Stabilisation de systèmes non linéaires à commutation à l’aide de fonctions de Lyapunov contrôlées

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-4:19924
DOI :

Résumé

Stabilisation de systèmes non linéaires à commutation à l’aide de fonctions de Lyapunov contrôlées

Métriques

27
5
526.99 Ko
 application/pdf
bitcache://90f55b644b70ee6289e0833c321ba838b8b4d00b

Licence

Creative Commons Aucune (Tous droits réservés)
<resource  xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance"
                xmlns="http://datacite.org/schema/kernel-4"
                xsi:schemaLocation="http://datacite.org/schema/kernel-4 http://schema.datacite.org/meta/kernel-4/metadata.xsd">
        <identifier identifierType="DOI">10.23723/545:2006-4/19924</identifier><creators><creator><creatorName>Wilfrid Perruquetti</creatorName></creator><creator><creatorName>Romain Bourdais</creatorName></creator><creator><creatorName>Emmanuel Moulay</creatorName></creator></creators><titles>
            <title>Stabilisation de systèmes non linéaires à commutation à l’aide de fonctions de Lyapunov contrôlées</title></titles>
        <publisher>SEE</publisher>
        <publicationYear>2017</publicationYear>
        <resourceType resourceTypeGeneral="Text">Text</resourceType><dates>
	    <date dateType="Created">Sun 24 Sep 2017</date>
	    <date dateType="Updated">Sun 24 Sep 2017</date>
            <date dateType="Submitted">Mon 15 Oct 2018</date>
	</dates>
        <alternateIdentifiers>
	    <alternateIdentifier alternateIdentifierType="bitstream">90f55b644b70ee6289e0833c321ba838b8b4d00b</alternateIdentifier>
	</alternateIdentifiers>
        <formats>
	    <format>application/pdf</format>
	</formats>
	<version>33849</version>
        <descriptions>
            <description descriptionType="Abstract"></description>
        </descriptions>
    </resource>
.

Stabilisation de systèmes non linéaires à commutation à l’aide de fonctions de Lyapunov contrôlées Romain Bourdais1 , Emmanuel Moulay1 , Wilfrid Perruquetti1 1 Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS) Ecole Centrale de Lille, BP 48, 59651 Villeneuve d’Ascq , France (bourdais.romain, emmanuel.moulay,wilfrid.perruquetti)@ec-lille.fr http//syner.ec-lille.fr/robocoop/ Résumé— Dans cet article, nous étudions la stabilisation de systèmes non linéaires à commutation à l’aide de fonc- tions de Lyapunov contrôlées. Dans une première partie, une condition nécessaire et suffisante de stabilisation est expli- citée. Cette condition repose sur l’existence d’une fonction de Lyapunov contrôlée commune aux sous-systèmes du sys- tème à commutation. La deuxième partie est dédiée à une construction explicite d’une fonction de Lyapunov contrô- lée commune, à l’aide des fonctions de Lyapunov contrôlées associées aux sous-systèmes. Mots-clés— Stabilisation, Systèmes non linéaires à commuta- tion, fonctions de Lyapunov contrôlées I. Introduction Un processus industriel implique bien souvent des tran- sitions discrètes entre différents modes opératoires conti- nus, comme par exemple un procédé chimique. Un sys- tème hybride [1] peut permettre de représenter un tel phénomène. Il consiste à faire cohabiter des dynamiques continues (décrites par exemple par des équations différen- tielles ordinaires) avec des dynamiques discrètes à états fi- nis (comme par exemple un automate, un réseau de Petri, ...) Ainsi, en fonction des différents états discrets, la dyna- mique globale décrivant l’évolution du système commute d’une dynamique continue à une autre. Une classe de sys- tèmes hybrides a retenu l’attention depuis plusieurs années, les systèmes continus à commutation (ou systèmes multi- modèles) pour lesquels l’état continu suit sur un intervalle de temps une certaine dynamique (parmi un ensemble dé- nombrable de dynamiques) puis en suit une autre sur un intervalle de temps suivant. L’introduction de changements de dynamique fait de l’analyse et de la commande de ces systèmes de véritables enjeux scientifiques. L’exemple classique, tiré de [2], où des commutations entre deux sous-systèmes stables déstabi- lisent le système global, illustre parfaitement le fait que des critères propres à chaque sous-système ne suffisent plus pour garantir la stabilité du système hybride. Pour per- mettre l’analyse de stabilité, de nombreux résultats ont été développés tant pour les systèmes linéaires [3] que non li- Ce travail est soutenu par la région Nord Pas-de-Calais et le FEDER Fonds Européen de Développement Régional dans le cadre du projet AUTORIS-TAT T53 et par la région Nord Pas-de-Calais ARCIR Robocoop. néaires [4], avec notamment la notion de fonctions multiples de Lyapunov ou le concept de « dwell-time »[5] . Dans un cadre plus général, les principaux outils et problématiques sont présentés dans les excellentes références suivantes : [6] et [7]. Dans notre étude, la séquence de commutations est im- posée, comme par exemple un système dont les dynamiques sont contrôlées par un opérateur extérieur (un conducteur et sa boîte de vitesse, . . . ). En ce sens, nous nous intéres- serons au problème de la stabilisation uniforme, c’est-à- dire garantir la stabilisation quelle que soit la séquence de commutation. Pour ce faire, la base de notre travail est l’ar- ticle de J.L. Mancilla-Aguillar [8] qui traite de la stabilité uniforme des systèmes non linéaires à commutation. A par- tir du théorème inverse présenté dans cet article, nous pro- poserons une condition nécessaire et suffisante de stabilisa- tion. Une autre base de travail aurait pu être le théorème inverse énoncé dans [9], dédié aux systèmes à commuta- tion asymptotiquement stables par morceaux. Mais même si les résultats de ce dernier théorème sont plus construc- tifs, la classe des systèmes étudiés dans [9] reste cependant incluse dans celle de [8]. Le problème de la stabilisation des systèmes à commutation a également été traité dans [10], cependant, les auteurs construisent un contrôle qui porte à la fois sur l’état du système et sur la commutation, contrai- rement à notre approche dans laquelle on ne peut contrôler les commutations. Notre papier est construit ainsi. Nous procédons dans la section II à un rappel des notations et définitions utilisées dans cet article. Nous présentons dans la section III notre théorème sur la stabilisation des systèmes non linéaires à commutation. Par suite, nous explicitons dans la section IV la loi de commande par retour d’état qui permet de stabiliser le système, et l’appliquons à un exemple acadé- mique. Notre théorème repose sur l’existence d’une fonction de Lyapunov contrôlée commune à tous les sous-systèmes, nous proposons dans la partie V une condition suffisante pour construire une telle fonction, à l’aide de plusieurs fonc- tions de Lyapunov contrôlées. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 II. Notations et définitions Dans cette partie, nous explicitons les notations et défi- nitions utilisées dans la suite de nos travaux. On note Rn l’espace euclidien à n dimensions, et . n sa norme. V désigne un voisinage de l’origine dans Rn . Soit A un sous-espace d’un espace topologique. Par hy- pothèse, celui-ci est muni de la topologie induite. On note A sa fermeture, ◦ A son intérieur et ∂A = A\ ◦ A sa frontière. C0 (Rn , Rn ) représente l’ensemble des fonctions conti- nues sur Rn , munie de la topologie de la convergence uni- forme sur tout compact. C1 (Rn , Rn ) représente l’ensemble des fonctions différentiables dont les dérivées partielles sont continues. On note Bn la boule ouverte centrée en l’origine et de rayon . Bn est la boule ouverte unité, et • Bn = Bn \{0}. Une fonction continue α : [0, a] → R≥0 est dite de classe K si elle est strictement croissante et si α(0) = 0. Elle est de classe K∞ si a = +∞ et si α(r) → +∞ quand r → +∞. Soit la fonction de classe C1 , γ : Rn → R, on notera jγ la j-ème composante du gradient de γ. Une fonction multivaluée Φ de X vers Y est une fonc- tion qui à x ∈ X associe un ensemble Φ (x) ⊂ Y. Soient X et Y deux espaces vectoriels et Φ : X → Y une fonc- tion multivaluée, Φ est semi-continue inférieurement si {x ∈ X : Φ (x) ∩ O = ∅} est un ouvert de X pour tout sous- ensemble ouvert O ⊂ Y. Φ est localement lipschitzienne si pour tout x0 ∈ X, il existe un voisinage N (x0) ⊂ X et une constante l ≥ 0 tels que pour tous x, x ∈ N (x0), Φ(x) ⊂ Φ(x ) + l x − x X BY , où BY est la boule unité dans Y et . X la norme sur X. Soit Γ ⊂ N, un ensemble d’index. Définition 1: P(Γ) est l’ensemble {fσ ∈ C0 (Rn , Rn ) : σ ∈ Γ} tel que, 1. P (Γ) est équiborné, i.e. sup σ∈Γ fσ (x) n < +∞ pour tout x ∈ Rn , 2. P (Γ) est localement uniformément lipchitzien , i.e. pour tout δ ∈ N, il existe lδ ≥ 0 tel que fσ (x) − fσ (y) n ≤ lδ x − y n , pour tout (x, y) ∈ δBn × δBn et tout σ ∈ Γ. • P(Γ) est l’ensemble fσ ∈ C0 (Rn \{0}, Rn ) : σ ∈ Γ tel que, 1. • P (Γ) est équiborné, 2. • P (Γ) est localement uniformément lipchitzien en dehors de l’origine, i.e. pour tout δ ∈ N, il existe lδ ≥ 0 tel que fσ (x) − fσ (y) n ≤ lδ x − y n , pour tout (x, y) ∈ δ • Bn × δ • Bn et tout σ ∈ Γ. Nous rappelons maintenant la définition usuelle d’un si- gnal commutant. Étant donné un ensemble non-vide C, la fonction s : R≥0 → C est un C−signal commutant si s : R≥0 → C est une fonction constante par morceaux, i.e. l’ensemble des points pour lesquels la fonction s fait un saut est un ensemble discret, et s est constante entre deux sauts. On ne considère pas ici les points d’accumula- tion, ce qui permet d’éviter le phénomène de Zénon (pour plus d’informations sur ce point, le lecteur pourra consulter [11]). Par la suite, on notera S (C) la famille de tous les C- signaux commutants. On considère le système ˙x = fs (x) , x ∈ Rn , s ∈ S (Γ) , (1) où fs ∈ P (Γ) et fs (0) = 0, pour tout s ∈ S(Γ). Pour chaque s ∈ S (Γ), il existe une suite de nombres réels 0 = t0 < t1 < . . . < tk < . . . et une suite d’index σ0, σ1, . . . , σk, . . . telles que s (t) = σk pour tout tk ≤ t < tk+1. Une solution de (1) ayant comme valeur initiale ξ ∈ Rn est une fonction absolument continue x : [0, T) → Rn telle que x (0) = ξ, et pour tout k ∈ N, ˙x (t) = fσk (x (t)) , presque partout dans [tk, tk+1) ∩ [0, T). Étant donné le ca- ractère Lipschitz de chaque élément de P (Γ), pour tout s ∈ S (Γ) et pour toute condition initiale ξ ∈ Rn il existe une unique solution maximale notée x (t, ξ, s). Par définition, le système (1) est asymptotiquement stable uniformément par rapport à S(Γ) si 1. le système (1) est stable : i.e. pour tout > 0 il existe δ > 0 tel que pour tout ξ ∈ δBn , x (t, ξ, s) ∈ Bn pour tout s ∈ S(Γ), 2. lim t→+∞ x (t, ξ, s) = 0 pour tout s ∈ S(Γ). Définition 2: [8] Une fonction de Lyapunov commune V pour P(Γ) est une fonction , V : Rn → R≥0 de classe C1 , telle qu’il existe deux fonctions α1 et α2 de classe K et une fonction α3 continue, définie semi-positive, vérifiant : 1. α1( x n) ≤ V (x) ≤ α2( x n), ∀x ∈ V, 2. V (x), fs(x) ≤ −α3( x n), ∀x ∈ V, ∀s ∈ S(Γ). Remarque 3: Si la fonction de Lyapunov commune est globalement définie sur Rn , on doit supposer que α1 et α2 sont dans K∞. Dans ces conditions, la fonction de Lya- punov commune est dite décrescente. Ce qui garantit que lim x n→+∞ V (x) = +∞. On considère le système contrôlé suivant : ˙x = fs (x, u) , x ∈ Rn , u ∈ Bm, s ∈ S (Γ) . (2) Définition 4: Soit s ∈ S (Γ), le système (2) est faible- ment stabilisable (respectivement stabilisable) s’il existe us ∈ • P (Γ) (respectivement us ∈ P (Γ)) tel que le système en boucle fermée ˙x = fs (x, us (x)) (3) soit asymptotiquement stable. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Remarque 5: Dans le cas de la stabilisation faible, le sys- tème en boucle fermée est discontinu à l’origine. Ce pro- blème peut être résolu comme dans [12]. En effet, le système en boucle fermée peut être étendu à un système asympto- tiquement continu en raison de la propriété d’autonomie. Le fait que us ne soit pas continue à l’origine pour tout s ∈ S(Γ) ne pose pas de problème quant à l’unicité des solutions. Ceci se voit facilement avec la définition de la stabilité asymptotique. Remarque 6: Dans cet article, on considérera sans perte de généralité la boule unité Bm, sans pour autant res- treindre le champ d’application. En effet, tout compact peut être inclus dans une boule fermée, et toute boule fer- mée est topologiquement équivalente à la boule unité fer- mée. C’est pourquoi, les résultats présentés s’appliquent de manière générale à tout compact. Définition 7: Une fonction C1 définie positive V : V → R≥0, est une fonction de Lyapunov contrôlée commune pour le système (2) si, pour tout x ∈ V\{0} min u∈Bm V (x), fs(x, u) < 0, ∀s ∈ S(Γ). Une telle fonction de Lyapunov satisfait la propriétés de petit contrôle si, pour tout 0 < ≤ 1, il existe δ > 0 tel que, si x ∈ δBn ⊂ V, alors il existe u ∈ Bm tel que V (x), fs(x, u) < 0, ∀s ∈ S(Γ). III. Une condition nécessaire et suffisante pour le problème de stabilisation Nous rappelons dans un premier temps les principaux résultats sur la stabilité des systèmes dynamiques hybrides à commutation. Théorème 8: [8] Le système (1) est asymptotiquement stable si et seulement s’il existe une fonction de Lyapunov commune pour P(Γ). Redonnons le théorème de Mickael, démontré dans [13, théorème 9.5.3][14]. Théorème 9 (de Mickael) Soient deux espaces métriques X et Y , pour toute fonction multivaluée semi-continue inférieurement (respectivement localement lipschitzienne) Φ : X → 2Y , x → Φ(x) où 2Y désigne la famille des sous- ensembles non-vides, fermés et convexes de Y, il est pos- sible d’extraire une fonction continue (respectivement lo- calement lipschitzienne) f telle que f (x) ∈ Φ(x) pour tout x ∈ X. Afin de pouvoir appliquer le théorème de Mickael, nous restreignons notre étude aux systèmes affines, qui se défi- nissent ainsi : ˙x = fs(x) + gs(x), u , x ∈ Rn , u ∈ Rm , s ∈ Γ(S) (4) où fs : Rn → R, gs : Rn → Rm sont dans P(Γ) et fs(0) = 0 pour tout s ∈ S(Γ). Pour une meilleure compréhension, nous introduisons quelques notations supplémentaires. Pour une fonction C1 définie positive V on notera : as(x) = V (x), fs(x) , Bs(x) = V (x), gs(x) ∈ Rm , bs = Bs(x) 2 m . Remarque 10: Si m = 1, la propriété de petit contrôle est équivalente à : lim sup x n→0 as(x) |Bs (x)| ∈ R≤0 ∪ {−∞} pour tout s ∈ S(Γ). Le théorème suivant énonce le principal résultat de cet article : Théorème 11: Le système (4) est faiblement stabilisable si et seulement s’il existe une fonction de Lyapunov contrô- lée commune V pour le système (4). En outre, si V vérifie la propriété de petit contrôle, le sys- tème (4) est stabilisable. Preuve: Si le système contrôlé (4) est faiblement sta- bilisable alors le système en boucle fermée ˙x = fs(x) + gs(x), us(x) (5) est asymptotiquement stable. En utilisant le théorème 8, il existe V , une fonction de Lyapunov commune pour le système en boucle fermée (5). Il est alors évident que V est une fonction de Lyapunov contrôlée commune pour le système (4). Réciproquement, supposons qu’il existe une fonction de Lyapunov contrôlée commune V : V → R≥0 pour le sytème (4). Soit s ∈ S(Γ), introduisons la fonction multivaluée Φs définie pour x ∈ V\ {0} par Φs(x) = {v ∈ Bm : as (x) + Bs (x) , v < 0}. La fonction v → as(x) + Bs (x) , v est affine, ceci im- plique que pour tout x ∈ V\ {0}, Φs(x) appartient à la famille des sous-ensembles non vides, fermés et convexes de Bm pour la topologie induite. Comme fs et gs appar- tiennent à la classe P(Γ) et V est une fonction de classe C1 , as (x) + Bs (x) , v est localement lipchitzienne pour tout x ∈ V \ {0}. On peut alors utiliser le théorème 9 de Mi- ckael pour trouver une fonction us localement lipchitzienne pour tout x ∈ V\ {0} telle que us(x) ∈ Φs(x). Comme us(V) ⊂ Bm on peut finalement déduire que us appartient à • P(Γ). Par suite, le système (4) est faiblement stabilisable par le retour d’état us. De plus, si V satisfait la propriété de petit contrôle, il est démontré dans [12, Theorem 4.3] que l’on peut étendre Φs sur V par Φs(0) = {0} telle que Φs est maintenant semi- continue inférieurement sur V. En appliquant le théorème 9 de Mickael, il existe us ∈ P(Γ) qui stabilise le système (4). IV. Une formule explicite de la loi de commande A. Le contrôle par retour d’état de Lin-Sontag Nous adaptons dans cette partie le contrôle de Lin- Sontag [15] pour la stabilisation par contrôle borné. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Théorème 12: Si V est une fonction de Lyapunov contrô- lée commune pour le système (4), alors le contrôle par re- tour d’état us(x) =    − as(x)+ √ as(x)2+bs(x)2 bs(x)(1+ √ 1+bs(x)) BT s (x) si x = 0 0 si x = 0 (6) appartient à C0 (Rn \ {0} , Bm) et stabilise faiblement le système (4). De plus, si V satisfait la propriété de petit contrôle, alors le contrôle par retour d’état (6) est aussi continu à l’origine, et de ce fait, le système (4) est stabi- lisé. Remarque 13: Si V appartient à Ck (Rn \ {0} , Bm), le contrôle us appartient alors à Ck−1 (Rn \ {0} , Bm). Afin d’illustrer ce théorème, nous proposons dans la par- tie suivante de l’appliquer à un exemple académique. B. Un exemple académique Soit le système suivant : ˙x1 = x1x2 ˙x2 = −x2+u 1+k (7) où k ∈ {1, 2, 3, 4}, u ∈ R, et la fonction de Lyapunov contrôlée commune candidate : V = x2 1+(x2 1+x2)2 2 . On a ak(x) = x2 1x2 + (x2 + x2 1)(2x2 1x2 − x2 1 + k ), Bk(x) = x2 1 + x2 1 + k . Il est évident que V est bien une fonction de Lyapunov contrôlée commune. En effet, pour x = 0, Bk(x) = 0 im- plique ak(x) = −x4 1 < 0. Par ailleurs, on a ak(x) = − x2 2 1 + k − 2x4 1Bk(x) + 2(x1Bk(x)(1 + k))2 . Ceci implique, d’après la remarque 10, que la propriété de petit contrôle est vérifiée. Ainsi, le système est stabilisable par le contrôle par re- tour d’état suivant : uk(x) =    − ak(x)+ √ ak(x)2+bk(x)2 bk(x)(1+ √ 1+bk(x)) BT k (x) si x = 0 0 si x = 0 (8) La figure (1) représente le portrait de phase du système (7) par le retour d’état (8), obtenu par simulation. Expliciter la loi de commande repose sur l’existence d’une fonction de Lyapunov contrôlée commune à tous les sous-systèmes. Or, pratiquement, il est difficile de trouver une telle fonction. La partie suivante propose des conditions suffisantes à vérifier pour construire une fonction de Lyapu- nov contrôlée commune à partir d’un ensemble de plusieurs fonctions de Lyapunov contrôlées, dans lequel chacune est associée à un sous-système. Fig. 1 Portrait de phase du système (7) contrôlé par (8) V. Une condition suffisante pour construire une fonction commune Dans cette partie, nous proposons une méthode construc- tive pour un système à commutation globalement défini, pour lequel Γ est un ensemble fini d’index. On considère la famille de systèmes dynamiques ˙x = fi(x) + gi(x), u , x ∈ Rn , u ∈ Bm, i ∈ Γ avec pour tout i ∈ Γ, fi et gi sont des fonctions localement lipchitziennes. On obtient alors le système à commutation : ˙x(t) = fs(t)(x(t)) + gs(t)(x(t)), u , (9) où s : R≥0 → Γ où s est un C−signal commutant à valeurs finies. Revenons dans un premier temps à la notion de fonction de Lyapunov contrôlée pour le système (9). Définition 14: Soit i ∈ Γ. Une fonction définie positive Vi : Rn → R≥0 propre, de classe C1 est une fonction de Lyapunov contrôlée pour le sous-système ˙x = fi(x) + gi(x), u , x ∈ Rn , u ∈ Bm, si pour tout x ∈ V\{0} min u∈Bm Vi(x), fi(x) + gi(x), u < 0. (10) Comme la fonction u → Vi(x), fi(x) + gi(x), u est continue sur l’ensemble compact Bm, pour tout x ∈ V il existe un ensemble ouvert, non vide Ui(x) ⊂ Bm tel que Vi(x), fi(x) + gi(x), u < 0, pour tout u ∈ Ui(x). Par la suite, on notera cet ensemble Ui(x). Nous allons maintenant proposer un critère permet- tant d’expliciter une fonction de Lyapunov contrôlée com- mune à partir des fonctions de Lyapunov contrôlées atta- chées aux sous-systèmes. Critère 15: Soit la fonction γ : Rn → R de classe C1 , telle que γ(Rn ≥0) ⊆ R≥0 et jγ(V1(x), . . . , Vn(x)) > 0, pour tout j ∈ Γ. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées 1. pour tout i ∈ Γ, Vi : Rn → R≥0 est une fonction de Lyapunov contrôlée pour le système ˙x = fi(x) + gi(x), u , e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 2. pour tout i ∈ Γ et tout x ∈ Rn \{0}, il existe u0 ∈ Ui(x) tel que j∈Γ j=i jγ(V1(x), . . . , Vn(x)) Vj(x), fi(x) + gi(x), u0 < − iγ(V1(x), . . . , Vn(x)) Vi(x), fi(x) + gi(x), u , alors V (x) = γ(V1(x), . . . , Vn(x)) est une fonction de Lyapunov contrôlée commune pour le système (9), et le contrôle par retour d’état est donné par : ui(x) =    − ai(x)+ √ ai(x)2+bi(x)2 bi(x)(1+ √ 1+bi(x)) BT i (x) if x = 0 0 if x = 0 (11) où : ai(x) = V (x), fi(x) , Bi(x) = V (x), gi(x) ∈ Rm , bi = Bi(x) 2 m . De plus, si pour tout i ∈ Γ, Vi satisfait la propriété de petit contrôle, alors V satisfait également cette propriété, et le contrôle par retour d’état (11) est continu à l’origine. Preuve: Soit x ∈ Rn et i ∈ Γ. Supposons qu’il existe γ répondant aux conditions de l’algorithme, on a : V (x), fi(x) + gi(x), u = j∈Γ jγ(V (x)) Vj(x), fi(x) + gi(x), u = iγ(V (x)) Vi(x), fi(x) + gi(x), u + j∈Γ j=i jγ(V (x)) Vj(x), fi(x) + gi(x), u avec V (x) = (V1(x), . . . , Vn(x)). En utilisant l’hypothèse (2), on sait qu’il existe u0 ∈ Ui(x) tel que j∈Γ jγ(V1(x), . . . , Vn(x)) Vj(x), fi(x) + gi(x), u0 < 0. On a donc, pour tout x ∈ Rn \{0} : min u∈Bm V (x), fi(x) + gi(x), u < 0. Par conséquent V est une fonction de Lyapunov contrôlée commune pour le système (9). En utilisant le théorème 12, le contrôle par retour d’état (11) stabilise le système (9). Pour la propriété de petit contrôle, la preuve découle de la définition (7). Par exemple, on peut choisir γ(x) = i∈Γ xi qui donne la fonction de Lyapunov contrôlée commune V (x) = i∈Γ Vi(x). Cependant, la fonction γ peut être parfois dif- ficile à construire. Comme premières pistes, on peut tester une combinaison linéaire des fonctions de Lyapunov, puis des fonctions plus complexes en introduisant des termes croisés ou des exponentielles. Afin d’illustrer ce théorème, nous proposons maintenant de l’appliquer à l’exemple suivant. Exemple 16: On considère le système qui commute entre les deux sous-systèmes suivants : ˙x1 = −x1 + x2 ˙x2 = x2 + u et (S1) ˙x1 = −x2 ˙x2 = x1 + ux2 (S2) Les deux fonctions de Lyapunov contrôlées candidates sont : V1(x) = x2 1+x2 2 pour (S1) et V2(x) = 3 2 x2 1+x2 2−2x1x2 pout (S2). Soient (i, j) ∈ {1, 2}2 . Notons aij(x) = Vi(x), fj(x) , Bij(x) = Vi(x), gj(x) , où fj et gj sont les composantes du système Sj. On a : a11(x) = −2x2 1 + 2x2 2 + 2x1x2, B11(x) = 2x2, a21(x) = 3x1(x2 − x1), B21(x) = 2(x2 − x1), a12(x) = 0, B12(x) = 2x2 2, a22(x) = −2x2 1 − x1x2 + 2x2 2, B22(x) = 2x2(x2 − x1). Pour tout i ∈ {1, 2} et tout x = 0, Bii(x) = 0 implique bien que aii(x) < 0, ce qui montre que Vi est une fonction de Lyapunov contrôlée pour le système (Si). Comme a12 = 0, et comme B21(x) = 0 implique a21(x) = 0, on en déduit que pour i = j Vi n’est pas une fonction de Lyapunov contrôlée pour le système (Sj). On vérifie les conditions du critère 15 avec la fonction γ(x) = x1 +x2 pour construire notre fonction de Lyapunov commune. On a alors à vérifier que pour tout x ∈ R2 \{0}, a11(x) + a21(x) < 0 quand b11(x)+b21(x) = 0 et a22(x)+a12(x) < 0 quand b22(x) + b12(x) = 0. Ce qui donne : • b11(x) + b21(x) = 4x2 − 2x1 = 0 pour x1 = 2x2, ce qui implique que a11(x) + a21(x) = −6x2 2 qui est donc strictement négatif. • b22(x) + b12(x) = 2x2(2x2 − x1) = 0 pour x2 = 0 ou x1 = 2x2, ce qui implique pour si x2 = 0, a22(x) + a12(x) = −2x2 1 et pour x1 = 2x2, a22(x) + a12(x) = −8x2 2. La condition est vérifiée. Ainsi la fonction V = V1 + V2 est par conséquent une fonction de Lyapunov contrôlée commune pour le système à commutation sur tous les ensembles compacts Ic = {V (x) ≤ c}, avec c > 0. En effet, tous les Ic sont invariants et attrac- tifs, et l’état du système et le contrôle y sont bornés. Le contrôle par retour d’état (11) permet ainsi de stabiliser e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 le système. La figure 2 présente le portrait de phase du système en boucle fermée en fonction de différentes condi- tions initiales, et la figure 3 présente les trajectoires pour différents signaux commutants. −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 0 1 2 3 x1 x2 Fig. 2 Portrait de phase du système en boucle fermée -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x1 x2 Fig. 3 Portrait de phase pour différents signaux commutants VI. Conclusion Dans cet article, nous avons mis en avant dans un pre- mier temps une condition nécessaire et suffisante de stabi- lisation de systèmes non linéaires à commutation. Celle-ci repose sur l’existence d’une fonction de Lyapunov contrôlée commune. A partir de cette fonction, une loi de commande stabilisante par retour d’état peut être explicitée à l’aide du contrôle de Lin-Sontag. Cependant, une telle fonction est difficile à trouver en pratique. C’est pourquoi, nous avons dans un second temps présenté un critère permettant de construire une fonction de Lyapunov commune à partir de fonctions de Lyapunov associées aux sous-systèmes. Le fait de construire un contrôle qui soit valable quelque soit le C-signal commutant est une condition très forte qui restreint la classe du système pouvant être traitée. Une des perspectives de travail est de construire un contrôle stabili- sant pour un C-signal commutant donné qui soit extensible à une classe de systèmes plus large. Références [1] J. Zaytoon. Systèmes dynamiques hybrides. Hermès Science Publication, Paris, 2001. [2] M.S. Branicky. Topology of hybrid systems. Proceedings of the 32nd IEEE Conference on Decision and Control, 3 :2309–2314, December 1993. [3] P. Peleties et R. DeCarlo. Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions. Proceedings of American Control Conference, pages 1679–1684, 1991. [4] M.S. Branicky. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 43(4) :475–482, April 1998. [5] J.P. Hespanha et A.S. Morse. Stability of switched systems with average dwell-time. Proc of the 38th IEEE CDC, pages 2655– 2660, 1999. [6] D. Liberzon. Swithcing in Systems and Control. Systems and Control : Foundation and Applications. Birkhäuser, 2003. [7] Z. Sun et S.S. Ge. Switched Linear Systems. Springer, 2005. [8] J.L. Mancilla-Aguilar et R.A. García. A converse Lyapunov theo- rem for nonlinear switched systems. Systems & Control Letters, 41 :67–71, 2000. [9] L. Vu et D. Liberzon. Common Lyapunov functions for families of commuting nonlinear systems. Systems & Control Letters, 54 :405–416, 2005. [10] H. Sun et J. Zhao. Control Lyapunov functions for switched control systems. Proccedings of the Amrican Control Confe- rence, pages 1890–1891, Arlington, VA, June 2001. [11] J. L. Mancilla-Aguilar, R. Garcia, E. Sontag, et Y. Wang. On the representation of switched systems with inputs by pertur- bed control systems. Nonlinear Analysis : Theory, Methods & Applications, 60 :1111–1150, 2005. [12] Z. Artstein. Stabilization with relaxed controls. Nonlinear Ana- lysis : Theory, Methods & Applications, 7(11) :1163–1173, 1983. [13] J. P. Aubin et H. Frankowska. Set-Valued Analysis. Springer- Verlag, New-York, 1990. [14] E. Mickael. Continuous selections. Anal. Math., 63(2) :361–382, march 1956. [15] Y. Lin et E.D. Sontag. A universal formula for stabilization with bounded controls. Systems & Control Letters, 16 :393–397, 1991. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4