Approche structurelle du diagnostic, application à un modèle de colonne à distiller

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19929
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Résumé

Approche structurelle du diagnostic, application à un modèle de colonne à distiller

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	    <date dateType="Updated">Sun 24 Sep 2017</date>
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Approche structurelle du diagnostic, application à un modèle de colonne à distiller Jean-Michel DION 1 , Christian COMMAULT1 1 Laboratoire d’Automatique de Grenoble , ENSIEG-BP 46, 38402 Saint Martin d’Hères Cedex, France {Christian.Commault, Jean-Michel.Dion}@inpg.fr Résumé— Dans ce travail on considère le problème de détec- tion et localisation de défauts pour une classe générale de systèmes linéaires dépendant de paramètres : les systèmes linéaires structurés. On présente de manière synthétique un certain nombre de résultats des auteurs sur le sujet qui sont illustrés sur un modèle de colonne à distiller binaire. A par- tir de l’analyse structurelle on peut facilement, sur ce pro- cédé ayant un défaut et une perturbation, montrer qu’un capteur supplémentaire est nécessaire pour résoudre le pro- blème de diagnostic considéré, indépendemment de la valeur des paramètres du système. L’analyse du graphe associé au système permet de déterminer les variables que le capteur doit mesurer. Mots-clés— Diagnostic, systèmes structurés, ajout de cap- teurs, colonne à distiller I. Introduction Ce travail est centré sur l’approche structurelle du diag- nostic des systèmes linéaires. On considère le problème de détection et localisation de défauts en présence de pertur- bations à l’aide d’observateurs. Si les problèmes de diagnos- tic [1], [2], [3] et de placement de capteurs [4], [5], [6], [7] ont été étudiés par de nombreux auteurs depuis une quinzaine d’années, peu de travaux ont concerné l’approche structu- relle [8], [9], [10]. On considère ici une classe générale de systèmes dépendant de paramètres : les systèmes structu- rés [11], [12]. A ces systèmes on peut facilement associer un graphe et analyser sur celui-ci les propriétés structurelles (vraies pour presque toutes les valeurs des paramètres) du stystème considéré. Cette approche a permis d’analyser des propriétés telles que observabilité, commandabilité et de ré- soudre des problèmes tels que le rejet de perturbations, le découplage ou la poursuite de modèle [13]. On s’intéresse ici à la résolution du problème de détec- tion et localisation de défauts en s’appuyant sur l’analyse structurelle du sytème. Le système considéré présente des défauts et est soumis à des perturbations. On cherche à sa- voir si les défauts peuvent être détectés et localisés, malgré les perturbations, avec les mesures disponibles. Si ce n’est pas le cas on cherche combien de capteurs supplémentaires sont nécessaires et où il faut les implanter. On rappelle de manière simple les résultats obtenus par les auteurs dans [14], [15] qui montrent que l’on peut se restreindre à l’étude d’un sytème réduit sur lequel les capteurs éventuels supplémentaires doivent être implantés. Dans ce travail ces résultats sont expliqués et détaillés sur un exemple non trivial de colonne à distiller binaire qui comprend 13 plateaux [16]. La structure du modèle linéa- risé étant fixe, l’approche proposée est donc bien dadptée à ce type de procédé non linéaire. L’analyse montre qu’un capteur supplémentaire doit être ajouté pour localiser les variations du débit d’alimentation (le défaut) en étant in- sensible aux variations de la concentration d’alimentation (la perturbation). Ce capteur supplémentaire peut mesurer par exemple la composition du produit sortant au pied de la colonne. Le plan de cet article est le suivant. Dans la Section 2 nous introduisons la notion de système structuré et les princi- paux résulats qui seront utiles par la suite. Dans la Section 3 nous présentons le problème de détection et localisation de défauts en présence de perturbations à l’aide d’un en- semble d’observateurs. La Section 4 donne les outils de dé- composition du graphe et introduit la notion de système réduit. La Section 5 donne l’application des notions pré- cédentes au problème de détection et localisation de dé- fauts en précisant le nombre et la localisation des capteurs supplémentaires à introduire. La Section 6 est consacrée à l’application des résultats obtenus dans les sections pré- cédentes sur le modèle d’une colonne à distiller. Quelques remarques en guise de conclusion terminent le papier. II. Systèmes structurés On considère une classe de systèmes linéaires dépendant de paramètres (les systèmes linéaires structurés) décrite par le modèle suivant : ΣΛ ˙x(t) = Ax(t) + Ed(t) + Lf(t) y(t) = Cx(t) + Fd(t) + Mf(t) (1) où x(t) ∈ Rn est le vecteur d’état, d(t) ∈ Rq est le vec- teur des perturbations, f(t) ∈ Rr est le vecteur des dé- fauts et y(t) ∈ Rp est le vecteur des sorties mesurées. A, C, E, F, L et M sont des matrices de dimensions ap- propriées telles que les éléments de la matrice composite J = A E L C F M sont soit des zeros fixes soit des pa- ramètres indépendants (non reliés par des relations algé- briques ). Λ = {λ1, λ2, . . . , λk} contient l’ensemble des pa- ramètres indépendants de la matrice J. Sur ΣΛ on étudiera des propriétés génériques (vraies pour presque toute valeur des paramétres). A un tel système on peut facilement associer un graphe dont l’ensemble des sommets est V = D ∪F ∪X ∪Y où D, F,X et Y sont les perturbations, défauts, états et sorties donnés respectivement par {d1, d2, . . . , dq}, {f1, f2, . . . , fr}, {x1, x2, . . . , xn} et {y1, y2, . . . , yp}. L’ensemble d’arcs est W = {(fi, xj)|Lji = 0}∪{(xi, xj)|Aji = 0}∪{(di, xj)|Eji = 0} ∪ {(xi, yj)|Cji = 0} ∪ {(di, yj)|Fji = 0} ∪ {(fi, yj)|Mji = 0}, où Aji (resp. Eji, Cji, Fji, Lji, Mji) est l’élément (j, i) de la matrice A (resp. E,C,F,L,M). De plus rappelons qu’un chemin dans G(ΣΛ) reliant le som- met i0 au sommet il est une suite d’arcs (i0, i1), (i1, i2) , . . . , (il−2, il−1), (il−1, il) telle que it ∈ V pour t = 0, 1, . . . , l et (it−1, it) ∈ W pour t = 1, 2, . . . , l. Un ensemble de chemins sans sommet commun est dit sommet-disjoint. Un couplage V1-V2 de dimension k est un ensemble de k chemins sommet-disjoints entre V1 et V2. Un tel couplage est maximal quand k est maximal. De nombreux résultats ont été obtenus pour les systèmes structurés en utilisant le graphe associé. Par exemple on peut caractériser l’observabilité comme suit. [11], [17]. Proposition 1: Soit ΣΛ le système structuré défini par (1) et son graphe associé G(ΣΛ). Le système (en fait la paire (C, A)) est structurellement observable si et seulement si : – tous les sommets d’état sont reliés à un sommet de sortie par un chemin, – il existe un ensemble de circuits et de chemins état- sortie sommets-disjoints qui couvre tous les sommets d’état. On a également le résultat suivant qui exprime simplement le rang générique de la matrice de transfert entre les défauts et les sorties du système [18]. Proposition 2: Soit ΣΛ le système structuré défini par (1) et son graphe associé G(ΣΛ). Le rang générique de C(sI − A)−1 L + M est égal à la dimension maximale d’un couplage défaut-sortie dans G(ΣΛ). Exemple 1: Nous allons maintenant illustrer les notions et résultats précédents sur un exemple. Considérons un sys- tème structuré ΣΛ de type (1) avec 2 défauts, une pertur- bation et 2 sorties : A =   0 0 0 λ1 0 0 0 λ2 0   , E =   0 0 λ3   , L =   λ4 0 0 λ5 0 0   , C = 0 λ6 0 0 0 λ7 , F = 0 0 , M = 0 0 0 0 N  N N ! O  O B  B @  Fig. 1. Graphe G(ΣΛ) de l’exemple 1 Les éléments non nuls des matrices sont les paramètres libres Λ = (λ1, λ2, . . . , λ7). Le graphe associé G(ΣΛ) est donné Figure 1. Ce système est structurellement observable par la Pro- position 1. En fait il existe un chemin entre tous les états et une sortie et un ensemble de chemins état-sortie sommets-disjoints (x1, x2, y1) et (x3, y2) qui couvre tous les sommets d’état. La matrice de transfert du système (pertubation/défauts)-sorties est de rang générique 2 car il existe un couplage de dimension 2 dans le graphe. III. Détection et localisation de défauts On considère le système structuré ΣΛ. On va construire des résidus à partir d’observateurs, ces résidus devant être sensibles aux défauts et insensibles aux perturbations. Par simplicité on ne considérera pas l’effet des commandes qui peuvent être prises en compte aisément dans les observa- teurs. On construit r observateurs (r étant le nombre de défauts) : ˙ˆxi (t) = Aˆxi (t) + Ki (y(t) − Cˆxi (t)) (2) où ˆxi (t) ∈ Rn est l’état du ième observateur, Ki est le gain du ième observateur tel que ˆxi (t) converge vers x(t), en l’absence de défaut. Les résidus sont : νi(t) = Qi (y(t) − Cˆxi (t)), pour i = 1, . . . , r (3) où Qi est une matrice 1 × p. Les matrices Ki et Qi sont à choisir et vont dépendre des paramètres du système ΣΛ. Le problème de détection de défauts en présence de pertur- bations peut être défini de la manière suivante. Définition 1: Le problème de détection et localisation de défauts en présence de perturbations à l’aide d’obser- vateurs consiste à trouver des matrices Ki et Qi , telles que, pour i = 1, 2, . . . , r, A − Ki C est stable, le transfert perturbations-résidus est nul et le transfert défauts-résidus est diagonal non nul, c’est-à-dire que le transfert des per- turbations et des défauts aux résidus est de la forme : ν(s) =      0 · · · 0 t11(s) 0 · · · 0 0 · · · 0 0 t22(s) · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 0 0 0 · · · trr(s)      d(s) f(s) (4) où tii(s) = 0 pour i = 1, 2, . . . , r et pour presque toute valeur des paramètres. Il a été montré dans [10] qu’une caractérisations structu- relle simple du problème de détection et localisation de défauts pouvait être obtenue : Proposition 3: Soit ΣΛ le système structuré avec r dé- fauts défini par (1) et son graphe associé G(ΣΛ). Le pro- blème de détection et localisation de défauts en présence de perturbations à l’aide d’observateurs, énoncé à la Défi- nition 1, est génériquement soluble si et seulement si : k = kd + r (5) où k est la dimension d’un couplage maximal (perturba- tions/ défauts)-sorties dans G(ΣΛ) et kd est la dimension d’un couplage maximal perturbations-sorties dans G(ΣΛ). Ce résultat est assez fort puisqu’il nous garantit, pour presque toute valeur des paramètres une solution stable (dépendant bien sûr des paramètres) dans le cas où on dis- pose de suffisamment de mesures “indépendantes”. Notons que dans l’Exemple 1, nous avons r = 2, k = 2 et kd = 1, d’après la Proposition 3 le problème de détection et localisation de défauts n’a donc pas de solution avec les 2 sorties existantes. IV. Décomposition et système réduit Dans cette partie on va décomposer le graphe du sys- tème pour exhiber un sous-système appelé “système réduit”. Dans le cas où le problème de détection et localisation de défauts n’a pas de solution, il sera nécessaire d’implanter de nouveaux capteurs pour résoudre notre problème. Il peut être montré que ces capteurs devront impérativement me- surer des variables du système réduit. On va définir sur le graphe, à l’aide des résultats de [19], des séparateurs qui nous permettront de décomposer celui-ci. Définition 2: Soit ΣΛ le système structuré défini par (1) et son graphe associé G(ΣΛ). Le séparateur minimal d’en- trée pour G(ΣΛ), S∗ , est un ensemble de k sommets tel que : – S∗ est un séparateur, i.e. tout chemin défaut-sortie ou perturbation-sortie passe par un sommet de S∗ . – card(S∗ ) est minimal. – S∗ est le séparateur minimal le plus proche des entrées (perturbations et défauts), c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’autre séparateur minimal traversé par un chemin allant d’une entrée à un sommet de S∗ . Notons que k = rang(C(sI − A)−1 [E, L] + [F, M]) i.e. le rang générique de la matrice de transfert des défauts et perturbations aux sorties. Le séparateur minimal d’entrée est unique et peut être ob- tenu avec un algorithme de flot maximum de type Ford et Fulkerson. A l’aide de ce séparateur S∗ on peut décomposer le graphe G(ΣΛ) et définir le système réduit de la manière suivante : Soient F∗ = F ∩ S∗ , FR = F/(F ∩ S∗ ), D∗ = (D ∩ S∗ ), DR = D/D∗ et YR = S∗ /((F ∪D)∩S∗ ). Le système réduit est défini par son graphe de la manière suivante. Définition 3: Soit le système ΣΛ défini par (1) supposé observable et son graphe associé G(ΣΛ). Le système réduit ΣRΛ est défini par son graphe G(ΣRΛ) qui est un sous- graphe de G(ΣΛ) avec comme sommets de défauts et per- turbations les ensembles FR = F/(F ∩S∗ ), et DR = D/D∗ et sommets de sortie YR = S∗ /((F ∪ D) ∩ S∗ ). L’ensemble des sommets d’état XR est l’ensemble des sommets d’état de G(ΣΛ) qui appartiennent à un chemin de DR ∪ FR à YR. Les arcs de G(ΣRΛ) correspondent aux arcs de G(ΣΛ) dans les chemins de DR ∪ FR à YR. Exemple 2: Dans l’exemple suivant nous allons illustrer les notions de séparateur et de système réduit. Le système considéré comporte 3 défauts, 4 perturbations, 12 états et 6 sorties. Le graphe associé G(ΣΛ) est donné Figure 2. La di- mension k d’un couplage maximal (perturbations/défauts)- sorties est 5. La dimension kd d’un couplage maximal perturbations-sorties est 3. En utilisant la Proposition 3 le problème de détection et localisation de défauts n’a pas de solution car k < kd + r. Le séparateur minimal d’entrée S∗ est donné par {x1, x4, x9, f3, x12} (sommets cerclés), voir Figure 3. N  @ ! @ N ! O  N N $ N # O N " N ' N & N % O ! O " @  B  B N   O #B ! N   N  O $@ " Fig. 2. Graphe G(ΣΛ) de l’exemple 2 N  @ ! @ N ! O  N N $ N # O N " N ' N & N % O ! O " @  B  B N   O #B ! N   N  O $@ " Fig. 3. S∗ de l’exemple 2 Le système réduit a comme ensemble des dé- fauts FR = {f1, f2}, comme ensemble de perturba- tions DR = {d1, d2, d3, d4}, l’ensemble de sortie est YR = {x1, x4, x9, x12}. L’ensemble d’états est XR = {x3, x6, x8, x5, x7}. La Figure 4 représente le système ré- duit. V. Application de la décomposition à la détection et localisation de défauts De la décomposition on peut démontrer [15] que les dé- fauts de F∗ peuvent être détectés directement avec la struc- ture à base d’observateurs proposée, de même les pertur- bations de D∗ peuvent être compensées avec les mesures existantes. Par contre les fautes de FR ne peuvent être dé- tectées indépendamment des perturbations de DR. Il fau- dra ajouter des capteurs supplémentaires comme le montre la proposition suivante. N  @ ! @ N ! N $ N # N " N ' N & N % @  B  B N  @ " Fig. 4. Graphe du système réduit de l’exemple 2 Proposition 4: Soit le système ΣΛ défini par (1) supposé observable et son graphe associé G(ΣΛ). Le nombre gé- nérique minimal de capteurs à ajouter pour résoudre le problème de détection et localisation de défauts de la Dé- finition 1, est δ = kd + r − k (6) où r est le nombre de défauts, k est la dimension d’un couplage maximal (perturbations/défauts)-sorties dans G(ΣΛ) et kd est la dimension d’un couplage maximal perturbations-sorties dans G(ΣΛ) Ces capteurs supplémentaires doivent pour être efficaces mesurer des états du système réduit. Proposition 5: Soit le système ΣΛ défini par (1) supposé observable et son graphe associé G(ΣΛ), son système réduit ΣRΛ et des capteurs additionnels. Toute solution au problème de détection et localisation de défauts avec observateurs nécessite au moins δ = kd + r − k capteurs supplémentaires qui mesurent des variables de XR, FR ou DR du système réduit. On peut montrer que mesurer en aval de S∗ ne sert pas à augmenter la dimension du couplage maximal (perturbations/défauts)-(sorties-mesures) et ne donne donc pas d’information supplémentaire. VI. Application à une colonne de distillation On considère un modèle de colonne à distiller binaire à 13 plateaux qui est représentatif de procédés de génie chi- mique, voir [16]. Un schéma de la colonne est donné Figure 5. C’est un procédé de séparation avec une alimentation composée de deux produits (un lourd et un léger). L’ali- mentation a un débit LF et la concentration du produit léger dans l’alimentation est XF . La variable de sortie est la concentration en produit léger en tête de colonne XD. Les variables de commande sont le débit de vapeur V au pied de colonne et le taux de reflux L en tête de colonne. On considère ici que la composition du produit d’alimen- tation est une perturbation et qu’une variation du débit d’alimentation (qui est régulé en général) est significative d’un défaut dans le processus d’alimentation et doit être détectée. V L C O N D E N S E U R R E B O U I L L E U R R e f l u x P r o d u i t d e t ê t e D , X D V a p e u r B , X B P r o d u i t d e p i e d A l i m e n t a t i o n L F , X F A C C U M U L A T E U R Fig. 5. La colonne de distillation Un modèle linéarisé autour d’un point de fonctionnement est obtenu comme dans [16] à partir des équations de bilan et d’équilibre. Ce modèle est représentatif de la réalité sauf dans des situations extrêmes et représente bien le compor- tement de la colonne. On verra ci-après que la structure du modèle linéarisé est fixe et donc que l’analyse structurelle de ce modèle linéarisé est pertinente dans le contexte non linéaire. Le modèle a [L, V ]T comme vecteur de commande, XF comme perturbation, LF comme défaut et XD comme sortie mesurée. Le vecteur d’état comprenant les concen- trations du bouilleur, de chaque plateau et du condenseur est [XR, X1, . . . , X13, XC]T noté [x1, x2, . . . , x15]T . Les entrées de commande pouvant être prises en compte dans l’observateur ne jouent aucun rôle dans la résolution du problème. La concentration sur un plateau xi est di- rectement influencée par les concentrations xi+1 et xi−1 sur les plateaux immédiatement au-dessus et au-dessous de celui-ci. La structure de la matrice d’état est donc tri- diagonale. La perturbation de concentration XF = d agit sur x8 et la variation de débit d’alimentation LF = f se fait sentir immédiatement sur les plateaux en-dessous de celui d’alimentation x1, . . . , x8. Le graphe du modèle structuré de la colonne est représenté Figure 6. Il montre la struc- ture du modèle indépendamment des paramètres de celui- ci. Le système est clairement observable puisque tous les états sont reliés à la sortie et couverts par des boucles. Le séparateur minimal d’entrée est S∗ = {x8}. En consé- quence F∗ = ∅, FR = {f}, D∗ = ∅, DR = {d}, YR = {x8}. On a k