Observateur continu-discret pour une classe de systèmes uniformément observables

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19928
DOI :

Résumé

Observateur continu-discret pour une classe de systèmes uniformément observables

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	    <date dateType="Created">Sun 24 Sep 2017</date>
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Observateur continu-discret pour une classe de systèmes uniformément observables Hassan Hammouri, Madiha Nadri et Rafael Mota Laboratoire d’Automatique et de Génie des Procédés L.A.G.E.P., CNRS UMR 5007, Université Claude Bernard Lyon I, ESCPE - Lyon, B ˆat. 308 G, 43 Bd du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France nadri@lagep.univ-lyon1.fr Abstract— Dans la plupart des procédés physiques et en particulier en génie des procédés, les mesures en ligne sont souvent obtenues en temps-discret. Un observateur continu- discret consiste à combiner un modèle dynamique temps- continu avec des mesures temps-discret afin d’estimer en ligne l’état non mesuré du procédé. En utilisant les techniques du filtre de Kalman étendu continu- discret (voir par exemple [5]), les auteurs dans [2] ont donné un observateur à grand gain dont le gain dérive d’une équation de Riccati continu-discret. Ici nous montrons sous les mêmes hypothèses qu’un observateur grand gain dont le gain est constant peut être conçu pour la même classe de systèmes continu-discret. mots clés :Systèmes non linéaires, observateur continu-discret, forme canonique d’observabilité. I. INTRODUCTION Quand la période d’échantillonnage des mesures de sortie peut correspondre à celle du systèmes dynamique (modèle de l’état du procédé), un moyen permettant de construire un observateur consiste à discrétiser le système à la même cadence que les mesures. Dans ce cadre, on peut trouver une littérature suffisamment large portant sur les techniques du filtre de Kalman. Pour les systèmes non linéaires, lorsque une certaine "fonction d’observabilité" est régulière (son Jacobien est inversible), les auteurs dans [3],[1], [5] ont donné un observateur non linéaire local. Ces méthodes cessent de fonctionner lorsque la période d’échantillonnage des mesures présente un grand écart avec celle correspondant à l’échantillonnage du modèle. Dans ce cas, les techniques de filtre de Kalman continu-discret permet dans certains cas de construire un observateur local. Cette méthode est basée sur deux étapes : une étape de prédiction suivie d’une étape de correction. En se basant sur les techniques de Kalman continu-discret et en utilisant la forme canonique étudiée dans (voir systèmes (1) ci-dessous), dans [2], les auteurs ont donné un observateur à grand gain et global. Le gain de cet observateur dérive d’une équation de Riccati dynamique temps continu-discret. Dans ce travail, nous proposons un observateur à grand gain pour la même classe de système traités dans [2]. Cet observateur est global et caractérisé par le fait que son gain est constant, autrement dit, il ne nécessite pas de résolution d’équation dynamique. La classe des systèmes considérée prend la forme : ˙z = Az(t)+F(u(t),z(t)) y(tk) = Cz(tk) (1) L’état z(t) ∈ IRn, l’entrée u ∈ IRm et la sortie mesurée y(tk) ∈ R ; la suite (tk)k≥0 représente les instants de mesures, lim k−→+∞ tk = ∞. A, F et C sont structurés comme suit : A =       0 1 0 0 ... ... ... ... 0 ... 1 0 ··· 0 0       Fi(u,z) = Fi(u,z1,...,zi) C = 1 0 ··· 0 (2) Initialement, cette forme canonique (2) a été élaborée dans [4] pour synthétiser un observateur grand gain dans le cas où la mesure de sortie est temps-continu. Cet observateur prend la forme suivante : . ˆz = Aˆz+F(u, ˆz)−S−1 θ CT (Cˆz−y) (3) où Sθ est une matrice n × n symétrique définie positive (S.D.P.) satisfaisant l’équation de Lyapunov suivante : θSθ +Sθ A+AT Sθ = CT C, (4) où θ est un paramètre positif. Dans le cas où la sortie est temps-discret (1), en supposant que tk+1 −tk = h est constant et se basant sur les techniques du filtre de Kalman, les auteurs dans [2] proposent un observateur grand gain continu-discret de la forme :    . ˆz = Aˆz+F(u, ˆz), pour tk ≤ t < tk+1 . R = −RQθ R− ˘AT R−R ˘A, pour tk ≤ t < tk+1 R(tk+1) = R(t− k+1)+rhCTC ˆz(tk+1) = ˆz(t− k+1)−rhR−1(tk+1)CT (Cˆz(t− k+1)−y(tk+1)) (5) où : ˘A = A+ ∂F ∂z (u, ˆz) Qθ = ∆θ Q∆θ , Q est une matrice n × n S.D.P., ∆θ = diag(θ−1,...,θ−n) est une matrice n × n, diagonale, r > 0 et θ > 0 sont deux constantes. Dans ce qui suit, nous proposons un nouvel observateur grand gain, continu-discret à gain constant pour les systèmes sous la forme (1). II. OBSERVATEUR GRAND GAIN CONTINU-DISCRET : SYSTÈMES UNIFORMÉMENT OBSERVABLES L’observateur que nous proposons pour le système (1) prend la structure suivante : . ˆz = Aˆz+F(u, ˆz), pour tk ≤ t < tk+1 ˆz(tk+1) = ˆz(t− k+1)−hS(θ,h)−1CT (Cˆz(t− k+1)−y(tk+1)) (6) où h = tk+1 −tk est la période des mesures et S(θ,h) est matrice n×n constante donnée par l’équation de Lyapunov suivante : S(θ,h) = e−θh e−hAT S(θ,h)e−hA +hCT C (7) Comme dans toute la théorie des observateurs à grand gain, l’hypothèse suivante sera considérée : H) : F est une fonction globalement Lipchitzienne par rapport à x, uniformément en u, c’est à dire : pour tout borné U ⊂ IRm ; pour toute entrée u ∈ U et tous z,z , on a F(u,z)−F(u,z ) ≤ c z−z , où c est une constante ne dépendant que F et U. Généralement, l’état des systèmes physiques est borné. Dans ce cas, il est facile d’étendre F à une fonction globalement Lipchitzienne en dehors du domaine physique contenant l’état du système. On peut énoncer le résultat principal de ce travail : Théorème : Sous l’hypothèse H) et pour tout ensemble borné (borelien) de Rm ; pour toute constante r > 0 ; il existe une constante λ(r) > 0 ; pour tout θ > λ ; il existe une constante ω(θ) > 0 tels que, pour tout h vérifiant 0 < h ≤ r/θ on a : ˆz(t)−z(t) ≤ ω(θ)e−(θ−λ(r))t , ∀z(0), ˆz(0); ∀t ≥ 0. La démonstration de ce théorème repose sur certains résultats préliminaires que nous résumons dans la proposition ci-dessous. Pour cela, considérons le système dynamique continu-discret suivant : . S = −θS−AT S−SA pour tk ≤ t < tk+1 S(tk+1) = S(t− k+1)+hCTC (8) où tk+1 −tk = h est la période des mesures, et S(t− k+1) et la limite de S(t) quand t tends vers tk+1 et t < tk+1. Dans ce qui suit, nous allons montrer quelques propriétés fondamentales concernant les solutions de l’équation (8). En particulier, nous montrerons que la suite de matrices (S(tk))k≥0 est convergente et converge vers l’unique solution S(θ,h) de l’equation (7). Dans toute la suite, la notation suivante sera adoptée : pour un α ∈ R donné et non nul, ∆α est la matrice diagonale donnée par : ∆α = diag(α−1,α−2,...,α−n) Proposition i) Pour tout S(0) matrice n × n S.D.P. ; pour tout h > 0 et pour tout θ > 0; il existe α(θ,h) > 0, β(θ,h) > 0 t.q. pour tout t ≥ 0, on a : α(θ,h)I ≤ S(t) ≤ β(θ,h)I, où I est la matrice identité. ii) L’équation (7) admet une solution unique qui est la limite de la suite (S(tk))k≥0, où S(tk) est n’importe quelle solution de (8). Plus précisément on a : Pour tout h > 0 et pour tout θ > 0, lim k→∞ S(tk) existe et égale à S(θ,h) donnée par (7). i.e., ∃k0 > 0; ∀r > 0; ∀θ > 0; ∀h > 0, t.q. θh ≤ r ; ∀k ≥ k0 on a : S(tk)−S(θ,h) ≤ h 1−e−θh/2 e− θhk 2 , et ceci pour toute matrice S(0) S.D.P. iii) S(θ,h) = 1−e−θh h ∆(1−e−θh) h P(θ,h)∆(1−e−θh) h , où P(θ,h) = [Pij(e−θh)]1≤i,j≤n est une matrice S.D.P. de dimension n × n, ses coefficients Pij(e−θh) sont des fonctions polynomiales de e−θh de degré i + j − 2 satisfaisant la relation suivante : Pij(e−θh ) = (−1)i+j−2 (i−1)!(j −1)! (1−e−θh)i+j−1 θi+j−2 di+j−2(ϕ) dhi+j−2 , où ϕ(θ,h) = 1 1−e−θh . iv) En posant ˜S(θ,h) = 1 θ ∆−1 θ S(θ,h)∆−1 θ alors, pour tout r > 0; il existe σ(r) > 0, ρ(r) > 0 tel que pour tout θ > 0 et h > 0 satisfaisant 0 < θh ≤ r, on obtient : σ(r)I ≤ ˜S(θ,h) ≤ ρ(r)I (9) Preuve de la proposition: : i) Soit S(0) une matrice S.D.P., et θ > 0, h > 0 ; il est facile de remarquer que les solutions de l’équation (8) sont de la forme : S(t) = e−θhe−(t−tk)AT S(tk)e−(t−tk)A, pour tk ≤ t < t− k+1 S(tk+1) = S(t− k+1)+hCTC (10) Soit α1(h) = inf{λmin(e−sAT e−sA) pour 0 ≤ s ≤ h} et α2(h) = sup{λmax(e−sAT e−sA) pour 0 ≤ s ≤ h}, il est clair que α1(h) et α2(h) sont des nombre strictement positifs. De plus on a : Pour tk ≤ t < tk+1 e−θhα1(h)λmin(S(tk))I ≤ S(t) ≤ e−θhα2(h)λmax(S(tk))I où I est la matrice identité. Par conséquent, pour monter i), il suffit de monter qu’il existe α (θ,h) > 0, β (θ,h) > 0, t.q. pour tout k ≥ 0, on a : λmin(S(tk) ≥ α (θ,h) λmax(S(tk) ≤ β (θ,h) (11) En réitérant (10), on obtient : S(tk+1) = e−θ(k+1)h e−(k+1)hAT S(0)e−(k+1)hA + h k ∑ l=0 e−θlh e−lhAT CT Ce−lhA (12) Maintenant, utilisant la structure nilpotente de A, on déduit que : e−lhA =          1 −lh . . (−lh)n−1 (n−1)! 0 . . . . ... . ... . ... . . . 1 −lh 0 . . 0 1          , e−lhAT CT Ce−lhA = (13)             1 −lh . . (−lh)n−1 (n−1)! −lh . . . . ... . ... . . . . . ... . (−lh)n−1 (n−1)! . . . (−lh)2(n−1) ((n−1)!)2             En posant Ek = e−θ(k+1)he−(k+1)AT S(0)e−(k+1)A et E” k = h∑k l=0 e−θlhe−lhAT CTCe−lhA, il est facile de monter que Ek est une matrice S.D.P. et Ek converge exponentiellement vers zéro quand k tend vers l’infini. Ainsi, pour démonter (11), il ne reste que de monter l’inéga- lité suivante : α” (θ,h)I ≤ E” k ≤ β” (θ,h)I, (14) pour les deux constantes α”(θ,h), β”(θ,h) > 0. Notons par E”k(i, j) les coefficients de E”k, la deuxième inégalité de (14) découle de : E” k (i, j) ≤ k ∑ l=0 e−θlh (lh)i+j−2 (i−1)!(j −1)! ≤ βij(θ,h), pour une constant βij(θ,h) > 0. A ce stade, il ne reste plus qu’à démonter la première inégalité de (14). En posant M = ∑n l=1 e−lhAT CTCe−lhA et ∆h la matrice diagonale diag(h−1,...,h−n). Un calcul simple donne : E”k = ∑n−1 l=0 e−θlhe−lhAT CTCe−lhA ≥ e−θ(n−1)h 1 h2 ∆−1 h M∆−1 h , où les coefficients de M sont donnés par : Mij = ∑n l=1(−l)i+j−2 (i−1)!(j −1)! = (−1)i+j−2 (i−1)!(j −1)! n ∑ l=1 (l)i−1 (l)j−1 Pour terminer la preuve, il suffit de monter que M est une matrice S.D.P. Pour faire cela, nous allons montrer que la forme quadratique xT Mx est définie positive. xT Mx = ∑ i,j Mijxixj = ∑ i,j (−1)i+j−2 (i−1)!(j −1)! n ∑ l=1 xli−1 xjl j−1 = ∑ i,j n ∑ l=1 (xili−1 ) (−1)i−1 (i−1)! (xjl j−1 (−1)j−1 (j −1)! ) En introduisant le changement de variable suivant ξ = V x où V est la matrice de Vandermonde suivante : V =       1 1 ... 1 1 22 ... 2n−1 ... ... ... ... 1 n2 ... nn−1       , On obtient : xT Mx = ∑ i,j ξi (−1)i−1 (i−1)! (−1)j−1 (j −1)! ξj = ξT S1ξ où S1 est la matrice S.D.P. donnée par S1 = S|θ=1 de l’équation (4) (voir gahaot). xT Mx ≥ λmin(S1)λmin(V T V )−1 x 2 Où λmin désigne la plus petite valeur propre. ii) Tout d’abord montrons l’existence de la solution de l’équation (7). Soit S une solution de (7), c’est-à-dire S = e−θhe−hAT Se−hA +hCTC. En réitérant cette écriture k fois, on obtient : S = e−θkh e−khAT Se−khA +h k−1 ∑ l=0 e−θlh e−hlAT CT Ce−lhA A étant une matrice nilpotente d’ordre n−1 (Ak = 0, pour k ≥ n), donc e−θhA = I −khA+···+ (−1)n−1(kh)n−1 (n−1)! An−1 (15) Par conséquent, e−θkhe−khAT Se−khA tends exponentiellement vers zéros quand k tend vers l’infinie. De même ∑k−1 l=0 e−θlhe−hlAT e−lhA est une suite qui converge. On en déduit que sa limite est la solution unique de (7). Maintenant, soit S(tk) la solution de (10) à l’instant t = tk. D’après (12), S(tk) = e−θkh e−khAT S(0)e−khA +h k−1 ∑ l=0 e−θlh e−hlAT CT Ce−lhA En posant δS(k) = S(θ,h)−S(tk), d’après ci-dessus on a : δS(tk) = e−θkh e−khAT (S(θ,h)−S(0))e−khA (16) + h +∞ ∑ l=k+1 e−θlh e−hlAT CT Ce−lhA Soient r > 0, θ >,h > 0 t.q. 0 < θh ≤ r, en utilisant la relation (15), il exist un entier k0 ≥ 0 tel que : ∀k ≥ k0 e− θkh 2 e−khAT (θ,h)−S(0))e−khA ≤ h e −θkh 2 e−khAT CTCe−khA ≤ 1 (17) A partir de (16) et (17), on déduit que : δS(k) ≤ he− θkh 2 + +∞ ∑ l=k+1 he −θlh 2 = h +∞ ∑ l=k e −θlh 2 = he −θkh 2 +∞ ∑ l=0 e −θlh 2 = h 1−e −θh 2 (18) iii) Considérons la suite (S (k))k≥0, où S (k) = h k ∑ l=0 e−θlh e−lhAT CT Ce−lhA . En utilisant l’expression (13), les coefficients de S (k) prennent la forme : Sij(k) = h k ∑ l=0 e−θlh (−lh)i+j−2 (i−1)!(j −1)! = (−1)i+j−2 (i−1)!(j −1)! hi+j−1 k ∑ l=0 e−θlh .li+j−2 = (−1)i+j−2 θi+j−2(i−1)!(j −1)! hi+j−1 di+j−2(ϕk) dhi+j−2 où ϕk = 1−e−θ(k+1)h 1−e−θh e−θh Comme S (k) converge uniformément et absolument vers S(θ,h), et que les dérivées de ϕk converge également unifor- mément, on déduit que les coefficients de S(θ,h) s’écrivent sous la forme : Sij(θ,h) = (−1)i+j−2 θi+j−2(i−1)!(j −1)! hi+j−1 di+j−2(ϕ) dhi+j−2 (19) où ϕ = 1 1−e−θh . (20) Un calcul simple donne : 1 θi+j−2 di+j−2(ϕ) dhi+j−2 = Pij(e−θh) (1−e−θh)i+j−1 (21) où Pij(e−θh) est une fonction polynomiale de e−θh d’ordre i+ j −2. Maintenant, en posant Pij(θ,h) = (−1)i+j−2 (i−1)!(j −1)! Pij(e−θh ), (22) De (19), (21) et (22), on déduit : Sij(θ,h) = hi+j−1 (1−e−θh)i+j−1 Pij(θ,h). Soit : S(θ,h) = 1−e−θh h ∆(1−e−θh) h P(θ,h)∆(1−e−θh) h , (23) Puisque Pij(e−θh) est une fonction polynomiale de e−θh d’ordre i+ j −2, il en est de même pour Pij(θ,h). D’après i) et ii) de la proposition, on sait que S(θ,h) est S.D.P. En utilisant (23), il en résulte que P(θ,h) est aussi S.D.P. iv) En posant ˜S(θ,h) = 1 θ ∆−1 θ S(θ,h)∆−1 θ et en utilisant (23), on obtient : ˜S(θ,h) = 1−e−θh θh ∆(1−e−θh) θh P(θ,h)∆(1−e−θh) θh (24) Comme P(θ,h) est une fonction polynomiale en θh, ˜S(θ,h) devient une fonction continue en θh sur l’intervalle ]0,r]. De plus, Dû au fait que, P(θ,h) est S.D.P. ∀θ > 0,h > 0 t.q. 0 < θh ≤ r, il en result de même pour S(θ,h). Etant donné que S(θ,h) est une fonction continue en θh, en posant ξ = θh, nous notons dans la suite ˜S(θ,h) par ˜S(ξ). Nous avons montré que ˜S(ξ) est S.D.P. pour 0 < ξ ≤ r. Maintenant prolongeons ˜S(ξ) par continuité sur [0,r] en posant ˜S(0) = lim ξ→0 ˜S(ξ). Si ˜S(0) a un sens et elle est S.D.P., et du fait que [0,r] est compact et que ˜S(ξ) est S.D.P. sur [0,r], on peut conclure que : ∃ρ(r),σ(r) > 0, t.q ; λmax(S(ξ)) λmin(S(ξ)) ≤ ρ(r)/σ(r), ∀ξ ∈ [0,r]. Pour cela, il ne reste plus qu’à monter que lim ξ→0 S(ξ) existe et est une matrice S.D.P. D’après la formule (24), il vient que : lim ξ→0 S(ξ) = lim θh→0 P(θ,h). En utilisant (20), (21) et (22), on déduit : lim ξ→0 Sij(ξ) = lim θh→0 Pij(θ,h) (25) Revenons à la matrice Sθ la solution de θSθ +AT Sθ +Sθ A = CTC. D’après [4], Sθ est S.D.P., ∀θ > 0 et sa valeur en θ = 1 a pour coefficients : Sij|θ=1 = lim θh→0 Pij(θ,h) D’où lim ξ→0 S(ξ) = Sθ |θ=1 (matrice S.D.P.) Avant de donner la preuve du théorème, nous introduisons les notations suivantes. Notations : • e(t) = ˆz(t) − z(t), où z(t) est l’état inconnue du système (1) et ˆz(t) est son estimée donnée par le système (6). • ε(t) = ∆θ e(t) est la fonction de l’erreur, • ˜δϕ = ∆θ (ϕ(u, ˆz)−ϕ(u,z)), • ˜S(θ,h) = 1 θ ∆−1 θ S(θ,h)∆−1 θ , • V(t) = ε(t)T ˜Sθ,h(t)ε(t), • ξ− k = limt→tk t 0;∃k0 ≥ 0;∀r > 0;∃ρ(r) > 0;∀θ > 0,∀h > 0 tel que 0 < θh ≤ r ;∃κ > 0 ; ∀k ≥ k0; ∀t ∈ [tk,tk+1[, on a : V(t) ≤ κe−(θ−λ(u,r)(t−tk) V(tk) (26) En posant ˜S(t) = 1 θ ∆−1 θ S(t)∆−1 θ et en utilisant (10), ˜S(t) est une matrice S.D.P. satisfaisant les expressions équivalentes suivantes :    Pour tk ≤ t < tk+1 ˙˜S(t) = −θ[ ˜S−AT ˜S− ˜SA] ˜S(t) = e−θhe−θAT (t−tk) ˜S(tk)e−θA(t−tk), En utilisant (1), (6) et les notations données précédemment, on obtient :    Pour tk ≤ t < tk+1 ˙e(t) = Ae(t)+F(u, ˆz)−F(u,z) ˙ε(t) = θAε + ˜δϕ (27) Let us denote by W(t) = ε(t)T ˜S(t)ε(t), un calcul simple donne : lbeginarryPour tk ≤ t < tk+1 ˙W(t) = −θεT (t) ˜S(t)ε(t)+2εT (t) ˜S(t) ˜δϕ En utilisant l’hypothèse (H), on déduit : |εT ˜S(t) ˜δϕ| ≤ c λmax( ˜S(t)) λmin( ˜S(t)) εT ˜S(t)ε (28) où c est la constante de Lipschitz,ϕ et λmax, λmin sont la plus grande et la plus petite valeurs propres de ˜S(t), ce qui conduit à : ˙W(t) ≤ −(θ −2c λmax( ˜S(t)) λmin( ˜S(t)) )εT (t) ˜S(t)ε(t), Alors, W(t) ≤ e −(θ−2c λmax( ˜S(t)) λmin( ˜S(t)) )(t −tk) εT (tk) ˜S(t)ε(tk) A partir de ii) de la proposition, on a : ∃k0 > 0;∀k ≥ k0;∀t ∈ [tk,tk+1[,∃η(θ,h) > 0 t.l. : ˜Sθ,h − ˜S(t) = E(t) et, ˜Sθ,h − ˜S(t) ≤ τ θ η(r)e− θtk 2 (29) où, η(r) = r 1−e−θh et τ > 0 est une constante. Par conséquent, on a : λmax( ˜S(t)) λmin( ˜S(t)) ≥ 1/2 λmax( ˜S(θ,h)) λmin( ˜S(θ,h)) En utilisant la définition de la fonction quadratique V(t) donnée auparavant V(t) = ε(t)T ˜S(θ,h)ε(t) on deduit que : V(t) = W(t)+ε(t)T E(t)ε(t) ≤ e −(θ−c λmax( ˜S(θ,h)) λmin( ˜S(θ,h)) )(t−tk) (V(tk)−ε(tk)T E(tk)ε(tk)) + τ θ η(r)e− θt 2 1 λmin( ˜S(θ,h)) V(t) (30) ≤ e −(θ−c λmax( ˜S(θ,h)) λmin( ˜S(θ,h)) )(t−tk) V(tk)(1− τ θ η(r) e− θtk 2 1 λmin( ˜S(θ,h)) )+ τ θ η(r)e− θt 2 1 λmin( ˜S(θ,h)) V(t) En prenant k0 > 0, t.q. ∀k ≥ k0; ∀t ∈ [tk,tk+1[, τ θ η(r)e− θt 2 1 λmin( ˜S(θ,h)) ≤ 1/2, on obtient : V(t) ≤ 2e −(θ− λmax( ˜S(θ,h)) λmin( ˜S(θ,h)) ) (t −tk)Vk ∀t ∈ [tk,tk+1[(31) Pour la démonstration de la convergence exponentielle de V il est suffisant de démonter la convergence de Vk. Pour cela, on calcule Vk+1. - Etape 2 : nous allons démontrer (26) pour t = tk. On a Vk = V(tk) = εT k ˜S(θ,h)εk A partir de la seconde égalité de (6), et de la définition de ε donnée ci-dessus, on obtient : εk+1 = ε− k+1 −θh ˜S(θ,h)−1 CT Cε− k+1 Alors, Vk+1 = εT k+1 ˜S(θ,h)εk+1 = ε−T k+1 ˜S(θ,h)ε− k+1 −2θhε−T k+1CT Cε− k+1 (32) + (θh)2 ε−T k+1CT C ˜S(θ,h)−1 CT Cε− k+1 ≤ V− k+1 −2θh(Cε− k+1)2 + (θh)2 (Cε− k+1)2 C ˜S(θ,h) −1 CT En utilisant la structure de C = [1 0··· 0], on obtient : C ˜S(θ,h)−1 CT ≤ C 2 ˜S(θ,h))−1 ≤ 1 λmin( ˜S(θ,h)) Alors on a, : Vk+1 ≤ V− k+1 −θh(2− θh λmin( ˜S(θ,h)) )(Cε− k+1)2 (33) En choisissant r > 0 et θ, h tel que 0 < θh ≤ 2λmin( ˜S(θ,h)) (34) A partir de l’expression (31), on obtient : Vk+1 ≤ V− k+1 ≤ κe −(θ− λmax( ˜S(θ,h)) λmin( ˜S(θ,h)) )h Vk. où κ = 2. Rappelant le résultat de la proposition iv) : ∀r > 0; ∃σ(r) > 0; ∃ρ(r) > 0 tel que θ > 0 et h > 0, satisfying 0 < θh ≤ r, on a : σ(r) ≤ λmin ˜S(θ,h) et λmax ˜S(θ,h) ≤ ρ(r), thus, Vk+1 ≤ κe −(θ− 2c ρ(r) σ(r) )h Vk. (35) Il suffit de choisir θ −2c ρ(r) σ(r) > log(2), (36) pour obtenir le résultat suivant : Vk+1 ≤ Vk. En conséquence, une condition garantissant la convergence exponentielle est obtenue en combinant les deux inégalités (34) et (36), ce qui donne : h < 2σ(r) θ < 2σ(r) log(2)+c ρ(r) σ(r) III. CONCLUSION L’objectif de ce travail est la synthèse d’un nouvel ob- servateur exponentiel global pour une classe de systèmes non linéaires temps continu-discret. L’approche utilisée ici est basée sur la forme canonique de l’observabilité uniforme. L’originalité principale de cet observateur réside dans le calcul du gain qui ne demande aucune résolution d’équation différentielle ou algébrique. En effet, le gain de cet observa- teur est constant et ne dépend que de la période de mesure et d’un seul paramètre de réglage θ. REFERENCES [1] G. M Ciccarella, M.D. Mora, and A. Germani. A robust observer for discrete time nonlinear systems. System and control Lettres, 24 :291– 300, 1995. [2] F. Deza, E. 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