Synthèse de contrôleurs pour des systèmes avec retard et entrée saturée

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-4:19922
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Résumé

Synthèse de contrôleurs pour des systèmes avec retard et entrée saturée

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	    <date dateType="Created">Sun 24 Sep 2017</date>
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Synthèse de contrôleurs pour des systèmes avec retard et entrée saturée Giórgio VALMÓRBIDA1, Isabelle QUEINNEC2, Pedro L. D. PERES1, Sophie TARBOURIECH2 1FEEC/UNICAMP Av. Albert Einstein, 400 13083-852, Campinas SP Brasil 2LAAS-CNRS, 7 avenue du Colonel Roche 31077 Toulouse cedex 4, France giorgio@dt.fee.unicamp.br, queinnec@laas.fr, peres@dt.fee.unicamp.br, tarbour@laas.fr Résumé— Dans cet article, nous considérons le problème de stabilisation d’un système avec retard dans l’état et entrée limitée en amplitude. Consi- dérant la connaissance que nous pouvons avoir ou pas sur le retard, une loi de commande saturée dépendante à la fois de l’état courant et de l’état re- tardé est construite avec l’objectif d’obtenir le domaine de stabilité le plus grand possible. Les deux contextes de stabilité, indépendante et dépendante du retard, sont envisagés. A partir de l’utilisation d’une condition de sec- teur généralisée et de fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii, des condi- tions LMIs sont établies pour déterminer les gains du retour d’état et le do- maine de stabilité associé. Dans les deux contextes de stabilité, le domaine de stabilité dépend du retard. Dans le cas de la stabilité dépendante du re- tard, des problèmes d’optimisation convexes sont formulés avec l’objectif de maximiser la taille du domaine de stabilité ou de maximiser la borne maximale du retard. Le compromis entre taille du domaine de stabilité et borne maximale du retard est discuté. Mots-clés—Saturation, retard, Lyapunov, LMIs. I. INTRODUCTION Durant les dernières années, l’étude des systèmes présentant des retards a reçu une attention particulière de la part des cher- cheurs de la communauté de la commande : voir par exemple l’article [1] qui propose un panel intéressant des méthodes et des problèmes. Cet intérêt découle du fait que les retards ap- paraissent dans la majeure partie des systèmes de commande, comme par exemple dans les systèmes chimiques, mécaniques ou encore de communication. Leur présence peut conduire à la dégradation des performances du système voire même à son in- stabilité. Dans la littérature, beaucoup de travaux présentent des conditions permettant de garantir la stabilité aussi bien que des spécifications de performance et de robustesse, en considérant ou pas la dépendance avec le retard. Voir, par exemple, [2], [3] ou [4]. D’autre part, dans la plupart des systèmes dynamiques, l’am- plitude du signal délivré par l’actionneur est limitée pour des raisons physiques, technologiques ou sécuritaires. Ne pas tenir compte de ces limitations peut, là aussi, être la source d’une dégradation importante des performances ou même déstabiliser le système bouclé. C’est la raison pour laquelle un nombre im- portant de travaux traitent de l’analyse de la stabilité ou de la synthèse de contrôleur pour des systèmes soumis à la saturation de l’actionneur. Voir, par exemple, [5], [6]. Considérant la stabilisation de systèmes avec retard et en pré- sence de saturation de l’actionneur, l’importance de définir un ensemble de conditions initiales associé à la loi de commande saturante a été montrée dans [7]. Nous pouvons citer différents travaux de la littérature qui traitent de la stabilité globale et lo- cale avec des approches dépendantes ou indépendantes du re- tard [8], [9], [10], [11], [12]. Dans ces articles, des conditions suffisantes pour garantir la stabilité sont dérivées en utilisant des fonctionnelles de Lyapunov-Krazovskii ou des fonctions de Lyapunov-Razumikhin. Notons cependant que, dans ces ar- ticles, la loi de commande considérée ne dépend pas du retard. Par ailleurs, dans [11], [12], la modélisation de la saturation est réalisée via un modèle polytopique. Différemment des précédents travaux, dans cet article, nous considérons une loi de commande saturée dépendante à la fois de l’état courant et de l’état retardé, en utilisant éventuellement la connaissance que nous pouvons avoir sur le retard. Notre ob- jectif est de construire cette loi de commande afin d’obtenir le domaine de stabilité le plus grand possible. Les deux contextes de stabilité, indépendante et dépendante du retard, sont envisa- gés. Pour prendre en compte le comportement non-linéaire du système bouclé, une condition de secteur généralisée est utilisée. Ainsi, à partir de l’utilisation de fonctionnelles de Lyapunov- Krasovskii, des conditions LMIs sont établies pour déterminer les gains du retour d’état et le domaine de stabilité associé. Dans les deux contextes de stabilité, il est important de souli- gner que le domaine de stabilité dépend du retard. Dans le cas de la stabilité dépendante du retard, des problèmes d’optimisation convexes sont formulés avec l’objectif de maximiser la taille du domaine de stabilité ou de maximiser la borne maximale du re- tard. Le compromis entre la taille du domaine de stabilité et la borne maximale du retard est discuté. L’article est organisé comme suit. La section II décrit le sys- tème considéré et le problème à traiter. Après avoir donné la condition de secteur généralisée permettant de développer nos conditions, la stabilité indépendante du retard est traitée en sec- tion III, tandis que la stabilité dépendante du retard est pré- sentée en section IV. A partir de ces conditions, les différents problèmes d’optimisation convexes sont formulés et discutés en section V. Enfin deux exemples sont présentés dans la section VI pour illustrer les résultats dans le cas où le retard est connu, e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 et donc utilisé directement dans le contrôleur, avant de conclure le papier. Notation. ℜ+ est l’ensemble des nombres réels non néga- tifs. x(i) représente la iième composante d’un vecteur x ∈ ℜn. A(i) représente la iième ligne de la matrice A. A et B étant deux ma- trices symétriques, A > B signifie que A − B est définie posi- tive. A est la matrice transposée de A. I et 0 sont les matrices identité et nulle de dimension appropriée. Cτ,n = C([−τ,0], ℜn) définit l’espace de Banach des fonctions de vecteur continues de l’intervalle [−τ,0] dans ℜn avec la topologie de conver- gence uniforme. φ c= sup −τ≤t≤0 φ(t) représente la norme d’une fonction φ ∈ Cτ,n. Cv τ,n = {φ ∈ Cτ,n ; || φ ||c< v,v > 0}. diag{A,B,...,Z} est une matrice bloc-diagonale. Le symbole représente un bloc induit par symétrie. II. FORMULATION DU PROBLÈME Soit le système avec retard en cascade avec un actionneur sa- turant en position décrit par l’équation suivante : ˙x(t) = Ax(t)+Adx(t −τ)+Bsatu0 (u(t)) (1) avec comme condition initiale : x(t0 +ω) = φx(ω), ∀ω ∈ [−τ,0] , (t0,φx) ∈ ℜ+ ×Cvx τ,n x ∈ ℜn et u ∈ ℜm sont respectivement l’état et l’entrée du sys- tème. Le retard τ est supposé constant, mais éventuellement non connu, appartenant à l’intervalle [0, τmax]. La fonction de satu- ration est définie composante par composante : satu0 (x(i)) = sign(x(i))min(u0(i),|x(i)|),u0(i) > 0,∀i = 1,··· ,m. Considérons le contrôleur de la forme suivante : u(t) = Kx(t)+Kdx(t −τc) (2) comportant un terme de retour d’état courant et un terme de re- tour d’état retardé de τc. Selon que le retard du système τ est connu ou pas, nous pourrons considérer τc = τ ou τc = τmax. Il est aussi possible de fixer une valeur τc indépendamment de τ. Soit la non-linéarité suivante : ψ(t) = satu0 (u(t))−u(t) (3) Par définition, ψ(t) = 0 en absence de saturation. Le système en boucle fermée s’écrit : ˙x(t) = (A+BK)x(t)+Adx(t −τ)+BKdx(t −τc)+Bψ(t) (4) L’objectif de cet article est de construire des contrôleurs de la forme (2) stabilisant le système (1). Le système (4) est dit globa- lement asymptotiquement stable si pour toute condition initiale satisfaisant φx c> v, pour tout v fini tel que v > 0, les trajec- toires du système convergent asymptotiquement à l’origine. De la même manière que dans le cas sans retard, la détermination d’une loi de commande globalement stabilisante est uniquement possible si le système en boucle ouverte (u(t) = 0) satisfait cer- taines hypothèses de stabilité [10], [7]. Lorsque ces hypothèses ne sont pas satisfaites, il est seulement possible d’étudier la sta- bilité locale. Nous pouvons associer à la loi de commande (2) un bassin d’attraction du point d’équilibre x = 0. Ce bassin d’at- traction correspond à l’ensemble de toutes les conditions ini- tiales φx ∈ Cv τ,n pour lesquelles les trajectoires du système (4) convergent à l’origine. En présence de la saturation, il se révèle extrêmement difficile, voir impossible, de déterminer de ma- nière analytique exacte le bassin d’attraction du système. Nous nous intéressons ainsi à la détermination d’approximations, les plus grandes possibles, de ce bassin. On définit des ensembles de conditions initiales : B(φx) = φx ∈ Cvx τ,n ; φx 2 c ≤ δ (5) ou, si nécessaire de la forme : B(φx, ˙φx) = {φx ∈ Cvx τ,n; φx ˙φx ∆ φx ˙φx ≤ 1} (6) Les problèmes que nous cherchons à résoudre peuvent ainsi être formulés de la manière suivante : Problème 1 : (indépendant du retard) Déterminer les gains de retour d’état courant et retardé K et Kd et un scalaire δ, le plus grand possible, tels que la stabilité asymptotique du sys- tème bouclé (4) soit garantie, indépendamment du retard, pour toutes les conditions initiales φx(ω) ∈ B(φx), ∀ω ∈ [−τ,0]. Problème 2 : (dépendant du retard) Déterminer les gains de retour d’état courant et retardé K et Kd, la borne supérieure du retard τmax, une valeur pour la retard τc et l’ensemble B(φx, ˙φx), le plus grand possible, tels que la stabilité asymptotique du sys- tème bouclé (4) soit garantie pour toutes les conditions initiales φx(ω) ∈ B(φx, ˙φx), ∀ω ∈ [−τ,0]. III. PRÉLIMINAIRES Définissons l’ensemble polyédral suivant : S(u0) = {v ∈ ℜm ;w ∈ ℜm ;−u0 v−w u0} (7) Lemme 1 : [13] Si v et w appartiennent à S(u0) alors la non- linéarité générique ψ(v) = satu0 (v)−v satisfait l’inégalité ψ(v) S−1 (ψ(v)+w) ≤ 0 (8) pour toute matrice diagonale définie positive S ∈ ℜm×m. Le lemme 1 s’applique à la non-linéarité ψ(t), définie dans (3) en posant : v(t) = Kx(t)+Kdx(t −τc) w(t) = G1x(t)+G2x(t −τc) IV. RÉSULTATS PRINCIPAUX A. Condition indépendante du retard Pour dériver nos conditions, nous considérons la fonctionelle de Lyapunov-Krasovskii donnée ci-dessous : V(xt) = x(t) Px(t) + R t t−τ x(θ) P1x(θ)dθ + R t t−τc x(θ) P2x(θ)dθ (9) Le résultat principal dans le cas indépendant du retard peut être énoncé dans la proposition suivante. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Proposition 1 : S’il existe des matrices symétriques définies positives W, R1 et R2, des matrices Y1, Y2 et Z, une matrice dia- gonale définie positive S et un scalaire γ satisfaisant les inégali- tés suivantes :     WA +AW +Y1B +BY1 +R1 +R2 WAd −R1 Y2B 0 −R2 SB −Z 0 −Y2 −2S     < 0 (10) W Y1(i) −Z(i) γu2 0(i) ≥ 0 , i = 1,··· ,m (11) alors le retour d’état Kx(t)+Kdx(t −τc), avec K =Y1W−1, Kd = Y2W−1 et la boule de condition initiale définie en (5) avec δ = γ−1 λmax(W−1)+τλmax(W−1R1W−1)+τcλmax(W−1R2W−1) (12) sont une solution du problème 1. Preuve : La dérivée temporelle de la fonctionnelle de Lyapunov- Krasovskii (9) le long des trajectoires du système (4) s’écrit : ˙V(xt) = ˙x(t) Px(t)+x(t) P˙x(t) +x(t) P1x(t)−x(t −τ) P1x(t −τ) +x(t) P2x(t)−x(t −τc) P2x(t −τc) En utilisant la condition de secteur (8) avec w = Gx(t)+Kdx(t − τc), on peut écrire que ˙V(xt) < 0, pour tout x(t) ∈ S(u0), si : ˙V(xt)−2ψ(t) S−1 (ψ(t)+Gx(t)+Kdx(t −τc)) < 0 que l’on peut écrire, de manière équivalente, sous la forme ma- tricielle : x(t) x(t −τ) x(t −τc) ψ(t) M     x(t) x(t −τ) x(t −τc) ψ(t)     < 0 avec M donnée par M =     Λ PAd PBKd PB−G S−1 −P1 0 0 −P2 −KdS−1 −2S−1     et Λ = (A + BK) P + P(A + BK) + P1 + P2. En appliquant sur M la transformation de congruence définie par la matrice diag{W,W,W,S}, avec W = P−1, on arrive à la condition équi- valente :     Γ AdW BKdW BS−WG −WP1W 0 0 −WP2W −WKd −2S     < 0 avec Γ =WA +WK B +AW +BKW +WP1W +WP2W. En po- sant GW = Z, WP1W = R1, WP2W = R2, KW =Y1 et KdW =Y2, on retrouve la condition (10). Ainsi, en application du théorème de Lyapunov-Krasovskii, pourvu que x(t) ∈ S(u0), si la condition (10) est vérifiée, on a : (i) ˙V(xt) ≤ π1 x(t) 2 < 0 ; (ii) π2 x(t) 2 ≤ V(xt) ≤ π3 x(t) 2 c. Pour calculer π3, rappelons que, puisqu’on a ˙V < 0, alors : x(t) W−1 x(t) ≤ V(xt) ≤ V(xt0 ) ≤ (λmax(W−1 )+τλmax(W−1 R1W−1 )+τcλmax(W−1 R2W−1 )) φx 2 c Donc si φx ∈ B(φx), avec δ donné par la relation (12), alors on a x(t) ∈ E(W−1,γ−1) = x ∈ ℜn ; x(t) W−1x(t) ≤ γ−1 . Par ailleurs, la relation (11) signifie que l’ellipsoide E(W−1,γ−1) est inclu dans l’ensemble polyédral S(u0) = {x ∈ ℜn ; |Kx(t)+Kdx(t −τc)−w(t)| ≤ u0} défini avec w(t) = ZW−1x(t) + Kdx(t − τc). Ainsi il suit que, quelque soit φx ∈ B(φx), alors x(t) ∈ S(u0). Donc on peut conclure que la satisfaction de (10) et (11) permet de garantir la stabilité asymptotique du système bouclé (4) pour toute condi- tion initiale φx ∈ B(φx). 2 Remarque 1 : Dans le cas où τ est connu, on peut l’utiliser di- rectement dans la loi de commande en considérant τc = τ. Dans ce cas les conditions sont directement obtenues en utilisant la fonctionnelle V(xt) = x(t) Px(t)+ Z t t−τ x(θ) P1x(θ)dθ La proposition 1 donne un résultat dans le contexte de la sta- bilité locale pour le système (4). Lorsque le système en boucle ouverte est asymptotiquement stable, la stabilité globale du sys- tème peut être considérée. Corollaire 1 : S’il existe des matrices symétriques définies positivesW, R1 et R2, des matricesY1 etY2, et une matrice diago- nale définie positive S telles que l’inégalité suivante est vérifiée :     WA +AW +Y1B +BY1 +R1 +R2 WAd −R1 Y2B 0 −R2 SB −Y1 0 −Y2 −2S     < 0 (13) alors le retour d’état Kx(t) + Kdx(t − τc), avec K = Y1W−1, Kd = Y2W−1 garantie la stabilité globale du système (4). Preuve : Il suffit de considérer G = K = Y1W−1. Dans ce cas, l’inégalité (8) du lemme 1 est satisfaite globalement, c’est-à- dire, ∀ x ∈ ℜn. La satisfaction de la relation (13) permet donc de garantir la stabilité asymptotique globale du système (4), c’est- à-dire, ∀ φx ∈ Cvx τ,n. 2 B. Condition dépendante du retard Pour établir les conditions dépendantes du retard, nous pou- vons utiliser, car x(t) est continuement différentiable pour t ≥ 0, la formule de Leibnitz-Newton : x(t −τ) = x(t)− Z t t−τ ˙x(θ)dθ (14) e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Il est alors possible de réécrire le système (4) sous la forme suivante : ˙x(t) = (A+BK +Ad +BKd)x(t) −Ad Z t t−τ ˙x(θ)dθ−BKd Z t t−τc ˙x(θ)dθ+Bψ(t) (15) On considère la fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii défi- nie comme : V(xt) = x(t) Px(t) + Z t t−τ x(θ) Q1x(θ)dθ+ Z t t−τc x(θ) Q2x(θ)dθ+S(x) (16) où S(x) est une forme quadratique définie positive et 0 ≤ τ ≤ τc. La proposition suivante donne une solution au problème 2. Proposition 2 : S’il existe des matrices symétriques définies positives, de dimension appropriée, W, X1, R1 et R2, des ma- trices Y1, Y2 et Z, une matrice diagonale définie positive S et un scalaire γ satisfaisant les inégalités suivantes :             W(A+Ad) +(A+Ad)W +BY1 +Y1B +BY2 +Y2B +R1 +R2 +τAdX1Ad 0 −R1 0 0 −R2 SB −Z 0 −Y2 τ(AW +BY1) τAdW τBY2 0 0 0 τcY2B 0 0 −2S τBS −τX1 0 ττcX1 −ττ2 cX1 −τ2τcX2 0 0 0 −τcW           < 0 (17) W Y1(i) −Z(i) γu2 0(i) ≥ 0 , i = 1,··· ,m (18) alors le retour d’état Kx(t)+Kdx(t −τc), avec K =Y1W−1, Kd = Y2W−1 et la boule de condition initiale B(φx, ˙φx) définie en (6) avec ∆ =         γ λmax(W−1) +τλmax(W−1R1W−1) +τcλmax(W−1R2W−1) 0 0 γ τ2 2 λmax(X−1 1 ) +τ2 c 2 λmax(W−1)         (19) sont une solution du problème 2. Preuve : La dérivée temporelle de la fonctionnelle de Lyapunov- Krasovskii (16) le long des trajectoires du système (15) s’écrit : ˙V(xt) = x(t) (Q1 +Q2 +(A+BK +Ad +BKd) P +P(A+BK +Ad +BKd))x(t)+2x(t) PBψ(t) −x(t −τ) Q1x(t −τ)−x(t −τc) Q2x(t −τc) −2x(t) PAd R t t−τ ˙x(θ)dθ−2x(t) PBKd R t t−τc ˙x(θ)dθ+ ˙S(x) Sachant que −2x(t) PAd Z t t−τ ˙x(θ)dθ ≤ τx(t) PAdX1AdPx(t)+ Z t t−τ ˙x(θ)X−1 1 ˙x(θ)dθ −2x(t) PBKd Z t t−τc ˙x(θ)dθ ≤ τcx(t) PBKdX2KdB Px(t)+ Z t t−τc ˙x(θ)X−1 2 ˙x(θ)dθ et en considérant S(x) = Z 0 −τ Z t t−β ˙x(θ)X−1 1 ˙x(θ)dθdβ+ Z 0 −τc Z t t−β ˙x(θ)X−1 2 ˙x(θ)dθdβ et la condition de secteur (8), avec w = Gx(t)+Kdx(t −τc), pour tout x(t) ∈ S(u0), la dérivée temporelle de la fonctionnelle V(xt) peut être majorée de la manière suivante : ˙V(xt) ≤ x(t) (Q1 +Q2 +(A+BK +Ad +BKd) P +P(A+BK +Ad +BKd))x(t) −x(t −τ) Q1x(t −τ)−x(t −τc) Q2x(t −τc)−2ψ(t) S−1ψ(t) +2x(t) (PB−G S−1)ψ(t)−2x(t −τc) KdS−1ψ(t) +τx(t) PAdX1AdPx(t)+τcx(t) PBKdX2KdB Px(t) +τ˙x(t) X−1 1 ˙x(t)+τc ˙x(t) X−1 2 ˙x(t) (20) En remplaçant ˙x(t) par son expression (4) et en ex- primant les conditions sous forme matricielle avec ξ = x(t) x(t −τ) x(t −τc) ψ(t) , on obtient que le membre de droite de (20) est égal à : ξ         A0P+PA0 +Q1 +Q2 +τPAdX1AdP +τcPBKdX2KdB P 0 −Q1 0 0 −Q2 B P−S−1G 0 −S−1Kd −2S−1         ξ+ ξ     (A+BK) Ad KdB B    (τX−1 1 +τcX−1 2 ) (A+BK) Ad BKd B ξ avec A0 = A + BK + Ad + BKd. On applique le complément de Schur pour mettre le système sous la forme ξ N ξ, avec N =          A0P+PA0 +Q1 +Q2 +τPAdX1AdP +τcPBKdX2KdB P 0 −Q1 0 0 −Q2 B P−S−1G 0 −S−1Kd −2S−1 A+BK Ad BKd B −(τX−1 1 +τcX−1 2 )−1           On pré- et post-multiplie N par diag{W,W,W,S,I}. On pose GW = Z, WQ1W = R1, WQ2W = R2, KW = Y1, KdW = Y2 et X2 = W. On applique le complément de Schur sur le terme τcBKdX2KdB = τcBY2W−1X2W−1Y2B . Notons par ailleurs que, en utilisant le lemme d’inversion matricielle, on a : −(τX−1 1 +τcX−1 2 )−1 = −τ−1 X1 +τ−1 X1(τ−1 c X2 +τ−1 X1)−1 τ−1 X1 e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 On peut alors appliquer le complément de Schur sur ce nouveau terme et on obtient la condition :             W(A+Ad) +(A+Ad)W +BY1 +Y1B +BY2 +Y2B +R1 +R2 +τAdX1Ad 0 −R1 0 0 −R2 SB −Z 0 −Y2 AW +BY1 AdW BY2 0 0 0 τcY2B 0 0 −2S BS −τ−1X1 0 τ−1X1 −τ−1X1 −τ−1 c W 0 0 0 −τcW           < 0 Enfin, en pré- et post-multipliant cette inégalité par diag{I,I,I,I,τI,ττcI,I} on obtient l’inégalité (17). Ainsi, pourvu que x(t) ∈ S(u0), si la condition (17) est vérifiée, on a : (i) ˙V(xt) ≤ π1 x(t) 2 < 0 (ii) π2 x(t) 2 ≤ V(xt) ≤ π3 x(t) 2 c Le calcul de π3 se fait de manière similaire au cas de la pro- position 1. L’ensemble des conditions initiales admissibles est l’ensemble B(φx, ˙φx). La condition d’inclusion de E(W−1,γ−1) dans S(u0) est inchangée, et on en déduit la stabilité asympto- tique du système bouclé (4) pour toute condition initiale φx sa- tisfaisant (6) avec ∆ donné par (19). 2 Remarque 2 : Dans le cas où τ n’est pas connu, c’est en fait τmax qui remplace τ dans la condition (17) et dans l’expression de la borne ∆. Remarque 3 : Dans le cas où τ est connu, on peut l’utiliser di- rectement dans la loi de commande en considérant τc = τ. Dans ce cas, les conditions sont directement obtenues en utilisant la fonctionnelle V(xt) = x(t) Px(t)+ Z t t−τ x(θ) Q1x(θ)dθ+S(x) et en considérant le système ˙x(t) = (A+BK +Ad +BKd)x(t)−(Ad +BKd) Z t t−τ ˙x(θ)dθ+Bψ(t) Remarque 4 : L’ensemble de conditions initiales défini dans la proposition 2 nécessite de borner, et donc de connaître, la dé- rivée de φx, ce qui peut s’avérer restrictif dans certains cas. Pour pallier ce problème, une solution consiste à remplacer ˙x(θ) par sa valeur donnée par l’équation (4) dans chacun des termes inté- graux. On pourra alors borner la somme des termes obtenus. La seule difficulté reste de borner la norme de la nonlinéarité ψ(t). Pour cela, on peut s’inspirer de [14]. Remarque 5 : Lorsque le système en boucle ouverte est asymptotiquement stable, la stabilité asymptotique globale dé- pendant du retard peut être considérée, en utilisant le même type de raisonnement que précédemment. V. PROCÉDURE D’OPTIMISATION Du moment que τ et τc ne sont pas des variables à recher- cher, les conditions (10)-(11) de la proposition 1 ou (17)-(18) de la proposition 2 sont linéaires dans les variables du système. Le seul problème soulevé par ces conditions est de définir un critère d’optimisation permettant de maximiser les valeurs de δ ou ∆ données dans les propositions 1 et 2. Sachant qu’on ne sait pas minimiser directement la valeur propre maximale de W−1R1W−1 et de W−1R2W−1 on utilise simplement un critère de la forme : min σ1 +σ2 +σ3 sous les conditions : σ3I I I W ≥ 0 ; σ1I −R1 ≥ 0 ; σ2I −R2 ≥ 0 (21) En effet, en considérant σ1I − R1 ≥ 0, on a σ1W−1W−1 − W−1R1W−1 ≥ 0 et en utilisant la condition σ3I −W−1 ≥ 0, on peut en déduire implicitement que σ1σ2 3I − W−1R1W−1 ≥ 0. Pour limiter l’amplitude des gains K et Kd, on considère les constraintes KWK = Y1PY1 ≤ σ4I et KdWKd = Y2PY2 ≤ σ5I et on essaye de minimiser σ4 et σ5. Les matrices W, R1 et R2 sont limitées aussi par les relations σ6I ≤ W ≤ σ6ncI, où nc est une borne convenablement choisie. Le problème d’optimisation associé au cas indépendant du retard s’écrit ainsi, avec les ηi représentant des pondérations sur les différents termes : min η0γ+η1σ1 +η2σ2 +η3σ3 +η4σ4 +η5σ5 sous les conditions (10), (11), (21) et σ4I Y1 Y1 W ≥ 0 ; σ5I Y2 Y2 W ; σ6I ≤ W ≤ σ6ncI (22) De la même manière, le problème d’optimisation associé au cas dépendant du retard s’écrit : min η0γ+η1σ1 +η2σ2 +η3σ3 +η4σ4 +η5σ5 +η6σ6 +η7σ7 sous les conditions (17), (18) et σ3I I I W ≥ 0 ; σ4I I I X1 ≥ 0 σ1I −R1 ≥ 0 ; σ2I −R2 ≥ 0 σ5I Y1 Y1 W ≥ 0 ; σ6I Y2 Y2 W ; σ7I ≤ W ≤ σ7ncI (23) Un autre problème intéressant, lorsque le retard τ ∈ [0, τmax], peut être de maximiser la borne τmax et donc de chercher à ré- soudre le problème d’optimisation suivant1 : minτmax sous les conditions (17), (18) (24) τmax multiplie certaines des variables de décision (X1, W, ...), mais, étant donné que c’est un scalaire, on peut faire croître τmax de manière itérative, et pour chacune des valeurs, tester la faisa- bilité des conditions de la proposition 2. 1τmax remplace τ dans la condition (17). e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 VI. EXEMPLES NUMÉRIQUES A. Exemple 1 - Stabilité indépendante du retard Considérons le système (1) défini par les matrices suivantes : A = 1 1.5 0.3 −2 ;Ad = −1 0 0.5 −1 ;B = 10 1 et u0 = 10. Le système en boucle ouverte est instable si le retard est nul (pôles en 0.3574 et -3.3574). Pour résoudre le problème 1, on considère le problème d’optimisation (22), avec ηi = 1. On considère aussi qu’on a accès à la valeur de τ, et on prend τc = τ. En appliquant les conditions (10) et (11), on peut vérifier qu’il est stabilisable indépendamment du retard. Les gains obtenus sont donnés par : K = −0.1498 −0.02294 ; (25) Kd = 0.09113 0.01511 (26) La valeur de δ qui définit la boule de conditions initiales est dépendante de la valeur de τ selon l’équation (12). La table qui suit donne quelques valeurs de τ et la valeur de δ correspon- dante. τ 0 1 10 100 δ 199.08 157.10 54.21 7.18 TABLE I CORRESPONDANCE ENTRE τ ET δ. La figure ci dessous montre les régions E(W−1,γ−1) (traits pleins) et B(φx) (tirets) dans le cas τ = τc = 10. −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −15 −10 −5 0 5 10 15 PSfrag replacements x1 x2 Fig. 1. Tracets de l’ellipsoïde E(W−1,γ−1) et de la boule de conditions initiales B(φx). B. Exemple 2 - Stabilité dépendante du retard Considérons à présent le système (1) défini par les matrices suivantes : A = 1 1 3 −3 ;Ad = −0.002 0.001 0 −.0001 ;B = 10 1 et u0 = 1. Le système en boucle ouverte est instable si le retard est nul (pôles en 1.6164 et -3.7064). Pour résoudre le problème 2 on a considéré la stratégie de la section V avec ηi = 1. On considère aussi que τ est connu, auquel cas il est possible de faire τc = τ. Avec les conditions (17)-(18) et la stratégie d’opti- misation présentée dans la section V, la valeur τmax = 4.91 a été obtenue. Les gains obtenus avec τmax sont : K = 0.20810 −0.4226 ; (27) Kd = −4.278 .10−5 4.299 .10−5 (28) Avec ce retard maximal, la région de conditions initiales ad- missibles B(φx, ˙φx) est définie à partir de : P = 3.4561 −3.4710 −3.4710 3.4999 ; γ = 3.4738 VII. CONCLUSION Une méthode pour synthétiser une loi de commande satu- rée dépendante de l’état courant et de l’état retardé, construite à partir d’un retard connu τc, a été proposée. Des conditions indépendantes du retard et dépendantes du retard ont été pro- posées dans les cas local et global. Dans le cas local, les en- sembles de conditions initiales, pour lesquels la stabilité asymp- totique du système bouclé est garantie, ont été caractérisés. Les conditions théoriques ont été développées en utilisant une condi- tion de secteur généralisée et des fonctionnelles de Lyapunov- Krasovskii. A partir de ces conditions, des problèmes d’optimi- sation convexes, avec contraintes LMIs, ont été proposés afin de calculer les gains de la loi de commande permettant de maximi- ser l’ensemble des conditions initiales admissibles. Dans le cas dépendant du retard, le problème de maximisation de la borne du retard a été discuté. RÉFÉRENCES [1] J.P. Richard. Time-delay systems : an overview of some recent advances and open problems. Automatica, 39 :1667–1604, 2003. [2] L. Dugard et E. I. Verriest (Eds.). Stability and Control of Time-delay Systems. Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1997. [3] S-I. Niculescu. Delay Effects on Stability. A Robust Control Approach. Springer-Verlag, Berlin, Germany, 2001. [4] S.I. Niculescu et K. Gu (Eds.). Advances in Time-Delay Systems. Springer- Verlag, 2004. [5] S. Tarbouriech et G. Garcia (Eds.). Control of Uncertain Systems with Bounded Inputs, volume 227. Springer-Verlag, Berlin, 1997. Lecture Notes in Control and Information Sciences. [6] V. 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