Nouvelles fonctions de Lyapunov pour l'étude de la stabilité de modèles discrets non linéaires sous la forme Takagi-Sugeno

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-4:19920
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Résumé

Nouvelles fonctions de Lyapunov pour l'étude de la stabilité de modèles discrets non linéaires sous la forme Takagi-Sugeno

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            <title>Nouvelles fonctions de Lyapunov pour l'étude de la stabilité de modèles discrets non linéaires sous la forme Takagi-Sugeno</title></titles>
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	    <date dateType="Created">Sun 24 Sep 2017</date>
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Résumé — Le travail présenté traite de la stabilité des modèles flous discrets sous la forme Takagi-Sugeno. Partant de la constatation que des fonctions de Lyapunov non quadratiques permettent d'améliorer de façon significative les résultats obtenus avec une fonction de Lyapunov quadratique, le travail propose de nouvelles fonctions de Lyapunov non quadratiques prenant en compte les états retardés. L'ensemble des résultats obtenus permet d'englober tous les résultats existants. Plusieurs exemples illustrent les nouvelles conditions obtenues. Mots clés — modèles Takagi-Sugeno, stabilité, fonction de Lyapunov non quadratique. I. INTRODUCTION EPUIS plusieurs années, la stabilité et la stabilisation des modèles non linéaires mis sous forme Takagi-Sugeno (TS) a connu un intérêt grandissant. Les modèles TS sont des ensembles de modèles linéaires interconnectés à l’aide de fonctions non linéaires [1]. L’étude de la stabilité de ces modèles passe essentiellement par la méthode directe de Lyapunov. Cette méthode met en jeu une fonction de Lyapunov qui est généralement quadratique et implique des résultats qui peuvent se révéler très conservatifs [2]. Les conditions obtenues sont généralement mises sous la forme de LMI (Inégalités Matricielles Linéaires). La faisabilité de ces conditions peut être facilement évaluée grâce à l’algorithme du point intérieur [3]. Ce dernier donne également une solution admissible avec des performances temporelles acceptables. Des travaux concernant la stabilisation utilisent également des fonctions de Lyapunov quadratique [2, 4]. Ils donnent des résultats sous forme LMI. La loi de commande utilisée dans ces travaux est une loi PDC (Parallel Distributed Compensation). Afin de rendre les résultats moins conservatifs, certains auteurs [5,6] se sont intéressés aux fonctions de Lyapunov quadratiques par morceau. L’un des avantages de ces Ce travail est financé dans le cadre du CPER en partie par la Région Nord Pas-de-Calais et le FEDER (Fonds Européen de Développement Régional) sous le projet AUTORIS T31. fonctions est de pouvoir prendre en compte le partitionnement de l’espace des prémisses. Une des limitations de ce type d’approche est la nécessité d’un partitionnement particulier des prémisses. En effet, cette approche n’est efficace que si le modèle possède un nombre élevé de régions de l’espace des prémisses où un seul modèle linéaire est actif. L’intérêt de cette méthode est donc très réduit lorsque l’on utilise une approche par secteur non linéaire [4]. Dans ce cas le représentant obtenu est exact dans un compact des variables d’état [7]. Il n’y pas de régions de l’espace des prémisses contenant un seul modèle linéaire et le nombre de sous-ensembles flou est de deux par variable. Un autre type de fonction de Lyapunov prenant en compte les non linéarités du modèle existe [8]. Ce type fonction de Lyapunov ne donne des résultats intéressants que dans le cas de modèle TS discrets. Elle est non quadratique et utilise le même partitionnement de l’espace que celui du modèle. Les résultats issus du cas quadratique sont alors un cas particulier des résultats non quadratiques. De plus, l’utilisation de lois de commande différentes permet d’améliorer encore les résultats [8]. Enfin, ces différents résultats ont été étendus au cas des modèles TS avec incertitude [9] et à retards [10]. Pour permettre l’obtention de conditions moins conservatives, une nouvelle approche consiste à introduire des fonctions de Lyapunov dépendant des états précédents. Un premier résultat est donné dans [11]. Dans ce cas, les fonctions de Lyapunov précédentes se révèlent être un cas particulier de ces fonctions plus générales. Le but des travaux est de généraliser l’approche précédente [11] à une classe de fonctions de Lyapunov permettant l’utilisation d’un nombre plus élevé d’inconnues. Dans ce cas, ce rajout permet d’améliorer la qualité des résultats. Notons toutefois, que le nombre de conditions mises en œuvre croît exponentiellement en fonction du nombre d’états précédents pris en compte. Plus ce nombre est élevé meilleurs sont les résultats obtenus, mais les problèmes LMI obtenus sont de taille de plus en plus importante et peuvent se révéler incompatibles avec les capacités des solveurs actuels. Nouvelles fonctions de Lyapunov pour l'étude de la stabilité de modèles discrets non linéaires sous la forme Takagi-Sugeno T. M. GUERRA, A. KRUSZEWSKI LAMIH, UMR CNRS 8530, Université de Valenciennes, Le Mont Houy, 59313 Valenciennes Cedex 9, France. Thierry.Guerra@univ-valenciennes.fr akruszew@univ-valenciennes.fr D e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Le papier est organisé comme suit : les modèles TS discrets sont introduits ainsi que les outils mathématiques utilisés. Le problème de l’analyse de la stabilité est ensuite abordé. Les résultats de la stabilité quadratique et non quadratique sont d’abord rappelés ainsi que l’approche issue de [11]. Les principaux résultats sont ensuite énoncés, montrant la généralisation de tous les résultats précédents. Des exemples sont donnés afin d’illustrer l’efficacité de la méthode. II. MODELES ET OUTILS UTILISES Notations : On considère des fonctions scalaires positives ( )( ) 0ih z ⋅ ≥ possédant la propriété de somme convexe, i.e. ( )( ) 1 1 r i i h z = ⋅ =∑ . Pour toute matrice iA { }1, ,i r∈ … on définit les notations suivantes : ( ) ( )( ) 1 r i iz i A h z A⋅ = = ⋅∑ ou encore ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 r i i n nz t i n P h z t i P+ = = +∑ . On définit également ,a b∈ , a b≤ 1 b i a a b i a Y Y Y Y+ = =∏ … et 1 b b b a i a Y Y Y Y− = = … . Enfin une étoile ( )* indique la quantité nécessaire pour rendre la quantité symétrique. Par exemple : si zG et zP sont symétriques ( )* 0T z z zA G P− < dénote 0T z z z zA G A P− < et ( )* 0 z P A G ⎡ ⎤ >⎢ ⎥ ⎣ ⎦ signifie 0 T z z P A A G ⎡ ⎤ >⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Les modèles discrets étudiés sont sous la forme Takagi- Sugeno [1]. Ces modèles sont constitués de sous modèles linéaires interconnectés par des règles floues : Règle i : Si ( )1z t est 1 i F … …et ( )nz t est i nF alors ( ) ( ) ( )1 i ix t A x t B u t+ = + Ces modèles représentent une classe de modèles non linéaires affines en la commande de façon exacte dans un compact de l’espace d’état [4, 7]. A partir d’un modèle non linéaire de la forme : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1x t f x t g x t u t+ = + , (1) Il existe une méthode systématique dite par secteur non linéaire [4] pour le mettre sous la forme TS suivante : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 r i i i i z t z t x t h z t A x t B u t A x t B u t = + = + = + ∑ (2) Avec ( )x t l’état, ( )z t le vecteur des prémisses qui dépend de plusieurs variables (qui peuvent être des variables d’état), r est le nombre de modèle linéaires, ( )( )ih z t sont les fonctions d’appartenance du vecteur des prémisses à la règle i vérifiant la propriété de somme convexe, et ( )u t représente la commande. Notons que le nombre de règles augmente exponentiellement avec le nombre de non linéarités du modèle (1) [2] et que La représentation TS de (1) n’est pas unique [7]. Lemme 1 [12] : Soit 0P > , Γ , Φ et Ψ des matrices aux dimensions appropriées, les deux problèmes suivants sont équivalent : Trouver 0P > tel que 0T PΦ Φ − Γ < (3) Trouver 0P > et Ψ tels que ( )* 0T P −Γ⎡ ⎤ <⎢ ⎥ ΨΦ −Ψ − Ψ +⎣ ⎦ (4) Preuve : ( )⇐ L’utilisation de la congruence avec T I⎡ ⎤−Φ⎣ ⎦ sur (4) donne directement le résultat. ( )⇒ Il suffit de choisir PΨ = et d’utiliser le complément de Schur sur (4). Remarque 1 : L’équivalence donnée dans le lemme 1 n’est plus valable si Ψ est soumise à des contraintes qui l’empêchent d’être égale à P . Lemme 2 : L’expression 0T z zA A PΘ − < avec 0P > et 0Θ > est vérifiée si 0T i iA A PΘ − < l’est pour tout { }1, ,i r∈ … . Preuve : L’inégalité 0T z zA A PΘ − < peut être écrite sous la forme : ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 2 1 1 1 2 r r T T z i i z i i i i i r r T T i i i j j i i j i A h z t A A P h z t A A P h z t h z t A A A A P = = = > ⎛ ⎞ Θ − = Θ − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + Θ + Θ − ∑ ∑ ∑∑ (5) En utilisant le fait que ( ) ( ) 0T T i j i jA A A A− Θ − ≥ on peut écrire : 2 2T T T T i j j i i i j jA A A A P A A A A PΘ + Θ − ≤ Θ + Θ − (6) Si 0T i iA A PΘ − < est vérifiée pour tout { }1, ,i r∈ … alors l’inégalité (6) l’est aussi. Comme les ( )( )ih z t { }1, ,i r∈ … sont des fonctions scalaires positives, (5) est définie négative. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 III. RESULTATS PRECEDENTS On considère dans cette section le modèle en boucle ouverte suivant: ( ) ( ) ( )1 z t x t A x t+ = (7) Les résultats dits « classiques » sont rappelés dans cette section. Le premier théorème donne les conditions de stabilité en utilisant une fonction de Lyapunov quadratique le second en utilisant une fonction non quadratique. Théorème [2] : Le modèle (7) est globalement asymptotiquement stable s’il existe une matrice 0P > telle que : 0T i iA PA P− < , pour tout { }1, ,i r∈ … (8) Théorème [8] : Le modèle (7) est globalement asymptotiquement stable s’il existe des matrices 0iP > { }1, ,i r∈ … telles que : 0T i j i iA P A P− < , pour tout { }, 1, ,i j r∈ … (9) Les lemmes suivants et les théorèmes suivants serviront de base à la présentation des nouveaux résultats. Lemme 3 [11] : Soit une fonction de Lyapunov ( )( )V x t , Le modèle (7) est globalement asymptotiquement stable si ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0kV x t V x t k V x t∆ = + − < pour tout * k ∈ , pour tout t ∈ et pour toutes conditions initiales. Remarque 2 : Comme ( )( )V x ⋅ est une fonction de Lyapunov, la fonction ( )( ) ( )( ) 1 0 k l V x t V x t l − = = +∑ est également une fonction de Lyapunov. La stabilité est vérifiée si ( )( ) ( )( )1 0V x t V x t+ − < . Cette quantité est réécrite : ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0kV x t V x t k V x t∆ = + − < . L’approche proposée ici s’apparente aux travaux de [13] sur les modèles linéaires non stationnaires discrets. En appliquant le lemme 3 sur une fonction de Lyapunov quadratique, on obtient une fonction de Lyapunov : ( ) ( ) 1 0 k T k i V x t i Px t i − = = + +∑ (10) et le théorème suivant. Théorème 1 [11] : Soit le modèle TS (7) en boucle ouverte, s’il existe une matrice 0P > commune telle que 0 1 1 1 1 0 0k k T T T i i i i i iA A A PA A A P− − − <… … soit vrai pour toutes les combinaisons des {1,2, , }li r∈ … , {0,1, , 1}l k∈ −… alors le modèle (7) est globalement asymptotiquement stable. Preuve : le résultat est direct en partant des lemmes 2 et 3 et de la définition du modèle (7). Il est comparable avec celui de [13]. Dans le cas non quadratique on utilise la fonction de Lyapunov suivante [8] avec 0iP > , { }1, ,i r∈ … : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 r T T i i z t i V x t x t h z t Px t x t P x t = = =∑ (11) Théorème 2 [11] : Soit le modèle TS en boucle ouverte (7), s’il existe des matrices iΨ , 0iP > , { }1, ,i r∈ … , telles que ( ) 0 0 1 1 0 * k k k k k T T T i i i i i T i i i P A A A P − ⎡ ⎤Ψ >⎢ ⎥ Ψ + Ψ −⎢ ⎥⎣ ⎦ … pour toute combinaison de {1,2, , }li r∈ … , {0,1, , }l k∈ … alors le modèle (7) est globalement asymptotiquement stable. Remarque 3 [11] : Un résultat intéressant en terme d’inclusion peut être donné : si les conditions des théorèmes 1 et 2 sont satisfaites pour k p l= × , * ,p l ∈ alors elles le sont pour ( )1k p l= + × . IV. PRINCIPAUX RESULTATS Les nouveaux résultats utilisent une généralisation de [11] basée sur la remarque en utilisant la fonction de Lyapunov suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 k iT k z t i i V x t i P x t i − + = = + +∑ , * k ∈ (12) On peut réécrire le modèle (7) de la manière suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 i z t i z t z t j j x t i A A x t A x t − + + = ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … (13) En utilisant (13) dans le calcul de la variation de la fonction de Lyapunov (12) on obtient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 11 0 0 * * ik iT k z t i z t j i j ik i z t i z t j i j V x t P A P A x t − + + + = = −− + + = = ⎛ ⎛ ⎞ ∆ = ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎞⎛ ⎞ − ⎟⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎠ ∑ ∑ (14) La condition suffisante de stabilité 0kV∆ < est vraie si: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 * * 0 k k z t k z t j j ik i i z t i z t i z t j z t i j P A P P A P − − + + = − + + + + + + = = ⎛ ⎞ Γ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + − − <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (15) e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Définissons la matrice suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 0 1 1 , ,..., 0 2 1 0 0 0 * * 0 k k m l l m k k i i i i i m ik l l i i i i l m P A P P A P+ + − − = − + = = ⎛ ⎞ Γ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + − − <⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ (16) Théorème 3 : Soit le modèle TS en boucle ouverte (7), s’il existe des matrices, ( ) 0j iP > , { }1, ,i r∈ … , { }1, , 1j k∈ −… , telles que 0 1, , , 0ki i iΓ <… pour toute combinaison de {1,2, , }li r∈ … , {0,1, , }l k∈ … , avec 0 1, , , ki i iΓ … défini en (16), alors le modèle (7) est globalement asymptotiquement stable. Preuve : En considérant l’inéquation (15) et en appliquant le lemme 2 on obtient la condition suivante : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 * * 0 k kT i z t k z t j j ik i i iz t i z t i z t j z t i j A P A P P A A P − − + + = − + + + + + + = = ⎡ ⎛ ⎞ +⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎤⎛ ⎞ − − <⎥⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎦ ∑ (17) pour tout 0 {0,1, , }i r∈ … . On peut ensuite écrire (17) sous la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0 2 00 1 1 1 * * 0 k kT T i z t z t k z t j j ik i i iz t i z t i z t j z t i j T i iz t z t z t A A P A P P A A A A P P A P − − + + + + = − + + + + + + + = = + + ⎡ ⎛ ⎞ +⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎤⎛ ⎞ + − ⎥⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎦ + − − < ∑ (18) En appliquant ce raisonnement par récurrence, on obtient les conditions du théorème 3. Pour démontrer l’intérêt de ces nouvelles conditions, les deux corollaires suivants prouvent en premier lieu l’inclusion des autres résultats dans ce dernier et, que plus le nombre d’états précédents k pris en compte est grand, moins les résultats sont conservatifs. Corollaire 1 : Le domaine des solutions admissibles du théorème 3 inclut le domaine des solutions du théorème 2. Preuve : Les conditions du théorème 2 peuvent être mise de façon équivalente sous la forme 0 1 1 1 1 0 0 0k k k T T T i i i i i i i iA A A P A A A P− − − <… … pour toute combinaison des {1,2, , }li r∈ … avec {0,1, , }l k∈ … en posant n i iP P= pour tout { }1,...,i r∈ . Cette expression est égale aux conditions issues du théorème 3. Corollaire 2 : Si les conditions du théorème 3 sont satisfaites pour k l= , elles le sont également pour 1k l= + . Preuve : Si les conditions du théorème 3 sont satisfaites pour k l= alors on a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 * * 0 l lT i z t l z t j j il i i iz t i z t i z t j z t i j A P A P P A A P − − + + = − + + + + + + = = ⎡ ⎛ ⎞ +⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎤⎛ ⎞ − − <⎥⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎦ ∑ Il existera toujours des matrices 0l iP Iα= > { }1,...,i r∈ , avec α suffisamment petit, telles que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 * * * * 0 l lT i z t l z t j j l l l l z t l z t j z t l z t j j j il i i iz t i z t i z t j z t i j A P A P A P A P P A A P + + + = − − − + + + + = = − + + + + + + = = ⎡ ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎤⎛ ⎞ − − <⎥⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠⎦ ∑ (19) Ce qui correspond au théorème 3 avec 1k l= + . Remarque 4 : Le théorème 3 peut facilement être adapté pour l’utilisation d’une fonction de Lyapunov quadratique. Pour cela il suffit de poser n n iP P= . Ceci montre également l’inclusion du domaine des solutions du cas quadratique dans le domaine des solutions du cas non quadratique. V. EXEMPLES Afin de montrer l’efficacité de la nouvelle méthode, on propose d’effectuer des comparaisons sur le modèle suivant : ( ) ( ) ( )1 z t x t A x t+ = (20) avec : 1 0.8 0 0.9 a A −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , 2 0.9 0 0.8 A b ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . Pour les paires ( ),a b , ( ) ] [ 2 , 1 1a b ∉ − , l’un au moins des modèles linéaires est instable. Dans ce cas la stabilité du modèle TS ne peut être prouvée puisqu’il s’agit d’une condition nécessaire, voir par exemple conditions du théorème 1. Le but est de déterminer suivant les différents résultats proposés les domaines dans le plan ( ),a b où la stabilité du modèle non linéaire (20) peut-être démontrée. Il est important de noter que pour le théorème 1, fonction de e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Lyapunov élémentaire quadratique, le domaine des solutions est vide jusqu’à 3k = . On commence donc le tracé dans le cas quadratique du théorème 1 avec 3k = (cas n°1). • Pour rester avec une fonction élémentaire de Lyapunov quadratique, les cas n°2 et n°3 correspondent à la version quadratique du théorème 3, respectivement pour 2k = et 3k = . On s’aperçoit de manière évidente que le passage de la fonction de Lyapunov du type (10) à celui du type (12) (avec n n iP P= ) s’accompagne d’une réduction significative de la conservativité. En continuant le quadratique pour 4k = et 6k = on obtient les cas n°5 et n°6 qui ne permettent plus d’augmenter de façon significative le domaine des solutions admissibles. • Dans le cas non quadratique, théorème 2, le domaine des solutions obtenu pour 4k = et la fonction de Lyapunov est représenté par le cas n°4. Le cas n°7 correspond au résultat du théorème 3 avec 3k = . fig. 1. Domaines des solutions pour les différents théorèmes On constate une grande différence entre le domaine du cas n°1 et le cas n°2. Pour un nombre plus restreint de conditions LMI et quelques variables supplémentaires (et un temps de calcul équivalent), on augmente de façon considérable le domaine des solutions. A titre d’illustration l’évolution du modèle au cours du temps dans le cas particulier : ( ) ( ), 0,4 0,2a b = − est présenté. On a : 1 0,4 0,8 0 0,9 A − −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ , 2 0,9 0 0,8 0,2 A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ . Afin de pouvoir simuler, les fonctions d’appartenance sont choisies comme suit : ( )( ) ( )( )( )1 10.5 1 cosh z t x t= + et ( )( ) ( )( )2 11h z t h z t= − . Les conditions initiales sont : ( ) [ ]0 0 2 T x = . fig. 2. Évolution de l’état du modèle pour les conditions initiales ( ) [ ]0 0 2 T x = . La figure 2 illustre la convergence de l’état, la figure 3 celle de la fonction de Lyapunov globale. On peut décomposer la fonction de Lyapunov comme suit : ( ) ( ) 1 0 k i i V t V t i − = = −∑ avec ( ) ( ) ( ) ( ) T i i z t V t x t P x t= . Si on s’intéresse à chaque « composante » de la fonction de Lyapunov, on remarque que la fonction élémentaire ( )1V t n’est pas strictement décroissante, figure 4. fig. 3. Évolution de la fonction de Lyapunov. Remarque 5 : Le temps de calcul nécessaire pour la résolution des problèmes LMI reste raisonnable (de l’ordre de la dizaine de secondes) car k est faible. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 fig. 4. Évolution de la fonction élémentaire ( ) ( ) ( ) ( )0 1 z t V x t P x t= . Remarque 6 : Afin de pouvoir donner une idée des performances temporelles des différentes conditions, on choisit le cas particulier : ( ) ( ), 0 0a b = . Les calculs ont été effectués sous MATLAB 6.5 sur un P4 3Ghz 512 Mo de RAM. On choisit arbitrairement 10k = . La stabilité de ce modèle est prouvée par toutes les conditions ci-dessous : Théorème 1 : environ 10 secondes. Théorème 2 : environ 20 secondes. Théorème 3 version quadratique : environ 1 minute. Théorème 3 : environ 3 minutes. Ces résultats ne sont donnés qu’à titre indicatif. La relation d’ordre qui semble se dégager dépend du nombre de règles. Ainsi le temps de calcul du théorème 2 peut être supérieur à celui du théorème 3 version quadratique. VI. CONCLUSION Dans ces travaux, une nouvelle fonction de Lyapunov a été développée. L’inclusion du domaine des solutions des résultats existants dans la littérature a été démontrée. Ces travaux montrent l’importance du choix de la fonction de Lyapunov. Ils montrent également que les limites des machines actuelles et des algorithmes sont atteintes. Afin de pouvoir résoudre ces conditions pour des valeurs de k élevées. Les travaux en cours de développement s’intéressent à la stabilisation des modèles en utilisant les mêmes fonctions de Lyapunov. L’approche est alors un peu plus complexe puisque des nouvelles variables (les gains de retour d’état) doivent être déterminés en même temps que les matrices de la fonction de Lyapunov. Néanmoins, des premiers résultats ont été obtenus sous forme de LMI et ont été présentés en partie dans [14]. REFERENCES [1] T. Takagi, M. Sugeno (1985). Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control. IEEE transactions on System, Man and Cybernetics, vol 15 (1), pp. 116–132 [2] K. Tanaka, T. Ikeda, H.O. Wang (1998). Fuzzy regulators and fuzzy observers : relaxed stability conditions and LMI-based designs. IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol. 6 (2), pp. 1-16 [3] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan (1994). Linear Matrix Inequalities in system and control theory. SIAM, Philadelphia, PA. [4] K. Tanaka, H.O. Wang (2001). Fuzzy control systems design and analysis. A linear matrix inequality approach. John Wiley & Sons, New York [5] M. Johansson, A. Rantzer, K. Arzen (1999). Piecewise quadratic stability of fuzzy systems. IEEE Transactions on Fuzzy Systems vol. 7, pp. 713-722 [6] G. Feng (2003). Controller synthesis of fuzzy dynamic systems based on piecewise lyapunov functions. IEEE Trans. Fuzzy Systems, vol. 11 (5), pp. 605–612 [7] T. Taniguchi, K. Tanaka, H.O. Wang (2001). Model construction, rule reduction and robust compensation for generalized form of Takagi- Sugeno fuzzy systems. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 9 (4), pp. 525-537 [8] T.M. Guerra, L. Vermeiren (2004). LMI-based relaxed non-quadratic stabilization conditions for nonlinear systems in Takagi-Sugeno’s form. Automatica, vol. 40 (5), pp. 823-829 [9] A. Kruszewski, T.M. Guerra (2005) – Conditions of output stabilization for uncertain discrete fuzzy models – IFAC Triennial World Congress, Prague (République Tchèque) [10] T.M. Guerra, A. Kruszewski, J.P. Richard (2004) Non-quadratic stabilization conditions for a class of uncertain discrete-time nonlinear models with time-varying delays - Workshop IFAC TDS 04, Université Catholique de Louvain, Belgique [11] A. Kruszewski, T.M. Guerra, (2005) New Approaches for the Stabilization of Discrete Takagi-Sugeno Fuzzy Models. – Joint 44th IEEE Conference CDC-ECC’05 Séville, Espagne [12] J.V.De Oliveira, J. Bernussou, J.C. Geromel (1999). A new discrete- time robust stability condition. Systems & Control Letters, vol. 37, pp. 261-265 [13] A. Megretski (1996). Integral quadratic constraints derived from the set-theoretic analysis of difference inclusions. 35th Conference on decision and control, Kobe, Japon [14] A. Kruszewski, R. Wang, T.M. Guerra (2006). New approaches for stability and stabilization analysis of a class of nonlinear discrete time- delay models. Workshop IFAC TDS 06, L’Aquila, Italie e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4