 ˙x x 0.2 0 5 10 15 20 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 Temps (s) x(t) Fig. 5. µ > µ2 : trajectoires dans l'espace d'état (à gauche) et tem- porelles (à droite). déplacements le long de l'orbite périodique : δ = lim k→∞   max 0≤τ≤T x(k T + τ) − x(k T)   . (12) δ dépend de l'ensemble des paramètres physiques, rassem- blés dans µ, et donc de la phase initiale recherchée. Le théorème 2 explicite cette relation. Théorème 2: Pour le système (6) initialement au repos et la consigne ¨xref = ¨xM , il existe une fonction ∆ dénie de R+ dans [0 , 1[ telle que δ = α |cos(ϕ0 − ϕ0 − ϕ)| (x1 − x0)∆(µ), (13) µ étant déni par (9). Par ailleurs, la fonction ∆ (représen- tée gure 6(a)) dépend uniquement de la consigne ¨xM . Preuve: D'après le théorème 1, en régime permanent, il est possible de faire la distinction entre les orbites avec ou sans phase de glissement et de connaître les instants de début et de n de ces éventuelles phases, pour tout µ. A tout instant, on connaît la partition de l'espace d'état ( ˙x < 0, ˙x = 0 ou ˙x > 0) dans laquelle le système se situe, ce qui rend la double intégration de (6) avec ¨xref = ¨xM possible. La formule (13) s'en déduit immédiatement. 0 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.5 0.6 0.3 0.1 0 µ ∆(µ) 1 0.9 0.8 0.7 µ2≈1.7 µ1≈1.4 (a) 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 µ µ∆(µ) (b) Fig. 6. Fonctions ∆(µ) (à gauche) et µ ∆(µ) (à droite). D. Formule d'estimation On veut estimer la phase initiale, et donc, à partir de maintenant, on xe ϕ0 = 0. Soit {ϕi}1≤i≤N un ensemble de N réels avec lesquels, conformément à (13), on obtient N valeurs δi dénies par : ∀i, δi = εi cos(ϕ0 − ϕi)α (x1 − x0)∆(µi), (14) où l'on note : µ0 = α ¨xmax m/f εi = sign (cos(ϕ0 − ϕi)) µi = εi µ0 cos(ϕ0 − ϕi). (15) Soit (i , j) ∈ {1 , . . . , N} 2 et i = j, avec les notations pré- cédentes, on a la relation : δi µj ∆ (µj) = δj µi ∆ (µi) . On dénit la fonction Jij (µ0 , ϕ0) par : Jij (ϕ0 , µ0) =  δi µj ∆(µj) − δj µi ∆(µi)   2 , (16) en rappelant que µi est une fonction de ϕ0 et µ0 dénie par (15). Au nal, estimer la phase initiale revient à résoudre le problème d'optimisation suivant :  ϕ0 , µ0   = arg min ϕ0∈R µ0∈R+   i ,j j>i Jij (ϕ0 , µ0)   (17) E. Résolution approchée On peut résoudre (17) par des méthodes de descente ité- ratives. Dans cette partie, à l'aide d'une approximation, on propose une solution plus directe. La pertinence de cette approche sera illustrée par les résultats expérimentaux. L'idée est d'obtenir un problème d'optimisation proche de (17) mais dont la résolution ne soit pas numérique. Pour cela, on linéarise la fonction µ ∆(µ) en supposant qu'il existe une constante γ ∈ R+ telle que : ∀µ ≥ 1, µ ∆(µ) ≈ γ (µ − 1). (18) Remarquons que l'approximation précédente, illustrée - gure 6(b), n'est valable que pour µ ≥ 1. Avec (18), la fonction Jij (ϕ0 , µ0), donnée par (16), est approchée par J∗ ij (ϕ0 , µ0) déni comme suit : J∗ ij (ϕ0 , µ0) = γ2  δi (µj − 1) − δj (µi − 1)   2 = γ2  (µi µj) Aij µi µj + bT ij µi µj + c2 ij   . (19) Les notations employées dans (19) sont dénies par :  Aij = δ2 j −δi δj −δi δj δ2 i ,  bT ij = −2 (δi − δj) (−δj δi),  cij = (δi − δj) 2 . Le critère à minimiser dans (17) est approché par J∗ (ϕ0 , µ0), fonction quadratique en µ = (µ1 . . . µN ) T : J∗ (ϕ0 , µ0) = γ2  µT A µ + bT µ + c   . (20) A est une matrice N × N, b un vecteur de dimension N et c un scalaire. On dénit ces grandeurs par :  ∀ (i , j) , i = j , A(i , i) = j=i δ2 j j > i , A(i , j) = A(j , i) = − δi δj  ∀ i , b(i) = 2 j=i (δj (δi − δj))  c = i ,j cij. Remarquons que, d'après (20), γ n'intervient pas dans l'ar- gument du minimum de J∗ . Pour tirer parti du fait que J∗ est une forme quadratique en µ, on exprime µi en coordonnées cartésiennes : µi = µ0 εi cos(ϕi) εi sin(ϕi) cos (ϕ0) sin (ϕ0) . Dénissons alors θ ∈ R2 et M matrice N × 2 par : θ = µ0 cos (ϕ0) sin (ϕ0) M =    ε1 cos(ϕ1) ε1 sin(ϕ1) ... ... εN cos(ϕN ) εN sin(ϕN )    , de manière à exprimer µ = Mθ comme combinaison li- néaire des nouvelles variables d'optimisation. Notons que ϕ0 est la phase du vecteur θ et µ0 sa norme. Avec ce changement de variable, on obtient une approxi- mation de J avec J(θ) = J∗ (ϕ0(θ) , µ0(θ)), dont l'expres- sion est donnée par : J(θ) = θT MT AMθ + bT Mθ + c. Comme l'approximation (18) n'est valable que pour µ ≥ 1, il faut minimiser la forme quadratique J(θ) tout en satis- faisant N contraintes du type εi cos(ϕi) sin(ϕi) θ ≥ 1. On appelle θ la solution du problème d'optimisation cor- respondant, donné par :    θ = arg min θ∈R2 J(θ) soumis à : ∀i, εi cos(ϕi) sin(ϕi) θ ≥ 1 (21) On obtient la solution de façon simple en exprimant les contraintes d'optimalité de Kühn et Tucker (voir [11] pour plus de détails) et la phase du vecteur θ est ϕ0, la valeur estimée de la phase initiale. IV. Résultats expérimentaux et comparaison A. Mise en ÷uvre An de résoudre le problème approché (21), pour chaque déphasage ϕi, on détermine δi et εi. Pour cela, en pratique, on choisit M, le nombre d'allers-retours de ¨xM , susam- ment grand pour que le régime permanent soit atteint dans tous les cas. Soit alors n0 < 2 M, on évalue δ déni par (13) par la relation suivante : δ ≈ 1 2 M − n0 + 1 2 M k=n0 max 0≤τ≤T |x(k T + τ) − x(k T)|. (22) Grâce à (22), on détermine l'ensemble {δi}1≤i≤N . Par ailleurs, pour ϕi donné, le système (6) (pour lequel on xe ϕ0 = 0 et ϕ = ϕi) étant initialement au repos, si cos(ϕ0 − ϕi) > 0, x est croissant de 0 à T (si ξ1 > ξ0). En revanche, quand cos(ϕ0 − ϕi) < 0, x décroît de 0 à T (si ξ1 > ξ0). Ainsi, on obtient εi avec : εi = sign ξ1 − ξ0 x(T) − x(0) . (23) B. Méthode  classique  On compare la méthode exposée précédemment avec une procédure  classique  qui est utilisable dans le contexte de la gure 1. Elle consiste à choisir les courants apparais- sant dans (3) de la façon suivante : i1 = m Km ¨x0, i2 = 0, où ¨x0 est une constante homogène à une accélération (la dé- marche est analogue à (5)). Avec les notations précédentes, l'évolution du système est donnée par : ¨x = α sin 2 π P d + ϕ0 ¨x0 − f m sign( ˙x). Après un régime oscillant amorti (l'amortissement étant dû aux frottements), le système atteint l'équilibre en x∞. On mesure alors un déplacement noté d∞ : ϕ0 = 2 π P x∞ − 2 π P d∞ mod 2 π. Si les frottements ne sont pas trop importants, la relation suivante est vériée : x∞ ≈ x∞ = P 2 + k∞ P, k∞ ∈ Z. En l'absence d'information complémentaire, la méthode  classique  consiste à estimer ϕ0 par : ϕ0 = 2 π P x∞ − 2 π P d∞ = π − 2 π P d∞ mod 2 π. (24) En réalité, x∞ est d'autant plus éloigné de x∞ que les frot- tements sont importants. On montre que l'erreur commise dépend du paramètre µ = α m ¨x0/f et, plus µ est petit, plus cette méthode est biaisée. C. Résultats On compare les deux méthodes à l'aide de deux moteurs diérents dont les caractéristiques sont inconnues, bien que le second présente des frottements beaucoup plus impor- tants que le premier, même si cette information n'est pas utilisée par les algorithmes. En accord avec les notations précédentes, le premier est caractérisé par α1, m1, f1 et le second par α2, m2 et f2. La comparaison est eectuée en assurant que µ0 = µ , ce qui implique que ¨x0 = ¨xmax. On s'intéresse à l'erreur moyenne d'estimation ϕ0 − ϕ0 en fonction de la phase initiale ϕ0 que l'on fait varier de 0 à 2 π. On saît que les performances de la méthode  clas- sique  se détériorent à mesure que µ = α1 m1 ¨x0/f1 di- minue alors que notre méthode est conçue pour être in- dépendante de µ0 = α1 m1 ¨xmax/f1. On propose de le vé- rier expérimentalement sur le premier moteur en éva- luant l'erreur moyenne d'estimation successivement avec ¨x0 = ¨xmax = 1000mm/s2 et ¨x0 = ¨xmax = 500mm/s2 . 35 40 30 25 20 15 10 -10 0 -5 0 5 50 100 150 250200 300 350 400 ϕ0−ϕ0(◦ ) ϕ0 (◦ ) (a) ¨x0 = ¨xmax = 1000 mm/s2 ϕ0−ϕ0(◦ ) ϕ0 (◦ ) 400350300250200150100500 -10 -5 0 5 10 20 15 25 30 35 40 (b) ¨x0 = ¨xmax = 500mm/s2 Fig. 7. Erreur moyenne d'estimation bϕ0 − ϕ0 pour des valeurs dis- crètes de ϕ0. Notre méthode (+) et méthode  classique (◦). Pour ce moteur, la précision obtenue par la procédure issue de ce travail est inférieure à 10◦ , ce qui correspond à une ecacité d'au moins 98%. Pour de fortes accélérations (gure 7(a)), la méthode  classique  atteint des perfor- mances comparables (en léger retrait cependant), tout en générant des déplacements brusques (d'autant plus violents que ¨x0 est important) et de forte amplitude (environ la pé- riode magnétique). Comme pressenti, si µ diminue (gure 7(b)), les résultats de la seconde méthode se déteriorent, avec une erreur moyenne de l'ordre de 30◦ à laquelle corres- pond une ecacité du moteur de 87% contre 98% obtenue avec la méthode de cet article. Pour conclure quant à la gure 7 et au moteur avec peu de frottements, notre mé- thode donne eectivement des résultats qui ne dépendent pas de µ0 alors que la méthode  classique  s'avère de moins bonne qualité quand µ diminue. Avec le second moteur, la consigne d'accélération choisie est de 4000mm/s2 pour vaincre les frottements secs qui sont plus importants. Comme précédemment, on évalue l'erreur moyenne d'estimation gure 8. Notre méthode est très ro- buste aux frottements secs, puisque la précision est tou- jours de l'ordre de 10◦ alors que la méthode  classique  donne des résultats dégradés. On a ainsi illustré l'indépen- dance de la méthode de ce travail vis à vis de µ0 ce qui traduit l'insensibilite de la méthode à la valeur des frotte- ments secs, et à la méconnaissance de la masse et du gain du moteur. Quelles que soient ces valeurs, la précision de -100 -50 0 50 100 150 -150 0 50 100 150 250200 300 350 400 ϕ0 (◦ ) ϕ0−ϕ0(◦ ) Fig. 8. Erreur moyenne d'estimation bϕ0 − ϕ0 pour des valeurs dis- crètes de ϕ0. Notre méthode (+) et méthode  classique  (◦). la phase estimée est de ±10◦ pour les moteurs considérés. V. Conclusion Cet article présente une méthode pour déterminer la phase initiale des moteurs sysnchrones sans utiliser de cap- teurs à eet Hall. Des mesures de courant sont nécessaires mais pas directement utilisées par l'algorithme, uniquement basé sur une mesure du déplacement. L'information concer- nant la phase initiale est extraite de l'amplitude des mouve- ments en réponse à une sollicitation périodique, ceci malgré les frottements et la méconnaissance de la charge embar- quée et du gain du moteur. Les résultats expérimentaux sont de meilleure qualité que ceux envisageables dans les mêmes conditions avec une méthode  classique  égale- ment présentée, tout en générant des déplacements de faible amplitude. Références [1] J. Boichot, E. Delaleau, N.V. Diep, J. Lévine, et E. Parzy. Model- ling and control of a high-precision positionning system actuated by a linear synchronous motor. Proceedings of the IFAC World Congress, Beijing, Chine, 1999. [2] J. Boichot, E. Delaleau, N.V. Diep, J. Lévine, et E. Parzy. Mo- delling and control of a two D.O.F. high-precision positionning system. Proceedings of the European Conference on Control, Karlsruhe, Allemagne, 1999. [3] R Dhaouadi, N. Mohan, et L. Norum. 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