Sur la modélisation et le contrôle des réseaux dynamiques conservatifs

24/09/2017
Auteurs : Georges Bastin
Publication e-STA e-STA 2006-2
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-2:19938
DOI :

Résumé

Sur la modélisation et le contrôle des réseaux dynamiques conservatifs

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Sur la mod´elisation et le contrˆole des r´eseaux dynamiques conservatifs Georges Bastin1 1 CESAME, Universit´e Catholique de Louvain 4, avenue G. Lemaˆıtre, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgique (bastin@inma.ucl.ac.be) R´esum´e—Un premier objectif de cette communication est de pr´esenter les principes g´en´eraux qui pr´esident `a la mise en ´equation des mod`eles dynamiques des r´eseaux conservatifs, aussi bien dans le cas des mod`eles en dimension finie que dans celui des mod`eles en dimension infinie. Un deuxi`eme objectif est de pr´esenter deux questions relatives au contrˆole en boucle ferm´ee de ces r´eseaux : d’une part, le contrˆole de congestion pour les mod`eles de r´eseaux en dimension finie ; d’autre part, la stabilisation en boucle ferm´ee des ´etats de r´egime permanent pour les mod`eles de r´eseaux en dimension infinie. Mots-cl´es—R´eseaux, lois de conservation, contrˆole de conges- tion, stabilisation, compartiments. I. Introduction Les r´eseaux dynamiques consid´er´es dans cet article sont pr´esents dans de tr`es nombreuses applications actuelles de la technologie et de la science du contrˆole. Les applications auxquelles je me suis particuli`erement int´eress´e ces der- ni`eres ann´ees sont les r´eseaux de t´el´ecommunications ([20]), les r´eseaux de voies navigables ([9], les r´eseaux de trafic rou- tier ([21]), les r´eseaux metaboliques cellulaires ([19]) et les grands proc´ed´es industriels (r´eseaux de r´eactions chimiques et circuits de boyage ([18])). On consid`ere des r´eseaux constitu´es de r´eservoirs de sto- ckage (r´eels ou virtuels) qui contiennent une certaine quan- tit´e d’une esp`ece mat´erielle ou immat´erielle d´etermin´ee (masse, ´energie, information ...). Ces r´eservoirs, d´enomm´es « compartiments », sont interconnect´es par des m´ecanismes de transfert (flux de mati`ere, d’´energie ou d’information). La dynamique g´en´erale de ces r´eseaux est d´ecrite par des syt`emes de « lois de conservation » qui s’´ecrivent sous la forme d’´equations diff´erentielles ordinaires (mod`eles en di- mension finie) ou d’´equations aux d´eriv´ees partielles hyper- boliques (mod`eles en dimension infinie). Un premier objectif de cette communication est de pr´e- senter les principes g´en´eraux qui pr´esident `a la mise en ´equations des mod`eles dynamiques des r´eseaux, aussi bien dans le cas des mod`eles en dimension finie (section II) que dans celui des mod`eles en dimension infinie (section V). Les propri´et´es des mod`eles dynamiques en dimension fi- nie de r´eseaux de compartiments avec des flux d’entr´ee constants ont ´et´e abondamment ´etudi´es dans la litt´erature depuis plus d’une trentaine d’ann´ees (voir par exemple l’ar- ticle de synth`ese [28] et aussi, entre autres, [1], [8], [12], [13], [16], [23], [29], [31], [34], [36], [40]). Certaines de ces pro- pri´et´es sont rappel´ees `a la section III. Un deuxi`eme objectif de cette communication est de dis- cuter de certains aspects du contrˆole en boucle ferm´ee des r´eseaux. Pour les mod`eles en dimension finie, la question de la stabilisation en boucle ferm´ee est (tr`es partiellemnt) ´etu- di´ee dans quelques publications r´ecentes (voir par exemple [5], [6], [11], [26], [27]). Ici, je discuterai plutˆot d’une autre question int´eressante : le contrˆole de congestion. C’est un probl`eme qui se pose dans les r´eseaux quand la demande de flux `a l’entr´ee d´epasse la capacit´e de transmission du r´e- seau. On peut penser par exemple aux probl`emes de conges- tion dans les r´eseaux de t´el´ecommunication, dans les r´e- seaux routiers ou dans les cicuits de broyage. On montrera (section IV) comment la congestion du r´eseau peut ˆetre automatiquement ´evit´ee par un contrˆole en boucle ferm´ee appropri´e. D’autre part, pour les syt`emes en dimension infinie, on pr´esentera `a la section VI une condition de stabilit´e des ´etats de r´egime permanent et on verra comment cette pro- pri´et´e peut ˆetre mise `a profit pour concevoir des algo- rithmes de contrˆole en boucle ferm´ee stabilisants. II. Mod´elisation en dimension finie (R´eseaux `a compartiments) Les r´eseaux dynamiques conservatifs que nous consid´e- rons dans cet article ont une structure qui est repr´esent´ee par un graphe orient´e comme cela est illustr´e `a la Fig.1. Chaque noeud du r´eseau repr´esente un dispositif de sto- ckage (appel´e « compartiment ») qui contient une quantit´e variable d’une esp`ece mat´erielle ou immat´erielle d´etermi- n´ee (masse, ´energie, information ...). Chaque arc orient´e i → j repr´esente un transfert (´eventuellement accompa- gn´e d’une transformation) de l’esp`ece concern´ee entre deux compartiments. Le d´ebit de transfert, que l’on appelle sou- vent « flot » ou « flux », est not´e fij. Des arcs d’entr´ee et de sortie suppl´ementaires repr´esentent les interactions du r´eseau avec son environnement : soit des flux d’entr´ee no- t´es bj inject´es de l’ext´erieur dans certains noeuds du r´eseau, soit des flux de sortie ej soutir´es de certains noeuds vers l’ext´erieur. Chaque noeud du r´eseau repr´esente un r´eservoir conte- nant une quantit´e variable xj(t). Le vecteur x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) est le vecteur d’´etat du syst`eme. Les flux de transfert sont des fonctions des variables d’´etat : fij(x(t)), ej(x(t)). Les ´equations suivantes d´ecrivent le bilan des flux autour 1 5 2 4 3 b f f f f e f f e 1 21 12 54 43 24 23 3 2 b 5 Fig. 1. Graphe d’un r´eseau `a compartiments de chacun des compartiments : ˙xj = i=j fij(x)− k=j fjk(x)−ej(x)+bj j = 1, . . . , n. (1) Ces ´equations sont souvent appel´ees « ´equations de conti- nuit´e ». Elles expriment que, pour chaque compartiment, le taux d’accumulation (positif ou n´egatif) de la quantit´e xj(t) est simplement la diff´erence entre la somme des flux d’entr´ee fij, bj et la somme des flux de sortie fjk, ej. Dans ces ´equations, seuls sont explicit´es les termes correspondant `a des liens effectifs du r´eseau. En d’autres termes, les bj, ej and fij correspondant `a des liens inexistants n’apparaissent pas dans les ´equations. Cet ensemble d’´equations constitue le mod`ele d’´etat du syst`eme. Le mod`ele (1) n’a de sens que si les variables d’´etat xj(t) sont non-negatives1 pour tout t : xj(t) ∈ IR+. Les fonctions de flux fij et ej sont d´efinies de mani`ere `a ˆetre non-negatives sur l’orthant non-n´egatif : fij : IRn + → IR+, ej : IRn + → IR+. De mani`ere similaire, les flux d’entr´ee bj sont non-n´egatifs bj(t) ∈ IR+∀t. D’autre part, il ne peut y avoir de flux positif provenant d’un compartement vide et donc : xj = 0 =⇒ fjk(x) = 0 et ej(x) = 0. (2) Sous la condition (2), si les fonctions fjk(x) et ej(x) sont diff´erentiables, elles peuvent s’´ecrire sous la forme fjk(x) = rjk(x)xj ej(x) = qj(x)xj avec les fonctions rjk(x) and qj(x) d´efinies sur IRn +, non- negatives et au moins continues. Ces fonctions sont ap- pel´ees flux sp´ecifiques. Dans cet article, nous supposerons que les flux sp´ecifiques rjk(x) and qj(x) sont des fonctions continument diff´erentiables et stictement positives de leurs arguments sur l’orthant non-n´egatif : rjk(x) > 0 et qj(x) > 0 ∀x ∈ IRn +. En d’autres mots, nous supposons que les flux fjk and ej ne peuvent ˆetre nuls que si xj = 0. C’est une hypoth`ese natu- relle qui est satisfaite par de nombreux mod`eles physiques d´ecrits par des r´eseaux `a compartiments. 1Notation. L’ensemble des nombres r´eels non-n´egatifs est not´e IR+ = {a ∈ IR, a ≥ 0}. Pour tout entier n, l’ensemble IRn + est appel´e « orthant non-n´egatif ». Avec ces d´efinitions et notations, le syst`eme (1) s’´ecrit : ˙xj = i=j rij(x)xi − k=j rjk(x)xj − qj(x)xj + bj j = 1, ..., n (3) On rencontre des mod`eles d’´etat de cette forme dans de nombreuses applications. On peut citer par exemple les proc´ed´es industriels ( tels que les colonnes de distillation ([33]), les r´eacteurs chimiques, les circuits de broyage ( [5], [18]), les ´echangeurs de chaleur, . . .), mais aussi les r´eseaux de files d’attente, les r´eseaux de communications ([20]), les ´eco-syst`emes ([28]), les proc´ed´es biologiques, les syt`emes ´economiques, etc. III. Propri´et´es structurelles des r´eseaux `a compartiments Les r´eseaux `a compartiments ont de nombreuses propri´e- t´es structurelles int´eressantes et document´ees dans la litt´e- rature scientifique. Certaines de ces propri´et´ees sont pr´e- sent´ees ci-dessous. Tout d’abord, comme on peut s’y attendre, un r´eseau `a compartiment est un syst`eme positif. D´efinition 1. Syst`eme positif (e.g.[35]). Un syst`eme dynamique ˙x = f(x, t) x ∈ IRn est positif si x(0) ∈ IRn + =⇒ x(t) ∈ IRn + ∀t ≥ 0. Propri´et´e 1. Un r´eseau `a compartiments est un sys- t`eme positif. Le syst`eme (3) est un syst`eme positif. En effet, si x ∈ IRn + et xj = 0, alors ˙xj = i=j rij(x)xi + bj ≥ 0. Ceci est suffisant pour garantir l’invariance de l’orthant non-n´egatif si les fonctions rij(x) et qj(x) sont diff´erentiables. La quantit´e totale contenue dans le syst`eme est M(x) = n i=1 xi. Un r´eseau `a compartiments est conservatif en ce sens que la quantit´e totale contenue dans le syst`eme est conserv´ee. On le v´erifie facilement en consid´erant le cas particulier d’un r´eseau ferm´e sans flux d’entr´ee et de sortie. Propri´et´e 2. Conservation. Un mod`ele de r´eseau `a com- partiments (3) est dissipatif par rapport au taux d’alimen- tation (supply rate) w(t) = i bi(t) avec la quantit´e totale M(x) comme fonction d’accumulation (storage function) dont la dynamique est donn´ee par l’´equation suivante : dM(x(t)) dt = i bi(t) − i ei(x(t)). Dans le cas particulier d’un syst`eme ferm´e sans flux d’en- tr´ee (bi = 0, ∀i) et sans flux de sortie (ei(x) = 0, ∀i), on v´erifie que dM(x)/dt = 0, ce qui montre que la quantit´e totale contenue dans le syst`eme est effectivement conserv´ee. Le syst`eme (3) peut s’´ecrire sous forme matricielle : ˙x = A(x)x + b (4) o`u la matrice A(x) est appel´ee matrice compartimentale avec les propri´et´es suivantes : 1. A(x) est une matrice de Metzler, c-`a-d une matrice ayant des ´el´ements non-n´egatifs en dehors de la diagonale : aij(x) = rji(x) 0 (notez l’inversion des indices !) 2. Les ´el´ements diagonaux de A(x) sont non-positifs : aii(x) = −qi(x) − j=i rij(x) 0 3. La matrice A(x) est diagonalement dominante : |aii|(x) j=i aji(x) L’invertibilit´e et la stabilit´e d’une matrice compartimen- tale est reli´ee `a la notion de connectivit´e comme cela est indiqu´e dans la d´efinition suivante. D´efinition 2. R´eseau connect´e aux entr´ees et aux sorties. Un compartiment i est connect´e `a une sortie si il y a un chemin i → j → k → · · · → partant de ce com- partiment et se terminant en un compartiment `a partir duquel il y a un flux de sortie q (x). Le r´eseau est compl`ete- ment connect´e aux sorties (CCS) si chaque compartiment est connect´e `a une sortie. Un compartiment est connect´e `a une entr´ee si il y a un chemin i → j → k → · · · → jusqu’`a ce comparti- ment et partant d’un compartiment i dans lequel il y a un flux d’entr´ee bi. Le r´eseau est compl`etement connect´e aux entr´ees (CCE) si chaque compartiment est connect´e `a une entr´ee. Propri´et´e 3. Invertibilit´e et stabilit´e d’une matrice compartimentale ([16],[28]). La matrice compartimen- tale A(x) est r´eguli`ere et stable ∀x ∈ IRn + si et seulement si le r´eseaux `a compartiments est CCS. Ceci indique que la r´egularit´e et la stabilit´e d’une matrice compartimen- tale peuvent ˆetre directement v´erifi´ees par inspection de la structure du graphe du r´eseau. La matrice Jacobienne du syst`eme (4) est d´efinie comme J(x) = ∂[A(x)x] ∂x . Lorsque la matrice Jacobienne poss`ede elle-mˆeme une structure compartimentale, ses ´el´ements non-diagonaux sont non-n´egatifs et le syst`eme est donc coop´eratif ([24], [25]) ou , ce qui est ici synonyme, monotone dans IRn + ([2], [42]). Nous avons alors l’int´eressante propri´et´e de stabilit´e suivante. Propri´et´e 4. Stabilit´e des ´equilibres avec une ma- trice Jacobienne compartimentale. Consid´erons le sys- t`eme (4) avec des flux d’entr´ee constants : bi = constante ∀i. a) Si J(x) est une matrice compartimentale ∀x ∈ IRn +, alors toutes les trajectoires born´ees tendent vers un ´equilibre dans IRn +. b) Si il existe un compact convexe D ⊂ IRn + qui est inva- riant et si J(x) est une matrice compartimentale r´egu- li`ere ∀x ∈ D , alors le syst`eme (4) poss`ede un ´equilibre unique ¯x ∈ D qui est globalement asymptotiquement stable (GAS) dans D. On trouve une d´emonstration de a) dans [28], Annexe 4 (voir aussi [17],[24], [30]). La partie b) est une reformulation concise du th´eor`eme de Rosenbrock [38] (voir aussi [40]). On trouvera aussi dans [2] une g´en´eralisation de cette pro- pri´et´e `a certains r´eseaux qui ne sont pas coop´eratifs, mais qui sont form´es de sous-r´eseaux coop´eratifs interconnect´es (voir aussi [14]). La propri´et´e 4 impose que la matrice Jacobienne com- partimentale soit inversible pour qu’il y ait un ´equilibre unique et GAS. Une telle condition n’est ´evidemment pas satisfaite pour un syst`eme ferm´e (sans flux d’entr´ee ni de sortie) qui poss`ede n´ecessairement une matrice Jacobienne singuli`ere. Cependant, l’unicit´e de l’´equilibre est pr´eserv´ee pour des syst`emes ferm´es qui sont fortement connexes. Propri´et´e 5. Unicit´e de l’´equilibre pour des sys- t`emes ferm´es fortement connexes. Si un syst`eme ferm´e avec une matrice Jacobienne compartimentale est forte- ment connexe (c-`a-d qu’il y a un chemin orient´e i → j → k → · · · → reliant tout compartiment i `a tout comparti- ment ), alors, pour toute constante M0 > 0, l’hyperplan H = {x ∈ IRn + : M(x) = M0 > 0} est invariant et contient un unique ´equilibre GAS. Cette propri´et´e est une extension imm´ediate du Th´eo- r`eme 6 de [36]. IV. Contrˆole de congestion dans les r´eseaux `a compartiments Le probl`eme de congestion survient dans un r´eseau quand la demande de flux `a l’entr´ee du r´eseau d´epasse la capacit´e de transfert du r´eseau. L’objectif de cette section est de montrer comment la congestion du r´eseau peut ˆetre auto- matiquement ´evit´ee par un contrˆole en boucle ferm´ee. Le probl`eme de contrˆole de congestion est formul´e de la mani`ere suivante. Nous consid´erons un r´eseau comportant n compartiments, m flux d’entr´ee et p flux de sortie. Nous supposons en outre que : 1. Le r´eseau est CCE et CCS (chaque compartiment est connect´e `a une entr´ee et une sortie au moins). 2. Les liens du r´eseau ont une capacit´e maximale de trans- fert : 0 ≤ fij(x) ≤ fmax ij et 0 ≤ ei(x) ≤ emax i , ∀x ∈ IRn +. 3. Les compartiments du r´eseau ont une capacit´e maxi- mum : xmax i , i = 1, . . . , n. 4. Il y a un flux d’entr´ee demand´e di sur chaque entr´ee du r´eseau : c’est le flux d’entr´ee que l’utilisateur voudrait injecter dans le r´eseau ou, autrement dit, que l’utilisateur voudrait assigner au d´ebit d’entr´ee bi. Alors la congestion se produit dans le r´eseau quand la de- mande totale d´epasse la capacit´e maximale de transfert r´ea- lisable par le r´eseau. Celle-ci est forc´ement limit´ee car elle d´epend des capacit´es maximales de transfert des liens du r´eseau. Quand la congestion se produit, certains liens du r´eseau sont satur´es avec la cons´equence ind´esirable d’un d´ebordement des compartiments qui alimentent les liens satur´es. Nous examinerons deux solutions : le contrˆole « de proche en proche » d’une part, le contrˆole « de bout en bout » d’autre part. Dans la pratique, ces deux formes de contrˆole peuvent ˆetre combin´ees. A. Contrˆole de proche en proche Comme nous l’avons indiqu´e ci-dessus, les flux d’entr´ee bi sont id´ealement assign´es aux valeurs demand´ees di(t). Cependant, dans le but d’´eviter la congestion du r´eseau, on suppose que les flux d’entr´ee bi peuvent ˆetre momenta- n´ement ralentis et inf´erieurs `a la demande. Cela s’exprime comme ceci : bi(t) = uoi(t)di(t) 0 ui(t) 1 o`u uoi(t) repr´esente la fraction de la demande di(t) qui peut, en r´ealit´e, ˆetre envoy´ee dans le r´eseau. Dans le cas du contrˆole de proche en proche, on suppose en outre que tous les flux internes du r´eseau sont aussi munis d’un dispositif de contrˆole. Ceci s’exprime en munissant les flux fij d’un facteur multiplicatif de commande uij comme suit : fij(t) = uij(t)rij(x(t))xi(t) 0 uij(t) 1. Avec ces d´efinitions et notations, le mod`ele d’´etat du sys- t`eme (3) avec le contrˆole se r´e´ecrit : ˙xj = i=j uijrij(x)xi − k=j ujkrjk(x)xj − qj(x)xj + uojdj j = 1, . . . , n (5) Le principe de base du contrˆole de proche en proche est que la commande uij qui module le flux de sortie du com- partiment i est utilis´ee pour empˆecher le d´ebordement du compartiment j situ´e imm´ediatement en aval (voir l’illus- tration de la Fig. 2). Le contrˆole est r´ealis´e par des fonctions de r´etroaction statique uij(xj) : [0, σj] → IR+ telles que : uij(0) = 0 uij(σj) = 1 ∂uij ∂xj < 0 ∀xj ∈ [0, σj] (6) o`u σj > 0 est un param`etre dont la valeur est la taille maximum accept´ee pour le compartiment j et inf´erieure `a la capacit´e maximale xmax j . Un exemple typique d’une telle fonction est donn´e par l’expression suivante : uij(xj) = σj − xj σj − (1 − ε)xj o`u ε est une petite constante positive arbitraire. Propri´et´e 6. Contrˆole de congestion de proche en proche. Le syst`eme en boucle ferm´ee constitu´e du r´eseau `a compartiments (5) avec des lois de contrˆole uij(xi) satis- faisant les conditions (6), poss`ede les propri´et´es suivantes : 1. Le syst`eme en boucle ferm´ee est un r´eseau `a compar- timents. C’est donc un syst`eme positif (Propri´et´e 1) et conservatif (Propri´et´e 2). 2. L’ensemble Ω = {x : 0 xk σk} est invariant. 3. Si la Jacobienne du r´eseau en boucle ouverte est com- partimentale et r´eguli`ere dans Ω, alors la Jacobienne du syst`eme en boucle ferm´ee est aussi compartimentale et r´e- guli`ere et le syst`eme poss`ede, pour une demande constante, un ´equilibre unique GAS dans Ω (Propri´et´e 4). En d’autres termes, le contenu xj de chaque comparti- ment du r´eseau reste born´e `a tout instant, en de¸ca de la capacit´e maximale, et tout risque de congestion est ainsi automatiquement ´evit´e. La preuve de cette propri´et´e est simplement ´etablie en observant que : xj = 0 =⇒ ˙xj 0 xj = σj =⇒ ˙xj 0 et en suivant un raisonnement similaire `a celui utilis´e dans la section VII de [43]. B. Contrˆole de bout en bout Dans le cas du contrˆole de bout en bout, on suppose que, dans le but d’´eviter la congestion, seuls les flux d’en- tr´ee bi peuvent ˆetre modul´es `a des valeurs inf´erieures `a la demande : bi(t) = uoi(t)di(t) 0 ui(t) 1 On suppose d’autre part que les seules mesures dispo- nibles pour un contrˆole en r´etroaction sont les flux de sortie ei(x(t)) yi(t). Autrement dit, on suppose qu’il n’y a au- cun moyen de contrˆole ni aucune mesure disponible `a l’in- t´erieur du r´eseau (voir l’illustration de la Fig. 3). Le mod`ele d’´etat s’´ecrit de la mani`ere suivante sous forme matricielle : ˙x = A(x)x + B(d)u (7a) y = C(x)x (7b) avec des d´efinition ´evidentes des matrices B(d), C(x) et des vecteurs d, u, y. Pour ´eviter la congestion, on utilise un contrˆole dyna- mique de la forme suivante (voir [4]) : ˙zi = yi − φ(zi) k∈Qi αkidk (i ∈ Iout) uj(z) = k∈Pj αjkφ(zk) (j ∈ Iin) avec les d´efinitions et les notations suivantes : (a) Iin est l’index des compartiments d’entr´ee (|Iin| = m) ; (b) Iout est l’index des compartiments de sortie (|Iout| = p) ; (c) R est l’ensemble des paires de compartiments (j, k) (avec j ∈ Iin and k ∈ Iout) telles qu’il y a un cemin orient´e dans le r´eseau du compartiment d’entr´ee j au compartiment de sortie k ; (d) Pj = {k : (j, k) ∈ R} ⊂ Iout est l’index des com- partiments de sortie qui sont atteignables `a partir du compartiment d’entr´ee j ; (e) Qi = {k : (k, i) ∈ R} ⊂ Iin est l’index des compar- timents d’entr´ee `a partir desquels le compartiment de sortie i est atteignable ; (f) αjk (with (j, k) ∈ R) sont des param`etres de synth`ese tels que 0 ≤ αjk ≤ 1 et k∈Pj αjk = 1 ; (g) φ : IR+ → IR+ est une fonction monotone croissante telle que φ(0) = 0 et φ(+∞) = 1. La rationalit´e sous-jacente `a la construction de cette loi de contrˆole est illustr´ee `a la Fig.2. Le contrˆoleur poss`ede Compartmental Network System MUX Compartmental Controller {demand i inputs i output i d u y Fig. 2. Structure du syst`eme en boucle ferm´ee lui-mˆeme une structure de r´eseau `a compartiments, avec autant de compartiments qu’il y a de sorties yi au r´eseau `a contrˆoler. Chaque compartiment du contrˆoleur est vir- tuellement aliment´e avec une copie de l’un des flux de sor- tie. Les flux sortant du contrˆoleur sont distribu´es entre les entr´ees de contrˆole uj (comme cela est repr´esent´e par un multiplexeur `a la Fig.2) de telle mani`ere qu’il y ait exac- tement une connection entre chaque sortie k du r´eseau et chaque entr´ee j `a travers le contrˆoleur pour toutes les paires (j, k) ∈ R (c-`a-d pour toutes les connections inverses exis- tant `a travers le r´eseau entre les entr´ees j et les sorties k). Sous forme matricielle, cette loi de contrˆole s’´ecrit : ˙z = G(d)F(z)z + y (8a) u = K(z)z (8b) avec G(d) = diag{ k∈Qi (−αkidk), i ∈ Iout} et des d´efini- tions ´evidentes du vecteur z et des matrices F(z) et K(z). Il s’en d´eduit que le syst`eme en boucle ferm´ee obtenu en combinant le r´eseau (7) avec le contrˆoleur (8)) s’´ecrit : ˙x ˙z = A(x) B(d)K(z) C(x) G(d)F(z) x z L(x, z) x z (9) Propri´et´e 7. Contrˆole de congestion de bout en bout. Le syst`eme en boucle ferm´ee (9) poss`ede les pro- pri´et´es suivantes : 1. La matrice L(x, z) dans (9) est une matrice comparti- mentale param´etr´ee par d. La boucle ferm´ee (9) est donc un syst`eme positif (Propri´et´e 1). En outre c’est un r´eseau ferm´e pour lequel la fonction d’accumulation M(x, z) = n i=1 xi + p j=1 zj est invariante (Propri´et´e 2) et dont les trajectoires d’´etat, avec des conditions initiales non-n´egatives, sont confin´ees dans l’ensemble invariant : H = {(x, z) ∈ IRn +×IRp + : M(x, z) = M(x(0), z(0)) = σ > 0}. Il s’en d´eduit imm´ediatement que les variables d’´etat sont born´ees : 0 ≤ xi(t) ≤ σ (i = 1, n) and 0 ≤ zj(t) ≤ σ (j ∈ Iout). 2. Les contrˆoles uj(z) (c-`a-d les fractions de la demande d’entr´ee qui sont effectivement r´ealis´ees par le contrˆole) sont bien confin´es dans l’intervalle [0, 1]. En effet, sous la condition (g) ci-dessus on a 0 ≤ φ(zk) ≤ 1 ∀zk ∈ IR+ ce qui, avec la condition (f), implique : 0 ≤ uj(z) = k∈Pj αjkφ(zk) ≤ k∈Pj αjk = 1. 3. Le r´eseau ´etant CCE et CCS par hypoth`ese, la structure choisie pour le contrˆoleur implique que le r´eseau en boucle ferm´ee (9) est n´ecessairement un r´eseau fortement connexe. D`es lors, si la Jacobienne du r´eseau en boucle ouverte est compartimentale et r´eguli`ere dans H, alors la Jacobienne du syst`eme en boucle ferm´ee est aussi compartimentale et, pour une demande constante d, le syst`eme poss`ede un ´equi- libre unique GAS danss H (Propri´et´e 5). Par cette propri´et´e, on peut donc observer comment la congestion du r´eseau est automatiquement ´evit´ee grˆace au contrˆole : en effet, pourvu que σ soit inf´erieur `a la capa- cit´e maximale xmax j des compartiments, on a la guarantie qu’il n’y aura pas de d´ebordement des compartiments ni de stauration des flux. Dans la majorit´e des applications, il est naturel de d´emarrer le syst`eme avec des compartiments vides (xj(0) = 0). Dans ce cas la valeur de σ = p j=1 zj(0) est librement fix´ee par l’utilisateur en choisissant les condi- tions initiales zj(0) des variables d’´etat du contrˆoleur. V. Mod´elisation en dimension infinie (R´eseaux de lois de conservation) On consid`ere maintenant le cas o`u les noeuds du r´eseau (Fig.1) repr´esentent des r´eservoirs dont le contenu n’est pas homog`ene et dont la dimension spatiale doit ˆetre prise en compte. On se limite au cas o`u une seule dimension spatiale est significative2 . Les variables d’´etat repr´esentant z 10 q(t, z) x(t, z) Fig. 3. Illustration de la mod´elisation d’un compartiment en dimen- sion infinie les quantit´es accumul´ees dans les compartiments sont alors spatialement distribu´ees. Elles sont not´ees xj(t, z) o`u les deux variables ind´ependantes sont la variable temporelle 2C’est le cas de nombreuses applications concr`etes comme par exemple les canaux hydrauliques, les pipelines, les routes, les ´echan- geurs de chaleur ou les r´eacteurs chimiques de type « piston ». t ∈ [0, +∞) et la variable spatiale z ∈ [0, 1] sur un inter- valle fini repr´esentant la taille (normalis´ee) du comparti- ment (voir Fig.3). La dynamique de chaque compartiment est d´ecrite par une ´equation de la forme : ∂txj(t, z) + ∂zqj(t, z) = 0 j = 1, . . . , n (10) o`u qj(t, z) est le flux. Chacune de ces n ´equations aux d´eri- v´ees partielles (EDP) est simplement une ´equation de conti- nuit´e interne `a chaque compartiment qui exprime que le taux d’accumulation de la quantit´e xi(t, z) sur l’intervalle [z, z + dz] est la diff´erence entre le flux d’entr´ee qi(t, z) et le flux de sortie qi(t, z + dz). Il faut ´evidemment pr´eciser comment le flux d´epends de l’´etat du syst`eme. Dans les cas les plus simples, on suppose que le flux dans chaque com- partiment est une fonction statique de l’´etat dans le mˆeme compartiment : qj = hj(xj(t, z)) de sorte que le mod`ele d’´etat (10) s’´ecrit : ∂txj(t, z) + ∂zhj(xj(t, z)) = 0 j = 1, . . . , n. (11) Les ´equations d’´etat (11) de cette forme sont g´en´eralement appel´ees « lois de conservation » dans la litt´erature (voir par exemple les ouvrages de r´ef´erence [7], [32], [41]). On rencontre ce type d’´equations par exemple dans les mo- d`eles fluides de trafic sur les r´eseaux routiers ([21]) ou dans les mod`eles cin´ematiques d’´ecoulement dans les r´eseaux hy- drauliques. Sous l’hypoth`ese que les fonctions hj(xj) sont d´erivables, le mod`ele d’´etat s’´ecrit alors aussi : ∂txj(t, z) + λj(xj(t, z))∂zxj(t, z) = 0 j = 1, . . . , n (12) o`u chaque fonction λj(xj) est la d´eriv´ee de hj par rapport `a xj. Ce mod`ele s’´ecrit sous forme matricielle : ∂tx(t, z) + Λ(x(t, z))∂zx(t, z) = 0 (13) avec le vecteur x(t, z) = (x1(t, z), . . . , xn(t, z)) et la matrice diagonale Λ(x(t, z)) = (diag λj(xj(t, z))). Si les fonctions hj sont en outre strictement monotones croissantes et donc inversibles xj = h−1 j (qj), on peut tout aussi bien choisir les flux comme variables d’´etat. Dans ce cas le mod`ele se r´e´ecrit : ∂tqj(t, z) + δj(qj(t, z))∂zqj(t, z) = 0 j = 1, . . . , n (14) avec : δj(qj(t, z)) = ∂h−1 j (qj) ∂qj (t, z) λj(h−1 j (qj(t, z)). On observe que ces ´equations sont exactement de la mˆeme forme que les ´equations (12). Ce sont donc aussi des lois de conservation. Sous forme matricielle, le mod`ele (14) s’´ecrit : ∂tq(t, z) + ∆(q(t, z))∂zq(t, z) = 0 (15) avec le vecteur q(t, z) = (q1(t, z), . . . , qn(t, z)) et la matrice diagonale ∆(x(t, z)) = (diag δj(qj(t, z))). Le mod`ele est compl´et´e par des conditions aux bords qui mod´elisent les bilans de flux entre les compartiments (voir Fig. 1) : qj(t, 0) = i=j fij(qi(t, 1)) + bj(t) (16a) qj(t, 1) = k=j fjk(qj(t, 1)) + ej(qj(t, 1)) (16b) j = 1, . . . , n On adopte ici la mod´elisation la plus simple o`u les flux fjk et ej sortant du compartiment j sont des fonctions de classe C1 qui ne d´ependent que de la valeur du flux qj(t, 1) `a l’extr´emit´e z = 1. La deuxi`eme relation (16b) est sim- plement une contrainte qui doit ˆetre satisfaite par les fonc- tions fjk et ej pour garantir la coh´erence du mod`ele. Seule la premi`ere relation (16a) doit ˆetre prise en compte comme condition au bord pour le calcul des solutions du syst`eme d’EDP (15). VI. Commande en boucle ferm´ee des r´eseaux de lois de conservation Comme dans le cas des mod`eles en dimension finie, nous supposons que les flux d’entr´ee bj et certains flux de trans- fert fjk peuvent ˆetre modul´es par des actionneurs appro- pri´es. Cela revient `a dire que nous consid´erons maintenant le syst`eme (15) sous des conditions aux bords (16a) qui d´ependent des actions de contrˆole et qui sont r´e´ecrites : qj(t, 0) = i=j fij(qi(t, 1), uij(t)) + bj(uoj(t)) (17) avec les notations uij et uoj pour les grandeurs de com- mande (les commandes uij ne sont pas n´ecessairement pr´e- sentes dans tous les arcs du r´eseau). D´efinition 3. R´egime permanent. Pour des commandes constantes uij(t) = ¯uij et uoj(t) = ¯uoj, une solution de r´e- gime permanent (ou d’´equilibre) est une solution constante q(t, z) = ¯q ∀t ∈ [0, +∞), ∀z ∈ [0, 1] qui v´erifie (15) et les conditions aux bords ¯qj = i=j fij(¯qi, ¯uij) + bj(¯uoj). On s’int´eresse ici aux solutions r´eguli`eres du probl`eme de Cauchy pour le syst`eme (15) avec les conditions aux bords (17) sous une condition initiale q(0, z) = Q(z) z ∈ [0, 1]. En d´esignant par le vecteur u(t) l’ensemble des commandes disponibles, le probl`eme de contrˆole en boucle ferm´ee est le probl`eme de d´efinir une loi de r´etroaction statique u(t) = ϕ(q(t, 1)) telle que le probl`eme de Cauchy pour le syst`eme (15) avec les conditions aux bords (17) poss`ede une solution unique dans C1 ([0, +∞) × [0, 1]) qui converge exponentiel- lement vers un ´etat de r´egime permanent d´esir´e. Avec la loi de commande u(t) = ϕ(q(t, 1)), nous ´ecrivons les conditions aux bords (17) sous la forme vectorielle : q(t, 0) = F(q(t, 1)) (18) D´efinition 4. Conditions de compatibilit´e. La condi- tion initiale q(0, z) = Q(z) ∈ C1 [(0, 1)] (19) v´erifie les « conditions de compatibilt´e » au bord si elles satisfait les conditions suivantes : Q(0) = F(Q(1)) (20a) ∆(Q(0))Q (0) = qF(Q(1))∆(Q(1))Q (1) (20b) La premi`ere relation est la condition aux bords (18) `a l’ins- tant initial. La deuxi`eme relation est obtenue en d´erivant (18) par rapport au temps, en utilisant (15) et en ´evaluant le r´esultat `a l’instant initial ( qF d´esigne la Jacobienne de F par rapport `a q). Propri´et´e 8. Stabilit´e de la solution de r´egime per- manent du syst`eme en boucle ferm´ee. Si le rayon spec- tral de la matrice3 | qF(¯q)| est strictement inf´erieur `a 1, alors il existe une constante ε > 0, telle que, pour toute fonction Q(z) satisfaisant les conditions de compatibilit´es (20) et telle que |Q(z) − ¯q|C1([0,1]) ε, il existe une et une seule solution q(t, z) ∈ C1 ([0, +∞) × [0, 1]) v´erifiant les ´equations du syst`eme (15)-(18) et la condition initiale q(0, z) = Q(z) ∀z ∈ [0, 1]. De plus, cette solution converge exponentiellement vers l’´etat de r´egime permanent car il existe deux constantes stictement posi- tives µ et M telles que : |q(t, z) − ¯q|C1([0,1]) M exp−µt |Q(z) − ¯q|C1([0,1]) ∀t 0 Cette propri´et´e est un cas particulier du Th´eor`eme 6 dans [9]. Elle nous indique que la stabilit´e exponentielle (locale) de l’´etat de r´egime permanent de la boucle ferm´ee est essen- tiellement dict´ee par la structure de la condition au bord : il suffit de choisir la loi de contrˆole ϕ pour que le rayon spectral de la norme de la matrice Jacobienne de l’applica- tion F (d´efinissant les conditions aux bords) soit inf´erieur `a 1. Cependant, l’hypoth`ese que le flux qj est une fonction statique de xj est assez simpliste et ne corresponds pas toujours `a la r´ealit´e exp´erimentale. Il est donc important de voir comment cette m´ethode de conception peut ˆetre g´e- n´eralis´ee aux cas o`u cette hypoth`ese n’est pas satisfaisante. Dans ce cas, il est appropri´e de consid´erer que le flux qj est lui mˆeme une variable d’´etat du syst`eme ob´eissant `a une loi de conservation de la quantit´e de mouvement. La dy- namique de chaque compartiment est alors mod´elis´ee par deux lois de conservation (ici on substitue la notation yj `a la notation xj) : ∂tyj(t, z) + ∂zqj(t, z) = 0 ∂tqj(t, z) + ∂zgj(yj(t, z), qj(t, z)) = 0 j = 1, . . . , n (21) Pour autant que la fonction g soit de classe C1 , ce mod`ele (21) s’´ecrit aussi : ∂t yj qj + Aj(yj, qj)∂z yj qj = 0 j = 1, . . . , n 3|A| d´esigne une matrice dont les ´el´ements sont les valeurs absolues des ´el´ements de la matrice A. avec la matrice : Aj(yj, qj) = 0 1 ∂gj/∂yj ∂gj/∂qj j = 1, . . . , n Consid´erons le cas hyperbolique o`u les matrices Aj pos- s`edent deux valeurs propres r´eelles et distinctes not´ees λn+j(yj, qj) et λj(yj, qj) (j = 1, . . . , n). Propri´et´e 9. Invariants de Riemann. Il existe une transformation d’´etat : xj(t, z) xn+j(t, z) = H yj(t, z) qj(t, z) j = 1, . . . , n telle que, dans ces nouvelles coordonn´ees, le syst`eme (21) s’´ecrit sous une forme diagonalis´ee : ∂txj + λj(xj, xn+j)∂zxj = 0 ∂txn+j + λn+j(xj, xn+j)∂zxn+j = 0 j = 1, . . . , n ou, sous forme matricielle : ∂tx(t, z) + Λ(x(t, z))∂zx(t, z) = 0 (22) avec le vecteur x(t, z) = (x1(t, z), . . . , x2n(t, z)) et la matrice diagonale Λ(x(t, z)) = (diag λj(xj(t, z)), j = 1, . . . , 2n). Les variables xj(t, z) sont appel´ees invariants de Riemann parcequ’elles sont constantes le long des courbes caract´eristiques dans le plan (t, z). Cette propri´et´e est d´emontr´ee dans la plupart des ou- vrages de base sur les syst`emes de lois de conservation (voir par exemple [32], [41]). Le point important est que, par ce changement de coor- donn´ees, le syst`eme (22) est ´ecrit dans une forme qui est tout `a fait semblable `a la forme pr´ec´edente (13), `a ceci pr`es que la dimension du vecteur d’´etat x(t, z) est 2n au lieu de n. Pour r´esoudre ce syst`eme il faut donc prendre en compte l’ensemble des 2n conditions aux bords (16). Etant donn´e cette similarit´e de forme, la propri´et´e 8 se g´en´eralise direc- tement au syst`eme (22) (voir le Th´eor`eme 6 dans [9]) : la stabilit´e locale exponentielle des ´etats de r´egime permanent d´epends de fa¸con simple de la structure des conditions aux bords exprim´ees ´evidemment dans les nouvelles coordon- n´ees. Cette propri´et´e peut alors ˆetre utilis´ee de la mˆeme mani`ere pour concevoir des lois de contrˆole fronti`ere en boucle ferm´ee stabilisantes. Une telle approche est utilis´ee par exemple pour concevoir des algorithmes de contrˆole de niveau et de d´ebit dans les r´eseaux de canaux `a surface libre (par exemple des r´eseaux de voies navigables) dans les r´ef´erences [9], [10], [22], [37]. VII. Conclusion Cette communication est ´evidemment loin d’avoir ´epuis´e le sujet de la mod´elisation et du contrˆole des r´eseaux dy- namiques conservatifs. Il y a, dans la litt´erature, de nom- breux aspects que je n’ai pas abord´e et encore de nom- breuses questions ouvertes `a explorer. Le lecteur int´eress´e pourra consulter les r´ef´erences indiqu´ees dans la bibliogra- phie. Pour terminer, je voudrais aussi adresser mes remer- ciements `a tous ceux avec lesquels j’ai eu le plaisir de tra- vailler sur ce sujet depuis une vingtaine d’ann´ees. Je vou- drais citer en particulier les professeurs Brigitte d’Andr´ea- Novel, Jean-Michel Coron, Laurent Praly, Yacine Chitour, Joseph Winkin, Paul Van Dooren, et les chercheurs Libei Chen, Fabrice Jadot, Nathalie Dautrebande, Fr´ed´eric Gro- gnard, Jonathan de Halleux, Mariama Ndiaye, Christophe Prieur, Vincent Guffens, Agn`es Provost, Bertrand Haut, Val´erie Dos Santos. R´ef´erences [1] D.H. Anderson, T. Roller, “Equilibrium Points for Nonlinear Compartmental Models”, Mathematical Biosciences, vol. 103, pp. 159-201, 1991. [2] D. Angeli et E..D. Sontag, “Monotone control systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 48, pp. 1684 - 1698, 2003. [3] G. Bastin, J-M. Coron, B. d’Andr´ea-Novel, L. 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