Synthèse d’un filtre de détection robuste pour les systèmes linéaires discrets stochastiques

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19930
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Résumé

Synthèse d’un filtre de détection robuste pour les systèmes linéaires discrets stochastiques

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	    <date dateType="Created">Sun 24 Sep 2017</date>
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Synthèse d’un filtre de détection robuste pour les systèmes linéaires discrets stochastiques Hicham Jamouli1 , Dominique Sauter2 , 1 Université Ibn Zohr Ecole Nationale des Sciences Appliquées Agadir , Maroc 2 Université Henri Poincaré Nancy1, Centre de Recherche en Automatique de Nancy Bp 239, 54506 Vandoeuvre, France jamouli@ensa-agadir.ac.ma dominique.sauter@cran.uhp-nancy.fr Résumé— Nous proposons dans ce papier une nouvelle ap- proche globale visant la détection et lisolation des défauts actionneurs et capteurs corrompant le fonctionnement des systèmes linéaires discrets stochastiques. Comparativement aux filtres usuels, les conditions d’existence du filtre de dé- tection proposé sont réduites et correspondent aux condi- tions d’existence d’une inverse à gauche du système. Après la paramétrisation du filtre par une inverse à gauche du sys- tème, les degrés de libertés permettent de minimiser l’effet de bruits sur l’estimation de défauts. On obtient alors une estimation en temps et à variance minimales. Mots-clés— Filtre de détection, l’inverse à gauche, système linéaire stochastique. I. Introduction Suite à la progression rapide des nouvelles technologies, les systèmes industriels sont de plus en plus complexes et l’opération de diagnostic est devenue indispensable pour assurer la sûreté de fonctionnement et la disponibilité de ces systèmes. La détection et l’isolation des défauts à la base d’observa- teurs a été étudié dans le cas déterministe par [5]. Il existe deux approches pour générer un résidu découplé des en- trées inconnues dans le cas des systèmes déterministes : la première est basée sur un placement de valeurs propres ([24], [10]) et la seconde basée sur la conception des obser- vateurs à entrées inconnues [32]. Il existe aussi une forme particulière des observateurs appelées Filtre de détection. Par une approche intuitive, Beard [1] a été le premier à in- troduire la théorie des filtres détecteurs. Par la suite, Mas- soumnia [19] a formalisé la solution du problème à l’aide d’une synthèse géométrique. La synthèse du filtre a ensuite été réalisée par [29] via une approche spectrale et par [22] par un placement de valeurs et de vecteurs propres de la matrice de transition du filtre. Le point commun entre ces approches est la construction des espaces de détection asso- ciés à chaque défaut. La dimension de l’espace de détection est une propriété structurelle importante du système. Dans Beard [1], l’espace de détection est engendré par un géné- rateur de détection. Ce problème a été résolu par Kim et Park [14] en se basant sur une analyse structurelle des zé- ros invariants du système. Pour permettre la synthèse des filtres détecteurs au cas des systèmes stochastiques, une in- terprétation particulière du filtre détecteur a été proposée par Park et Rizzoni [22]. Quelques améliorations ont été apporté par Hou et Muller [12], Chung et Speyer [4]. Ré- cemment, Chen et Speyer [2] ont proposé un filtre détecteur robuste permettant un découplage parfait des résidus par rapport aux entrées inconnues mais ne permettant que le traitement mono-défaut. Park et Rizzoni [23] ont étendu leur filtre dans le contexte des systèmes linéaires stochas- tiques. Nikoukhah [21] a été le premier à développer une méthode de diagnostic robuste dans le cas stochastique où le résidu généré est découplé des entrées inconnues mais où le problème de l’estimation des défauts n’est pas étu- dié. Sur la base des travaux de Keller [13], Parlangeli et Valcher [27] ont proposé un filtre permettant l’estimation des défauts en présence de perturbations stochastiques et déterministes. Cependant, comme dans Keller [13], l’esti- mation des défauts produite par leur filtre, découplée des entrées inconnues, n’est pas à minimum de variance. Le diagnostic des systèmes dynamiques stochastiques est généralement effectué en deux étapes : La génération de résidus suivit par la prise de décision. La reconstruction des défauts n’est pas toujours pris en compte dans la gé- nération du résidus et pourtant il est très intéressant de simplifier la phase de décision par la génération de rési- dus reflètant directement l’amplitude des défauts afin de permettre la conception simplifiée d’un test de détection toujours très difficile à concevoir dans le cas multi-défauts. Le problème de la reconstruction des défauts est lié au pro- blème du calcul de l’inverse à gauche du système. Ce lien a été montré par Hou et Patton [11] dans le cas continu. Dans ce papier, nous proposons la conception d’un filtre détecteur produisant une estimation des défauts à variance minimale satisfaisant E( ˆdk) = dk−α où α est le temps de retard structurel du système défini par ses zéros infinis. Après la paramétrisation de l’inverse à gauche du système, les degrés de liberté restant disponibles sont calculés pour minimiser la norme H2 du transfert entre les bruits et la sortie du filtre. Cette sortie sera filtrée par un filtre à ré- ponse impulsionnelle finie permettant la remise en forme du signal de sortie. Le papier est organisé de la manière suivante : la section 2 présente la position du problème. La section 3 paramétrise le filtre de détection robuste et enfin la section 4 présente un exemple numérique pour illustrer l’approche proposée. II. Position du problème Considérons le système linéaire suivant : xk+1 = Axk + Buk + Fdk + Hwk yk = Cxk + Duk + Ndk + Gwk (1) avec x ∈ Rn le vecteur d’état, y ∈ Rm le vecteur de me- sures, d ∈ Rq le vecteur de défauts. Chaque composante de dk représente un défaut qui peut apparaître simultané- ment sur l’état et/ou sur les mesures. wk est un bruit blanc gaussian tel que E{wkwT j } = Iδkj affectant à la fois l’état et les mesures. On suppose rang(F) = q, rang(G) = m, q ≤ m, rang z I − A F C N = n + q, ∀z ∈ C, | z |≥ 1 (2) rang −ejw I + A F H C N G = n + m, ∀w ∈ [0, 2π] (3) Considérons le filtre suivant ˆzk+1 = Aˆzk + Buk + K(yk − Cˆzk − Duk) (4) rk = L(yk − Cˆzk − Duk) (5) où ˆzk+1 est la prédiction de de l’état du système, basée sur les mesures disponibles jusqu’à l’instant k, K ∈ ℜq,m et L ∈ ℜn,m sont des matrices inconnues qui seront calculées tel que la ime composante de dk soit découplé des autres composantes. De (1) et (4), l’erreur d’estimation d’état ek = xk − ˆxk s’exprime par ek+1 = (A − KC)ek + (G − KH)wk (6) +(M − KN)dk (7) rk = L(Cek + Hwk + Ndk) (8) On peut vérifier que le résidu du filtre est donné r(z) = Hdr(z)d(z) + Hwr(z)w(z) (9) avec Hdr(z) = G(z) C(Iz − A)−1 E + F (10) Hwr(z) = G(z) C(Iz − A)−1 H + G (11) où G(z) = L I − C[Iz − (A − KC)]−1 K (12) Soit Hd(z) = C(Iz − A)−1 F + N et Hw(z) = C(Iz − A)−1 H + G respectivement les fonctions de transfert entre d(z), w(z) et y(z) et G(z) = L(I − C[Iz − (A − KC)]−1 K) la fonction de transfert du filtre. On distinguera deux cas : Premier cas : avec rang(N) = q, les mesures qui sont affectées directement par les défauts apportent une infor- mation suffisante pour la reconstruction sans retard du vec- teur défaut. La reconstruction des défauts peut alors être obtenue par le calcul de G(z) tel que le résidu de sortie réduit soit donné par r(z) = d(z) + G(z)Hw(z)w(z) (13) sous la contrainte G(z)Hd(z) = I où G(z) représente alors l’inverse à gauche de Hd(z). Les degrés de liberté res- tant disponibles sur K et L après la paramétrisation de G(z)Hd(z) = I seront calculés dans le but de minimi- ser G(z)Hw(z) 2 où F(z) 2 est la norme au sens H2 définie par F(z) 2 2 = 1/2π π −π tr[F(ejθ )F∗ (e−jθ )] avec F∗ (ejθ ) = FT (e−jθ ) . Dans ce cas, la prédiction ˆzk+1 sera la prédiction optimale de l’état entier xk+1. Deuxième cas : si rang(N) < q, nous généralisons les résultats précédents. Le résidu rk sera filtré par un filtre à réponse impulsionnelle finie ˆξ(z) tel que ˆr(z) = ˆξ(z)r(z) soit exprimé par ˆr(z) = z−α d(z) + ˆξ(z)G(z)Hw(z)w(z) (14) sous la contrainte ˆξ(z)G(z)Hd(z) = Iz−α où ˆξ(z)G(z) re- présente l’inverse à gauche à temps minimal de Hd(z). Les degrés de liberté restant disponibles sur K et L seront cal- culés dans le but de minimiser ˆξ(z)G(z)Hw(z) 2 . Dans ce cas, la prédiction ˆzk+1 ne sera pas la prédiction optimale de l’état entier xk+1. Une analyse structurelle permettra de montrer que ˆzk+1 sera la prédiction optimale d’une partie réduite de l’état xk+1 de dimension maximum. III. Filtre de détection robuste A. Reconstructeur parfait Le filtre de détection présenté dans ce paragraphe ne possèdera pas d’espace de détection car l’espace maximum de prédiction couvre tout l’état. Le lecteur peut considérer que le filtre décrit dans cette partie est un filtre détecteur à espace de détection nul. Pour un système défini par Γ = (A, F, C, N) avec rang(N) = q, l’inverse à gauche de Hd(z) donnée par G(z) = L[I − C[Iz − (A − KC)]−1 K] telle que G(z)Hd(z) = I (15) peut être paramètrée par ¯K ∈ ℜn,m−q et ¯L ∈ ℜq,m−q telle que K = FN+ + ¯KΣ, L = N+ + ¯LΣ (16) avec Σ = β(I −NN+ ) où β est une matrice arbitraire choi- sie telle que rang(Σ) = m−q. Sous les conditions énoncées précédemment, il existe un gain ¯K tel que le filtre sous sa forme d’état suivante Γ( ¯K) = ¯A − ¯K ¯C, 0, N+ C + ¯L ¯C ¯C , I 0 (17) avec ¯A = A − FN+ C et ¯C = ΣC soit stable. L’état du système Γ( ¯K) n’est pas affecté par dk et l’état ˆzk du filtre représente donc la prédiction non biaisée de l’état entier xk. On a rang −Iz + A F C N = rang   I 0 0 N+ Σ   −Iz + A F C N I 0 −N+ C I = rang   −Iz + ¯A F 0 I ¯C 0   car N+ Σ est inversible pour un β choisit tel que rang(Σ) = m − q. Les modes inobservables de la paire ( ¯A, ¯C) sont les zéros invariants de Γ = (A, F, C, N) (   −Iz + ¯A F 0 I ¯C 0   n’est pas de rang pleine colonne ssi rang −Iz + ¯A ¯C < n). Sous la condition (2), on a rang −Iz + ¯A ¯C = n, ∀z ∈ C, |z| ≥ 1, la paire ( ¯A, ¯C) est donc détectable et il existe ¯K tel que ¯A − ¯K ¯C soit stable. B. Reconstructeur à temps minimum Avant d’étendre le cas précédent au cas le plus général des systèmes dynamiques Γ = (A, F, C, N) avec rang(N) < q, on propose le lemme suivant : Lemme 1 Sous la contrainte (2), le retard α du système égal au nombre de zéros infinis du transfert Hd(z) est donné par le degré de la matrice d’interaction unitaire ξ(z) (une matrice polynomiale telle que ξ(z)ξ∗ (z) = I) satisfaisant ˆHd(z) = Hd(z)ξ(z) = C(Iz − A)−1 ˆFα + ˆNα (18) avec rang( ˆNα) = q. La matrice unitaire d’interaction ξ(z) ainsi que ˆFα et ˆNα peuvent être calculées par l’algorithme de Silverman (1969) [28]. Preuve Supposant que l’algorithme d’inversion de Silverman [28] soit appliqué pour calculer l’inverse à droite du système transposé ΓT = (AT , CT , FT , NT ) où HT d (z) = FT (Iz − AT )−1 CT + NT . La matrice d’interac- tion ξT (z) unitaire (ξT (z)[ξT (z)]∗ = I) telle que ˆHT d (z) = ξT (z)HT d (z) = [ ˆFT α (Iz−AT )−1 CT + ˆNT α ] est alors obtenue. En transposant ces résultats, on obtient la matrice d’in- teraction unitaire ξ(z) = ξ0(z)ξ1(z) . . . ξα−1(z) satisfaisant (18). Pour montrer que (2) est la condition d’existence de ξ(z), définissons le rang-normal de la matrice du système par rang − normal −Iz + A F C N = rang −Iz + A F C N , (19) ∀z /∈ σ(z) où σ(z) est l’ensemble de valeurs propres de A. On peut vérifier que rang − nor −Iz + A F C N = rang − nor −Iz + A 0 C Hd(z) (20) conduisant à rang −normal(Hd(z)) = q sous (2) décrivant la condition pour que le système soit à minimum de phase. Dans Wolowich et Falb (1976) [31] rang−normal(Hd(z)) = q est la condition d’existence d’une matrice d’interaction. Lemme 2 Sous la condition (2), on peut montrer que l’entier α est fini et rang −Iz + A ˆFα C ˆNα = rang −Iz + A F C N . Preuve Soit Mi(z−1 ) = I 0 0 Si   I 0 z−1 ¯Fi 0 Iqi 0 0 0 Iq−qi   la matrice unimodulaire telle que Γi+1(z) = Γi(z)Mi(z−1 ) où Γi(z) représente le système à la ieme étape de l’algo- rithme de Silverman [28]. A l’étape finale α, cette équation récursive initialisée par Γ0(z) = −Iz + A F C N donne Γα(z) = −Iz + A ˆFα C ˆNα = −Iz + A F C N Q(z−1 ) où Q(z−1 ) = F0(z−1 )F1(z−1 )..Fα−1(z−1 ) = I × 0 Sα avec Sα = S0S1..Sα−1 conduisant à la relation de rang rang −Iz + A ˆFα C ˆNα = rang −Iz + A F C N ∀z, |z| < ∞. (21) Dans le cas limite où |z| → ∞, on a Q(z−1 ) → I 0 0 Sα , ˆFα → FSα, ˆNα → NSα et donc lim |z|→∞ rang −Iz + A ˆFα C ˆNα = lim |z|→∞ rang −Iz + A FSα C NSα = lim |z|→∞ rang −Iz + A F C N (22) car Sα est inversible. On conclut que rang −Iz + A ˆFα C ˆNα = rang −Iz + A F C N ∀z. Définissons le filtre à réponse impulsionnelle finie (FIR) par ˆξ(z) = z−α ξ(z) où α est le degré de ξ(z). Le théorème suivant va généraliser la paramétrisation du filtre au cas des systèmes dynamiques à retard par le filtrage de la sortie du filtre par ˆξ(z) . Théorème1 (Généralisation de la partie A) Les inverses à gauche temps minimal ˆξ(z)G(z) de Hd(z) satisfaisant l’équation ˆξ(z)G(z)Hd(z) = Iz−α (23) sont paramètrées par ˆK ∈ ℜn,m−q et ˆL ∈ ℜq,m−q avec K = ˆFα ˆN+ α + ˆK ˆΣ et K = ˆN+ α + ˆLˆΣ (24) et ˆΣ = ˆβ(I − ˆNα ˆN+ α ) où ˆβ est une matrice arbitraire telle que rang(ˆΣ) = m − q. Sous (2) il existe ˆK tel que le filtre décrit par Γ( ˆK) = ˆA − ˆK ˆC, ˆF, ˆN+ α C + ˆL ˆC ˆC , ˆN+ α N 0 (25) avec ˆA = A − ˆFα ˆN+ α C, ˆC = ΣC et ˆF = F − ˆFα ˆN+ α N soit stable. L’état du système Γ( ˆK) est affecté par les défauts dk et l’état ˆzk du filtre (4) n’est pas la prédiction non biai- sée de l’état entier xk. Démonstration1 En utilisant le lemme précédent, le système Γ = (A, F, C, N) possède un retard fini α et ˆHd(z) = C(Iz − A)−1 ˆFα + ˆNα n’a donc plus de retard. Ainsi la condition G(z) ˆHd(z) = I peut être paramètrée comme dans le cas des systèmes sans retard conduisant à (24) où ˆξ(z) = z−α ξ(z) est un filtre causal car α est le degré de ξ(z). La relation G(z) ˆHd(z) = I peut aussi s’écrire G(z)Hd(z) = ξ∗ (z) ou ˆξ(z)G(z)Hd(z) = z−α ξ(z)ξ∗ (z) conduisant à la satisfaction de (23) sous ξ(z)ξ∗ (z) = I. Le filtre se réécrit ˆzk+1 = ˆAˆzk + ˆFα ˆN+ α yk + ˆKγk (26) rk = (N+ α + ˆLˆΣ)(yk − Cˆzk) (27) γk = ˆΣyk − ˆCˆzk (28) ou par rapport à l’erreur de prédiction ek = xk − ˆzk Γ( ˆK) = ˆA − ˆK ˆC, ˆF − ˆK ˆΣN, N+ α C + ˆL ˆC ˆC , ˆN+ α N ˆΣN (29) Démontrons que ˆΣN = 0 : Dans l’algorithme de Silverman, on a ˆΣ ˜Ni 0 = 0 pour i = 0, . . . , α − 1 autrement ˆΣ ˆNα = ˆΣ ˜Nα−1 Nα = 0 (ou rang ˆNα = q) ne peut pas être satisfaite à l’iteration finale α. A l’étape initiale, ˆΣ ˜N0 0 = ˆΣNS0 = 0 et donc ˆΣN = 0 car S0 est inversible. Sachant que ˆΣN = 0, (29) implique (25). En revanche, comparé aux résultats du théorème 1, l’état de Γ( ˆK) est affecté par le défaut car ˆF = 0 et l’état ˆzk+1 du filtre n’est donc plus la prédiction de l’état entier xk+1. A partir du lemme 2 et du théorème 1, ( ˆA, ˆC) est détectable et les modes inobservables de ( ˆA, ˆC) sont les zéros inva- riants de Γ = (A, F, C, N). Donc (2) est la seule condition d’existence d’un gain ˆK tel que ˆA − ˆK ˆC soit stable. Sous la condition que ˆA − ˆK ˆC soit stable, l’inverse à gauche ˆξ(z)G(z) de Hd(z) en temps minimal est toujours stable car ˆξ(z) est toujours stable. Théorème2 Soit ˆH = H − ˆFα ˆN+ α G et ˆG = ˆΣG. La fonction de transfert ˆξ(z)G(z)Hw(z) est minimisée au sens H2 par rapport aux paramètres libres ˆK et ˆL ssi ˆK = ( ˆAP ˆCT + ˆF ˆGT )( ˆCP ˆCT + ˆG ˆGT )−1 (30) ˆL = ˆN+ α (CP ˆC + G ˆGT )( ˆCP ˆCT + ˆG ˆGT )−1 (31) où P solution de P = ˆAP ˆAT (32) + ˆH ˆHT − ( ˆAP ˆCT + ˆH ˆGT )( ˆCP ˆCT + ˆG ˆGT )−1 ( ˆAP ˆCT + ˆH ˆGT )T (33) est garantie d’être une solution stabilisante sous les conditions de rang (2) et (3). On a (ˆξ(z)G(z)Hw(z) 2 2 = tr(J) avec J = ˆN+ α [CPCT + GGT − (CP ˆCT + G ˆGT )( ˆCP ˆCT (34) + ˆG ˆGT )−1 ( ˆCPCT + ˆGGT )]( ˆN+ α )T (35) Le rapport signal sur bruit λ = (ˆξ(z)G(z)Hd(z) 2 2 ˆξ(z)G(z)Hw(z) 2 2 est maximisé par rapport à ˆK et ˆL car λ = 1 tr(J) . Démonstration2 On a ˆξ(z)R(z)Hw(z) 2 2 = 1 2π Ê π −π tr ¨ [ˆξ(ejθ)R(ejθ)Hw(ejθ)] [ˆξ(ejθ)R(ejθ)Hw(ejθ)]∗ © = 1 2π Ê π −π tr ¨ ˆξ(ejθ)ˆξ∗(ejθ)[R(ejθ)Hw(ejθ)] [R(ejθ)Hw(ejθ)]∗ © (36) = (R(z)Hw(z) 2 2 . La minimisation de ˆξ(z)G(z)Hw(z) 2 2 par rapport ˆK et ˆL est donc équivalente à la minimisation de G(z)Hw(z) 2 2 par rapport à ¯K et ¯L. La substitution de K = ˆFα ˆNα + ˆK ˆΣ et L = ˆNα + ˆLˆΣ dans (6) et (8) donne (30), (31) et (32) avec ˆξ(z)G(z)Hw(z) 2 2 = tr(J). On a λ = 1 tr(J) car ˆξ(z)G(z)Hw(z) 2 2 = Iz−α 2 2 = 1. Pour montrer que la solution P de (30) est une solution stabilisante (poles de ˆA − ˆK ˆC à l’intérieur du cercle unité), on peut écrire (30) sous la forme d’une équation de Riccati standard P =APA T + Q −AP ˆCT ( ˆCP ˆCT + ˆG ˆGT ) ˆCPA T (37) où A = ˆA − ˆH ˆGT ( ˆG ˆGT )−1 ˆC et Q = ˆH ˆHT − ˆH ˆGT ( ˆG ˆG)−1 ˆG ˆHT . De l’équation (37) et l’aide de la condi- tion rang −Iz + A ˆFα C ˆNα = rang −Iz + A F C N dé- montrée au lemme 2, on montre que la détectabilité de la paire (A, ˆC) est équivalente à (2). De la même façon, on montre que la non existence de modes non commandables de la paire (A, Q 1/2 ) sur le cercle unité est équivalente à (3). Due aux effets additifs de l’erreur d’estimation initiale e0 = x0 − ˆz0 et du défaut dk, on a E(rk) = α j=0 W∗ j dk−j + ( ˆN+ α C + ˆL ˆC)( ˆA − ˆK ˆC)k e0 pour k ≥ α où α j=0 W∗ j z−i = ξ∗ (z). Sous la condition (2) et (3), ˆA − ˆK ˆC est stable et la relation E(rk) = α j=0 W∗ j dk−j sera atteinte à la conver- gence du filtre. A la convergence, on aura E(ˆrk) = dk−α où la ieme composante de ˆrk est sensible à l’occurence de la ieme composante de dk et complètement découplée des autres. L’entier α représente le temps de retard structurel pour l’isolation multi-défauts qu’on ne doit pas confondre avec le temps de retard de détection du ieme défaut. Cette remarque justifie a posteriori l’utilisation du filtre ˆξ(z) pour concevoir correctement un test statistique sur chaque com- posante de ˆrk, la principale nouveauté de notre approche par rapport aux filtres détecteurs de défauts disponibles dans la littérature. Remarque Supposons que l’algorithme d’inversion de Silverman appliqué sur Γ = (A, F, C, 0) donne les résulats suivants Γ = (A, ˆFα, C, ˆNα), ˆNα = [CA¯ρ1−1 f1 . . . CA¯ρq−1 fq] avec ¯ρi = min{t : CAt−1 fi = 0, t = 1, 2..} à l’étape finale α = max{¯ρi}. La condi- tion rang ˆNα = q est la condition d’isolation des défauts "output separability" considérée souvent comme la condi- tion d’existence du filtre détecteur de défauts (Chung et Speyer [4], Keller [13]). Dans ce cas, on peut vérifier que le sous-espace ¯Ωi = [fi Afi . . . A¯ρi−1 fi] associé à la ieme composante de dk est solution de ( ˆA − ˆK ˆC)¯Ωi ⊆ ¯Ωi avec fi ⊆ ¯Ωi et que C ¯Ωi ( j=i C ¯Ωj) = est clairement satis- faite. Nous sommes ici en présence d’une matrice d’inter- action diagonale ¯ξ(z) = diag[z¯ρ1 . . . z¯ρq ] pour le transfert de Γ = (A, F, C). Cette condition de séparabilité des sor- ties est donc trop restrictive par rapport à la condition d’existence d’une matrice d’interaction quelconque liée à l’inversibilité du système. C. Interprétation physique de la paramétrisation du filtre Dans le cas d’une matrice d’intéraction diagonale, l’in- dice de détectabilité ρi correspond au temps de retard entre l’instant d’apparition du défaut di et son premier effet sur les mesures. Dans le cas d’une matrice d’intéraction quelconque, la généralisation du raisonnement précédent ne peut être effectuée que sur le terme α correspondant alors au degré de la matrice polynomiale ξ(z) représentant le temps de retard pour que tous les défauts (supposés ap- paraître au même instant) aient une première répercussion différente sur les mesures (le temps de retard pour l’isola- tion est plus important que pour la détection d’un défaut particulier sauf dans le cas d’une matrice diagonale satis- faisant ρi = ρj, ∀(i, j)). Dans le cas stochastique, l’appli- cation du test de GLR nécessite la supposition d’un seul instant d’apparition pour l’ensemble de tous les défauts hypothétiques (afin de rechercher l’hypothèse la plus vrai- semblable parmi l’ensemble de toutes les hypothèses). L’ap- plication d’un test de détection globale nécessite donc de retarder globalement l’ensemble des défauts d’un retard α (c’est le rôle du post filtre ˆξ(z)), même s’il existe un ou plusieurs défauts qui ont une répercussion plus rapide que α. IV. Exemple illustratif Cet exemple décrit les différentes étapes de la synthèse du reconstructeur de défauts dans le contexte de la re- marque 1. On considère le système discret Γ = (A, F, C) décrit par A =     λ1 0 0 0 1 λ2 0 0 0 1 λ3 0 0 0 1 λ4     , C =   1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1   (38) F= f1 f2 =     1 1 0 1 0 0 0 0     et dk = d1 k d2 k où la condition de séparabilité des défauts rang[CA¯ρ1−1 f1 CA¯ρ2−1 f2] = 2 avec ¯ρi = min{t : CAt−1 fi = 0, t = 1, 2..} = 1 pour i = 1, 2 n’est pas satisfaite car rang[CA¯ρ1−1 f1 CA¯ρ2−1 f2]