Systèmes à Commutation : Diagnostic de Fonctionnement et Identification de la Loi de Commutation

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19931
DOI :

Résumé

Systèmes à Commutation : Diagnostic de Fonctionnement et Identification de la Loi de Commutation

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Systèmes à Commutation : Diagnostic de Fonctionnement et Identification de la Loi de Commutation Elom Domlan, José Ragot, Didier Maquin Institut National Polytechnique de Lorraine Centre de Recherche en Automatique de Nancy, UMR 7039 CNRS –UHP – INPL 2, avenue de la forêt de Haye 54516 Vandœuvre-lès-Nancy, France {elom-ayih.domlan, jose.ragot, didier.maquin}@ensem.inpl-nancy.fr Résumé—Les systèmes à commutation constituent une classe particulière de systèmes hybrides. Ils sont décrits par plu- sieurs modèles de fonctionnement et chaque modèle, définis- sant un mode du système, est actif sous certaines conditions opératoires particulières. Lorsque la loi de commutation ré- gissant le passage d’un modèle de fonctionnement à l’autre est parfaitement connue, il est aisé de manipuler de tels sys- tèmes car le mode actif peut être connu à chaque instant. Par contre, dans la situation où aucune information n’est disponible sur l’évolution de la loi de commutation, il est plus ardu de procéder au diagnostic ou encore de synthéti- ser une loi de commande sur ces systèmes. Cet article traite de la reconnaissance du mode actif sur la base d’observa- tions de l’entrée et de la sortie du système. L’identification des paramètres de la loi de commutation, lorsque celle-ci est décrite par un modèle de régression, est également considé- rée. Mots-clés— système à commutation, diagnostic, reconnais- sance de mode de fonctionnement, identification. I. Introduction De façon générale, la modélisation de systèmes com- plexes conduit à l’obtention de modèles non-linéaires dont la dynamique est influencée à la fois par des évènements dis- crets et des dynamiques continus. Le plus souvent, le prin- cipe de « simplicité » conduit à une démarche de modélisa- tion s’appuyant sur l’utilisation d’un ensemble de modèles de structures simples (par exemple linéaires), chaque mo- dèle décrivant le comportement du système dans une zone de fonctionnement particulière. Dans ce cadre, les multi- modèles et les modèles hybrides ont prouvé leur efficacité quant à la représentation de tels processus. Les multi-modèles [1], [2] reposent sur la stratégie du « diviser pour régner ». Ainsi, un système complexe peut être modélisé par interpolation d’un ensemble de modèles locaux plus simples, souvent linéaires, valides dans des zones de fonctionnement particulières. Le système est alors complètement représenté par la donnée d’un ensemble de modèles locaux, leur région de validité et le mécanisme d’in- terpolation. Quant aux modèles hybrides [3], [4], [5], ils caractérisent des processus physiques régis par des équations différen- tielles continues et des variables discrètes. Le processus est également décrit par plusieurs modes de fonctionnement et la commutation d’un mode de fonctionnement à un autre est régi par l’évolution de variables internes, par exemple un des états du système, ou par une loi externe. Que ce soient les multi-modèles ou les modèles hybrides, le comportement global obtenu pour le système complexe modélisé est fortement lié à la nature de la procédure gé- rant la transition d’un mode de fonctionnement à l’autre. Dans la situation où la transition est abrupte, on obtient une classe particulière mais importante de systèmes à sa- voir la classe des systèmes linéaires par morceaux ou encore celle des systèmes à commutation. Cette classe de modèles est largement utilisée, car les outils d’analyse et de com- mande pour les systèmes linéaires [6] sont très développés et aussi parce qu’une grande partie des processus réels peut être représentée par des modèles issus de cette classe. Les recherches sur les systèmes à commutation sont es- sentiellement concentrées dans les domaines de l’identifica- tion [7], [4], [5], [3], de la synthèse de loi de commande [8], [9] et de l’analyse de la stabilité [9], [10]. Un point crucial, nécessaire pour la mise en oeuvre de tous ces outils ou qui en simplifierait l’usage, est la reconnaissance du modèle ac- tif à un instant particulier à partir de jeux de mesures. On note très récemment un regain d’attention pour ce difficile problème [11], [12], [13], [14], [15]. La reconnaissance du mode actif est intimement liée à la proximité des modèles locaux. Elle est évidemment plus aisée si le mécanisme de commutation (ou loi de commutation) est maîtrisé. D’où l’importance de l’identification de ce dernier. Nous proposons dans cet article une procédure d’iden- tification de la loi de commutation. Sa détermination ap- porte une connaissance supplémentaire quant à l’évolution du système et permet un meilleur suivi de ce dernier. Deux méthodes sont proposées. La première recherche les valeurs optimales des paramètres de la loi de commutation tandis que la seconde identifie ces paramètres sous forme d’inter- valles. Il est également rappelé brièvement une méthode pour déterminer le mode actif à chaque instant à partir de la seule connaissance des entrées et sorties du système et des modèles locaux. II. Position du problème De façon générale, un système à commutation est défini par la donnée d’un ensemble de modèles (ici linéaires) cor- respondant aux modes du système et une loi de commuta- tion permettant de passer d’un mode de fonctionnement à un autre. Considérons le système représenté par l’équation (1) : y (k) =    na i=1 a1 (i) y (k − i) + nb i=1 b1 (i) u (k − i) ... na i=1 aN (i) y (k − i) + nb i=1 bN (i) u (k − i) (1) qui modélise un système à commutation avec N régimes de fonctionnement. Les variables u(·) et y(·) désignent respec- tivement l’entrée et la sortie du système. A chaque instant, seule une des N descriptions entrée/sortie modélise l’évo- lution temporelle du système. Les changements de régime se traduisent donc par la sélection de l’une de ces descrip- tions. Une autre modélisation possible pour les systèmes à com- mutation est obtenue en substituant les représentations en- trée/sortie des modes du système par des représentations d’état. Le modèle obtenu est alors de la forme :    x (k + 1) = Aix (k) + Bu (k) y (k) = Cx (k) Ai ∈ {A1, A2, . . . , AN } (2) x ∈ Rn , u ∈ Rm , y ∈ Rp les variables u(·), y(·) et x(·) désignant respectivement l’en- trée, la sortie et l’état du système. Remarquons qu’ici les changements de modes de fonctionnement du système se traduisent, d’après l’équation (2), par des changements de valeur de la matrice de transition du système. Cette formu- lation ne restreint aucunement la modélisation du système à commutation qui peut être facilement étendue au cas où les matrices B et C prennent aussi différentes valeurs. Dans le cadre de cet article, nous formulons l’hypothèse que la loi de commutation pilotant le passage d’un mode de fonctionnement à un autre est une fonction linéaire des variables mesurées du système à savoir l’entrée u(·) et la sortie y(·). On peut par exemple imaginer aisément que dans un système à commutation comportant deux modes, le passage d’un mode à un autre soit effectif lorsque l’am- plitude de l’entrée ou de la sortie à l’instant k franchit un seuil prédéfini. Sans atteinte à la généralité, le nombre de modes du sys- tème est limité à 2, ceci dans un souci de clarté dans la compréhension des développements qui suivront. Le mo- dèle adopté dans cet article est alors celui de l’équation (3) représentant un système SISO :    x (k + 1) = Aix (k) + Bu (k) y (k) = Cx (k) Ai = 1 2 [(1 + µ (k)) A1 + (1 − µ (k)) A2] µ (k) = signe (y (k) + αu (k) + β) (3) L’équation (3) indique que la commutation d’un mode à un autre dépend de la valeur prise par une fonction linéaire en y(·) et en u(·). Le problème posé est de retrouver simulta- nément le mode actif courant (ou la valeur prise par µ(·) à l’instant courant) et les paramètres α et β de la loi de commutation connaissant uniquement les valeurs prises par u(·) et y(·). Les matrices d’état Ai, i ∈ {1; 2} du système sont supposées répertoriées et connues a priori. La com- plexité du problème posé est réduite dans le cas où la loi de commutation est parfaitement connue. Nous supposons ici une connaissance partielle de cette loi, à savoir qu’elle dépend du signe d’une régression linéaire sur y(·) et u(·) et que l’ordre de cette régression est connu. III. Reconnaissance du mode actif A. Détection de la séquence de commutation en cours Pour la reconnaissance du mode actif, les techniques de diagnostic à base de modèle ou encore de synthèse d’ob- servateurs sont largement utilisées. Nous rappelons ici de façon condensée la méthode proposée dans [14], [15]. Dans le cas où la matrice d’état est invariante (le régime de fonctionnement ne change pas), on définit, sur une fenêtre temporelle [k − h + 1, k], les matrices d’observabilité O et de Toeplitz T : O = 0 B B B @ C CA . . . CAh−1 1 C C C A (4) T = 0 B B B @ 0 0 · · · 0 CB 0 . . . CAh−1B CAh−2B · · · CB 1 C C C A (5) De (4) et (5), on peut écrire, pour un système linéaire à temps invariant, la relation suivante : Ox (k − h + 1) = 0 B @ y (k − h + 1) . .. y (k) 1 C A − T 0 B @ u (k − h + 1) . .. u (k − 1) 1 C A (6) où l’on a isolé le terme dépendant de l’état inconnu. En définissant une matrice de projection Ω [16] telle que ΩO = 0, on forme un résidu r(·), indépendant de l’état initial x(k − h + 1) : r(k) = Ω(Yk − TUk) (7) avec Yk = (y (k − h + 1) . . . y (k)) T et Uk = (u (k − h + 1) . . . u (k − 1)) T . Ce résidu, calculé à partir des entrées et sorties, a la propriété d’être nul à chaque instant, ceci évi- demment en l’absence de bruit de mesure. L’idée est alors de transposer la méthode de génération de résidus utilisée dans le cadre des systèmes linéaires à temps invariant au modèle (3). On réécrit ainsi les matrices défi- nies en (4) et (5) compte tenu des commutations possibles : Ok,h l = 0 B B B B B B @ C CAik−h,l . . . C Aik−1,l Aik−2,l · · · Aik−h,l | {z } h 1 C C C C C C A (8) Tk,h l = 0 B B B B B B @ 0 0 CB 0 . . . C Aik−1,l . . . Aik−h+1,l | {z } h−1 B C Aik−1,l . . . Aik−h+2,l | {z } h−2 B · · · 0 · · · CB 1 C A (9) La valeur de l’indice ip,l des matrices d’état dans (8) et (9) est liée à l’instant considéré dans la fenêtre d’observation et à la séquence de commutation en cours sur cette fenêtre. La fenêtre d’observation est de longueur h et l’indice l repré- sente la séquence de commutation en cours sur la fenêtre d’observation. En utilisant (8) et (9), on peut mettre (6) sous la forme suivante : Yk − Tk,h l Uk = Ok,h l xk−h+1 (10) On définit alors le résidu : rk,h l = Ωk,h l Yk − Tk,h l Uk (11) la matrice Ωk,h l vérifiant Ωk,h l Ok,h l = 0. Le calcul des rési- dus relatifs à toutes les séquences de commutation envisa- geables nécessite donc la détermination préalable de toutes les matrices Ωk,h l . Théorème 1 (Séquence de commutation active) La séquen- ce de commutation l∗ décrivant l’évolution du système sur l’horizon [k − h + 1, k] est celle satisfaisant l’équation : rk,h l∗ = Ωk,h l∗ Yk − Tk,h l∗ Uk = 0 En résumé, la reconnaissance de la séquence de commuta- tion l∗ à partir des mesures est effectuée de la façon sui- vante : – on dénombre sur l’horizon [k − h + 1, k] toutes les séquences de commutation possibles, ce qui revient à construire l’ensemble des matrices Ok,h l (8). – on détermine ensuite à partir des matrices Ok,h l trou- vées précédemment les matrices de projection Ωk,h l . – les matrices Ok,h l et Ωk,h l étant connues, on peut alors former les résidus rk,h l à partir des mesures faites sur le système (11). – la séquence de commutation active est identifiée en tes- tant l’ensemble des résidus rk,h l , de manière à détecter le résidu ayant une valeur nulle. Ce résidu correspond alors à la séquence de commutation active sur la fe- nêtre temporelle considérée. Pour plus de détails sur la procédure le lecteur est prié de se réferrer à [14], [13], [15]. B. Influence du bruit de mesure La procédure précédente ne peut être efficace que dans la situation idéale de l’absence de bruit de mesure. On sup- pose maintenant la présence d’un bruit de mesure borné n(·) de valeur moyenne nulle sur la sortie du système : ym(k) = y(k) + n(k) ∀ k, |n(k)| ≤ δ, δ > 0 La sortie du système étant corrompue par un bruit de me- sure, le résidu correspondant au mode actif ne prend plus une valeur nulle mais plutôt est dans un voisinage de zéro. La reconnaissance du mode actif necessite alors de compa- rer les résidus entre eux et vis-à-vis de la valeur 0. Pour cela une définition de résidus sous forme intervalle [17] s’avère pertinente. En effet, en utilisant la bornitude de l’ampli- tude du bruit de mesure, on peut caractériser la plage de variation des résidus à chaque instant par l’intervalle : h rk,h l i = h Ωk,h l “ Yk − Tk,h l Uk ” − ˛ ˛ ˛Ω k,h l ˛ ˛ ˛ ∆ ; Ωk,h l “ Yk − Tk,h l Uk ” + ˛ ˛ ˛Ω k,h l ˛ ˛ ˛ ∆ i (12) où ∆ est un vecteur dont tous les éléments sont égaux à δ. Dans un contexte intervalle, la détection du mode actif correspond à la recherche du résidu, exprimé sous forme intervalle, contenant la valeur 0. Si un seul des résidus contient la valeur 0, on peut alors conclure et le mode ac- tif est identifié. Dans le cas où il existe plus d’un résidu contenant la valeur 0 (l’existence de cette situation est liée à la richesse des entrées d’excitation en termes de « dis- tinguabilité » des modes et à des conditions structurelles relatives aux différents modes du système), on s’abstient de prendre une décision quant à la séquence de commu- tation active et éventuellement on énumère l’ensemble des séquences candidates. IV. Identification de la loi de commutation A partir des résidus, connaissant les domaines temporels où chaque mode est actif ainsi que les instants de commu- tation d’un mode à un autre, il convient maintenant d’iden- tifier les paramètres de la loi de commutation, sa structure étant supposée a priori connue (3). A. Estimation paramétrique La détermination des paramètres α et β nécessite la connaissance des valeurs de l’entrée u(·), de la sortie y(·) et des valeurs prises par la fonction de commutation µ(·). On cherche le modèle de commutation qui explique les données disponibles et il est donc souhaitable que l’en- semble des données disponibles traduise la totalité des si- tuations de fonctionnement du système. Cette contrainte de richesse des données disponibles est inhérente à tout pro- blème d’identification. A partir de ces remarques, on peut noter que les paramètres α et β estimés ne sont pas forcé- ment les vrais paramètres de la fonction de commutation, mais ceux qui sont en accord avec les entrées et sorties du système disponibles. On suppose donc que tous les modes du système ont été suffisamment excités. La précision de l’estimation paramétrique dépend donc de la capacité de l’ensemble des données entrée/sortie à appréhender les dif- férents modes du système. Pour présenter la structure du modèle de commutation sous une forme adaptée à l’identification de ses paramètres, notons que : ∀ x ∈ R∗ , signe (x) x > 0 (13) A partir de (3) et (13), on a : µ (k) y (k) + µ (k) u (k) α + µ (k) β > 0 (14) De (14), pour les différentes observations, on obtient un ensemble d’inégalités pouvant se mettre sous la forme : − 2 6 4 µ (1) u (1) µ (1) . .. . .. µ (N) u (N) µ (N) 3 7 5 » α β – < 2 6 4 µ (1) y (1) . .. µ (N) y (N) 3 7 5 (15) N représente le nombre de couples (u (k) ; y (k)) dispo- nibles. La résolution de (15) conduit à l’obtention d’un ensemble de solutions admissibles. On peut donc envisa- ger la recherche des paramètres de la loi de commutation sous trois angles différents : – la recherche de l’ensemble de toutes les solutions ad- missibles pour α et β – la recherche d’un sous-ensemble de solutions admis- sibles ayant une forme simple, par exemple un ortho- tope – la recherche d’une valeur unique pour α et β. A titre d’exemple, le dessin de gauche de la figure 1 repré- sente dans le plan (α , β) le domaine trouvé pour l’ensemble des paramètres admissibles pour le jeu de mesures de la table I. Tout point de ce domaine représente une solution particulière. Le symbole “o” pointe une solution particu- lière correspondant au « centre » du domaine, le vocable « centre » restant à définir. Le dessin de droite de la figure 1 présente une solution sous-optimale (rectangle gris) en- visageable qui simplifie la description du domaine trouvé sous forme d’inégalités indépendantes. TABLE I Jeu de mesures u(k) 0 0 -1 -2 y(k) -1 -2 0 0 µ(k) 1 -1 1 -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 αα β β o Fig. 1. Domaine admissible pour α et β B. Recherche d’un ensemble de solutions Dans la situation où l’échantillon de mesures disponible pour l’estimation paramétrique n’est pas exhaustif, les pa- ramètres de la loi de commutation peuvent prendre dif- férentes valeurs compatibles avec l’ensemble des mesures. On peut alors rechercher un domaine auquel les paramètres sont susceptibles d’appartenir. La résolution de (15) donne un domaine décrivant l’ensemble des valeurs admissibles pour les paramètres à identifier. Toutefois, le domaine ob- tenu, généralement un polytope, n’est pas aisé à manipuler à cause de sa forme géométrique complexe. Pour contourner cette difficulté, il est proposé de représenter un tel domaine par un orthotope aligné aux axes. Cela revient à rechercher, à partir des triplets {(u (k) ; y (k) ; µ (k)) , k = 1, . . . , N}, les paramètres α et β sous forme intervalle en imposant une contrainte de précision du modèle de commutation, à savoir que les intervalles recherchés sont les plus grands tout en restant compatibles avec les mesures. Pour ce faire, plusieurs critères d’optimisation peuvent être choisis. Par exemple, on peut imposer que les demi-largeurs des inter- valles à déterminer soient maximales tout en respectant les contraintes du système :    α = α0 + rανα β = β0 + rβνβ rα > 0, rβ > 0 |να| ≤ 1, |νβ| ≤ 1 (16) Les variables α0 et β0 sont les centres des intervalles à déterminer et rα et rβ représentent les demi-largeurs de ces intervalles. Les ν· sont des variables bornées et normalisées traduisant les fluctuations possibles de α et β autour de leur centre respectif. En se servant de (14) et comme |να| ≤ 1 et |νβ| ≤ 1, on obtient :    y (k) + u (k) (α0 + εαrα) + (β0 + εβrβ) > 0 si µ (k) = 1 y (k) + u (k) (α0 + εαrα) + (β0 + εβrβ) < 0 si µ (k) = −1 εα = ±1, εβ = ±1 (17) Finalement, prenant en compte la contrainte de forme de dimension maximale, pour trouver α0, rα, β0, et rβ, il faudrait maximiser rα et rβ, avec rα > 0 et rβ > 0, en respectant les contraintes (17). Ce problème est mal posé car il correspond à la recherche simultanée du maximum de deux variables. Il est ainsi nécessaire de transformer les cri- tères portant sur le maximum des variables rα et rβ en un seul critère. Un choix naturel peut consister à maximiser l’aire de l’orthotope aligné aux axes, inscrit dans le poly- tope des contraintes. Dans ce cas, on utilise une fonction scalaire de rα et rβ comme par exemple max (rαrβ) et on obtient :    max (rαrβ) rα > 0, rβ > 0 sous les contraintes (17). (18) On peut alors faire appel à des algorithmes classiques d’op- timisation sous contraintes [18] pour la résolution de (18). C. Recherche d’une valeur unique Afin de trouver une valeur unique pour les paramètres α et β, il est nécessaire de fixer un critère permettant de vérifier l’optimalité des valeurs trouvées. Plusieurs choix s’avèrent possibles. Par exemple, on pourrait envisager de retenir simplement le centre des intervalles trouvés lors de la recherche de la loi de commutation à paramètres bornés, c’est-à-dire α0 et β0. En fait, les performances (habileté à trouver des valeurs assez proches des valeurs vraies) obte- nues en utilisant un critère ou un autre sont fonction de la forme du domaine correspondant à l’ensemble des solu- tions admissibles et des connaissances a priori portant sur les valeurs des paramètres à déterminer (plage de variation des paramètres,...). La détermination d’une valeur unique pour les paramètres α et β est équivalente à la recherche d’un classifica- teur linéaire (ici une droite) séparant le jeu de données {(u (k) ; y (k)) , k = 1, . . . , N} en deux ensembles distincts. Il s’agit donc d’un problème de séparation linéaire qui peut être résolu en recherchant la droite séparatrice qui maxi- mise la distance entre cette droite séparatrice et le point qui en est le plus proche dans le jeu de données [19]. On est ainsi ramené à des problèmes classiques d’optimisation sous contraintes inégalités que l’on peut résoudre au moyen d’algorithmes appropriés implémentés dans bon nombre de logiciels de calcul scientifique. Remarquons que la présence de bruit de mesure conduit le plus souvent à l’obtention d’un jeu de données linéaire- ment inséparable. Dans notre démarche, ce cas de figure est écarté car, comme cela a été mentionné précédemment, lors de la phase de reconnaissance du mode actif, les situations faisant apparaître plusieurs résidus intervalle contenant la valeur 0 ne sont pas considérées, ces valeurs correspondant à des ambiguïtés de décision de mode de fonctionnement. Les données susceptibles d’être mal classées sont ainsi écar- tées. V. Exemple Nous présentons ici un exemple académique de système à commutation. Le système simulé est caractérisé par deux modes et modélisé par l’équation (3) où : A1 = 0.211 0.011 0.121 0.521 A2 = −0.209 0.610 −0.412 0.810 B = 1 −1 T C = 2 −1 α = 1.3 β = −3.2 La simulation est faite en présence d’un bruit de mesure borné d’amplitude maximale 0.5, ce qui correspond à peu près à 10% de la valeur maximale de la sortie du système recueillie lors de la simulation. La figure 2 indique l’évolution de l’entrée u(·), la sortie y(·), l’état x(·) et la loi de commutation µ(·) du système. Les traits verticaux sur le troisième graphique de cette fi- gure marquent les instants de commutation ou de chan- gement de régime du système. Les quatre premiers gra- phiques de la figure 3 présentent l’évolution des différents résidus calculés (tracés en traits continus). Il s’agit des ré- sidus associés aux séquences de commutation (A1 → A1), (A1 → A2), (A2 → A1) et (A2 → A2) notées respective- ment r11(·), r12(·), r21(·) et r22(·). Il est également re- présenté sur ces graphiques en traits discontinus l’enve- loppe des résidus ou l’évolution des résidus intervalle.En présence de bruit, on constate qu’effectivement les résidus ne prennent pas une valeur nulle lorsque leur séquence cor- respondante est active mais plutôt une valeur proche de 0 et un seul des quatre résidus intervalle contient à chaque instant la valeur 0. Ce résidu correspond à la séquence de commutation en cours. Par exemple, de l’instant k = 30 jusqu’à l’instant k = 33, le résidu intervalle généré pour la séquence (A2 → A2) (quatrième graphique de la figure 3) est le seul à contenir la valeur 0, montrant que le mode associé à la matrice A2 est le mode actif sur ce domaine temporel. La commutation du mode associé à la matrice A2 vers celui relatif à la matrice A1 est mise en évidence par le fait que le résidu intervalle correspondant à la séquence 0 20 40 60 80 100 0 1 2 entrée u(k) 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 sortie y(k) 0 20 40 60 80 100 −4 −2 0 2 état x(k) 0 20 40 60 80 100 −1 0 1 µ(k) Fig. 2. Entrée, sortie, état, loi de commutation 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −1 0 1 2 Résidu r 11 0 20 40 60 80 100 −2 0 2 Résidu r 12 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 Résidu r 21 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 Résidu r 22 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −1 0 1 µ(k) estimé Fig. 3. Résidus r11(·), r12(·), r21(·) et r22(·) (A2 → A1) (troisième graphique de la figure 3) devient le seul à inclure la valeur 0 à l’instant k = 34. Le dernier graphique de la figure 3 montre les résultats de la recon- naissance du mode actif à partir des résidus intervalle gé- nérés. Les modes sont assez bien détectés dans l’ensemble. On peut noter, comme cela a été dit précédemment, la pré- sence d’instants où il a été impossible de fournir un estimé de µ(·) à cause du fait que plus d’un résidu contenait la valeur 0. Toutefois, en analysant l’évolution de l’estimé de µ(·) et en utilisant la notion de persistance dans un mode (connaissance a priori), on peut reconstruire totalement la trajectoire suivie par µ(·). A partir des données entrée/sortie collectées lors de la si- mulation et des valeurs prises par µ(·), les paramètres α et β ont été identifiés sous forme intervalle en résolvant (18) par une technique itérative. Les résultats sont présen- tés dans la table II, les paramètres initiaux étant choisis 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 sortie y(k) simulée et estimée 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −1 0 1 µ(k) réel 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −1 0 1 µ(k) estimé Fig. 4. Sortie y(·) réelle et estimée arbitrairement. Pour valider les résultats d’identification, TABLE II Estimation des paramètres α0, rα , β0 et rβ α0 rα β0 rβ Paramètres réels 1.3 - -3.2 - Paramètres initiaux 0.5 0 -1 0 Paramètres estimés 1.247 0.173 -3.093 0.348 le premier graphique de la figure 4 présente l’évolution de la sortie du système ainsi que celle de la sortie simulée à partir de la loi de commutation identifiée pour une entrée différente de celle utilisée pour la reconnaissance du mode actif. Pour ce tracé, il a été retenu une valeur arbitraire des valeurs appartenant aux intervalles correspondant aux paramètres α et β, les valeurs choisies étant les centres des intervalles trouvés. Les deux courbes obtenues sont prati- quement superposées. Le second graphique de la figure 4 représente les valeurs réelles prises par la loi de commuta- tion. Enfin le dernier graphique de la figure 4 montre les valeurs obtenues pour µ(·) à partir des paramètres identi- fiés. La loi de commutation µ(·) est bien reconstruite dans son ensemble. Les instants où les valeurs réelles et estimées de la loi de commutation µ(·) ne concordent pas corres- pondent à des instants où le système fonctionne dans des régions très voisines de la droite de commutation d’équa- tion y (·) + αu (·) + β. VI. Conclusion Il a été proposé dans cet article une méthode pour la détermination des instants de commutation et du modèle local actif à chaque instant d’un système à commutation. La méthode repose sur l’analyse de résidus générés à partir des différents modes du système. Une procédure d’identi- fication de la loi régissant les changements de régime du système à commutation est également examinée. Deux ap- proches sont analysées. La première recherche les para- mètres optimaux pour la loi de commutation au sens des données disponibles. La seconde approche utilise les mé- thodes de l’analyse intervalle pour rechercher un ensemble de valeurs admissibles des paramètres de la loi de commu- tation. Les travaux futurs viseront à étendre ces approches dans un contexte de fonctionnement en mode non supervisé. On supposera, dans ce cas, que l’on ne dispose pas d’une connaissance complète de tous les régimes de fonctionne- ment du système. Il s’agit alors de procéder simultanément, au cours du fonctionnement du système, à l’identification des modes de fonctionnement non répertoriés, c’est-à-dire des matrices d’état associées à ces modes, et à la reconnais- sance du mode courant actif. Il sera également envisagé la recherche de l’ordre de la régression dont dépend la fonction de commutation dans l’hypothèse où cet ordre est inconnu. Références [1] K. Gasso, G. Mourot, et J. Ragot. Structure identification of multiple models with output error local models. Proceedings of 15th IFAC World Congress on Automatic Control, Barcelona, Spain, 2002. [2] R. Murray-Smith et T. Johansen. Multiple model approaches. Taylor & Francis, London, United Kingdom, 1997. [3] A. Juloski, M. Heemels, G. Ferrari-Trecate, R. Vidal, S. Paoletti, et H. Niessen. Hybrid Systems : Computation and Control, chap- ter Comparison of Four Procedures for Identification of Hybrid Systems. Springer-Verlag, 2005. [4] R. Vidal. Identification of pwarx hybrid models with unknow and possibly different orders. Proceedings of the 23rd IEEE Ameri- can Control Conference, pages 13–19, Paradise Island, Bahamas, 2004. [5] A. Bemporad, A. Garulli, S. Paoletti, et A. Vicino. Data classi- fication and parameter estimation for the identification of piece- wise affine models. Proceedings of the 43rd IEEE Conference on Decision and Control, pages 20–25, Paradise Island, Bahamas, 2004. [6] T. Kailath. Linear Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980. [7] J. Ragot, G. Mourot, et D. Maquin. Parameter estimation of switching piecewise linear systems. Proceedings of the 42nd Conference on Decision and Control, pages 5783–5788, Maui, Hawaii, 2003. [8] A. Bemporad et M. Morari. Control of systems integrating logic, dynamics and constraints. Automatica, 35(3) :407–427, 1999. [9] M. S. Branicky, V. S. Borkar, et S. K. Mitter. A unified fra- mework for hybrid control : model and optimal control theory. IEEE Transactions on Automatic Control, 43(1) :31–45, 1998. [10] M. Johansson et A. Rantzer. Computation of piecewise quadra- tic Lyapunov functions for hybrid systems. Automatic Control, 43(4) :555–559, 1998. [11] A. Balluchi, L. Benvenuti, M. D. Di Benedetto, et A. L. Sangiovanni-Vincentelli. Hybrid Systems : Computation and Control, chapter Design of observers for hybrid systems, pages 76–89. Springer-Verlag, 2002. [12] M. Babaali et M. Egerstedt. Hybrid Systems : Computation and Control, chapter Observability of switched linear systems, pages 48–63. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, 2004. [13] V. Cocquempot, M. Staroswiecki, et T. El Mezyani. Switching time estimation and fault detection for hybrid systems using structured parity residuals. Proceedings of the 15th IFAC Sym- posium on Fault Detection, Supervison and safety of Technical Processes, pages 681–686, Washington, D. C., 2003. [14] J. Ragot, D. Maquin, et E. A. Domlan. Switching time estima- tion of piecewise linear system. application to diagnosis. Procee- dings of the 5th IFAC Symposium on Fault Detection, Super- vision and Safety of Technical Processes, pages 669–704, Wa- shington DC, USA, 2003. [15] E. A. Domlan, D. Maquin, et J. Ragot. Diagnostic des sys- tèmes à commutation, approche par la méthode de l’espace de parité. Proceedings of the Conference Internationale Franco- phone d’Automatique, Douz, Tunisie, 2004. [16] J. Gertler. Fault detection and isolation using parity relations. Control Engineering Practice, 5(5) :663–661, 1997. [17] O. Adrot. Diagnostic à base de modèles incertains utilisant l’analyse par intervalle : l’approche bornante. PhD thesis, Ins- titut National Polytechnique de Lorraine, Nancy, France, 2000. [18] J. F. Bonnans, J. Ch. Gilbert, C. Lemarchal, et C. A. Sagastiz- bal. Numerical optimization : theoretical and practical aspects. Springer-Verlag, 2002. [19] S. Paoletti. Identification of Piecewise Affine Models. PhD the- sis, Department of Information Engineering, University of Siena, Siena, Italy, 2004.