Mesure continue d’un ensemble statistique de systèmes quantiques

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-3
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-3:19927
DOI :

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Mesure continue d’un ensemble statistique de systèmes quantiques

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Mesure continue d’un ensemble statistique de syst`emes quantiques Mazyar Mirrahimi, Pierre Rouchon Ecole des Mines de Paris, Centre Automatique et Syst`emes 60, Bd Saint-Michel, 75272 Paris cedex 06, France mazyar.mirrahimi@polytechnique.org pierre.rouchon@ensmp.fr R´esum´e— Nous consid´erons un ensemble de syst`emes quan- tiques dont l’´evolution moyenne est d´ecrite par la ma- trice densit´e solution d’une ´equation diff´erentielle matri- cielle sous forme de Lindblad. Nous supposons que le terme de d´ecoh´erence est uniquement dˆu `a un ´etat excit´e hau- tement instable. Nous mesurons alors les photons ´emis de fa¸con spontan´ee. Lorsque l’on consid`ere des champs laser r´esonnants, nous pouvons ´eliminer les dynamiques rapides associ´ees `a l’´etat excit´e pour obtenir une autre ´equation diff´erentielle pour la partie lente. Nous d´emontrons que cette ´equation diff´erentielle matricielle lente est alors de la forme de Lindblad. Les termes de d´ecoh´erence sont alors d’ordre deux et la structure de la mesure d´epend alors ex- plicitement du champ laser r´esonnant. Ce dernier peut ˆetre ajust´e pour donner des informations sur une combinaison lin´eaire sp´ecifique des coefficients de la matrice densit´e. Le cas d’un syst`eme `a 3 ´etats est trait´e en d´etail et avant le cas g´en´eral. Sur ce syst`eme `a 3 niveaux, nous montrons com- ment un simple r´egulateur PI nous permet de contrˆoler de fa¸con robuste le sous-syst`eme lent `a 2 niveaux. Mots-cl´es— contrˆole quantique, mesure, ´Equations de Lind- blad, perturbations singuli`eres, approximations s´eculaires, moyennisation, r´egulateur PI. I. Introduction La diff´erence fondamentale entre le contrˆole par feedback au sens classique et au sens quantique est due au fait qu’ob- server un syst`eme quantique le perturbe. L’id´ee exploit´ee dans les travaux ant´erieurs consiste `a prendre en compte les fluctuations induites par l’environnement en consid´erant le syst`eme comme un syst`eme ouvert qui s’intrique avec son environnement. La description des syst`emes ouverts se fait, essentiellement, `a l’aide de l’op´erateur densit´e. Ce der- nier remplace la fonction d’onde de la m´ecanique quantique ´el´ementaire. Nous avons ainsi la possibilit´e d’analyser le comportement d’un ensemble statistique des syst`emes [1], [2], [3] aussi bien que celui d’un syst`eme unique [4], [5], [6]. Pour ´eviter le ph´enom`ene d’´ecroulement du paquet d’onde suite `a la mesure, nous consid´erons un ensemble de syst`emes quantiques identiquement pr´epar´es. Chaque membre de l’ensemble subit une ´evolution identique. La dy- namique consid´er´ee repr´esente la moyenne des dynamiques de tous ses membres, tandis que l’observation porte sur un ´el´ement al´eatoire de cet ensemble. Ainsi le cot´e destructeur du concept de mesure disparaˆıt. Cette approche a ´et´e d´ej`a consid´er´ee dans d’autres contextes (voir par exemple [1], [3]). Nous couplons donc le syst`eme `a un appareil de mesure qui perturbe faiblement le syst`eme. Nous allons voir que cette perturbation peut ˆetre dans certains cas n´egligeable lorsque la dynamique associ´ee `a la mesure est beaucoup plus rapide que la dynamique du syst`eme principal. L’ob- jet de cette communication est de montrer d’abord sur un syst`eme avec trois niveaux (avec un niveau tr`es instable) comment ramener la dynamique `a celle d’un syst`eme `a deux niveaux d’´energie avec un contrˆole et une sortie scalaires. Sur ce syst`eme r´eduit nous montrons comment PI pourrait ˆetre utilis´e. Ensuite nous traitons le cas g´en´eral avec une description par la matrice densit´e v´erifiant une ´equation diff´erentielle matricielle incluant l’´evolution coh´erente ainsi que l’´evolution dissipative sous forme de Lindblad (voir, e.g., [2]). Dans la section II, nous pr´esentons la dynamique d’un syst`eme `a 3 ´etats coupl´e `a un champ de laser coh´erent et r´esonnant. Nous consid´erons ´egalement les ´emissions spon- tan´ees. Nous supposons qu’un des ´etats excit´es est tr`es instable et se d´esexcite rapidement sur l’´etat fondamen- tal en ´emettant des photons, photons que l’on observe via un photo-d´etecteur. Lorsque le laser est en r´esonance avec cet ´etat instable, nous montrons, `a l’aide de la th´eorie des syst`emes lents/rapides, que le nombre moyen des photons par unit´e de temps (signal du photo-d´etecteur) peut ˆetre interpr´et´e comme une mesure continue de certaines compo- santes de la matrice densit´e de la dynamique lente. Cette derni`ere correspond alors `a celle d’un syst`eme `a deux ni- veaux. Nous montrons en outre qu’une telle mesure conti- nue ne perturbe la dynamique lente qu’uniquement via des termes dissipatifs du second ordre. Ainsi, dans une premi`ere approximation, nous pouvons n´egliger ces termes de d´ecoh´erence. Nous avons alors un syst`eme conservatif `a deux ´etats, repr´esent´e par un vecteur sur la sph`ere de Bloch et disposant une mesure continue (voir le syst`eme (4)). Dans la Section III, nous montrons que ce syst`eme r´eduit peut ˆetre efficacement contrˆoler avec un simple r´egulateur PI. Dans la Section IV, nous ´etendons la d´emarche de la Section II `a un nombre arbitraire n de niveaux d’´energie. La dynamique de la matrice densit´e est de type Lindblad [7], [2] et l’un des ´etats est tr`es instable. Nous d´emontrons que l’´equation lente est encore sous la forme Lindblad, que la d´ecoh´erence due `a l’´etat tr`es instable est du deuxi`eme ordre et qu’elle peut donc ˆetre n´eglig´ee. II. Syst`eme `a 3 ´etats Prenons un atome `a 3 ´etats coupl´e avec des champs laser r´esonnants. Notons les trois ´etats de l’atome par |1 , |2 et |3 correspondant respectivement aux ´energies E1, E2 et E3 avec E1 < E2, E3. Nous consid´erons ici les ´equations de Bloch-optique qui prennent en compte l’´emission spontan´ee (voir par exemple, [8], [9]). Le syst`eme sans contrˆole est d´ecrit par les ´equations suivantes avec ωij = Ei−Ej : d dt σ1 = Γ2σ2 + Γ3σ3 d dt σ2 = −Γ2σ2 d dt σ3 = −Γ3σ3 d dt σ12 = −ιω12σ12 − Γ2 2 σ12 d dt σ23 = −ιω23σ23 − (Γ2 + Γ3) 2 σ23 d dt σ31 = −ιω31σ31 − Γ3 2 σ31. Les termes {σi} correspondent aux populations des diff´erents ´etats, et les termes σij sont les termes de coh´erence. Ainsi la quantit´e Tr [σ] = σ1 + σ2 + σ3 est conserv´ee durant l’´evolution du syst`eme. Nous avons sup- pos´e que la relaxation est seulement due `a l’´emission spon- tan´ee avec Γ−1 2 et Γ−1 3 les dur´ees de vie atomiques des ´etats |2 et |3 , respectivement. Prenons maintenant en compte l’effet du laser. Nous sup- posons que le laser agit sur le syst`eme `a travers les transi- tions entre les ´etats |1 et |2 , les ´etats |2 et |3 et les ´etats |3 et |1 . L’Hamiltonien de couplage est donn´e par : [a12 u (|1 2| + |2 1|) + a23 u (|2 3| + |3 2|) + a31 u (|3 1| + |1 3|)] o`u a12, a23 et a31 sont des coefficients r´eels. Un calcul simple montre que dans la description de la matrice den- sit´e, les ´equations, lorsque l’effet du contrˆole est pris en compte, peuvent ˆetre ´ecrites sous la forme suivante : d dt σ1 = Γ2σ2 + Γ3σ3 − 2 a12 u (σ12) + 2 a31 u (σ31) d dt σ2 = −Γ2σ2 − 2 a23 u (σ23) + 2 a12 u (σ12) d dt σ3 = −Γ3σ3 − 2 a31 u (σ31) + 2 a23 u (σ23) d dt σ12 = −ιω12σ12 − Γ2 2 σ12 + ι a12 u σ1 − ι a12 u σ2 − ι a31 u σ∗ 23 + ιa23uσ∗ 31 d dt σ23 = −ιω23σ23 − (Γ2 + Γ3) 2 σ23 + ι a23 u σ2 − ι a23 u σ3 − ι a12 u σ∗ 31 + ιa31uσ∗ 23 d dt σ31 = −ιω31σ13 − Γ3 2 σ31 + ι a31 u σ3 − ι a31 u σ1 − ι a23 u σ∗ 12 + ιa12uσ∗ 31 o`u et ∗ signifient respectivement la partie imaginaire et le complexe conjugu´e d’un nombre complexe. Nous supposons le champ laser r´esonnant avec les fr´equences de transition : u = v12 a12 eιω12t + v23 a23 eιω23t + v31 a31 eιω31t + C.C. o`u C.C. signifie le complexe conjugu´e et v12, v23, v31 sont des amplitudes complexes. A. Moyennisation Nous supposons ici que les fr´equences |ω12|, |ω23| et |ω31| sont diff´erentes et que les dur´ees de vie atomiques des ´etats |2 et |3 sont suffisamment longues pour avoir Γ2, Γ3 |ω12|, |ω23|, |ω31|. Nous supposons aussi que les amplitudes sur u ne sont pas tr`es grandes (champ faible) : |v12|, |v23|, |v31| |ω12|, |ω23|, |ω31|. Toutes ces hypoth`eses ensemble nous permettent d’appli- quer l’approximation du champ tournant, dite aussi ap- proximation s´eculaire et qui se justifie sans difficult´e par des arguments type moyennisation. En consid´erant le changement de variables, d´ependant du temps : ˜σ12 = eιω12t σ12, ˜σ23 = eιω23t σ23 et ˜σ31 = eιω31t σ31 et ´eliminant les termes de hautes fr´equences, nous obtenons le syst`eme moyen suivant : d dt σ1 = Γ2σ2 + Γ3σ3 + ι (v12˜σ12 − v∗ 12˜σ∗ 12) − ι (v31˜σ31 − v∗ 31˜σ∗ 31) d dt σ2 = −Γ2σ2 + ι (v23˜σ23 − v∗ 23˜σ∗ 23) − ι (v12˜σ12 − v∗ 12˜σ∗ 12) d dt σ3 = −Γ3σ3 + ι (v31˜σ31 − v∗ 31˜σ∗ 31) − ι (v23˜σ23 − v∗ 23˜σ∗ 23) d dt ˜σ12 = − Γ2 2 ˜σ12 + ι v∗ 12(σ1 − σ2) − ιv31˜σ∗ 23 + ιv23˜σ∗ 31 d dt ˜σ23 = − (Γ2 + Γ3) 2 ˜σ23 + ι v∗ 23(σ2 − σ3) − ιv12˜σ∗ 31 + ιv31˜σ∗ 12 d dt ˜σ31 = − Γ3 2 ˜σ31 + ι v∗ 31(σ3 − σ1) − ιv23˜σ∗ 12 + ιv12˜σ∗ 23. B. Approximation lente La conservation de probabilit´e est toujours satisfaite : σ1 + σ2 + σ3 = 1 reste constante durant l’´evolution du syst`eme. Ainsi nous pouvons ´eliminer l’´equation correspon- dante `a d dt σ1, en rempla¸cant σ1 par 1−σ2 −σ3. Nous avons d dt σ2 = −Γ2σ2 + ι (v23˜σ23 − v∗ 23˜σ∗ 23) − ι (v12˜σ12 − v∗ 12˜σ∗ 12) d dt σ3 = −Γ3σ3 + ι (v31˜σ31 − v∗ 31˜σ∗ 31) − ι (v23˜σ23 − v∗ 23˜σ∗ 23) d dt ˜σ12 = − Γ2 2 ˜σ12 + ι v∗ 12(1 − 2σ2 − σ3) − ιv31˜σ∗ 23 + ιv23˜σ∗ 31 d dt ˜σ23 = − (Γ2 + Γ3) 2 ˜σ23 + ι v∗ 23(σ2 − σ3) − ιv12˜σ∗ 31 + ιv31˜σ∗ 12 d dt ˜σ31 = − Γ3 2 ˜σ31 + ι v∗ 31(−1 + σ2 + 2σ3) − ιv23˜σ∗ 12 + ιv12˜σ∗ 23. Supposons que la dur´ee de vie du troisi`eme ´etat (Γ−1 3 ) soit beaucoup plus courte que celle du deuxi`eme ´etat (Γ−1 2 ). Ainsi la dynamique de la population du troisi`eme ´etat est beaucoup plus rapide que celle du deuxi`eme. Le syst`eme ne reste que tr`es peu de temps dans ce troisi`eme ´etat |3 . D`es qu’il y est, il ´emet de fa¸con spontan´ee un photon et re- descend dans |1 , l’´etat fondamental. Si l’on couple `a cette transition entre |1 et |3 une lumi`ere r´esonnante et que l’on d´etecte les photons de fluorescence ´emis `a partir de |3 , nous allons voir que nous pouvons en d´eduire une me- sure partielle. Ce troisi`eme ´etat peut ˆetre vu comme une partie de l’appareil de mesure. Retournons maintenant aux ´equations. Les in´egalit´es |v12|, |v23|, |v31|, Γ2 Γ3 nous permettent d’utiliser la th´eorie des perturbations sin- guli`eres (on parle aussi d’approximation adiabatique) [10]. Prenons Γ3 = ¯Γ3/ o`u 0 < 1 et ¯Γ3 est de mˆeme ordre que Γ2. Les dynamiques s’´ecrivent d dt σ2 = −Γ2σ2 + ι (v23˜σ23 − v∗ 23˜σ∗ 23) − ι (v12˜σ12 − v∗ 12˜σ∗ 12) d dt σ3 = − ¯Γ3 σ3 + ι (v31˜σ31 − v∗ 31˜σ∗ 31) − ι (v23˜σ23 − v∗ 23˜σ∗ 23) d dt ˜σ12 = − Γ2 2 ˜σ12 + ι v∗ 12(1 − 2σ2 − σ3) − ιv31˜σ∗ 23 + ιv23˜σ∗ 31 d dt ˜σ23 = − ¯Γ3 2 ˜σ23 − Γ2 2 ˜σ23 + ι v∗ 23(σ2 − σ3) − ιv12˜σ∗ 31 + ιv31˜σ∗ 12 d dt ˜σ31 = − ¯Γ3 2 ˜σ31 + ι v∗ 31(−1 + σ2 + 2σ3) − ιv23˜σ∗ 12 + ιv12˜σ∗ 23. Celles-ci admettent exactement la mˆeme structure que le syst`eme lent/rapide de l’Annexe A o`u x correspond `a (σ2, ˜σ12) et y correspond `a (σ3, ˜σ23, ˜σ31). Ainsi, pour les termes dont l’ordre par rapport `a est inf´erieur ou ´egal `a 1, nous avons l’approximation suivante (utiliser le change- ment d’´echelle σ3 → ¯Γ3 σ3 pour pouvoir appliquer directe- ment l’approximation de l’Annexe A) : ˜σ23 = 2ı ¯Γ3 [v∗ 23σ2 + v31˜σ∗ 12] + O( 2 ) ˜σ31 = 2ı ¯Γ3 [v∗ 31(σ2 − 1) − v23˜σ∗ 12] + O( 2 ) ¯Γ3 σ3 = 4 ¯Γ3 |v31|2 (1 − σ2) + |v23|2 σ2 + 2 (v23v31˜σ∗ 12) + O( 2 ). En prenant les termes d’ordre inf´erieur ou ´egal `a 1, pour les dynamiques lentes r´eduites, nous avons (rappelons que Γ3 = ¯Γ3/ ) d dt σ2 = −Γ2σ2 + ι(v∗ 12˜σ∗ 12 − v12˜σ12) − 4 Γ3 |v23|2 σ2 + (v23v31˜σ∗ 12) (1) d dt ˜σ12 = ι v∗ 12(1 − 2σ2) − Γ2 2 ˜σ12 − 2 Γ3 (|v23|2 + |v31|2 )˜σ12 + v23v31 (2) avec la sortie Y = Γ3σ3 = 4 Γ3 |v31|2 (1 − σ2) + |v23|2 σ2 + 2 (v23v31˜σ∗ 12) (3) et o`u les contrˆoles sont les trois amplitudes complexes v12, v23 et v31. Rappelons que le mod`ele lent, ci-dessus, est va- lable lorsque |v12|, |v23|, |v31|, Γ2 Γ3 et d dt v12 |ω12||v12|, d dt v23 |ω23||v23|, d dt v31 |ω31||v31|. Pour conclure, ces calculs justifient le mod`ele suivant (Γ3 grand) :    d dt x1 = u1x3 − Γ2 2 x1 d dt x2 = u2x3 − Γ2 2 x1 d dt x3 = −u1x1 − u2x2 − Γ2(x3 + 1) y = v1x1 + v2x2 + v3x3 (4) avec x1 + ı x2 = ˜σ12/2, x3 = 2σ2 − 1 u1 + ı u2 = −ι v∗ 12, v1 + ı v2 = v23v31 v3 = (|v23|2 − |v31|2 )/2, y = Γ3Y/4 − (|v23|2 + |v31|2 )/2. Ce mod`ele montre comment on peut coupler les dyna- miques quantiques de l’´etat x = (x1, x2, x3) appartenant `a la sph`ere de Bloch (la sph`ere unit´e de R3 ) aux entr´ees classiques (u1, u2) ∈ R2 et (v1, v2, v3) ∈ R3 (amplitudes des modes r´esonnants du champ) et `a une sortie classique y (le nombre moyen de photons ´emis par unit´e de temps). Notons l’influence directe des entr´ees vi sur la sortie y. III. Un simple r´egulateur PI Prenons (4) comme mod`ele du contrˆole, avec u2 = v2 = v3 = 0, v1 = 1. Supposons aussi que Γ2 = 0 : les ´etats 1 et 2 sont sans d´ecoh´erence (une sorte d’´etat noir). Supposons que x2 = 0 (cela est toujours le cas quitte `a effectuer une rotation autour de l’axe x3). Nous avons alors d dt x1 = u1x3, d dt x3 = −u1x1, y = x1. L’´etat (x1, x3) ´evolue sur le cercle S1 . Supposons que le but est de stabiliser le syst`eme autour de x1 = 0 et x3 = 1 `a l’aide du terme de contrˆole u1 ∈ [−umax , umax ] (umax > 0). Ainsi le r´egulateur (PI) de gains Kp > 0 et Ki > 0 u1 =    −umax , si − Kpy + I < −umax −Kpy + I, si − umax ≤ −Kpy + I ≤ umax umax , si umax < −Kpy + I avec l’anti-emballement (pour g´erer les contraintes sur u1) d dt I = Ki Kp (u1 − I) assure la stabilisation quasi-globale autour de (x1 = 0, x3 = 1). En fait, le syst`eme en boucle ferm´ee (un syst`eme sur le cylindre S1 ×R) admet seulement deux ´etats stationnaires : (x1, x3) = (0, 1) avec I = 0 est asymptotiquement stable, (x1, x3) = (0, −1) avec I = 0 est instable. Toutes les trajec- toires en boucle ferm´ee diff´erentes de l’´etat stationnaire in- stable convergent asymptotiquement et exponentiellement vers l’´etat stationnaire stable. `A l’exception du fait que le syst`eme original ´evolue sur S1 et pas sur R, ce r´egulateur PI est l’analogue du r´egulateur PI classique couramment appliqu´e pour le syst`eme du premi`ere ordre d dt y = u et dont l’int´erˆet pratique ainsi que la robustesse sont bien ´etablis. IV. G´en´eralisation Dans cette section, nous adaptons les calculs de la Sec- tion II lorsqu’`a la place des ´equations de Bloch, une ´equation de type Lindblad est consid´er´ee. Nous montrons que le syst`eme lent r´eduit ob´eit, de mˆeme, `a une ´equation du type Lindblad avec les op´erateurs qui peuvent ˆetre d´eduits directement des op´erateurs originaux. Consid´erons l’´equation maˆıtresse suivante, pour la ma- trice densit´e ρ (matrice Hermitienne n×n positive) associ´ee `a un syst`eme de dimension n : d dt ρ = − ı [H0 + u(t)H1, ρ] + ΓD[Q](ρ), Y = ΓTr Q† Qρ . Les op´erateurs Hermitiens H0 et H1 sont, respectivement, l’Hamiltonien libre et l’Hamiltonien d’interaction avec une source coh´erente de photons u(t) ∈ R. Pour les op´erateurs A et B arbitraires, le super-op´erateur D est d´efini par D[A](B) = 1 2 (2ABA† − A† AB − BA† A). L’op´erateur Q mod´elise la d´ecoh´erence associ´ee `a la mesure Y . Γ > 0 est une constante de normalisation li´ee `a l’inverse du temps de d´ecoh´erence associ´e `a la mesure Y . Ainsi Q n’a pas de dimension et nous supposons partout dans cette section que Q est un op´erateur de transition de la forme |g e|, o`u |g et |e sont deux ´etats propres de l’Hamiltonien libre H0. Bien ´evidement, nous avons les deux relations suivantes : Q2 = 0, Q† Q = P = |e e| , o`u P est l’op´erateur de projection sur l’´etat excit´e |e . Les fr´equences de transition, ωij = λi − λj (o`u les λi’s sont les valeurs propres de H0/ ), sont suppos´ees beaucoup plus grandes que la d´ecoh´erence Γ. Donc, nous avons la possibilit´e d’utiliser l’approximation s´eculaire. Nous consid´erons la transformation ρ → UρU† , o`u U = eiH0t/ est le propagateur de l’´evolution libre. D’autre part, nous supposons que le champ de contrˆole u(t) est dans le r´egime r´esonnant par rapport aux fr´equences naturelles du syst`eme, et nous modulons les amplitudes uij(t) : u(t) = i,j uij(t) sin(ωijt). Les amplitudes uij(t)’s sont lentement variables. Apr`es moyennisation, nous obtenons l’´equation maˆıtresse suivante : d dt ρ = − ı [H, ρ] + Γ 2 2QρQ† − Q† Qρ − ρQ† Q , Y = ΓTr Q† Qρ (5) o`u H correspond aux termes s´eculaires de uUH1U† . Une telle approximation est valable lorsque les amplitudes uij sont suffisamment petites. Nous supposons aussi que la relaxation de l’´etat |e vers l’´etat |g , qui aboutit `a la d´etection des photons, est beaucoup plus rapide que les autres dynamiques de l’´equation (5) (dur´ee de vie atomique courte pour l’´etat |e ). Alors nous pouvons prendre Γ = ¯Γ/ o`u est un pe- tit param`etre positif. Ainsi, dans le rep`ere d’interaction et pour les amplitudes suffisamment petites uij, nous avons l’´equation maˆıtresse suivante : d dt ρ = − ı [H, ρ] + ¯Γ 2 2QρQ† − Q† Qρ − ρQ† Q , o`u 0 < 1. D´efinissons : ρf = Pρ + ρP − PρP ρs = (1 − P)ρ(1 − P) + QρQ† . Comme ρ = ρs + ρf − QPρf PQ† , il y a une correspon- dance bijective entre ρ et (ρf , ρs) : nous avons une sorte de “changement de variables” pour ρ qui d´ecouple la par- tie lente et la partie rapide de la dynamique, et qui nous propose une “forme standard de Tikhonov” : d dt ρf = − ¯Γ 2 (ρf + Pρf P) − ı (P[H, ρ] + [H, ρ]P − P[H, ρ]P), ı d dt ρs = (1 − P)[H, ρ](1 − P) + Q[H, ρ]Q† . Alors ρf est associ´ee `a la partie rapide des dynamiques et ρs repr´esente la partie lente. La partie rapide est asympto- tiquement stable puisque − ¯Γ 2 (ρf +Pρf P) d´efinit un super- op´erateur d´efini-n´egatif sur l’espace des op´erateurs Hermi- tiens : Tr [−(ρf + Pρf P)ρf ] = −( ρf 2 + Pρf P 2 ). Ici nous pouvons appliquer les calculs d’approximation de la vari´et´e lente comme ils sont d´ecrits dans l’Annexe A. En calculant les termes du premier ordre, nous trouvons l’approximation suivante pour ρf par rapport `a ρs : ρf = −2ı ¯Γ (PHρs − ρsHP) + O( 2 ). Les dynamiques lentes sont donn´ees par : d dt ρs = − ı [Hs, ρs] + 4 ¯Γ ¯Qρs ¯Q† − 1 2 ¯Q† ¯Qρs − 1 2 ρs ¯Q† ¯Q + O( 2 ), o`u Hs = (1 − P)H(1 − P) et ¯Q = 1 ¯Γ (1−P)QH(1−P), ¯Q† = 1 ¯Γ (1−P)HQ† (1−P). Notons que, comme Q, l’op´erateur ¯Q est sans dimension. Cela se passe diff´eremment pour la sortie Y . Nous avons : Y (t) = ¯Γ Tr Q† Qρ = ¯Γ Tr Q† Qρf = −2ı Tr [P(PHρs − ρsHP)] + O( ). Mais Tr [P(PHρs − ρsHP)] = 0. Il nous faut donc aller jusqu’`a l’ordre 2. `A l’aide de l’Annexe A, des calculs simples mais fastidieux aboutissent `a l’approximation naturelle sui- vante Y (t) = 4 ¯ΓTr ¯Q† ¯Qρs + O( 2 ). Mais ¯Γ/ = Γ. Ainsi, nous avons montr´e que quand Γ est grand (par rapport `a H ), l’´equation maˆıtresse lente associ´ee `a (5) s’´ecrit d dt ρs = − ı [Hs, ρs] + 2 Γ (2QsρsQ† s − Q† sQsρs − ρsQ† sQs), Y = 2 Γ Tr [QsQsρs] o`u ρs = (1 − P)ρ(1 − P), Hs = (1 − P)H(1 − P), Qs = (1 − P)Q H (1 − P) avec P = Q† Q. Rappelons que H est l’Hamiltonien dans le rep`ere d’interaction avec des modes laser r´esonnants et apr`es l’approximation s´eculaire. Pour conclure, nous remarquons que pour un ensemble de syst`emes quantiques ind´ependants et identiques, et lorsque la d´ecoh´erence due `a la mesure subit des dyna- miques rapides par rapport au reste du syst`eme, les ap- proximations adiabatiques nous aident `a trouver la dy- namique lente du syst`eme ainsi que la mesure par rap- port `a cette dynamique lente. Notons que dans ce nouveau syst`eme, le terme de d´ecoh´erence peut ˆetre ´elimin´e dans une approximation du premier ordre (Γ grand). Nous ob- tenons alors un syst`eme de la forme d dt ρs = − ı [Hs, ρs], o`u le contrˆole apparaˆıt de fa¸con lin´eaire dans l’Hamiltonien r´eduit Hs. Ce syst`eme correspond alors `a un syst`eme bi- lin´eaire avec les fonctions d’onde comme variables d’´etat. Nous avons en plus la mesure issue de cette ´evolution lente donn´ee par Y . Nous pouvons d´esormais nous int´eresser aux probl`emes de contrˆole avec mesure continue associ´es `a ce syst`eme. V. Conclusion Dans cette communication, nous avons utilis´e les ´equations de Lindblad pour repr´esenter la dynamique d’un syst`eme quantique ouvert, incluant entre autre le processus de mesure. En utilisant les perturbations singuli`eres, nous avons r´eduit le mod`ele lorsque certaines hypoth`eses sur les param`etres du syst`emes sont v´erifi´ees. Cette r´eduction de mod`ele nous permet de comprendre sous quelles condi- tions il est possible de mod´eliser une syst`eme quantique avec mesure continu par une ´equation conservative de type Schr¨odinger et o`u la matrice densit´e ´evolue de fa¸con coh´erente. Cette r´eduction permet aussi de mieux com- prendre dans quelles situations il est envisageable de poser le feedback d’un syst`eme quantique en termes classiques et usuels. R´ef´erences [1] A. Silberfarb, P.S. Jessen, et I.H. Deutsch. Quantum state re- construction via continiuous measurement. Phys. Rev. Lett., 95 :030402, 2005. [2] S. Haroche. Contrˆole de la d´ecoh´erence : th´eorie et exp´eriences, 2004. Notes de cours, Coll`ege de France. http ://www.lkb.ens.fr/recherche/qedcav/college/college.html. [3] C. Altafini. Feedback stabilization of quantum ensembles : a global convergence analysis on complex flag manifolds. 2005. Preprint. [4] J.M. Geremia, J.K. Stockton, et H. Mabuchi. Real-time quantum feedback control of atomic spin-squeezing. Science, 304 :270, 2004. [5] D.A. Steck, K. Jacobs, H. Mabuchi, T. Bhattacharya, et S. Ha- bib. Quantum feedback control of atomic motion in an optical cavity. 2003. preprint : http ://arxiv.org/abs/quant-ph/0310153. [6] H.M. Wiseman. Quantum theory of continuous feedback. Phy- sical Review A, 49 :2133–50, 1994. [7] Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semi- groups. Communications in Mathematical Physics, 48 :119–30, 1976. [8] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, et G. Grynberg. Atom- Photon interaction : Basic Processes and Applications. Wiley, 1992. [9] A. Aspect, C. Fabre, et G. Grynberg. Optique quantique 1 : Lasers. Ecole Polytechnique, 2002. cours de la Majeure de Phy- sique. [10] H.K. Khalil. Nonlinear Systems. MacMillan, 1992. [11] J. Carr. Application of Center Manifold Theory. Springer, 1981. [12] P. Duchˆene et P. Rouchon. Kinetic scheme reduction via geo- metric singular perturbation techniques. Chem. Eng. Science, 51 :4661–4672, 1996. Appendix I. Syst`emes lents/rapides Nous rappelons ici une approximation qui peut ˆetre jus- tifi´ee parfaitement `a l’aide des techniques g´eom´etriques de perturbation singuli`ere et de vari´et´e centrale [10], [11], [12]. Consid´erons le syst`eme lent/rapide (x et y ont des di- mensions arbitraires, f et g sont des fonctions r´eguli`eres) d dt x = f(x, y), d dt y = − 1 Ay + g(x, y) o`u x et y sont respectivement les ´etats lent et rapide (co- ordonn´es de Tikhonov), toutes les valeurs propres de la matrice A ont des parties r´eelles strictement n´egatives, et est un petit param`etre strictement positif. Alors la vari´et´e invariante attractive admet pour l’´equation y = A−1 g(x, 0) + O( 2 ) et la restriction des dynamiques sur cette vari´et´e invariante lente s’´ecrit d dt x = f(x, A−1 g(x, 0)) + O( 2 ) = f(x, 0) + ∂f ∂y |(x,0)A−1 g(x, 0) + O( 2 ). Le d´eveloppement de Taylor pour g peut ˆetre utilis´e pour trouver les termes d’ordres plus ´elev´es. Par exemple, le terme d’ordre deux dans le d´eveloppement de y est donn´e par : y = A−1 g(x, 0) + 2 A−1 ∂g ∂y |(x,0)A−1 g(x, 0) − A−1 ∂g ∂x |(x,0)f(x, 0) +O( 3 ), et ainsi de suite.