Du calcul opérationnel à l’opérateur de transfert

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-4:19926
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Du calcul opérationnel à l’opérateur de transfert

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Du calcul opérationnel à l’opérateur de transfert Résumé— Le calcul opérationnel est un outil fondamental en Automatique. S’intéresser à son développement historique, qui est loin d’être linéaire, a peut-être des répercussions sur notre façon d’enseigner cette discipline. Quoi qu’il en soit, ces quelques notes permettent de situer rapidement les apports de beaucoup d’auteurs que nous connaissons et de préciser le rôle central joué par Oliver Heaviside. Mots-clés— calcul opérationnel, Heaviside, histoire, opéra- teur de dérivation, opérateur d’intégration, opérateur de transfert. I. Introduction Le calcul opérationnel, appelé aussi calcul symbolique, représente un “moyen de résoudre des équations di¤éren- tielles”(J. Hadlik, 1969) ou aux dérivées partielles et per- met ainsi, en Automatique, “l’étude des régimes transi- toires”(R. Pallu de la Barrière, Encyclopædia Universalis). Le premier objectif de traitement algébrique des équations di¤érentielles linéaires a été celui qui a motivé toute l’im- portance de son développement et E.T. Whittaker pouvait noter en 1928 : “We should now place the operational calculus with Poin- caré’s discovery of automorphic functions and Ricci’s dis- covery of the tensor calculus as the three most important mathematical advances of the last quarter of the nineteenth century. Applications, extensions and justi…cations of it constitute a considerable part of the mathematical activity of today.” Leibniz L’origine du calcul opérationnel peut être située lorsque G. von Leibniz introduit en 1695 le codage de la dérivation ou de l’in- tégration sous la forme : dn f , dn dxn f et d n f , Z Z fdx: Euler Vers 1730, L. Euler établit les pre- mières formules opérationnelles comme par exemple eap f(t) = f(t + a): Remar- quons ici qu’il a obtenu cette formulation par des considérations simples sur le déve- loppement en série de Taylor de f(t + a): F.J. Servois note en 1814 la parenté algé- brique entre opérateurs algébriques et dif- férentiels ce qui implique que les codages di¤érentiels de Leibniz peuvent être utilisés comme des grandeurs algé- briques. Cette remarque fondamentale est peut être celle qui justi…e l’aspect opérationnel de ce calcul. À partir de ces prémices, nous allons voir que O. Heavi- side a su en utiliser toute l’e¢ cacité pour traiter des pro- blèmes pratiques. Cela lui a permis de proposer des mé- thodes spéci…ques de traitement mais lui a valu également l’opprobe de toute une communauté de mathématiciens. Cependant certaines de ses idées avaient été proposées par d’autres, précurseurs dans cette voie, et à partir de 1920 la communauté scienti…que a vu se développer di¤érentes ten- tatives pour essayer de justi…er rigoureusement cette tech- nique. Nous verrons que parmi ces di¤érentes voies cer- taines sont plus adaptées à l’Automatique et permettent de déboucher sur la notion de ce que l’on pourrait appeler l’opérateur de transfert d’un système. II. La méthode de Heaviside A. Quelques mots sur O. Heaviside 18 mai 1850 3 février 1925 Neveu de Charles Wheastone (celui du pont...), il a été employé à la Great Northern Telegraph Company. Ses travaux sont essentiellement regroupés dans les deux ou- vrages : – Electrical Papers, 1873 à 1891 ; – Electromagnetic Theory, 3 tomes, 1891 à 1893 (ET1), 1894 à 1898 (ET2), 1900 à 1912 (ET3). Ses recherches en électricité et en électromagnétisme l’ont conduit à proposer des avancées : – sur les équations de Maxwell, que l’on devrait, dans leur forme actuelle, appeler les équations de Maxwell- Heaviside (ET1) ; – sur les couches conductrices de l’atmosphère, dont il a prévue l’existence en 1902 et qui ne seront découvertes qu’en 1923 (ET3) ; – sur l’analyse vectorielle (ET1) ; – sur la dérivation fractionnaire d’ordre 1/2 (processus de di¤usion) (ET2) ; – sur les séries divergentes (ET2) ; – sur l’utilisation du calcul opérationnel (qu’il appelle my operational method) (ET2). Concernant le dernier point, qui nous intéresse plus par- ticulièrement, ses idées sont essentiellement réunies dans ET2. De façon générale, la lecture de ses écrits révèle un esprit brillant et un style très imagé. Malgré (ou peut être à cause de) ses déboires avec les mathématiciens (the pu- rists), car son manque de rigueur est (et sera) attaqué, ses positions lui semblent justi…ées (parfois par pragmatisme) : Of course, I do not write for rigourists but for a wider circle of readers who have fewer prejudices. (ET2) Ses références sont peu nombreuses, exceptions faites de ceux qu’ils considère comme ses maîtres : – Maxwell : I saw it was great, greater and greatest ; – Fourier : lucid, luminous, no one admires Fourier more than I do ; – Kelvin-Thomson : eminent scientist, Sir W. Thom- son’s theory of the submarine cable is a splendid thing ; et il se réfère parfois à Boole. Mais gardons à l’esprit ce qui l’a toujours guidé : There is, however, practicality in theory as well as in practice. (ET1 ) Mentionnons en…n que Maxwell a remarqué ses travaux, que Thomson le décrit comme une authority, et qu’il a été Fellow of the Royal Society. Quelques ouvrages biographiques sur Heaviside : G. Lee, Oliver Heaviside, 1947 ; H.J. Josephs, Oliver Heaviside ; a biography, 1963 ; G.F.C. Searle, Oliver Heaviside, the man, 1987 ; P.J. Nahin, Oliver Heaviside : sage in solitude, 1988 ; I. Yavetz, From obscurity to enigma : the work of Oliver Heaviside, 1995 ; P. J. Nahin, Oliver Heaviside : the life work and times of an electrical genius of the victorian age, 20021 . B. La méthode opérationnelle Retraçons les grandes étapes de l’évolution de sa pensée sur le calcul opérationnel. 1. Codage de l’équation di¤érentielle (1884) par l’opéra- teur : d dt , D (avant 1886) , p (après 1886), pour un réseau électrique (ou pour des systèmes qui s’y ramènent par analogie) : – mise en évidence de l’opérateur (resistance operator) Z(p) ; – dé…nition de la solution opérationnelle : C = E Z(p) où E et C sont les tensions d’entrée et de sortie. 2. Algebrization : résolution de la solution opérationnelle lorsque E est spéci…ée. Lorsque E = H(t), fonction de Heaviside, trois principes ont été successivement développés : – le théorème de décomposition ou expansion theorem (1886) : C = E Z(0) + E X k e kt kZ0( k) ; où Z( k) = 0; – le développement en puissances de p (1888) : C = X npn H(t); et comme il suppose pn H(t) = 0, il obtient C = 0; – le développement en puissances de p 1 (1892) : C = X anp n H(t); et comme p n H(t) = tn n! : C = X an tn n! : 1Il s’agit en fait d’une réédition de celui de 1988 avec une nouvelle préface. Lorsque E = sin(nt) = =(exp(int)), sinusoïde (1895), avec le théorème de translation d’Euler : '(p)eat f(t) = '(p + a)f(t); il résout la solution opérationnelle en remplaçant p par ni puis i par d d(nt) : À titre d’exemple, pour Z(p) = R + Lp et E = H(t) : Z(0) = R; k = 1; k = R L ; Z0 ( k) = L: =) C = E R 0 @1 e Rt L 1 A : Développements en série : – en p 1 : C = E Lp 1 1 + R Lp = E Lp (1 R Lp + R2 L2p2 ) = E R 0 @1 e Rt L 1 A : – en p : C = E R 1 1 + Lp R = E R (1 Lp R + L2 p2 R2 ) = E R : Mais pour E = sin(nt) : C = 1 R + Lp sin(nt) = R Lni R2 + n2L2 sin(nt); = R R2 + n2L2 sin(nt) Ln R2 + n2L2 d d(nt) sin(nt): Nous verrons qu’il s’inspire ici d’une procédure de G. Boole. Kircho¤ Remarquons qu’au début de ses ré- ‡exions, il pose pH(t) = 0; mais à partir de 1895, il considère pH(t) = ; ce qui le conduit à la solution impulsionnelle (peut- être sous l’in‡uence de G. Kircho¤?). Il écrit même : f(t) = Z (y t)f(y)dy; introduisant la notion de convolution (apparemment sans connaître le théorème fondamental d’approximation de K. von Weierstrass de 1885), mais il ne poursuivra pas dans cette direction. D’autre part, le traitement des équations aux dérivées partielles relève pour Heaviside, de la même procédure, ce qui le conduit à être un des premiers à pro- poser des resistance operator ou apparaissent des dérivées fractionnaires. Par exemple pour modéliser des cables de transmission télégraphiques, en notant : – x l’abcisse le long de la ligne, t le temps, V la tension et C le courant ; – R la résistance, L l’inductance, K la conductance et S la capacité par unité de longueur, on obtient, pour un élément de longueur dx : @V @x = L @C @t RC =) dV dx = (Lp + R)C; @C @x = S @V @t KV =) dC dx = (Sp + K)V: Cela le conduit à la forme opérationnelle de l’équation des télégraphistes : d2 V dx2 = (p)V; où (p) = (Lp + R)(Sp + K); dont la solution opérationnelle s’écrit : V = exp(x p (p))A(t) + exp( x p (p))B(t); où A(t) et B(t) dépendent des conditions frontières. En considérant quelques cas particuliers, il obtient : – une solution opérationnelle fractionnaire entre les ten- sions d’entrée, V; et de sortie, E; du cable (1893) : 0 @1 + bp 1 2 1 A E(t) = V (t); – le traitement opérationnel de l’équation de la chaleur (1895) : @2 V @x2 = RS @V @t =) d2 V dx2 = RSpV; pour V (0; t) = E et V (l; t) = 0; sous la forme : V = sinh (l x) p RSp sinh l p RSp E: La résolution de ces opérateurs pour E = H(t) se fait toujours à l’aide des trois principes précédents mais cette fois en considérant, pour le théorème de décomposition, une in…nité de racines. Cela le conduit à manipuler les séries divergentes et à se poser la question du sens de p 1 2 H(t). Par l’utilisation des séries de Fourier ou par d’autres méthodes, il obtient : p 1 2 H(t) = 1 p t ; et même il associe une fonction à pn+ 1 2 H(t) (apparemment sans connaître le résultat de S.F. Lacroix de 1819). En ce qui concerne le calcul opérationnel O. Heaviside a mis au point sa propre technique, qu’il appelle my ope- rational method. Cependant d’autres, et non des moindres, avaient pensé à certains des éléments la constituant. Le grand apport de Heaviside a été de réunir et d’uni…er di¤é- rentes techniques et surtout, de notre point de vue, d’avoir proposé la notion d’opérateur relatif à un système. III. Les précurseurs Améliorant des idées de B. Brisson, A.L. Cauchy en 1827 code une équation di¤érentielle F(D)y(x) = '(x) et obtient un développement de la solution pour : Cauchy – des conditions initiales non nulles ; – un '(x) arbitraire ; – des racines multiples pour F(D) = 0: Ces hypothèses indiquent que le calcul de Cauchy est plus général que celui de Heaviside. Un peu plus tard en Angleterre, D. Gre- gory en 1846, et G. Boole en 1859, parmi d’autres, re- trouvent les développements de Cauchy et proposent les développements en série de y(x) = fF(D)g 1 '(x) + fF(D)g 1 :0; où les deux termes représentent respective- ment : – une solution particulière de l’équation di¤érentielle : fF(D)g 1 '(x) = nX fiDi o '(x) = X fi Di '(x) ; – la solution générale de F(D)y(x) = 0 : fF(D)g 1 :0 = D n G(D 1 ) 1 :0 = nX giD i o D n :0 ; bien que le traitement du 0 ne soit pas très explicite. Gregory Boole Nous ne le détaillerons pas mais tous les trois proposent également des procédures de traitement par calcul opéra- tionnel des équations aux dé- rivées partielles. Finalement, qu’a apporté Heaviside au calcul opéra- tionnel ? Les points à souligner sont : – le traitement de nombreuses applications, côté appli- catif qui manquait au calcul opérationnel ; – une standardisation des procédures ; – le théorème de décomposition appliqué aux fonctions transcendantes ; et surtout : – l’introduction de H(t); – la notion d’opérateur pour modéliser un système : “[O.H.] engaged in this work to describe physical pro- cess”; – la manipulation d’opérateurs : The discovery of practical methods of manipulating operators is a matter importance to the future of physical analysis (ET2). Ces derniers éléments sont pour nous révélateurs d’une pensée qui se détache de l’objectif initial du calcul opéra- tionnel pour se tourner vers une préoccupation plus proche de l’Automatique. IV. Les justifications Pendant 16 ans, calme plat sur le calcul opérationnel, puis, brusquement, est apparu un besoin de justi…cation théorique de façon à asseoir et conforter les résultats qu’il permettait d’obtenir. On peut grossièrement répartir ces justi…cations en deux ensembles, suivant l’outil utilisé : – les transformations intégrales et la théorie des fonc- tions utilisées de K.W. Wagner (1915) à H.B.J. Florin (1934) ; – les constructions algébriques et les espaces fonctionnels utilisés de P. Lévy (1926) à J. Mikusi´nski (1950). A. Les transformations intégrales Bromwich L’utilisation de ce type de méthodes a commencé avec les travaux de T. Brom- wich (1916) et K.W. Wagner(1915) sur le traitement du système di¤érentiel (égale- ment envisagé par Heaviside dans ET2) : eij = aij d2 dt2 + bij d dt + cij [xj]j=1;:::;n = pie it i=1;:::;n : Avec la représentation intégrale : xi = 1 2 i Z K e t id ; on obtient un système algébrique d’équations linéaires : ij = aij 2 + bij + cij j( ) j=1;:::;n = [ i]i=1;:::;n ; où : – K est une courbe fermée contenant les pôles des i( ); – les i sont dé…nis par : – la représentation intégrale des pie it ; – les conditions initiales ; La résolution de ce système fournit les i( ) donc les xi(t): Par cette technique et par le calcul des résidus, ils retrouvent le théorème de décomposition de Heaviside- Cauchy. En 1927, T. Bromwich propose la représentation intégrale de H(t) : H(t) = 1 2 i Z +i1 i1 ept p dp; qui conduit dans ce cas particulier à une nouvelle règle d’algebrization : g(t) = 1 2 i Z K f(p) p ept dp; ce qui conduira, sur cette base rigoureuse, Sir H. Je¤reys en 1927 à retrouver les techniques utilisées par O. Heaviside. Je¤reys Pendant ce temps, J.R. Carson (1917), ingénieur à ATT Company, va proposer une approche guidée par des considéra- tions pratiques, pour résoudre le système di¤érentiel [eij] [xi] = [fi(t)] avec f1(t) = E1ept et f2(t) = = fn(t) = 0: En sup- posant xi(t) = iept ; il obtient un système de Cramer dont la résolution le conduit au théorème de dé- composition de Heaviside. Entre 1919 et 1922, il introduit l’admitance indicielle A(t) par le courant induit dans un circuit mis sous une tension E(t) : I(t) = d dt Z t 0 A(t )E(t)dt; soit, après quelques manipulations : 1 pZ(p) = Z 1 0 A(t)e pt dt: On peut noter ici l’analogie avec le resistance operator de Heaviside. En 1926, paraît l’ouvrage de Carson, dans le- quel on trouve les tables de correspondances entre Z(p) et A(t): Cet ouvrage sur le calcul opérationnel est le premier parmi plusieurs qui seront édités pratiquement au même moment sur ce sujet (cf. S. Bennett t.1 p.199 : H. Je¤reys (1927), L.I. Cohen (1928) E.J. Berg (1929), V. Bush (1929), G.A. Campbell, R.M. Foster (1931)). Notons qu’en 1927, les deux formes de justi…cation de la démarche de Heavi- side : h(t) = 1 2 i Z +i1 i1 f(p) p ept dp et f(p) = p Z 1 0 h(t)e pt dt; seront uni…ées par H.W. March grâce à l’utilisation du théorème de Fourier-Laplace : v(x) = 1 2 i Z +i1 i1 exy Z +1 1 e yz v(z)dzdy; qui lui permet de montrer l’équivalence entre les approches de Bromwich et de Carson. Un autre ingénieur, de la société Philips Gloeilampenfa- briken, B. Van der Pol, va en 1929, proposer la procédure de résolution des équations di¤érentielles (aux dérivées to- tales ou partielles) : domaine t EDO (EDP) solution C # " C 1 domaine p EAlgéb. (EDO) ! résolution où C représente la transformation de Carson p R 1 0 h(t)e pt dt: Comme une intégration par parties de cette transformation lui assure la correspondance : pf(p) ph(0) $ d dt h(t); cela lui permettra de prendre en compte les conditions ini- tiales. Ce problème des conditions initiales soulève celui de la non commutativité entre p et p 1 ; ce qui l’amène à choisir en 1950 la transformation intégrale : f(p) = p Z 1 1 h(t)e pt dt: Remarquons qu’en posant arbitrairement H(0) = 0; Berg dans son ouvrage de 1929 avait contourné le problème de la commutativité. p 1 pff(t)H(t)g = Z t 0 (f0 (s)H(s) + f(s)H0 (s))ds; = [f(s)H(s)] t 0 Z t 0 f(s)H0 (s)ds + Z t 0 f(s)H0 (s)ds; = f(t)H(t) f(0)H(0) = f(t)H(t) = pp 1 ff(t)H(t)g; mais subsiste le problème : que vaut H0 (t)? Doetsch Critiquant fortement les travaux de J.R. Carson, G. Doetsch, en 1930, promeut l’uti- lisation de la transformation de Laplace : F(p) = Z 1 0 f(t)e pt dt et fournit les tables de correspondances dans son ouvrage de 1937. En ce qui concerne cette désignation, il semblerait que la paternité de P.S. Laplace relativement à cette transforma- tion ne soit pas si sûre. Suivant M.A.B. Deakin (1981-1982), sa forme serait dûe à L. Euler qui écrit en 1769 : "Si fuerint P, Q functiones ipsius x, at K functio ipsius u acponatur y = S exp(KQ)Pdx . . . ut evanescat casu x=b, tum vero ponatur x=b. . . " Laplace ce que reconnaît Laplace en 1812. S. Spit- zer, en 1878, précise que la transformée de Laplace désigne : y = Z b a esx (s)ds; alors que pour F. Bernstein, en 1920, c’est la forme qui sera utilisée par G. Doetsch. Toujours est-il que H. Bateman l’utilise en 1910, pour résoudre l’équa- tion di¤érentielle _P(t) = P(t) qu’il transforme via la transformation de Laplace en équation algébrique. Ces méthodes basées sur des transformations seront uni- …ées par H.B.J. Florin en 1934. Il montre que toute trans- formation : f(p) = Z K(p; t)h(t)dt; fonctionne pour le calcul opérationnel si K(p; t) = e pt B(p): Et si de plus : Z K(p; t)H(t)dt = 1; alors on retrouve les résultats de Heaviside. Remarquons ici que la transformation de Laplace ne véri…e pas ce dernier point, alors que la transformation de Carson, oui. Bateman Bernstein Les méthodes de transfor- mation présentent de nom- breux avantages dont des pro- cédures simples de résolution des équations di¤érentielles et de nombreuses tables de cor- respondances f(t)H(t) ! F(p): Mais elles présentent également certains inconvé- nients parmi lesquels : p n’est plus un opérateur de dériva- tion ; F(p) 6= f(t); certaines fonctions n’admettent pas de représentation ; le choix non trivial du noyau et des bornes d’intégration. Certains de ces inconvénients peuvent poser un problème lors de l’application en Automatique du calcul opérationnel, notamment pour la construction de l’opéra- teur de transfert. Rappelons en e¤et que la recherche des solutions d’une équation d’évolution n’est pas un des objec- tifs premiers de l’Automatique mais qu’il s’agit plutôt de construire des modèles opérationnels au sens où l’entendait Heaviside. Dirac Schwartz Un autre inconvénient ma- jeur réside sur la dé…nition de l’impulsion de Dirac et de ses dérivées dont nous avons déjà parlé au niveau de son origine. L. Schwartz, en 1945, a ré- pondu à cette question par la théorie des distributions : l’im- pulsion de Dirac n’est pas une fonction mais on peut dé- river au sens des distributions (hDT; 'i = hT; '0 i): Pour étendre les transformations aux distributions, L. Schwartz en 1947, introduit la notion de distribution tempérée et de convolution des distributions. Par la transformation de Laplace-Fourier d’une distribution tempérée : T ! L(T) = T; e pt ; il déduit : L(DT) = DT; e pt = T; de pt dt = pL(T); qui indique que p agit comme l’opérateur de dérivation sur les transformées sans que l’e¤et des conditions initiales ap- paraissent mais ce n’est pas un opérateur de dérivation ! Rappelons en e¤et qu’une dérivation (Kaplansky, 1976) est une application, a ! a0 ; additive d’un anneau sur lui- même: B. Les méthodes algébriques Lévy L’approche algébrique de P. Lévy (1926) consiste à relier le calcul opérationnel à la convolution : (f g)(t) = R t 0 f(t u)g(u)du = F(g): ce qui dé…nit opérateur d’intégration : I(g) = (1 g)(t) = Z t 0 g(u)du; qu’il peut itérer sous la forme In ou I n : Il construit ainsi l’anneau des opérateurs, (f; +; ) mais n’arrive pas à dé…nir clairement l’espace fonctionnel sur le- quel il travaille et surtout, élément important pour la mise en évidence de la notion de transfert, il n’ar- rive pas non plus à en construire une extension de corps. Grâce au théorème de E.C. Titchmarsh (1926), qui indique que l’anneau de convolution de Lévy n’a pas de diviseurs de zéro, J. Mikusi´nski, en 1950, construit (O; +; ); le corps des fractions de l’anneau de convolu- tion dont les éléments sont les opérateurs. Autrement dit, ce sont les solutions de l’équation de convolution, af = b; notées : f = b a : Titchmarsh Parmi les nombreuses conséquences qu’il extrait de cette construction, il désigne par h l’opérateur d’intégration et construit l’intégration à un ordre quelconque : 8 ; Re( ) > 0; h = t 1 ( ) : 8 ; Re( ) > 0; h f = 1 ( ) Z t 0 (t x) 1 f(x)dx ; où on reconnait les intégrales de Riemann-Liouville propres au calcul fractionnaire. Il dé…nit la multiplication par un scalaire : [ ] = f g h ; et note [1] l’élément neutre de la convolution. Il construit l’opérateur de dérivation p, dé…ni comme la solution de l’équation de convolution h2 p = h, soit ph = [1]; donc comme l’inverse de l’élément unité de la convolution. Le résultat suivant montre qu’ici p joue bien le rôle de l’opé- rateur de dérivation : Théorème : Si f; continue sur [0; 1); possède une dérivée localement intégrable, alors : pf = n f(1) (t) o + [f(0)] : Erdélyi Mentionnons que l’ouvrage de A. Erdé- lyi sur le calcul opérationnel de Mikusi´nski a été traduit en français en 1971. En ré- sumé les caractéristiques de ce calcul opé- rationnel qui nous paraissent essentielles pour l’Automatique sont : – p est l’opérateur de dérivation ; – il n’y a pas de transformation ; – la notion d’opérateurs est clairement dé…nie. Un autre point important est la construction à partir de la convolution qui permet des extensions comme celle proposée par I.H. Dimovski (1990). V. Notion de transfert Rappelons que l’objectif de la notion de transfert réside dans la recherche d’une modélisation d’une relation entre l’entrée et la sortie d’un système linéaire stationnaire qui soit facilement manipulable : LS- -e(t) s(t) En Automatique, nous disposons de deux formes de transfert (en restant assez vague pour le moment) : – la fonction de transfert ou réponse harmonique ou fré- quentielle d’un système : F(!); où ! est une fréquence ; – le transfert opérationnel : F(p): A. Fonction de transfert fréquentielle Proposée initialement par H. Harris (1942), puis par M.A. Gardner et J.L. Barnes (1942), et A.C. Hall (1943) pour l’étude des systèmes électriques bouclés, elle est basée sur le comportement en régime permanent du système en réponse à une entrée sinusoïdale. Suivant H. Harris : – corresponding to each sinusoidal term. . . [in the] in- put: : :there is a term of the same frequency. . . [in the] output ; – the two corresponding terms at each frequency will dif- fer in amplitude and in phase ; – il dé…nit, pour les amplitudes : the ratio, pour les phases : the di¤erence ; – the transfer function contains all the information avai- lable from the system di¤erential equation. De façon plus précise, à partir de l’équation di¤érentielle entrée-sortie : ans(n) (t) + + a0s(t) = bme(m) (t) + + b0e(t); le régime permanent en réponse à l’entrée e(t) = E(!)ej!t , est obtenu sous la forme : s(t) = S(!)ej(!t+'(!)) ; S(!) E(!) = jF(j!)j et '(!) = arg(F(j!)); où : F(j!) = bm(j!)m + + b0 an(j!)n + + a0 : Notons que pour dé…nir cette fonction de transfert, Har- ris utilise un calcul opérationnel sous la forme : 1. Set up the linear di¤erential equations. . . . 2. Replace each derivative dx=dt by px and each integralZ xdt by x=p : : :Then solve the resulting set of simulta- neous equations. . . 3. Substitute p = j!: This results in. . . F(j!): This expres- sion is known as the system response transfer function. Comme F(j!) est une fonction de ! 2 R dans C; le terme de fonction de transfert est tout à fait justi…é ici, ce qui le sera moins des constructions suivantes. B. Utilisation de la transformée de Laplace Depuis J.G. Truxal (1955), les principales dé…nitions communément admises pour la fonction de transfert sont : – rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée à conditions initiales nulles : F(p) = S(p) E(p) , S(p) = F(p)E(p); F(p)- -E(p) S(p) – transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle. Mais quelques problèmes surgissent : – quelle transformée de Laplace choisir, ou plutôt quelle borne inférieure d’intégration prendre ? Suivant les au- teurs d’ouvrages d’Automatique on trouve plusieurs possibilités : 1; 0 ; 0 ou 0+ ? – la transformée recèle some skeletons-in-the-closet (T. Kailath, 1980), notamment en ce qui concerne l’usage et la manipulation de l’impulsion de Dirac. Peut-on noter celle-ci comme une fonction ? – certains signaux n’ont pas de transformée de Laplace (e.g. exp(t2 )). L’automaticien s’interdit-il de traiter certains signaux ? – on ne peut écrire s(t) = F(p)e(t): Devant ces inconvénients, d’autres propositions plus opé- rationnelles ont été adoptées. Pour les systèmes à temps discret représentés par des équations de récurrence, D. Co- chrane et G.H. Orcutt (1949), K.J. Aström et T. Bohlin (1965), ont utilisé le modèle ARMAX : A(q 1 )sk = B(q 1 )ek; où q représente l’opérateur d’avance. Notons que dans leur ouvrage très connu de 1994, K.J. Aström et B. Wittenmark utilisent tantôt l’opérateur q tantôt la variable complexe z; variable de la transformée en z qui est, pour le temps dis- cret l’analogue de la transformée de Laplace pour le temps continu, sans que soit bien explicité l’intérêt de la nota- tion choisie. Pour les systèmes continus multi-entrées multi- sorties, H.H. Rosenbrock (1970) et W.A. Wolowich (1974) partent d’une représentation par matrices polynomiales ou matrices-systèmes faisant explicitement apparaître l’opéra- teur de dérivation : P( d dt ) (t) = Q( d dt )e(t); s(t) = R( d dt ) (t) + W( d dt )e(t): En 1983, H. Blomberg et R. Ylinen, dé…nissent, à partir de la notion fondamentale de module, la notion de généra- teur d’un système : A(p) B(p) s(t) e(t) = 0: Fliess En associant stucture de module et cal- cul tensoriel, M. Fliess en 1994 fournit une structure algébrique pour la transformation de Laplace qui est généralisable aux équa- tions di¤érentielles linéaires à coe¢ cients non constants. Là encore sont utilisés des opérateurs dans un corps de fractions faisant intervenir ex- plicitement d=dt: Finalement, la variable complexe introduite dans la transformée de Laplace ne permet pas la construction d’un opérateur de transfert étroitement lié à l’opération de dé- rivation donc à l’équation di¤érentielle modélisant le sys- tème. C. Opérateur de transfert Ainsi, parmi les justi…cations du calcul opérationnel que nous avons vu précédemment on peut légitimement se de- mander lesquelles permettent de trouver de façon rigou- reuse une notion de transfert en accord avec la vision pra- tique de Heaviside et avec les formes algébriques précé- dentes. Par construction, le calcul opérationnel de Miku- si´nski introduit la dé…nition de la notion de processus gé- nérateur d’un signal par l’écriture en h ou p d’une fonc- tion. Mikusi´nski montre que lorsque qu’un signal admet une transformée de Laplace, cette transformée et ce proces- sus générateur coïncident. Cela permet d’utiliser les tables usuelles mais sans changer d’espace. Le processus géné- rateur n’est qu’une écriture di¤érente d’une fonction du temps. D’autre part, il utilise l’équation de convolution pour dé…nir un opérateur F(p) comme la solution de : s(t) = F(p)e(t); que l’on peut représenter par le schéma opérationnel : F(p)- -e(t) s(t) où p désigne l’opérateur de dérivation. Lorsque F(p) = N(p) D(p) ; la structure algébrique du calcul opérationnel conduit à : D(p)s(t) = N(p)e(t); ce qui est équivalent aux modèles opérationnels précédents : D(p) N(p) s(t) e(t) = 0: VI. Conclusion Dans le développement du calcul opérationnel apparaît un point focal très important : Oliver Heaviside. Nous avons essayé de mettre en évidence que ses idées ont été fertiles pour l’Automatique. De par sa vision pragmatique très in- dépendante, il a apporté de nombreuses notions originales. En ce qui nous concerne, il a même été l’un des premiers à se préoccuper de la notion de transfert (notion centrale en Automatique s’il en est) relativement à celle de calcul opérationnel. En e¤et, relativement à cette discipline, nom- breux sont ses prédécesseurs et ceux qui, dans des tenta- tives de justi…cation ou dans des extensions, ont apporté leur concours. On peut par exemple, pour en résumé le développement dresser l’arbre généalogique : Leibniz (1695) Euler (1730) Laplace (1812) Servois (1814) Cauchy(1827) Gregory(1846) Boole(1859) Kircho¤(1891) Wagner(1915) Bromwich(1916) Carson(1917-1922) Je¤reys-March(1927) Van der Pol(1929) Doestch(1930) Mikusi´nski(1950,a1953,f1971) Dimovski(1982,a1990) Schwartz(1945,1947) Florin(1934) Levy(1926) Dirac(1926) Smith(1925) (1884)Heaviside(1895) On peut ainsi remarquer, lorsque l’on cherche les réper- cussions du calcul opérationnel en Automatique, l’apport d’individus plus portés sur le côté pratique du calcul opéra- tionnel qui ont conduit à une utilisation intuitive de la no- tion de transfert où l’opérateur de dérivation gardait toute son interprétation. Pour être plus précis nous avons vu qu’il y avait deux aspects dans le calcul opérationnel : la réso- lution d’équations d’évolution et la modélisation d’un sys- tème. En ce qui concerne l’Automatique, il ne faudrait pas que le premier aspect prenne le pas sur le deuxième. Ainsi de nombreuses études partent directement d’un codage de l’opérateur d’évolution utilisé. Citons ici par exemple les séries génératrices de Fliess (1983) qui utilisent un codage d’intégrales itérées sur les entrées. La série génératrice ainsi dé…nie joue le rôle, pour un système non linéaire, de l’opé- rateur de transfert. À ce propos remarquons que tous les développements, excepté le dernier que nous venons de mentionner, l’ont été dans un cadre linéaire. En e¤et, ce calcul opération- nel a eu pour origine le traitement des équations di¤éren- tielles linéaires et la représentation par convolution qui im- plique cet a priori sur le système. Mais la question que l’on doit se poser est : que doit-on imposer à un sys- tème pour avoir une représentation linéaire ? En e¤et, dans le cas des systèmes discrets, l’axiome de linéarité totale f( P1 n=0 nun) = P1 n=0 nf(un) conduit à une représenta- tion par convolution, mais ce n’est plus le cas en continu (T. Kailath, 1980, L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, 1982). Pour obtenir une représentation linéaire, certains auteurs ont ajouté des hypothèses complémentaires : la complétude (J.C. Willems, 1986–1987, 1991) ou la mémoire évanescente (S. Boyd, L. Chua, 1985). Il serait intéressant d’en faire le lien avec le calcul opérationnel. Mais il est évident que ce que nous avons dit n’a été qu’une ébauche de l’histoire du transfert en Automatique. Nous ne saurions prétendre en e¤et à une quelconque com- pétence en Histoire des Sciences, mais on peut en tirer des conclusions (sûrement provisoires !) par exemple sur l’ensei- gnement en Automatique, a…n de proposer, dans les pre- miers cours, la construction d’un modèle opérationnel e¢ - cace. Ainsi, le calcul de Mikusi´nski fournisssant un cadre opérationnel rigoureux tout en préservant l’approche pra- tique de Heaviside : peut-on se passer de la transformée de Laplace ? évidemment, oui ! doit-on enseigner au préalable le calcul de Mikusi´nski ? évidemment, non ! Les méthodes utilisées en Automatique à partir du trans- fert sont inchangées et peuvent être enseignées directement. Mais cela ne signi…e pas qu’il faille ne plus enseigner le cal- cul opérationnel et que l’Automatique ne doive plus s’en servir. Au contraire, il faut en extraire la substanti…que moëlle. VII. 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Ces Travaux concernent principalement la commande des systèmes non-linéaires et des systèmes linéaires non stationnaires. Il est membre du Club EEA , senior member IEEE, et co-auteur de l’ouvrage Théorie et Pratique du Calcul Matriciel (1995, ed. Technip, Paris, France). Irène Zambettakis IUT Tarbes - Université Paul Sabatier (Toulouse III) BP 1624 - 65016, Tarbes CEDEX, France izambettakis@iut-tarbes.fr Irène Zambettakis est ingénieur de l’Ecole Centrale de Lille (1981) et Docteur d’Etat ès Sciences Physiques de l’Université des Sciences et Technologies de Lille-Flandres- Artois (1987), spécialité Automatique. Elle est actuelle- ment Professeur d’Automatique à l’ IUT de Tarbes. Ces Travaux concernent principalement la modélisation et la commande des systèmes à paramètres distribués. Elle est membre du Club EEA et senior member IEEE. Frédéric Rotella et Irène Zambettakis sont co-auteurs de cinq ouvrages en Automatique (ed. Technip, Paris, France) : Analyse et Régulation des Processus Industriels (1993), tome 1 : Régulation Continue, tome 2 : Régula- tion Numérique ; Modélisation et Identi…fation des Proces- sus (1992), tomes 1 et 2 ; Commande et Optimisation des Processus (1990).