Immersion et grand gain pour la synthèse d’observateurs non linéaires

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19936
DOI :

Résumé

Immersion et grand gain pour la synthèse d’observateurs non linéaires

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Immersion et grand gain pour la synthèse d’observateurs non linéaires Gildas Besançon et Alexandru Ţiclea Laboratoire d’Automatique de Grenoble ENSIEG BP 46, 38402 Saint-Martin d’Hères, France {Gildas.Besancon,Alexandru.Ticlea}@inpg.fr http://www.lag.ensieg.inpg.fr/ Résumé— Ce papier présente une méthode de synthèse d’ob- servateur pour une classe de systèmes non linéaires. Elle est basée sur une structure particulière, triangulaire avec par- tie affine en l’état, et l’immersion des systèmes non linéaires dans une telle forme. La méthodologie est illustrée par l’in- termédiaire d’un exemple. Mots-clés— Observateurs non linéaires, grand gain, entrées localement régulières, immersion, observabilité. I. Introduction La reconstruction de l’état des systèmes dynamiques est un problème important pour la commande ou pour la sur- veillance. Pour les systèmes linéaires, les observateurs du type Luenberger ou Kalman représentent une solution sys- tématique. Pour les systèmes non linéaires, bien qu’il existe bon nombre de résultats, il n’existe pas de solution géné- rale qui ait les mêmes propriétés de convergence que dans le cas linéaire. Ce papier propose un observateur pour une classe de sys- tèmes non linéaires qui est assez générale. La synthèse de l’observateur s’appuie d’une part sur une structure parti- culière qui permet une synthèse du type « grand gain » [1], [2], et d’une autre part sur l’immersion dans une telle forme. Des conditions raisonnables (du type observabilité) pour que l’immersion soit possible ainsi qu’une procédure d’immersion seront données. La structure particulière considérée ici est plus générale que la structure utilisée pour une synthèse d’observateur à grand gain [3], dans la mesure où elle n’est pas spécifique aux systèmes uniformément observables [4]. En outre, elle ne peut pas se mettre sous la forme dite affine modulo injection de sortie (utilisée pour synthèse d’observateur, par exemple, dans [5], [6], [7], [8]). Par contre elle généralise ces structures. L’utilisation d’immersion et non pas de difféomorphisme pour la transformation du système permet de prendre en compte une catégorie plus large de systèmes (plus précisé- ment les systèmes qui ne sont pas équivalents à la forme considérée, mais qui peuvent être immergés dans une telle forme). Cette approche est donc plus générale que l’ap- proche qui s’appuie sur l’équivalence d’état. De plus, elle généralise des résultats existants sur l’immersion dans des formes linéaires, bilinéaires ou linéaires modulo injection de sortie (comme dans [9], [10], [11], [12] pour des résultats théoriques et dans [13], [14] pour des exemples d’applica- tion). Le papier est organisé comme suit : la section II présente la forme particulière considérée et l’observateur correspon- dant (dans l’esprit des résultats de [1], [2]) et la section III présente les conditions pour l’immersion dans cette forme ainsi qu’une procédure d’immersion. Un exemple de syn- thèse d’observateur ainsi que des résultats en simulation sont donnés en section IV et des conclusions sont tirées en section V. II. Synthèse d’observateur pour une structure triangulaire Cette section présente la synthèse d’un observateur pour les systèmes non linéaires qui peuvent se mettre sous la forme ˙z =A(u, y)z + b(u, z) y =C(u)z + d(u) (1) où les matrices impliquées ont des structures particulières, à savoir A(u, y) =      0 A1,2(u, y) 0 ... Aq−1,q(u, y) 0 0      , b(u, z) =        b1(u, z1) b2(u, z1, z2) ... bq−1(u, z1, . . . , zq−1) bq(u, z)        , C(u) = C1(u) 0 . . . 0 , avec z = col(z1, . . . , zq) ∈ ÊN , z1 ∈ ÊN1 , C1(u) ∈ Ê1×N1 et zi ∈ ÊNi , Ai−1,i ∈ ÊNi−1×Ni pour 2 ≤ i ≤ q. Rappelons que des cas particuliers de cette structure ont été déjà étudiés en vue de la synthèse d’observateur. Si chaque Ai−1,i est une constante scalaire, nous obtenons la structure classique qui permet la synthèse d’un observa- teur à grand gain [3]. Pour le cas où les scalaires Ai−1,i sont aussi fonctions de u, la synthèse d’un observateur à grand gain a été proposée dans [1], puis dans [2]. Enfin, si b(u, z) = b(u, y), nous obtenons la structure affine en l’état qui permet la synthèse d’un observateur du type Kal- man sous certaines conditions vis-à-vis de l’excitation [6]. Ces résultats suggèrent qu’un observateur pour (1) devrait combiner des éléments de synthèse des deux observateurs – à grand gain et du type Kalman. Généralement, l’observabilité d’un système non linéaire depend de ses entrées. En vue de la synthèse d’un observa- teur à grand gain, l’observabilité doit être garantie sur des intervalles de temps arbitrairement petits. Une caractéri- sation de cette propriété peut se faire comme suit : Définition 1 (Entrées localement régulières [1], [2]) Une fonction d’entrée u est dite localement régulière pour un système (1) s’il existe α > 0, λ0 > 0 tels que, pour tout λ ≥ λ0, tout t ≥ 1 λ et tout x0 ∈ ÊN , t t− 1 λ Φu,x0 (τ, t)T C(u(τ))T C(u(τ))Φu,x0 (τ, t)dτ ≥ αλΛ−2 (λ) (2) où Λ(λ) =      λIN1 0 λ2 IN2 ... 0 λq INq      et dΦu,x0 (τ, t) dτ = A(u(τ), yu,x0 (τ))Φ(τ, t)u,x0 , Φ(t, t) = IN , avec yu,x0 (t) la trajectoire de sortie du système sous l’action de l’entrée u à partir de l’état initial x0 à t = 0 et Iν la matrice identité dans Êν×ν . Remarque 1 La condition de régularité locale est satis- faite par l’entrée de tout système uniformément observable. Sous la condition d’excitation ci-dessus et les hypothèses techniques (Lipschitz) habituellement requises pour les ob- servateurs à grand gain, nous proposons l’observateur sui- vant : Théorème 1 Sous l’hypothèse que l’entrée u satisfait la condition de régularité locale, qu’elle est bornée et telle que A(u, y) soit bornée, si b est globalement Lipschitzienne par rapport à z, uniformément par rapport à u, alors pour tout σ > 0 il existe λ, γ > 0 tels que le système ˙ˆz =A(u, y)ˆz + b(u, ˆz) − Λ(λ)S−1 CT (u)(ˆy − y) ˙S =λ(−γS − A(u, y)T S − SA(u, y) + CT C) (3) avec Λ(λ) =      λIN1 0 λ2 IN2 ... 0 λq INq      , ˆy =C(u)ˆz + D(u) et des conditions initiales ˆz(0) ∈ ÊN , S(0) ≥ 0, garantisse z(t) − ˆz(t) ≤ µe−σt , µ > 0, ∀t ≥ 1 λ . Démonstration : Le théorème est une extension des ré- sultats présentés dans [1], [2] pour des systèmes de la forme (1) pour lesquels Ai−1,i ∈ Ê (classe élargie à Ai−1,i(u) ∈ Ê dans [1]). Nous donnons une esquisse de démonstration, ba- sée sur deux points : (i) Nous pouvons démontrer d’une manière similaire à celle de [2] que si l’entrée est localement régulière et la matrice A(u, y) est bornée, il existe γ > 0 et α1, α2 > 0 tels que pour tout λ ≥ λ0 et tout t ≥ 1 λ , α1IN ≤ S(t) ≤ α2IN . (ii) Nous pouvons vérifier en utilisant des éléments de dé- monstration typiques « grand gain » (comme, par exemple, dans [3]) que si e := ˆz − z , la fonction V (t, e) := eT Λ(λ)S(t)Λ(λ)e satisfait la propriété ˙V ≤ −α(λ)V le long des trajectoires de e pour un λ suffisamment grand et une fonction α crois- sante, strictement positive. La preuve de (i) s’appuie sur l’expression de la solution S(t) de (3) : S(t) = e−λγt ΛΦT (0, t)Λ−1 S(0)Λ−1 Φ(0, t)Λ+ 1 λ t 0 e−λγ(t−τ) ΛΦT (τ, t)CT CΦ(τ, t)Λdτ où les arguments de Λ et C ont été omis et Φ a été utilisé à la place de Φu,x0 . Il s’ensuit que S(t) ≥ e−γ 1 λ Λ t t− 1 λ ΦT (τ, t)CT CΦ(τ, t)dτΛ d’où, en utilisant la condition de régularité locale, S(t) ≥ e−γ α. Pour l’existence de la borne supérieure, nous utilisons le lemme de Gronwall : Λ−1 Φ(τ, t)Λ ≤ eaλ(t−τ) où a = supt≥0 A(u(t), y(t)) . À partir de l’expression de S(t) il vient S(t) ≤ e−λ(γ−2a)t S(0) +λ t 0 e−λ(γ−2a)(t−τ) CT C dτ, donc S(t) admet une borne supérieure pour tout γ > 2a. Pour la preuve de (ii), le calcul de ˙V donne ˙V = −λγV − eT Λ−1 CT CΛ−1 e+ 2eT Λ−1 SΛ−1 [B(u, ˆz) − B(u, z)]. En utilisant les bornes de S(t), la structure triangulaire Lipschitzienne de B (en prenant ρ en tant que constante de Lipschitz), il vient ˙V ≤ − λγ − 2ρα2 α1 V. En utilisant (i), (ii) et la théorie classique de stabilité de Lyapunov, la conclusion s’ensuit. III. Condition d’immersion La synthèse d’un observateur pour un système non li- néaire passe souvent par la transformation du système dans une forme qui permette la caractérisation formelle des pro- priétés de l’observateur. Des résultats existent déjà, par exemple, pour la transformation dans des structures li- néaires, bilinéaires ou affines modulo injection de sortie (mentionnons [15], [5], [16], [8] pour transformation par dif- féomorphisme et [9], [10], [11], [12] pour transformation par immersion). Si la transformation est inversible et la nou- velle représentation permet la synthèse d’un observateur, les estimations des états du système original s’obtiennent en appliquant la transformation inverse aux estimations fournies par l’observateur. Evidemment, la reconstruction de l’état d’un système n’est possible que si le système satisfait une propriété d’ob- servabilité convenable. Pour les systèmes non linéaires, une propriété facile à vérifier est l’obsevabilité locale faible, ca- ractérisée par une condition de rang [17] (qui est une ex- tension de la condition de rang classique introduite par Kalman pour les systèmes linéaires). Dans la suite, nous montrons qu’un système affine en la commande qui satis- fait la condition de rang pour l’observabilité dans le voisi- nage d’un point x◦ peut s’immerger localement dans une forme (1) avec N ≥ n, en considérant dans un premier temps la restriction A(u, y) = A(u). Une procédure d’im- mersion sera présentée, dont l’adaptation pour inclure la dépendance aussi en y est immediate. Nous considérons des systèmes affines en la commande de la forme suivante : ˙x = f0(x) + m i=1 fi(x)ui y = h0(x) + m i=1 hi(x)ui, (4) avec x ∈ Ên , ui ∈ Ê, y ∈ Ê et f0, . . . , fm, h0, . . . hm fonctions de classe C∞ . Pour simplicité, nous utiliserons la forme condensée ˙x = m i=0 fi(x)ui = F(x)u y = m i=0 hi(x)ui = H(x)u (5) avec u0 := 1 et F(x) = f0(x) f1(x) · · · fm(x) , H(x) = h0(x) h1(x) · · · hm(x) , u = u0 u1 · · · um T . À partir de cette dernière structure nous souhaitons étu- dier la possibilité d’immersion dans une structure (1) affine en la commande en considérant la restriction temporaire A(u, y) = A(u), c’est-à-dire une structure de la forme ˙z = m i=0 uiAiz + m i=0 bi(z)ui = A(u)z + B(z)u y = m i=0 uiCiz + m i=1 diui = C(u)z + Du (6) où les colonnes bi de B gardent la même structure triangu- laire que b avait dans (1) par rapport à z. Précisons d’abord ce que nous entendons par immersion et rappelons la condition de rang pour l’observabilité. Définition 2 (Immersion) Appelons x(t, u, x0) et z(t, u, z0) les solutions à l’instant t des systèmes (5) et (6) telles que x(0, u, x0) = x0 et z(0, u, z0) = z0. Le système (5) est immergeable dans le système (6) sur un domaine ouvert V ◦ ⊂ Ên s’il existe une immersion τ : V ◦ → τ(V ◦ ) ⊂ ÊN telle que, pour tout x0 ∈ V ◦ et toute entrée u admissible, si z0 = τ(x0), la propriété h(x(t, u, x0))u(t) = C(u(t))z(t, u, z0) + Du(t) soit satisfaite pour tout t ≥ 0 pour lequel la solution du système (5) est définie. Définition 3 (Observabilité au sens du rang) Notons O l’espace d’observation du système (5), c.-à-d. le plus pe- tit sous-espace vectoriel de fonctions de Ên à valeurs dans l’espace de sortie, contenant h et invariant sous l’action de la dérivée de Lie le long des champs de vecteurs f0, . . . , fm. Appelons ΩO l’espace des différentielles des éléments de O. Le système (5) satisfait la condition de rang pour l’obser- vabilitié en x◦ si dim ΩO(x◦ ) = n. Nous pouvons à présent énoncer le résultat suivant : Théorème 2 Un système (5) qui satisfait la condition de rang pour l’observabilité en x◦ est immergeable dans un système (6) sur un voisinage de x◦ . Démonstration : Elle peut se faire de façon construc- tive, en montrant que : (i) la procédure d’immersion ci-dessous appliquée au sys- tème (5) conduit à un système (6) (ii) le résultat est bien une immersion au sens de la Défi- nition 2. Procédure d’immersion – Initialiser la première itération avec le vecteur z1 com- posé de toutes les fonctions hi, 0 ≤ i ≤ m, qui dé- pendent de l’état x ; – Pour k > 1, construire le vecteur zk de toutes les fonc- tions Lfi zj k−1 avec 0 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ Nk−1, qui ne peuvent pas s’exprimer sur un voisinage de x◦ en fonction des éléments des vecteurs z1, . . . , zk−1 (avec les notations zi = z1 i · · · zNi i T ) ; – Arrêter les itérations quand la dimension de l’es- pace engendré par les différentielles des éléments de z1, z2, . . . est égale à n sur un voisinage de x◦ . (i) Les éléments de z1, z2, . . . sont, par construction, élé- ments de l’espace d’observation du système, ce qui signifie que leurs différentielles appartiennent à ΩO. La construc- tion est donc achevée quand une base de ΩO est obtenue. La définition de ΩO et la manière de construire les éléments de base montrent que la procédure ne peut comporter qu’un nombre fini d’itérations. Soit q le nombre de vecteurs obtenus à la fin de la pro- cédure. Le système dynamique ayant pour variables d’état les éléments du vecteur z = col(z1, . . . , zq) peut se mettre sous la forme (6) seulement si ˙zq = Bq(z)u. Pour démontrer que cette propriété est vraie, notons φ1(x), . . . , φn(x) n éléments de z tels que rang    dφ1(x) ... dφn(x)    x=x◦ = n. L’application Φ(x) =    φ1(x) ... φn(x)    est donc un difféomorphisme sur un voisinage V ◦ de x◦ . Par conséquent, toute fonction de x, ce qui inclut aussi les dérivées de Lie itérées des fonctions h0(x), . . . , hm(x) le long de champs de vecteurs dans l’ensemble {f0, . . . , fm}, peut s’exprimer sur V ◦ comme fonction de n éléments de z. Puisque les éléments de la matrice Bq sont de telles fonc- tions, la démonstration de (i) est achevée. (ii) Pour la preuve de cette partie, il suffit de remar- quer que nous pouvons prendre z(x) pour l’immersion τ(x). Dans ce cas, en écrivant le système (6) sous la forme ˙z = m i=0 ˜fi(z)ui y = m i=0 ˜hi(z)ui, nous avons, par construction, ∂τ ∂x fi(x) = ˜fi(τ(x)) hi(x) =˜hi(τ(x)) 0 ≤ i ≤ m (7) pour tout x ∈ V ◦ . Une première conséquence est que les flots Φfi t (x) et Φ ˜fi t (z) des champs de vecteurs fi et ˜fi sa- tisfont la propriété τ(Φfi t (x)) = Φ ˜fi t (τ(x)) pour tout x ∈ V ◦ , d’où, en utilisant les notations de la Définition 2, τ(x(t, u, x0)) = z(t, u, τ(x0)). Il s’ensuit, en utilisant la deuxième propriété dans (7) que les systèmes (5) et (6) on le même comportement entrée- sortie s’ils sont initialisés à x et τ(x) respectivement, pour tout x ∈ V ◦ . Remarque 2 Par construction, x peut être retrouvé à par- tir de z par inversion de Φ, et donc une estimation de x peut bien être obtenue à partir d’une estimation de z. Extension au cas A(u, y). Une conséquence de l’im- mersion par la procédure décrite dans la preuve du théo- rème est l’augmentation (parfois importante) de l’ordre du système. Nous pouvons diminuer cet effet en utilisant une procédure d’immersion légèrement modifiée, combinée avec l’injection de sortie. Plus précisément, au lieu de considérer comme variables d’état les dérivées itérées de Lie des fonctions h0, . . . , hm le long de champs de vecteurs dans l’ensemble {f0, . . . , fm}, nous pouvons procéder comme suit : nous commençons avec le même jeu de variables que dans la procédure originale et à chaque pas de la construction nous écrivons les dérivées de Lie des fonctions retenues comme variables d’état au pas précédent sous la forme de sommes en isolant de ma- nière convenable les termes qui peuvent s’exprimer autour de x◦ en fonction de variables d’état déjà créées, et puis en séparant les termes qui deviennent nouvelles variables d’état. La construction s’arrête quand les différentielles des fonctions retenues comme variables d’état engendrent un espace de dimension n. Cette condition est forcément rem- plie après un nombre fini de pas car l’espace cité coïncide sur un voisinage de x◦ avec ΩO. Soit ζ un terme qui devrait être pris comme variable d’état. Si la dépendance explicite en y conduit à une ex- pression du type ζ = ¯ζ(y)˜ζ(x), alors la nouvelle variable d’état devrait être ˜ζ(x), ce qui rend la matrice A dépen- dante de y à travers le terme ¯ζ(y). Dans ce cas, les expres- sions des dérivées des nouvelles variables d’état sont plus simples, ce qui peut conduire in fine à un plus petit nombre de variables d’état. IV. Exemple A titre d’illustration de la méthodologie présentée ci- avant, considérons le problème d’estimation d’une charge connectée à un réseau électrique radial, comme représenté par la Fig. 1. Les tensions E et V et la réactance X sont G E 0 jX V δ P + jQ Fig. 1. Ligne de distribution dans un réseau radial. connues. Le modèle de charge utilisé est une version simpli- fiée du modèle générique de charge récupératrice présenté dans [18] : ˙xp = − xp T + P0(1 − V 2 ) P = xp T + P0V 2 ˙xq = − xq T + Q0(1 − V 2 ) Q = xq T + Q0V 2 , avec les paramètres lentement variables dans le temps T la constante de temps de rétablissement de la puissance et P0 et Q0 les puissances active et réactive nominales. Le modèle peut se simplifier davantage sous l’hypothèse de facteur de puissance toujours constant, Q0 P0 = n et d’initialisation dans le domaine {(xp, xq) : P0xq = Q0xp}. Dans cette situation, les dynamiques du système sont complètement caractéri- sées par une seule équation différentielle, un choix possible étant ˙x = − x T + P0(1 − V 2 ). (8) Si n est connu, la puissance active peut s’obtenir en résol- vant l’équation de bilan de puissance P2 + nP + V 2 X 2 = EV X 2 . donc nous pouvons supposer y = x T + P0V 2 . (9) Le problème à résoudre pour le système (8)-(9) est l’esti- mation de x, T , et P0 à partir des mesures d’entrée V 2 et de sortie y, en considérant que T et P0 satisfont ˙T = 0, ˙P0 = 0. (10) Le système (8)-(9)-(10) à vecteur d’état ˜x = x P0 T n’ap- partient pas à la classe des systèmes qui permette la syn- thèse d’un observateur à grand gain, ni ne peut être trans- formé dans une forme linéaire par rapport aux variables à estimer. Néanmoins, il peut s’immerger dans une forme (6) en utilisant la procédure présentée ci-dessus, comme montré par la suite. Pendant un fonctionnement normal du réseau, la valeur de la tension V devrait être environ 1pu, ce qui correspond à un point d’équilibre à 0 pour la dynamique de récupéra- tion de puissance. Nous envisageons donc une immersion utilisable autour d’un tel point. La procédure est initialisée avec z1 1 =h0(˜x) = x T z2 1 =h1(˜x) = P0. Les dérivées de Lie de ces fonctions le long des champs de vecteurs f0 et f1 sont Lf0 h0 = − x T 2 + P0 T Lf1 h0 = − P0 T Lf0 h1 = Lf1 h1 = 0. Puisque les fonctions Lf0 h0 et Lf1 h0 ne peuvent pas s’ex- primer en utilisant exclusivement les variables z1 1 et z2 1, elle deviennent des nouvelles variables d’état, z1 2 et z2 2 respec- tivement. La procédure s’arrête, car l’espace engendré par les différentielles de z2 1, z2 1 et z2 2 est de dimension trois au- tour de tout point (x = 0, T = 0, P0 = 0). En effet, sur un voisinage d’un tel point il vient Lf0 Lf0 h0 = − x T 3 + P0 T 2 = − z2 2 z2 1 2 z1 1 + (z2 2)2 z2 1 Lf1 Lf0 h0 = − P0 T 2 = − (z2 2)2 z2 1 Lf0 Lf1 h0 =Lf1 Lf1 h0 = 0. Le système dynamique à vecteur d’état z = col(z1 1, z2 1, z1 2, z2 2) peut donc s’écrire sous une forme (6), à savoir : ˙z =     0 0 1 u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     z +      0 0 − z(4) z(2) 2 z(1) + z(4)2 z(2) (1 − u) 0      y = 1 u 0 0 z. Pour ce système, nous pouvons construire un observateur (3) et à partir des estimations de z calculer les estimations 0 5 10 15 20 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 secondes z1 1 z2 1 z2 2 Fig. 2. Erreurs d’estimation. de ˜x. Un tel observateur a été testé en simulation pour les valeurs de paramètres suivantes X = 0.25pu T = 60s P0 = 1pu Q0 = 0.4pu, autour de l’équilibre x = 0. Pendant la simulation, des variations lentes de la tension de bus E ont garanti une excitation suffisante pour l’estimation. L’observateur a été initialisé avec des estimations corres- pondant à 30% d’erreur pour P0 et 50% d’erreur pour T . Les paramètres de réglage de l’observateur ont été choisis égaux à λ = 3 et γ = 1. Les erreurs d’estimation, pré- sentées dans la Fig. 2, montrent que l’observateur permet l’estimation de z et par conséquent celle de x, P0 et T . V. Conclusions Le principal résultat de ce papier est que par immersion, nous pouvons obtenir pour un classe importante de sys- tèmes non linéaires une forme qui permet la synthèse d’un observateur dont la convergence est assurée pour une classe d’entrées appropriée. La synthèse de cet observateur a été donnée et les conditions d’immersion, accompagnées d’une procédure constructive, ont été présentées. Cette méthode de synthèse a été illustrée par l’intermédiaire d’un exemple et l’observateur a été testé en simulation. Références [1] G. Bornard, F. Celle-Couenne, et G. Gilles. Observability and observers. Nonlinear Systems - T.1, Modeling and Estimation, pages 173–216. Chapman & Hall, London., 1995. [2] G. Besançon. Further results on high gain observers for nonli- near systems. Proc. 38th IEEE Conf. on Decision and Control, Phoenix, AZ, USA, 1999. [3] J.P. Gauthier, H. Hammouri, et S. Othman. A simple observer for nonlinear systems - applications to bioreactors. IEEE Trans. on Automatic Control, 37(6) :875–880, 1992. [4] J.P. Gauthier et G. Bornard. Observability for any u(t) of a class of nonlinear systems. IEEE Trans. on Automatic Control, 26(4) :922–926, 1981. [5] H. Hammouri et J.P. Gauthier. Bilinearization up to output injection. Systems & Control Letters, 11 :139–149, 1988. [6] H. Hammouri et J. De Leon Morales. Observer synthesis for state-affine systems. Proc. 29th IEEE Conf. on Decision and Control, Honolulu, Hawaii, pages 784–785, 1990. [7] G. Besançon et G. Bornard. On characterizing classes of observer forms for nonlinear systems. Proc. 4th European Control Conf., Brussels, Belgium, 1997. [8] I. Souleiman, A. Glumineau, et G. Schreier. Direct transforma- tion of nonlinear systems into state affine MISO form for observer design. IEEE Trans. on Automatic Control, 48(12) :2191–2196, 2003. [9] M. Fliess et I. Kupka. A finiteness criterion for nonlinear input- output differential systems. Siam Journal on Control and Opti- mization, 21(5) :721–728, 1983. [10] J. Lévine et R. Marino. Nonlinear systems immersion, observers and finite dimensional filters. Systems & Control Letters, 7 :137– 142, 1986. [11] D. Bossane, D. Rakotopara, et J.P. Gauthier. Local and global immersion into linear systems up to output injection. Proc. 28th IEEE Conf. on Decision and Control, Tampa, Florida, USA, pages 2000–2004, 1989. [12] P. Jouan. Immersion of nonlinear systems into linear systems modulo output injection. Siam Journal on Control and Optimi- zation, 41(6) :1756–1778, 2003. [13] G. Besançon et A. Ţiclea. Simultaneous state and parameter es- timation in asynchronous motors under sensorless speed control. Proc. 7th European Control Conf., Cambridge, UK, 2003. [14] A. Ţiclea et G. Besançon. Infinite-bus-equivalent estimation from local measurements on a synchronous machine. Proc. of IFAC World Congress, Prague, Czech Rep., 2005. [15] A. Krener et A. Isidori. Linearization by output injection and nonlinear systems. System and Control Letters, 3 :47–52, 1983. [16] H. Hammouri et M. Kinnaert. A new formulation for time- varying linearization up to output injection. Systems & Control Letters, 28 :151–157, 1996. [17] R. Hermann et A.J. Krener. Nonlinear controllability and ob- servability. IEEE Trans. on Automatic Control, 22(5) :728–740, 1977. [18] D. Karlsson et D. J. Hill. Modelling and identification of non- linear dynamic loads in power systems. IEEE Transactions on Power Systems, 9(1) :157–163, 1994.