Observateurs pour systèmes à retard variable et inconnu

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19933
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Observateurs pour systèmes à retard variable et inconnu

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Observateurs pour systèmes à retard variable et inconnu Alexandre Seuret, Thierry Floquet, Jean-Pierre Richard LAGIS, CNRS UMR 8146, Ecole Centrale de Lille, BP 48, 59651 Villeneuve d’Ascq Cedex, France. seuret.alexandre@ec-lille.fr, thierry.floquet@ec-lille.fr, jean-pierre.richard@ec-lille.fr Résumé— La synthèse d’observateurs pour les systèmes à re- tards inconnus, variables et bornés, sur l’état et l’entrée, constitue toujours un problème ouvert. Dans cet article, nous présentons une méthode pour le résoudre en utilisant une approche d’observateur à modes glissants combinée avec une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii adéquate. Le ré- sultat, qui nécessite que le système vérifie certaines condi- tions structurelles, est mis sous forme d’inégalité matricielle linéaire. Un exemple est proposé à titre d’illustration. Mots-clés— Observateurs à modes glissants, Systèmes à re- tard inconnu, Inégalité Linéaire Matricielle. I. Introduction L’observation est un thème majeur de l’étude des sys- tèmes linéaires et non linéaires. Cet article concerne plus spécifiquement l’observation de systèmes linéaires à retards inconnus. Plusieurs auteurs ont déjà abordé l’observation des systèmes à retards (voir les synthèses de [18], [19]) mais, le plus souvent, l’écriture de l’observateur fait intervenir la valeur du retard. En d’autres termes, la connaissance ou la mesure du retard est requise. En outre, les “observateurs sans retard interne” [3], [4], [9], [24] nécessitent la connais- sance de la sortie du système aux temps courant et retardé. Néanmoins, dans le cadre d’applications réelles (com- mande télé-opérée, systèmes en réseau par exemple), les hypothèses d’invariance ou de connaissance du retard sont peu réalistes et proviennent plus des limites des techniques d’identification et d’analyse disponibles. Seuls quelques ar- ticles présentent des résultats qui ne nécessitent pas la connaissance du retard [2], [6], [12], [25]. Ces approches in- téressantes concernent les systèmes linéaires et garantissent des performances de type H∞ pour le filtrage des erreurs. Cependant toutes présentent les mêmes limites, à savoir que le retard n’intervient que dans l’état et pas dans l’en- trée ou la sortie et que les résultats proposés sont indépen- dants des caractéristiques du retard. Il semble donc perti- nent de réduire le conservatisme inhérent aux approches “indépendantes du retard” en proposant un résultat qui prenne en compte des bornes de variation du retard. Dans cet article, nous proposons une méthode combinant les approches du type observateurs à modes glissants [1], [7], [8], [10], [17] avec celles des systèmes à retards et en particulier avec le choix d’une fonctionnelle de Lyapunov- Krasovskii adéquate. Les dynamiques de l’observateur se- ront analysées. Dans un souci de simplicité, nous suppo- serons que les retards sur l’état et sur la commande sont égaux à h(t). Nous supposerons aussi qu’il existe une borne connue hm telle que 0 ≤ h(t) ≤ hm, ∀t ∈ IR +. Dans cet article, la notation P > 0 pour P ∈ IR n×n signifie que la matrice P est symétrique définie positive. [A1|A2|...|An] est la matrice concaténée des matrices Ai. Enfin, Sym{P} = (P + PT ). II. Présentation du Problème Considérons le système à retard sur l’état et sur l’entrée :    ˙x(t) = Ax(t) + Ahx(t − h(t)) +Bu(t) + Bhu(t − h(t)) + Dζ(t) y(t) = Cx(t) x(s) = φ(s), ∀ s ∈ [−hm, 0] (1) où x ∈ IR n , u ∈ IR m , y ∈ IR q et ζ ∈ IR r sont respecti- vement les vecteurs d’état, de commande, de sortie et une fonction de perturbation inconnue et bornée qui vérifie : ζ(t, x, u) ≤ α1(t, x, u), (2) où α1 est une fonction réelle connue (une constante, par exemple). φ ∈ C0 ([−hm, 0], IR n ) représente le vecteur des conditions initiales. Les matrices A, Ah, B, Bh, C et D sont supposées connues, constantes et de dimensions appro- priées. Les hypothèses structurelles suivantes sont requises pour la synthèse de l’observateur : A1. rank(C[Ah|Bh|D]) =rank([Ah|Bh|D]) p, A2. p < q ≤ n, A3. Le zéros invariants de (A, [Ah|Bh|D], C) sont dans C− . La condition A1 garantit qu’en utilisant le changement de coordonnées défini dans [8] (Chapitre 6), le système peut s’écrire :    ˙x1(t) = A11x1(t) + A12x2(t) + B1u(t), ˙x2(t) = A21x1(t) + A22x2(t) + B2u(t) +G1x1(t − h(t)) + G2x2(t − h(t)) +Guu(t − h(t)) + D1ζ(t), y(t) = Tx2(t), (3) où x1 ∈ IR n−q , x2 ∈ IR q et où G1, G2, Gu sont de la forme : G1 = 0 ¯G1 , G2 = 0 ¯G2 , Gu = 0 ¯Gu , A21 = A211 A212 , (4) où ¯G1 ∈ IR p×(n−q) , ¯G2 ∈ IR p×q , ¯Gu ∈ IR p×m , A211 ∈ IR (q−p)×(n−q) , A212 ∈ IR p×(n−q) et T est une matrice orthogonale. Les conditions A permettent de décomposer le système en deux sous-parties. La première, représentant les va- riables non mesurables x1, n’est pas affectée par les termes retardés et les perturbations. A1 est une condition structu- relle qui impose aux termes retardés d’appartenir à l’espace des sorties. Ainsi plus la sortie y a une dimension élevée, plus il sera possible de satisfaire cette condition. La condi- tion A3 correspond a une condition de stabilité du système. Elle signifie que la paire de matrices (A11, A211) est detec- table. Dans cet article, nous utiliserons le lemme suivant : Lemme 1: [13] Pour toutes matrices A, P0 > 0 et P1 > 0, l’inégalité AT P1A − P0 < 0, est équivalente à l’existence d’une matrice Y telle que : −P0 AT Y T Y A −Y − Y T + P1 < 0. III. Synthèse de l’observateur L’observateur à mode glissant proposé est :    ˙ˆx1(t) = A11 ˆx1(t) + A12x2(t) + B1u(t) −A11Le2(t) + LTT (GlTe2(t) + ν(t)) , ˙ˆx2(t) = A21 ˆx1(t) + A22x2(t) + B2u(t) + A21Le2(t) +G1 ˆx1(t − ˆh) + G2x2(t − ˆh) + Guu(t − ˆh) −TT (Gl (¯y(t) − ˆy(t)) + ν) + G1Le2(t − ˆh), ˆy(t) = T ˆx2(t), (5) où le gain linéaire Gl est une matrice de Hurwitz, L est de la forme [ ¯L 0 ], avec ¯L ∈ IR (n−q)×(q−p) et ν est une fonction discontinue à définir. Le retard utilisé dans (5), ˆh ≤ hm, est une valeur qui peut-être choisie arbitraire- ment ou, si possible, en fonction de caractéristiques pres- senties du retard. Il se peut aussi que ce retard ˆh soit va- riable au cours du temps. Par exemple, ˆh pourrait corres- pondre à une estimation “nominale” du retard variable. On remarque que les termes non retardés qui dépendent de x2 sont connus car ils sont proportionnels à la sortie y. La fonction discontinue ν est donnée par : ν = −ρ(t, y, u) Pyey(t) Pyey(t) si ey = 0, 0 sinon. (6) Le gain ρ reste à définir. On peut alors introduire les variables d’erreur ey = y(t) − ˆy(t), e1 = x1(t) − ˆx1(t) et e2 = x2(t) − ˆx2(t), qui conduisent à :    ˙e1(t) = A11e1(t) − L TT GlTe2(t) + TT ν(t) +A11Le2(t), ˙e2(t) = A21e1(t) + G1e1(t − h(t)) + D1ζ(t) +TT ν + ξ0(t) + (TT GlT + A21L)e2(t) −G1Le2(t − ˆh), (7) où la fonction de perturbation ξ0 : IR −→ IR p est alors égale à : ξ0(t) = G1(ˆx1(t − h(t)) − ˆx1(t − ˆh)) +G2(x2(t − h(t)) − x2(t − ˆh)) +Gu(u(t − h(t)) − u(t − ˆh)). (8) En utilisant le changement de coordonnées TL suivant TL = In−q L 0 T , on définit les nouvelles coordonnées ¯e1 et ¯e2 = ey dont les dynamiques sont :    ˙¯e1(t) = (A11 + LA21)¯e1(t), ˙¯e2(t) = TA21¯e1(t) + TG1¯e1(t − h(t)) +TG1L(e2(t − h(t)) − e2(t − ˆh)) +Gl¯e2(t) + Tξ0(t) + TD1ζ(t) + ν, (9) Comme précédemment, le terme retardé e2(t−h(t))−e2(t− ˆh) est considéré comme une perturbation. On obtient :    ˙¯e1(t) = (A11 + LA21)¯e1(t), ˙¯e2(t) = TA21¯e1(t) + TG1¯e1(t − h(t)) +Gl¯e2(t) + ν + Tξ(t) + TD1ζ(t), (10) où la nouvelle fonction de perturbation due au retard in- connu est ξ : IR −→ IR p , définie par : ξ(t) = G1(ˆx1(t − h(t)) − ˆx1(t − ˆh)) +G2(x2(t − h(t)) − x2(t − ˆh)) +TG1L(e2(t − h(t)) − e2(t − ˆh)) +Gu(u(t − h(t)) − u(t − ˆh)), (11) ce qui s’écrit aussi : ξ(t) = [ G1 G2 G1L Gu ] t−h(t) t−ˆh ˙ˆx1(s) ˙x2(s) ˙e2(s) ˙u(s) ds. (12) ξ est une fonction dépendant uniquement de ˙ˆx1, ˙x2, ˙e2 et ˙u qui sont des variables connues par l’observateur. Il est alors légitime de supposer l’existence d’une fonction sca- laire α2, connue qui vérifie : ξ(t) ≤ α2(t, ˆx1, x2, e2, u). (13) Remarque 1: Pour garantir l’existence de α2, ˙u doit être une fonction temporelle continue par morceaux. Il est maintenant possible de donner une expression de la fonction ρ en se référant aux techniques introduites dans le cadre de la synthèse de loi de commande [11]. Soit γ un réel positif, on pose : ρ(t, ˆx1, x2, u) = D1 α1(t, ˆx1, x2, u) + α2(t, ˆx1, x2, u) + γ, (14) Théorème 1: Sous les conditions A et (13) et pour toute matrice de Hurwitz Gl, le système (10) est asymptoti- quement stable pour tout retard h(t) ≤ hm s’il existe des matrices symétriques définies positives P1 et R1 ∈ IR (n−q)×(n−q) , P2 ∈ IR q×q , une matrice symétrique Z2 ∈ IR q×q et une matrice W ∈ IR (n−q)×(q−p) telles que les conditions LMI suivantes soient réalisées : ψ0 AT 11P1 + AT 211W T (A21 + G1)T T T P2 ∗ −2P1 + hmR1 0 ∗ ∗ GT l P2 + P2Gl + hmZ2 < 0, (15) R1 (T G1)T P2 P2T G1 Z2 ≥ 0, (16) où ψ0 = AT 11P1 + P1A11 + AT 211WT + WA211. Le gain ¯L est donné par ¯L = P−1 1 W. Preuve. Soit la fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii : V (t) = ¯eT 1 (t)P1¯e1(t) + ¯eT 2 (t)P2¯e2(t) + 0 −hm t t+θ ˙¯eT 1 (s)R1 ˙¯e1(s)dsdθ. (17) En utilisant la transformation suivante : ¯e1(t − h(t)) = ¯e1(t) − t t−h(t) ˙¯e1(s)ds, (18) et en dérivant (17), on obtient : ˙V (t) = ¯eT 1 (t)[Sym{(A11 + LA21)T P1}]¯e1(t) +¯eT 2 (t)[GT l P2 + P2Gl]¯e2(t) +Sym ¯eT 2 (t)P2T(A21 + G1)¯e1(t) −2ρ(t, y, u) P2¯e2(t) + hm ˙¯eT 1 (t)R1 ˙¯e1(t) +η1(t) + η2(t) − t t−hm ˙¯eT 1 (s)R1 ˙¯e1(s)ds, (19) où η1(t) = −2¯eT 2 (t)P2TG1 t t−h(t) ˙¯e1(s)ds, η2(t) = 2¯eT 2 (t)P2T [D1ζ(t) + ξ(t)] . (20) Les conditions LMI (16) permettent d’écrire, pour tout vecteur X : XT R1 (T G1)T P2 P2T G1 Z2 X ≥ 0, En particulier, pour X = ˙¯e1(s) ¯e2(t) , on a : −2¯e2(t)P2G1 ˙¯e1(s) ≤ ¯e2(t)T Z2¯e2(t) + ˙¯eT 1 (s)R1 ˙¯e1(s). Puis, en intégrant cette relation par rapport à la variable s, on majore η1(t) : η1(t) ≤ t t−h(t) ¯eT 2 (t)Z2¯e2(t)ds + t t−h(t) ˙¯eT 1 (s)R1 ˙¯e1(s)ds, η1(t) ≤ hm¯eT 2 (t)Z2¯e2(t) + t t−hm ˙¯eT 1 (s)R1 ˙¯e1(s)ds. (21) D’après la définition (14) de ρ et sachant que T est ortho- gonale : η2(t) − 2ρ(t, y, u) P2¯e2(t) ≤ −2γ P2¯e2(t) . (22) En prenant compte des majorations (21), (22) et sachant que ˙¯e1(t) = (A11 + ¯LA211)¯e1(t), ˙V est majorée par : ˙V (t) ≤ Sym ¯eT 1 (t)P1(A11 + ¯LA211)¯e1(t) +¯eT 2 (t)P2(A21 + G1)¯e1(t) +¯eT 2 (t)P2Gl]¯e2(t) +hm¯eT 1 (t)(A11 + LA21)T R1(A11 + LA21)¯e1(t) +hm¯eT 2 (t)Z2¯e2(t) − 2γ P2e2(t) , ce qui peut encore s’écrire : ˙V (t) ≤ ¯e1(t) ¯e2(t) T Ψ ¯e1(t) ¯e2(t) − 2γ P2¯e2(t) , (23) avec Ψ = ψ1 (A21 + G1)T T T P2 P2T (A21 + G1) GT l P2 + P2Gl + hmZ2 et où ψ1 = (A11 + ¯LA211)T P1 + P1(A11 + ¯LA211) +hm(A11 + ¯LA211)T R1(A11 + ¯LA211) (24) Cette condition n’est pas du type LMI car elle comporte des termes non linéaires dans la première ligne et la pre- mière colonne. Cependant, il est nécessaire que cette com- posante soit définie négative pour garantir la négativité de ˙V . En utilisant le Lemme 1, on transforme ce problème en LMI. ψ0 (A11 + ¯LA211)T Y T (A21 + G1)T T T P2 ∗ −Y − Y T + hmR1 0 ∗ ∗ GT l P2 + P2Gl + hmZ2 < 0. (25) En imposant Y = P1 et en définissant W = P1 ¯L, la condition LMI du théorème apparaît. Finalement, si (15) et (16) sont satisfaites, (25) est aussi vérifiée. Ainsi la dy- namique de l’erreur est asymptotiquement stable. IV. Propriétés dynamiques Corollaire 1: D’après la synthèse de l’observateur du Théorème 1, le système entre en régime glissant sur la sur- face S0 = {¯e2 = 0} en temps fini. Preuve. Soit la fonction de Lyapunov candidate : V2(t) = ¯eT 2 (t)P2¯e2(t) (26) En différenciant (26) le long de (10), on obtient : ˙V2(t) = ¯eT 2 (t)(GT l P2 + P2Gl)¯e2(t) + 2¯eT 2 (t)P2T TT ν +A21¯e1(t) + G1¯e1(t − h(t)) + D1ζ(t) + ξ(t)] . Le fait que Gl est de Hurwitz et (6) conduisent à la majo- ration suivante : ˙V2(t) ≤ 2 P2¯e2(t) [ A21e1(t) + G1e1(t − h(t)) − γ] . (27) D’après le Théorème 1, l’erreur ¯e1 est asymptotiquement stable. Ainsi, il existe un temps t0 et un réel positif δ tels que ∀t ≥ t0, A21e1(t) + G1e1(t − h(t)) ≤ γ − δ . Ceci conduit à : ∀t ≥ t0, ˙V2(t) ≤ −2δ P2¯e2(t) ≤ −2δ λmin(P2) V2(t). (28) où λmin(P2) est la plus petite valeur propre de P2. En inté- grant cette dernière inégalité différentielle, on conclut que le système entre en régime glissant sur la surface S0 en temps fini. V. Observateur à convergence exponentielle Dans cette partie, la convergence de l’observateur est améliorée en imposant un critère de convergence exponen- tielle. En dépit du retard variable et inconnu, le théorème suivant assure que la dynamique de l’erreur est α−stable. La stabilité exponentielle est un moyen d’assurer la rapidité de convergence de l’observateur. Comme dans [16], [20], pour tout α > 0, le système (10) est dit α−stable, ou “ex- ponentiellement stable et de degré de convergence α”, s’il existe un réel β ≥ 1 tel que les solutions e(t; t0, φ), pour toute condition initiale φ, vérifient : |e(t, t0, φ)| ≤ β|φ|e−α(t−t0) . (29) Théorème 2: Sous les conditions A et (13), le système (10) est α−stable pour tout retard h(t) ≤ hm s’il existe des matrices symétriques définies positives P1, R1 et R2 ∈ IR (n−q)×(n−q) , P2 ∈ IR q×q , une matrice symétrique Z2 ∈ IR q×q et une matrice W ∈ IR (n−q)×(q−p) telles que les conditions LMI suivantes soient réalisées :    ψα 1 AT 11P1 + AT 211W T + αP1 (A21 + b0G1)T T T P2 ∗ −2P1 + 2hmR1 0 ∗ ∗ Y T + Y + 2αP2 + hmZ2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 bmP2T G1 hmbmP2T G1 −R1 0 ∗ −hmR2    < 0, (30) R1 b0(T G1)T P2 b0P2T G1 Z2 ≥ 0. (31) où ψα 1 = AT 11P1 + P1A11 + 2αP1 +AT 211WT + WA211 + R2 b0 = (1 + eαhm )/2, bm = (−1 + eαhm )/2 Les gains sont donnés par ¯L = P−1 1 W et Gl = P−1 2 Y . Preuve. En introduisant la nouvelle variable ¯eα i (t) = eαt ¯ei(t) dans (10), la convergence asymptotique de ¯eα im- plique que ¯e soit α−stable. L’équation (10) devient :    ˙¯eα 1 (t) = (A11 + LA21 + αI)¯eα 1 (t), ˙¯eα 2 (t) = TA21¯eα 1 (t) + (ν + Tξ(t) + TD1ζ(t)) eαt +eαh(t) TG1¯eα 1 (t − h(t)) + (Gl + αI)¯eα 2 (t), (32) On remarque que eαh(t) = b0 + ∆(t)bm, où ∆(t) est une fonction réelle inconnue vérifiant ∆(t) ≤ 1. La fonction- nelle de Lyapunov-Krasovskii candidate est : V α (t) = ¯eαT 1 (t)P1¯eα 1 (t) + ¯eαT 2 (t)P2¯eα 2 (t) +2 0 −hm t t+θ ˙¯eαT 1 (s)R1 ˙¯eα 1 (s)dsdθ. (33) En différenciant (33) le long de (32), on obtient : ˙V α (t) = ¯eαT 1 (t)[Sym{P1(A11 + ¯LA211 + αI)}]¯eα 1 (t) +2¯eαT 2 (t)P2T(A21 + b0G1)¯eα 2 (t) +ηα 1 (t) + ηα 2 (t) + ηα 3 (t) + ηα 4 (t) +¯eαT 2 (t)[P2(Gl + αI) + (Gl + αI)T P2]¯eα 2 (t) +2hm ˙eαT 1 R1 ˙eα 1 (t) − 2 t t−h(t) ˙eαT 1 (s)R1 ˙eα 1 (s)ds, (34) ηα 1 (t) = 2¯eαT 2 (t)P2b0TG1 t t−h(t) ˙eα 1 (s)ds, ηα 2 (t) = 2¯eαT 2 (t)P2bm∆(t)TG1eα 1 (t), ηα 3 (t) = 2¯eαT 2 (t)P2bm∆(t)TG1 t t−h(t) ˙eα 1 (s)ds, ηα 4 (t) = 2¯eαT 2 (t)P2 (ν + Tξ(t) + TD1ζ(t)) eαt . (35) En utilisant la même méthode que dans le Théorème 1, (31) permet de majorer η1 : ηα 1 (t) ≤ hm¯eαT 2 (t)Z2¯eα 2 (t) + t t−hm ˙¯eαT 1 (s)R1 ˙¯eα 1 (s)ds. (36) En appliquant la majoration standard qui, pour toute matrice R > 0 de dimension n × n et pour tous vecteurs a et b de Rn , assure que ±2aT b ≤ aT R−1 a + bT Rb, à ηα 2 (t) avec aT = ¯eαT 2 (t)P2bmTG1∆(t), b = eα 1 (t) et R = R2, on obtient : ηα 2 (t) ≤ ¯eαT 2 (t)bmP2TG1R−1 2 bm(TG1)T PT 2 ¯eα 2 (t) +¯eαT 1 (t)R2¯eα 1 (t). (37) En utilisant cette même majoration pour ηα 3 (t) avec aT = ¯eαT 2 (t)P2bmTG1∆(t), b = ˙eα 1 (s) et R = R1, on obtient : ηα 3 (t) ≤ hm¯eαT 2 (t)bmP2TG1R−1 1 bm(TG1)T PT 2 ¯eα 2 (t) + t t−hm ¯eαT 1 (s)R1¯eα 1 (s)ds. (38) Les fonctions ν et ρ de (14) restant inchangées, on a : ηα 4 (t) ≤ −2γ P2¯e2(t) . (39) Puis la combinaison de (36-39) avec l’expression de la dé- rivée de V α conduit à : ˙V α (t) ≤ ¯e1(t) ¯e2(t) T Ψα ¯e1(t) ¯e2(t) − 2γ P2¯e2(t) , (40) avec : Ψα = ψα 11 (A21 + G1)T TT P2 ∗ ψα 22 , ψα 11 = Sym{P1(A11 + ¯LA211 + αI)} + (A11 +¯LA211 + αI)T R1(A11 + ¯LA211 + αI), ψα 22 = GT l P2 + P2Gl + 2αP2 + hmZ2 +hmbmP2TG1R−1 2 (TG1)T P2bm +bmP2TG1R−1 1 (TG1)T P2bm. (41) Le Lemme 1 appliqué de la même manière que dans le Théorème 1 conduit à : ψα 1 AT 11P1 + AT 211W T + αP1 (A21 + G1)T T T P2 ∗ −2P1 + 2hmR1 0 ∗ ∗ ψα 22 < 0, (42) Enfin, en imposant Y = P2Gl, le complément de Schur permet de retrouver les conditions LMI (30). Ainsi, si (30) et (31) sont satisfaites, la dérivée de la fonctionnelle (33) est définie négative. Remarque 2: On remarque que, pour α = 0 dans le Théorème 2, on montre que le système est asymptotique- ment stable. VI. Exemple Soit le système (3) avec : A11 = 0 0 0 −1 , A12 = −1 0 0 0.1 , A21 = 2 3 2 −1 , A22 = −1 0 0 −1 , G1 = 0 0 0.1 0.21 , G2 = 0 0 0.2 1 , T = 1 0 0 1 , Gu = 0 1 , D1 = B1 = B2 = 0 0 , (43) Le retard inconnu du système observé est de la forme h(t) = hm 2 (1 + sin(ω1t)), dont la borne maximale est hm = 0.3s, et dont la fréquence est ω1 = 0.5s−1 . La commande utilisée est de la forme u(t) = u0sin(ω2t), avec u0 = 2 et ω2 = 3. Les résultats en simulations sont donnés dans les figures suivantes. Les figures 1 et 2 présentent les erreurs d’obser- vation du système pour α = 0 et α = 2. Les figures 3 et 4 montrent la comparaison entre l’état réel et l’état estimé., pour α = 2. On remarque que le fait d’augmenter le coefficient d’ex- ponentialité α accélère la rapidité de convergence de l’er- reur. Dans ces conditions, le Théorème 2 assure la conver- gence exponentielle de l’observateur pour α = 2 vers le système réel. Les gains de l’observateur sont alors : ¯L = −3.8658 1.0722 , Gl = −8.8160 −6.0190 −5.8154 −32.0670 (44) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −6 −4 −2 0 2 4 6 time e x 1 (t) e x 2 (t) e y 1 (t) e y 2 (t) Fig. 1. Simulation de l’erreur d’observation pour α = 0 et hm = 0.3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −6 −4 −2 0 2 4 6 time e x 1 (t) e x 2 (t) e y 1 (t) e y 2 (t) Fig. 2. Simulation de l’erreur d’observation pour α = 2 et hm = 0.3 Sachant que le système (3) est stable, ces dynamiques sont bornées. La fonction α2(t, ˆx1, x2, e2, u) choisie dans cette simulation est donc simplement une constante K = 0, 7. VII. Conclusion Le problème de la synthèse d’un observateur pour des systèmes à retard inconnu, à la fois sur l’état et la com- mande, a été résolu pour une classe de systèmes vérifiant les conditions A1-3. Les théorèmes, présentés sous forme d’in- égalités matricielles linéaires (LMI), garantissent la conver- gence asymptotique (Théorème 1), ou exponentielle (Théo- rème 2) connaissant la borne maximale du retard. Références [1] J.-P. Barbot, T. Boukhobza et M. Djemaï, “Sliding mode obser- ver for triangular input form”. 35th IEEE CDC’99, Conference on Decision and Control, Kobe, Japan, 1996. [2] H. H. Choi et M. J. Chung, “Robust Observer-based H∞ control- ler design for linear uncertain time-delay systems”. Automatica, 33(9), pp. 1749-1752, 1997. [3] M. Darouach, “Linear functional observers for systems with de- lays in the state variables”. IEEE trans. on Automatic Control, 46(3), pp. 491-497, March 2001. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 time x 11 (t) ^x 11 (t) x12 (t) ^x12 (t) Fig. 3. Comparaison entre les variables x1 et ˆx1, pour α = 2, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 time y 11 (t) y 12 (t) ^y11 (t) ^y12 (t) Fig. 4. Comparaison entre les variables x2 et ˆx2, pour α = 2 [4] M. Darouach, P. Pierrot et E. Richard, “Design of reduced-order observers without internal delays”. IEEE Trans. on Automatic Control, 44(9), pp. 1711-1713, 1999. [5] M. Darouach, M. Zasadzinski et S. J. Xu, “Full-order observers for linear systems with unknown inputs”. IEEE Trans. on Auto- matic Control, vol. 39, pp. 606-609, 1994. [6] C.E. de Souza, R.E. Palhares et P.L.D. Peres, “Robust H∞ fil- tering for uncertain linear systems with multiple time-varying state : An LMI approach”. 38th IEEE CDC’99, Conference on Decision and Control, Phoenix, AZ, pp. 2023-2028, 1999. [7] S. V. Drakunov et V. I. Utkin, “Sliding mode observers. Tutorial”. 34th IEEE CDC’99, Conference on Decision and Control, New- Orleans, LA, December 1995. [8] Edwards C. et Spurgeon S. K., Sliding Mode Control : Theory and Applications, Taylor & Francis, 1998. [9] F. W. Fairmar, Kumar et E. Richard, “Design of reduced-order observers without internal delays”. 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