Un modèle de commande pour le contrôle des instabilités de combustion

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-2:19942
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Un modèle de commande pour le contrôle des instabilités de combustion

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Un modèle de commande pour le contrôle des instabilités de combustion Landau Ioan-Doré Bouziani Fethi Bitmead Robert Laboratoire d'Automatique de Grenoble, Laboratoire d'Automatique de Grenoble, Department of Mechanical & Aerospace ENSIEG BP 46, ENSIEG BP 46, Engineering, University of California, San Diego, 38402 Saint-Martin d'Hères, France 38402 Saint-Martin d'Hères, France La Jolla CA 92093-0411, USA landau@lag.ensieg.inpg.fr Fethi.Bouziani@lag.ensieg.inpg.fr rbitmead@ucsd.edu Contre réaction acoustique Chaleur dégagée par la flamme e Fig. 1. Schéma bloc décrivant l'instabilité thermo-acoustique Résumé Un système de deux équations de Van der Pol généralisées et couplées est proposé comme un modèle de commande pour l'instabilité de combustion. Ce système est analysé en utilisant la méthode de Krylov-Bogoliubov. Les aspects de commande conduisant à l'extinction des oscilla- tions sont examinés. Les résultats de l'analyse sont comparés avec des tests en simulation. Mots-clésmodélisation, instabilité de combustion, systèmes non-linéaires oscillants, méthode de Krylov-Bogoliubov. I. Introduction Le problème des instabilités de la combustion dans les turbines à gaz constitue l'objet de très nombreuses études. Il s'agit d'un phénomène complexe mais qui dans beau- coup de cas peut être expliqué par une contre réaction po- sitive thermo-acoustique (Figure 1). Des programmes de recherche importants orientés sur cette thématique sont conduits dans un certain nombre de pays en collaboration avec les industriels (France, Etats-Unis, Grande-Bretagne). Les articles [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] donnent une image de cette activité. Le problème devient de plus en plus actuel car la réduc- tion du rapport combustible/air, améliore le rendement et réduit la pollution. Malheureusement, la réduction du rap- port combustible/air conduit à l'apparition des instabilités de combustion qui sont rédhibitoires. Plusieurs approches pour traiter ce problème ont été considérées. La première approche dite "passive" concerne la modication de la géo- métrie des turbines. La seconde approche "active instability control" (AIC) est basée sur la mise en place d'une régulation en boucle fer- mée. Dans la plus part des cas, on traite l'instabilité comme une perturbation qu'on essaye de compenser. Ceci requiert la mise en place de capteurs et surtout d'actionneurs. Dans plusieurs applications il s'agit d'un haut parleur [9]. Cette approche de point de vue automatique est à rapprocher avec le contrôle actif des vibrations dans les systèmes mé- caniques ou avec le contrôle de bruit. Cette approche ignore dt d ][⋅ϕ τs e−Filtre passe bas pt qt + + 22 2 ωζω ++ ss N 22 9)3(2 ωωζ ++ ss M dt d Fig. 2. Modèle de l'instabilité de combustion totalement le modèle du processus de combustion. Par ailleurs il a été constaté expérimentalement que dans certain cas une faible modulation en haute fréquence du rapport combustible/air peut conduire à la disparition des instabilités de combustion (cette commande s'apparente à une entrée multiplicative dans le système représenté dans Figure 1). La mise en ÷uvre systématique repose néan- moins sur la disponibilité d'un modèle du mécanisme d'in- stabilité et sur la compréhension des conditions assurant l'extinction des oscillations. Cette approche, dans la mesure où un support théorique peut être apporté présente d'une part des avantages pra- tiques évidents en terme de simplicité de mise en ÷uvre et d'autre part en terme de rendement énergétique (pas d'apport d'énergie extérieure). Plusieurs aspects importants sont à étudier : 1. Un modèle macroscopique du mécanisme de l'instabi- lité ; 2. Une compréhension théorique approfondie des compor- tements oscillatoires du modèle ; 3. Etude théorique des conditions d'extinction des oscilla- tions par application d'une commande multiplicative. Des progrès important ont été fait sur le point 1 dans [10], [11].Un modèle assez représentatif existe. A titre de référence, nous avons considéré le modèle de Dunstan et Bitmead [12], [13] qui est une extension du modèle Perac- chio et Proscia [14] et qui a fait l'objet de nombreuses vé- rications expérimentales. Ce modèle est représenté dans la Figure 2. où pt est la perturbation de pression en aval agissant de la chambre de combustion, qt est la quantité de chaleur dégagée par la amme, ϕ[·] est une fonction non linéaire statique, τ est un temps de retard du transport de l'injecteur à la surface de la amme, ω est le mode fonda- mental acoustique de l'instabilité de combustion, ζ est le coecient d'amortissement associé et N et M sont les gains des résonateurs de deuxième ordre avec les pulsations na- turelles égale à ω et 3ω, respectivement. Le modèle résulte de l'interaction entre l'acoustique de la chambre de com- bustion et l'emplacement de la surface de la amme. La caractéristique statique non-linéaires ϕ[·] a été iden- tiée sur une turbine réelle et on a une image assez claire de ses caractéristiques [12]. Le modèle est caractérisé par une structure à contre- réaction intrinsèque résultant de la contre réaction thermo- acoustique (voir Figure 2). La voie directe est caractéri- sée par la présence de deux résonateurs et le retour non- linéaire crée dans certaines situations un amortissement né- gatif conduisant à l'apparition des oscillations. En faisant abstraction de l'existence de deux résonateurs et du retard, le schéma suggère une analogie avec les oscil- lateurs électroniques. En eet, si en plus on examine la ca- ractéristique non-linéaire celle-ci peut être approchée dans la zone normale d'opération par ϕ(y) = a + by − c 3 y3 . (1) où a, b et c sont des constantes. Ceci suggère un rapprochement avec l'équation de Van der Pol largement utilisée pour l'étude des oscillateurs élec- troniques et en général avec les techniques d'études des systèmes oscillants. Il faut néanmoins ne pas perdre de vue qu'à l'opposé des oscillateurs électroniques l'objectif et de faire disparaître les oscillations et non pas de les amorcer. En eet l'équation de Van der Pol a la forme d2 y dt2 + ω2 y = 1 − y2 dy dt , (2) où est paramètre faible, ω est la pulsation naturelle et dont le terme de droite correspond à la dérivée de la fonc- tion non-linéaire ϕv(y) = ϕv0 + y − y3 3 , (3) où ϕv0 est une constante arbitraire. Tenant compte des caractéristiques de la non-linéarité (1) eective, une généralisation de l'équation de Van der Pol doit être considérée (Van der Pol généralisée, VDPG) d2 y dt + ω2 y = d dt ϕv0 + ϕv1y − ϕv3 3 y3 , (4) où ϕv1 et ϕv3 sont des constantes arbitraires positive, et qui dans le cas de deux résonateurs conduit au schéma re- présenté dans la Figure 3 et au système d'équation suivant    d2 x1 dt2 + ω2 1x1 = d dt ϕv0 + ϕv1y − ϕv3 3 y3 , d2 x2 dt2 + ω2 2x2 = d dt ϕv0 + ϕv1y − ϕv3 3 y3 , y = x1 + x2. (5) Ce modèle constitue sans aucun doute dans un premier temps, une base pour l'étude des phénomènes d'oscillations (qui serait à confronter avec les données réelles) et dans un deuxième temps il devrait permettre l'étude eective de l'eet d'extinction, et donc le dimensionnement de la commande (amplitude et caractéristiques fréquentielles) Une fois le modèle adopté, il s'agit de trouver l'approche mathématique permettant d'étudier analytiquement ce mo- dèle. Les équations régissant ce système, font que ce dernier + 2 1 2 1 ω+s 2 2 2 1 ω+s y=x1+x2+ dt d x1 x2 33 10 3 yy v vv ϕ ϕϕ −+ Fig. 3. Modèle de l'instabilité de combustion basé sur des équations de Van der Pol généralisées et couplées appartient à la classe des systèmes qui sont décrits par des équations de la forme d2 x dt2 + ω2 x = f x, dx dt , (6) où est une quantité positive de valeurs faible et f peut être une série entière de dont les coecients sont des polynômes en x et dx dt . Puisqu'en général on ne peut pas trouver les solutions exactes pour ce type d'équation, les procédures d'approxi- mation pour l'analyse de ce type d'équations doivent être considérées. La méthode de Krylov-Bogoliubov (K-B) [15], [16], [17], [18], [19], [20] est sans doute une des procédures les plus ecaces pour analyser les systèmes oscillants régis par des équations de la forme (6). En bref la méthode K-B cherche des solutions de la forme x(t) = a(t) cos ψ(t), (7) où a est l'amplitude de l'oscillation fondamentale variant dans le temps et ψ est la phase totale instantanée. Ils obéissent dans le cas d'un seul résonateur au système d'équations da dt = − 1 2ωπ 2π 0 f(a cos ψ, −aω sin ψ) sin ψdψ, dψ dt = ω − 1 2πωa 2π 0 f(a cos ψ, −aω sin ψ) cos ψdψ. Notons que ψ peut être écrite sous la forme ψ(t) = ωt + θ(t), où θ est la phase instantanée C'est cette approche qui sera employée pour l'analyse du comportement du modèle d'instabilité de combustion. Du point de vue de l'analyse, le modèle d'instabilité de combustion présente un certain nombre de dicultés parmi lesquelles nous mentionnons :  La présence de deux résonateurs couplés.  La dynamique compliquée dans le retour de boucle qui est due à la présence en cascade d'une dérivée et d'un retard. Le travail présent se concentrera sur l'analyse de l'eet de la structure de deux résonateurs couplés, sans que néces- sairement il existe une relation entre leur harmoniques. II. Première approximation K-B pour les systèmes multi-résonateurs autonomes Considérons un système avec n résonateurs qui est décrit par des équations de la forme d2 xk dt2 + ω2 kxk = fk x, dx dt , (k = 1, 2, . . . , n) (8) où x = {x1, . . . , xn}, dx dt = {dx1 dt , . . . , dxn dt } et est un para- mètre faible. Pour le résonateur j, la première approximation K-B pro- pose la solution (pour plus de détails voir le Chapter 2 de [18]) xj = aj cos(ψj), (9) où ψj = ωjt + θj, aj et θj sont des fonctions lentement variant dans le temps obéissent aux équations daj dt = −2ωj Hjj(a1, . . . , an, θ1, . . . , θn), dθj dt = −2ωj aj Gjj(a1, . . . , an, θ1, . . . , θn). (10) où Hjj et Gjj sont obtenues de la fonction fj x, dx dt en injectant xk = ak cos(ωkt + θk), dxk dt = −akωk sin(ωkt + θk), (k = 1, 2, . . . , n) (11) et en la mettant sous la forme fj (a1 cos(ω1t + θ1), . . . , an cos(ωnt + θn), −a1ω1 sin(ω1t + θ1), . . . , −anωn sin(ωnt + θn)) = Hjj sin(ωjt + θj) + Gjj cos(ωjt + θj) + r ωj ≈ω (H j sin(ω t + θ ) + G j cos(ω t + θ )) , (12) où ω et θ sont des combinaisons linéaires de ω1, . . . , ωn et θ1, . . . , θn, respectivement, et r est le nombre combinaisons linéaires possible de ω1, . . . , ωn diérent de ωj. En outre pour xj, les coecients du terme fondamental dans (12) sont utilisés et toutes les autres termes sont éliminés. III. Application de l'approximation K-B pour deux équations de Van der Pol généralisées Considérons le système d'equations (5) et la forme (8), dans ce cas f1 = f2 = f(x1, x2, dx1 dt , dx2 dt ) = ϕv1 1 − ϕv3 ϕv1 (x1 + x2)2 (dx1 dt + dx2 dt ). (13) Introduisons xi = ai cos(ωit + θi), dxi dt = −aiωi sin(ωit + θi), (i = 1, 2) dans (13), on obtient f (a1 cos(ω1t + θ1), a2 cos(ω2t + θ2), −a1ω1 sin(ω1t + θ1), −a2ω2 sin(ω2t + θ2)) = −ϕv1 1 − ϕv3 ϕv1 (a1 cos(ω1t + θ1) + a2 cos(ω2t + θ2))2 ×(a1ω1 sin(ω1t + θ1) + a2ω2 sin(ω2t + θ2)). (14) Pour approximer la solution de (5), il est nécessaire de mettre (14) sous la forme (12). Dans [11], on donne les détails du calcul qui nous permet d'obtenir l'expression f (a1 cos(ω1t + θ1), a2 cos(ω2t + θ2), −a1ω1 sin(ω1t + θ1), −a2ω2 sin(ω2t + θ2)) = ϕv1 −ω1a1 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1 4 + a2 2 2 sin(ω1t + θ1) −ω2a2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 2 4 + a2 1 2 sin(ω2t + θ2) +ϕv3 ϕv1 ω1 a3 1 4 sin (3(ω1t + θ1)) + ω2 a3 2 4 sin (3(ω2t + θ2)) +(2ω1 + ω2) a2 1a2 2 sin ((2ω1 + ω2)t + 2θ1 + θ2) +(ω1 + 2ω2) a1a2 2 2 sin ((ω1 + 2ω2)t + θ1 + 2θ2) +(2ω1 − ω2) a2 1a2 4 sin ((2ω1 − ω2)t + 2θ1 − θ2) +(2ω2 − ω1) a2 2a1 4 sin ((2ω2 − ω1)t + 2θ2 − θ1) . (15) En examinant cette fonction on peut constater l'existence de l'ensemble de fréquences W = {ω1, ω2, 3ω1, 3ω2, 2ω1 + ω2, ω1 + 2ω2, 2ω1 − ω2, 2ω2 − ω1} . (16) Cet ensemble est très important pour trouver les diérents régimes possibles du système, c-a-d pour x1 (respective- ment x2), les termes restants de (15) après l'application de l'approximation K-B serons seulement les termes avec la fréquence ω de W tell que ω ≈ ω1 (respectivement ω2). En conséquence, on a la classication suivante : 1. ω1 ≈ ω2, 3ω2, ω2 3 -deux générateurs avec extinction compétitive 2. ω1 ≈ ω2-synchronisation mutuelle avec des fréquences proches 3. ω1 ≈ 3ω2 (respectivement ω2 ≈ 3ω1)-synchronisation mutuelle avec des fréquences multiples A. Deux générateurs avec extinction compétitive Considérons le cas où les fréquences ω1 et ω2 respectent la condition 1 cité ci-dessus. Dans ce cas, ils n'existe aucun eet d'interconnection entre les deux fréquences et l'ap- proximation K-B utilise seulement les termes de l'oscilla- tion fondamental de f (a1 cos(ω1t + θ1), a2 cos(ω2t + θ2), −a1ω1 sin(ω1t + θ1), −a2ω2 sin(ω2t + θ2)). En conséquence les solutions approximées de (5) sont (pour les détails voir [11]) xi = ai cos(ωit + θi), (i = 1, 2) (17) avec    da1 dt = ϕv1 a1 2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1 4 + a2 2 2 , da2 dt = ϕv1 a2 2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 2 4 + a2 1 2 , dθ1 dt = 0, dθ2 dt = 0. (18) Trouvons les solutions d'équilibre de (18). Dans ce cas, (18) possède quatre solutions d'équilibre : a1 = 0 et a2 = 0, (19) a1 = 2√ 3 ϕv1 ϕv3 et a2 = 2√ 3 ϕv1 ϕv3 , (20) a1 = 2 ϕv1 ϕv3 et a2 = 0, (21) a1 = 0 et a2 = 2 ϕv1 ϕv3 . (22) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 −1 0 1 2 x 10 −3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −2 −1 0 1 2 x 10 −3 A B C D x2 x1xap1 Fig. 4. (A) x1 simulé de (5), (B) x2 simulé de (5), (C) x1 approximé par (17) et (18), (D) x2 approximé par (17) et (18) Les deux premières solutions (19) et (20) sont instables, et les deux dernières solutions (21) et (22) sont stables. Donc les amplitudes de x1 et x2 convergent à un des deux états stationnaires possibles (21) et (22). Selon la condition initiale, un des deux générateurs est excité, tandis que les oscillations de l'autre générateur sont entièrement éteintes. Une telle extinction des oscillations d'un des générateurs, causée par la présence d'un très fort couplage non linéaire entre les équations, est connue sous le nom extinction com- pétitive. Il a été observé que si a1(0) > a2(0), x1 oscille et les oscillations de x2 sont entièrement éteintes, et l'eet inverse se produit quant a1(0) < a2(0). La Figure 4 présente un test de simulation avec ω1 = 2π×210, ω2 = 2π×740, = 1, ϕv1 = 1.78 × 102 , ϕv3 = 1.24 × 107 (valeurs approchant les valeurs réelles, voir [12]), a1(0) = 4 × 10−3 et a2(0) = 2 × 10−3 . La partie supérieure montre les sorties simulées de (5) et la partie inférieure montre les sorties approximées par (17) et (18). Aussi, quant a1(0) = a2(0) (mais non nuls), il a été observé que :  Dans (18), les amplitudes a1 et a2 convergent à 2√ 3 ϕv1 ϕv3 et 2√ 3 ϕv1 ϕv3 respectivement, qui correspond à la solution équilibre instable (20).  Dans (5), les amplitudes a1 et a2 convergent 2√ 3 ϕv1 ϕv3 et 2√ 3 ϕv1 ϕv3 respectivement, et reste temporairement, mais après un temps relativement long (si on le com- pare à la dynamique de convergence) ces amplitudes vont converger nécessairement à une des deux solu- tions d'équilibre (21) et (22). Cela implique que dans certaines conditions, les deux fré- quences peuvent coexister pour un long moment avant d'entrer dans le régime d'extinction compétitive. Pour illus- trer ce phénomène, la Figure 5 présente un test de si- mulation avec ω1 = π, ω2 = 3.5ω1 = 3.5π, = 0.1, ϕv1 = ϕv3 = 1, a1(0) = 1 et a2(0) = 1, la partie supé- rieure est la sortie x1 de (5) et la partie inférieure est la sortie x2 de (5). 0 50 100 150 200 250 300 −2 −1 0 1 2 x1 0 50 100 150 200 250 300 −1 −0.5 0 0.5 1 x2 A B Fig. 5. (A) x1 simulé de (5), (B) x2 simulé de (5) B. Synchronisation mutuelle avec des fréquences proches Considérons le cas où les fréquences ω1 et ω2 sont proches. Pour x1 (respectivement x2), l'application de l'approximation K-B implique la conservation de tous les coecients des termes sinusoïdaux dans f(a1 cos(ω1t + θ1), a2 cos(ω2t + θ2), −a1ω1 sin(ω1t + θ1), −a2ω2 sin(ω2t + θ2)) avec une fréquence proche de ω1 (respectivement ω2) et l'élimination de tous les autres termes. En conséquence les solutions approximées de (5) sont (voir [11] pour les détails) xi = ai cos(ωit + θi), (i = 1, 2) (23) avec a1, a2, θ1 et θ2 sont gouverné par    da1 dt = ϕv1 a1 2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1 4 + a2 2 2 + a2ω2 2ω1 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1+a2 2 4 − ϕv3 ϕv1 a2a2 1 4 cos(∆ψ) +(ω1 − 2ω2)ϕv3 ϕv1 a1a2 2 8ω1 cos(2∆ψ) , da2 dt = ϕv1 a2 2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 2 4 + a2 1 2 + a1ω1 2ω2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1+a2 2 4 − ϕv3 ϕv1 a1a2 2 4 cos(∆ψ) +(ω2 − 2ω1)ϕv3 ϕv1 a2a2 1 8ω2 cos(2∆ψ) , dθ1 dt = − ϕv1 (ω1 − 2ω2)ϕv3 ϕv1 a2 2 8ω1 sin(2∆ψ) + a2ω2 2a1ω1 1 − ϕv3 ϕv1 a2 2 4 + a2 1 2 +(2ω1 − ω2)ϕv3 ϕv1 a2a1 8ω1 sin(∆ψ) , dθ2 dt = ϕv1 ϕv3 ϕv1 a2 1 8ω2 (ω2 − 2ω1) sin(2∆ψ) + a1ω1 2a2ω2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1 4 + a2 2 2 +ϕv3 ϕv1 a2a1 8ω2 (2ω2 − ω1) sin(∆ψ) . (24) où ∆ψ = ψ1 − ψ2 = (ω1 − ω2)t + θ1 − θ2. Ce résultat est très important, car en parallèle de l'équa- tion diérentielle (5), il est possible de suivre l'évolution de l'amplitude et la phase de la sortie de (24) et de comparer les deux signaux qui sont mesurables en pratique. L'intégration et l'étude des solutions stationnaires de (24) sont très diciles. Cependant, pour trouver les so- lutions stationnaires quant ω1 = ω2 = ω, on peut adopter les étapes suivantes. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5 x 10 −3 x1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 10 −3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −5 0 5 x 10 −3 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 −3 −2 −1 0 1 2 3 x 10 −3 x2xap2 xap1 A B C D Fig. 6. (A) x1 simulé de (5), (B) x2 simulé de (5), (C) x1 approximé par (23) et (24), (D) x2 approximé par (23) et (24) Utilisons y = x1+x2. Si on additionne les deux équations de (5) on obtient d2 (x1+x2) dt2 + ω2 (x1 + x2) = ϕv1 1 − ϕv3 ϕv1 (x1 + x2)2 d(x1+x2) dt ⇒ d2 y dt2 + ω2 y = ϕv1 1 − ϕv3 ϕv1 y2 dy dt . (25) On voit que (25) correspond à une équation de Van der Pol généralisée. Or on sait bien que pour une seule équation de Van der Pol généralisée, l'approximation K-B donne une solution stationnaire [19], [15], [16], [17], [18], [20] y = 2 ϕv1 ϕv3 cos(ωt + θ). (26) ⇒ x1 + x2 = 2 ϕv1 ϕv3 cos(ωt + θ), (27) où θ est le déphasage entre x1 et x2. Et donc a1, a2 et θ1 − θ2 doivent satisfaire a2 1 + a2 2 + 2a1a2 cos(θ1 − θ2) = 4ϕv1 ϕv3 (28) Notons que pour ce cas, il existe une innité de points d'équilibre et que la convergence de l'amplitude et de la phase dépend essentiellement de l'état initial de x1 et x2. Par conséquence, pour avoir le même résultat (5) et (24), il faut initialiser (24) avec les bonnes valeurs d'amplitude et de phase. La Figure 6 montre un test de simulation avec ω1 = ω2 = 2π ×210, ϕv1 = 1.78×102 , ϕv3 = 1.24×107 , a1(0) = 2 × 10−3 , a2(0) = 10−3 , = 1 et θ1(0) = θ1(0) = 0. La partie supérieure montre les sorties simulées de (5) et la partie inférieure montre les sorties approximées par (23) et (24). C. Synchronisation mutuelle avec des fréquences multiples Considérons le cas où la fréquence ω1 est proche de 3ω2. Dans ce cas les termes avec les fréquences ω1 et 3ω2 sont utilisés pour l'approximation de x1 , et les termes avec les fréquences ω2 et (2ω2 −ω1) sont utilisés l'approximation de x2. Donc, on trouve (voir [11] pour les détails) xi = ai cos(ωit + θi), (i = 1, 2) (29) 0 0.02 0.04 0.06 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0 0.02 0.04 0.06 −2 −1 0 1 2 x 10 −3 0 0.02 0.04 0.06 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0 0.02 0.04 0.06 −2 −1 0 1 2 x 10 −3 A B C D x1 x2 xap1 xap2 Fig. 7. (A) x1 simulé de (5), (B) x2 simulé de (5), (C) x1 ap- proximé par (29) et (30), (D) x2 approximé par (29) et (30) avec    da1 dt = ϕv1 a1 2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 1 4 + a2 2 2 −ϕv3 ϕv1 ω2a3 2 8ω1 cos(∆ψ) , da2 dt = ϕv1 a2 2 1 − ϕv3 ϕv1 a2 2 4 + a2 1 2 − a1a2 2 8ω2 ϕv3 ϕv1 (ω1 − 2ω2) cos(∆ψ) , dθ1 dt = ϕv3 ω2a3 2 8ω1a1 sin(∆ψ), dθ2 dt = − ϕv3 a1a2 8ω2 (ω1 − 2ω2) sin(∆ψ), (30) où ∆ψ = ψ1 − 3ψ2 = (ω1 − 3ω2)t + θ1 − 3θ2, Pour (30) il existe deux points d'équilibre stables. Un point peut être calculé analytiquement de (30) a1 = 2 ϕv1 ϕv3 et a2 = 0. (31) Le deuxième point qui concerne le phénomène de syn- chronisation s'obtient par une solution numérique de (30). Par exemple pour le cas où ω1 = 3ω2 = 6π × 210, = 1, ϕv1 = 1.78 × 102 et ϕv1 = 1.24 × 107 , le deuxième point d'équilibre correspond à a1 = 2.25 × 10−3 , a2 = 8.09 × 10−3 et ∆ψ = π. (32) De cela, on peut voir que si ω1 est près de 3ω2 (res- pectivement ω2 3 ), il est possible d'avoir deux phénomènes selon l'état initial. Dans le premier phénomène, le généra- teur avec la fréquence ω1 est excité et l'autre générateur avec la fréquence ω2 est éteint. Dans le deuxième phéno- mène, on a le régime de synchronisation. On entend par le régime de synchronisation, un régime où la fréquence des oscillations du deuxième générateur qui est égale à ω2 + ˙θ2, est exactement un tiers de la fréquence des oscillations du premier générateur qui est égale à ω1 + ˙θ1. La Figure 7 présente un test de simulation avec ω1 = 3ω2 = 6π × 210, = 1, ϕv1 = 1.78 × 102 , ϕv3 = 1.24 × 107 , a1(0) = 10−3 , a2(0) = 6 × 10−3 et θ1(0) = θ1(0) = 0. La partie supérieure montre les sorties simulées de (5) et la partie inférieure montre les sorties approximées par (29) et (30). dt d ][⋅ϕ τs e− Filtre passe bas pt + + 22 2 ωζω ++ ss N 22 9)3(2 ωωζ ++ ss Mdt d qt + +rt Fig. 8. Eet de la modulation sur modèle de Dunstan et Bitmead 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 x 10 −3 B=180 B=160 B=140 B=100 B=80 B=60 B=120 Fig. 9. Example de simulation sur l'extinction des oscillations IV. Extinction des oscillations Du point de vue pratique, il est possible de moduler le ux du combustible entrant dans la chambre de combus- tion. Cela se traduit par une excitation multiplicative rt agissant sur le retour de la boucle du modèle de l'insta- bilité de combustion. Si on considère le modèle de Duns- tan/Bitmead (Figure 2) cela se traduit par la modication montrée dans la Figure 8. Une étude sur l'eet de cette excitation a été réalisée en considérant un modèle simplié avec un seul résonateur (c- à-d un seul résonateur de VDPG). Le but de cette étude était de voir si on peut arriver à un phénomène d'extinction des oscillations dans le système de combustion en utilisant une excitation rt = B cos(wrt) en hautes fréquences. En eet, l'étude a démontré que l'extinction des oscilla- tions est possible sous certaines conditions. Un exemple de simulation sur l'extinction des oscillations est montré dans la Figure 9 avec w = 2π ×210, wr = 6π ×2100, ϕv0 = 0.45, ϕv1 = 1.78 × 102 , ϕv3 = 1.24 × 107 et un ltre passe bas de premier ordre. L'étude en question fera l'objet d'une publication ultérieure. V. Conclusion Le but de cet article a été de prouver qu'il est possible d'aller plus loin dans l'analyse du modèle d'instabilité de combustion proposé dans [12] et d'envisager le problème de commande des instabilités. Les deux équations Van der Pol généralisées et couplées considérées dans cet article peuvent être un choix ecace pour approcher le modèle d'instabi- lité de combustion. La méthode d'analyse est basée sur l'utilisation de l'approche de Krylov-Bogoliubov pour les systèmes oscillants. En eet, cette approche nous a permis de surmonter une des dicultés liées au modèle d'instabi- lité de combustion, c-à-d la présence de deux résonateurs couplés. Les essais de simulation ont illustré la précision de l'approximation de Krylov-Bogoliubov. Références [1] V. Faivre et T. Poinsot. Experimental and numerical investiga- tions of jet active control for combustion applications. Journal of Turbulence, 5(025), Aug 2004. [2] R. Blonbou et A. Laverdant. Control of combustion instabilities on a rijke tube by a neural network. TP 49, ONERA, 29, avenue de la Division Leclerc, BP 72, 92322 Chltillon Cedex, France, May 2000. [3] C.A. Jacobson, A. Khibnik, A. Banaszuk, J.M. Cohen, et W.P. Proscia. Active control of combustion instabilities in gas tur- bine engines for low emissions. part I : Physics-based and ex- perimentally identied models of combustion instability. Proc. AVT Symposium on Active Control Technology, Braunschweig, pages 3013011, 2000. [4] K. McManus, F. Han, W. 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