Contrôlabilité des systèmes non linéaires de dimension infinie

24/09/2017
Publication e-STA e-STA 2006-4
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2006-4:19917
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Résumé

Contrôlabilité des systèmes non linéaires de dimension infinie

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Contrˆolabilit´e des syst`emes non lin´eaires de dimension infinie Jean-Michel Coron Institut universitaire de France et Universit´e de Paris-Sud 11 D´epartement de math´ematiques, 91405 Orsay, France Jean-Michel.Coron@math.u-psud.fr, http://www.math.u-psud.fr/˜coron/ R´esum´e— On pr´esente diff´erentes m´ethodes pour ´etudier la contrˆolabilit´e de syst`emes distribu´es. Pour ´eviter des d´etails techniques qui pourraient obscurcir inutilement les id´ees principales, on fait cette pr´esenta- tion en dimension finie. On donne des r´ef´erences sur l’emploi de ces m´ethodes en dimension infinie pour quelques syst`emes physiques provenant de la m´eca- nique des fluides et de la m´ecanique quantique. I. Introduction Quand on cherche `a ´etudier la contrˆolabilit´e d’un sys- t`eme de contrˆole de dimension finie autour d’un point d’´equilibre, la premi`ere chose `a faire est d’´etudier la contrˆolabilit´e du lin´earis´e autour du point d’´equilibre. Si ce lin´earis´e est contrˆolable on en d´eduit, `a l’aide du th´eor`eme d’inversion locale, la contrˆolabilit´e locale du syst`eme non lin´eaire autour du point d’´equilibre au moins dans le cas d’un syst`eme de dimension finie. Ce r´esultat reste essentiellement vrai en dimension infinie. Toutefois on peut ˆetre conduit dans ce cas `a utiliser des formes du th´eor`eme d’inversion locale autorisant le traitement de pertes de d´eriv´ees. Pour ce dernier point, voir en particulier les articles de Karine Beauchard [1], [2], [3], ainsi que mon article avec elle [4]. Dans cet expos´e on regardera le cas o`u le lin´earis´e n’est pas contrˆolable. En dimension finie on utilise alors l’outil des crochets de Lie it´er´es pour essayer de conclure : bien que l’on ne dispose pas de condition n´ecessaire et suffisante de contrˆolabilit´e locale, les crochets de Lie it´er´es permettent de donner de nombreuses conditions suffisantes et de nombreuses conditions n´ecessaires pour la contrˆolabilit´e locale. Ces conditions sont assez puissantes pour pouvoir traiter de nombreux des syst`emes de dimension finie. En dimension infinie, pour la plupart des syst`emes physiques, les crochets it´er´es ne sont pas d´efinis (ou ne vivent pas dans le bon espace) et on ne peut donc pas ´etudier la contrˆolabilit´e locale avec cet outil. On pr´esentera quelques m´ethodes qui sont mieux adapt´ees `a la dimension infinie : 1) M´ethode du retour, 2) D´eformations quasistatiques, 3) D´eveloppements limit´es. Ces pr´esentations seront faites sur des syst`emes de dimen- sion finie pour mieux d´egager les id´ees principales et ´eviter de se perdre dans des probl`emes d’analyse, qui ne sont pas toujours tr`es int´eressants. On donnera toutefois de nombreuses r´ef´erences o`u ces m´ethodes sont utilis´ees pour ´etudier la contrˆolabilit´e de syst`emes de contrˆole mod´elis´es par des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Pour d’autres r´ef´erences et d’autres applications, voir, en particulier, [13]. II. Crochets de Lie et contrˆolabilit´e en dimension finie Consid´erons un syst`eme de contrˆole, affine en la com- mande (juste pour simplifier) ˙x = f(x, u) := f0(x) + m i=1 uifi(x), (1) o`u l’´etat est x ∈ Rn et le contrˆole est u := (u1, . . . , um)tr ∈ Rm . (Ici et dans la suite, Mtr est la matrice transpos´ee de la matrice M). Les fonctions fi, i = 1, . . . , m sont suppos´ees de classe C∞ de Rn dans Rn . On suppose que f0(0) = 0, (2) de sorte (0, 0) ∈ Rn × Rm est un z´ero de f autrement dit un point d’´equilibre du syst`eme (1). On utilise la d´efinition suivante de contrˆolabilit´e locale : D´efinition 2.1: On dit que le syst`eme (1) est localement contrˆolable autour de (0, 0) ∈ Rn ×Rm si, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour, tout a ∈ Rn et pour tout b ∈ Rn tels que |a| + |b| < η, il existe u ∈ L∞ ((0, ε); Rm ) tel que |u(t)| < ε, t ∈ (0, ε), (3) ( ˙x = f(x, u(t)) et x(0) = a) ⇒ (x(ε) = b). (4) Pour savoir si le syst`eme (1) est localement contrˆolable autour de (0, 0) ∈ Rn ×Rm , la premi`ere chose `a essayer est de regarder la contrˆolabilit´e du lin´earis´e de ˙x = f(x, u(t)) autour de (0, 0), c’est-`a-dire du syst`eme de contrˆole lin´eaire ˙x = ∂f ∂x (0, 0)x + ∂f ∂u (0, 0)u, (5) o`u l’´etat est x ∈ Rn et le contrˆole est u ∈ Rm . On a le th´eor`eme bien connu suivant : Th´eor`eme 2.2: Si le syst`eme lin´eaire (5) est contrˆolable, alors le syst`eme non lin´eaire (1) est localement contrˆolable autour de (0, 0) ∈ Rn × Rm . e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 C’est un r´esultat bien sˆur int´eressant car on dispose du crit`ere de Kalman de contrˆolabilit´e pour les syst`emes lin´eaires, crit`ere donn´e par le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.3: Le syst`eme lin´eaire ˙x = Ax + Bu, o`u l’´etat est x ∈ Rn et le contrˆole est u ∈ Rm , est contrˆolable si et seulement si l’espace vectoriel engendr´e par l’ensemble des Ai Bu, u ∈ Rm , i ∈ {0, . . . , n − 1}, est ´egal `a Rn . Les difficult´es d´ebutent quand (5) n’est pas contrˆolable. On ne peut alors rien conclure quant `a la contrˆolabilit´e locale du syst`eme (1) autour de (0, 0) ∈ Rn ×Rm . Toutefois on dispose alors d’un outil puissant et bien adapt´e, `a savoir les crochets de Lie. Commen¸cons par rappeler deux d´efinitions classiques : D´efinition 2.4: Soient X := (X1 , . . . , Xn )tr ∈ C1 (Rn ; Rn ), Y := (Y 1 , . . . , Y n )tr ∈ C1 (Rn ; Rn ). Le crochet de Lie [X, Y ] := ([X, Y ]1 , . . . , [X, Y ]n ) de X et Y est l’´el´ement de C0 (Rn ; Rn ) d´efini par [X, Y ]j (x) := n k=1 Xk (x) ∂Y j ∂xk (x) − Y k (x) ∂Xj ∂xk (x), (6) pour tout j ∈ {1, · · · , n} et pour tout x ∈ Rn . D´efinition 2.5: Soient X ∈ C∞ (Rn ; Rn ) et Y ∈ C∞ (Rn ; Rn ). On d´efinit, par r´ecurrence sur k ∈ N, adk XY ∈ C∞ (Rn ; Rn ) par ad0 XY = Y, adk+1 X Y = [X, adk XY ], ∀k ∈ N. Les travaux pionniers montrons l’utilit´e des crochets de Lie pour la contrˆolabilit´e sont dus `a Robert Hermann [25], Tadashi Nagano [32] et Claude Lobry [30]. Expliquons pourquoi il est naturel de voir apparaˆıtre des crochets de Lie pour des questions de contrˆolabilit´e. Supposons d’abord que notre syst`eme (1) est sans d´erive et que m = 2. Autrement dit f0 = 0 et notre syst`eme (1) s’´ecrit ˙x = u1f1(x) + u2f2(x). (7) Partons de 0 ∈ Rn . On sait comment bouger dans la direction de ±f1(0), mˆeme avec des contrˆoles petits : il suffit de prendre u1 = η = 0 et u2 = 0. De fa¸con similaire, on sait bouger dans la direction de ±f2(0). Expliquons comment on peut bouger dans la direction de ±[f1, f2](0). Soit Ψi : R × Rn → R, (t, x) → Ψt i(x) le flot associ´e `a fi (pour i ∈ {1, 2}). Autrement dit ∂Ψi ∂t = fi(Ψi), Ψ0 i (x) = x. (8) Choisissons deux r´eels η1 et η2 ∈ R. Un calcul ´el´ementaire donne lim ε→0 (Ψ−η2ε 2 (Ψ−η1ε 1 (Ψη2ε 2 (Ψη1ε 1 (a))))) ε2 = η1η2[f1, f2](a). (9) Partons de 0 ∈ Rn , c’est-`a-dire que x(0) = 0. Pour le contrˆole, choisissons les fonctions suivantes : – (u1(t), u2(t)) = (η1, 0), pour t ∈ (0, ε), – (u1(t), u2(t)) = (0, η2), pour t ∈ (ε, 2ε), – (u1(t), u2(t)) = (−η1, 0), pour t ∈ (2ε, 3ε), – (u1(t), u2(t)) = (0, −η2), pour t ∈ (3ε, 4ε), Alors, quand ε → 0, x(4ε) = η1η2ε2 [f1, f2](0) + o(ε2 ). (10) Ainsi nous avons r´eussi `a bouger dans la direction de ±[f1, f2](0). Mˆeme dans le cas des syst`emes avec d´erive, les crochets de Lie sont aussi utiles pour les probl`emes de contrˆolabi- lit´e. Consid´erons, par exemple, le cas o`u m = 1 et f(x, u) = f0(x) + uf1(x). (11) avec toujours (2). On d´emarre de nouveau de 0 ∈ Rn . Bien sˆur on sait bouger dans la direction ±f1(0). Soit η ∈ R. Pour ε > 0, consid´erons le contrˆole d´efini sur [0, 2ε] par u(t) = −η pour t ∈ (0, ε), u(t) = η pour t ∈ (ε, 2ε). Soit x : [0, 2ε] → Rn la solution du probl`eme de Cauchy ˙x = f0(x) + u(t)f1(x), x(0) = 0. Alors, un calcul simple donne, quand ε → 0, x(2ε) = ε2 η[f0, f1](0) + o(ε2 ). (12) Nous avons donc r´eussi `a bouger dans la direction de ±[f0, f1](0). Malheureusement le cas des syst`emes avec d´erive est beaucoup plus compliqu´e que le cas des syst`emes sans d´erive. Par exemple dans le cas du syst`eme sans d´erive (7), on peut r´eit´erer l’op´eration. On peut ainsi bouger dans la direction de [[f1, f2], f1](0). Alors que, pour le cas du syst`eme de contrˆole avec d´erive (11), on ne peut pas toujours bouger dans la direction de [[f1, f0], f1](0). Par exemple, consid´erons le syst`eme de contrˆole ˙x1 = x2 2, ˙x2 = u, (13) o`u l’´etat est x = (x1, x2)tr ∈ R2 et le contrˆole est u ∈ R. Donc f0(x) = (x2 2, 0)tr , f1(x) = (0, 1)tr . On a [[f1, f0], f1](x) = −(2, 0)tr . Toutefois, pour une trajectoire t → (x(t), u(t)) de (13), t → x1(t) est une fonction croissante. On ne peut donc pas bouger dans la direction de [[f1, f0], f1](0). e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Dans le cas des syst`emes sans d´erive, tous les crochets it´er´es sont bons et on a le th´eor`eme suivant, dˆu `a P.K. Rashevski [33] et `a Wei-Liang Chow [7] Th´eor`eme 2.6: Soit Lie{f1, f2, . . . , fm} l’alg`ebre de Lie engendr´ee par f1, f2, . . . , fm, c’est-`a-dire le plus petit des sous espaces E de C∞ (Rn , Rn ) v´erifiant les deux propri´et´es suivantes : [X, Y ] ∈ E, ∀(X, Y ) ∈ E2 , fi ∈ E, ∀i ∈ {1, 2, . . . , m}. Supposons que {h(0); h ∈ Lie{f1, f2, . . . , fm}} = Rn . (14) Alors le syst`eme de contrˆole ˙x = m i=1 uifi(x) (15) est localement contrˆolable autour de (0, 0) ∈ Rn × Rm . Exemple 2.7: On prend n = 3, m = 2, et, pour tout x = (x1, x2, x3)tr ∈ R3 f1(x) = (1, 0, −x2)tr , f2(x) = (0, 1, x1)tr . Notre syst`eme de contrˆole est donc ˙x1 = u1, ˙x2 = u2, ˙x3 = x1u2 − x2u1, (16) Le lin´earis´e autour de (0, 0) ∈ R3 × R2 de ce syst`eme est ˙x1 = u1, ˙x2 = u2, ˙x3 = 0, syst`eme lin´eaire qui n’est pas contrˆolable. Toutefois on a [f1, f2](x) = (0, 0, 2)tr , ∀x ∈ R3 . (17) Donc, f1(0), f2(0) et [f1, f2](0) engendrent R3 . Le th´eo- r`eme 2.6 nous assure alors que le syst`eme (16) est locale- ment contrˆolable autour de (0, 0) ∈ R3 × R2 . Notons aussi que le crit`ere de Kalman de contrˆolabilit´e des syst`emes lin´eaires ˙x = Ax + Bu (18) fait aussi intervenir les crochets de Lie. Dans (18), A est une application lin´eaire de Rn dans Rn , B est une application lin´eaire de Rm dans Rn , l’´etat est x ∈ Rn et le contrˆole est u ∈ Rm . Le syst`eme (18) est bien de la forme (1) avec f0(x) = Ax, x ∈ Rn , (19) fi(x) = Bei, i ∈ {1, . . . , m}, x ∈ Rn , (20) o`u (e1, e2, . . . , em) est la base canonique de Rm . On v´erifie facilement que Ak Bei = (−1)k adk f0 fi, ∀k ∈ N, ∀i ∈ {1, . . . , m}. Donc la condition de contrˆolabilit´e de Kalman, `a savoir ev {Ak Bu; k ∈ {1, . . . , n − 1}, u ∈ Rm } = Rn , (21) (o`u, pour un sous ensemble S ⊂ Rn , ev S est le sous- espace vectoriel de Rn engendr´e par Rn ) est ´equivalente `a la condition ev {adk f0 fi(0); k ∈ {1, . . . , n − 1}, i ∈ {1, . . . , m}} = Rn . (22) III. Crochets de Lie et contrˆolabilit´e en dimension infinie Dans cette section on explique pourquoi les crochets de Lie marchent malheureusement beaucoup moins bien dans le cas de la dimension infinie. Soit L > 0. Consid´erons le syst`eme suivant, qui est probablement le plus simple des syst`emes de contrˆole mod´elis´e par une ´equation aux d´eriv´ees partielles, ∂y ∂t + ∂y ∂x = 0, t ∈ [0, T], x ∈ [0, L], (23) y(t, 0) = u(t), t ∈ [0, T]. (24) Pour ce syst`eme, T > 0 et L > 0 sont donn´es et, au temps t ∈ [0, T], l’´etat du syst`eme est y(t, ·) : (0, L) → R et le contrˆole est u(t) ∈ R. Regardons d’abord le syst`eme de Cauchy associ´e `a (23), c’est-`a-dire le probl`eme suivant : ´etant donn´es T > 0, y0 : (0, L) → R et u : (0, T) → R, trouver y : (0, T) × (0, L) → R tel que ∂y ∂t + ∂y ∂x = 0, t ∈ (0, T), x ∈ (0, L), (25) y(t, 0) = u(t), t ∈ (0, T), (26) y(0, x) = y0 (x), x ∈ (0, L). (27) Il convient d’abord de donner la d´efinition d’une solution `a ce probl`eme de Cauchy. Pour motiver cette d´efinition supposons d’abord que y est une fonction de classe C1 sur [0, T] × [0, L] et satisfaisant (25), (26) et (27) au sens habituel. Soit φ ∈ C1 ([0, T] × [0, L]). Soit τ ∈ [0, T]. Multiplions (25) par φ et int´egrons l’´egalit´e ainsi obtenue sur [0, τ] × [0, L]. Utilisant (26) et (27) et des int´egrations par parties, on obtient − τ 0 L 0 (φt + φx)ydxdt + τ 0 y(t, L)φ(t, L)dt − τ 0 u(t)φ(t, 0)dt + L 0 y(τ, x)φ(τ, x)dx − L 0 y0 (x)φ(0, x)dx = 0. Cette ´egalit´e conduit naturellement `a la d´efinition sui- vante : D´efinition 3.1: Soient T > 0, y0 ∈ L2 (0, L) et u ∈ L2 (0, T). Une solution du probl`eme de Cauchy (25)-(26)- (27) est une fonction y ∈ C0 ([0, T]; L2 (0, L)) telle que, pour toute fonction φ ∈ C1 ([0, T] × [0, L]) telle que φ(t, L) = 0, ∀t ∈ [0, T], (28) e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 on a, pour tout τ ∈ [0, T], − τ 0 L 0 (φt + φx)ydxdt − τ 0 u(t)φ(t, 0)dt + L 0 y(τ, x)φ(τ, x)dx − L 0 y0 (x)φ(0, x)dx = 0. (29) Avec cette d´efinition on a le th´eor`eme standard suivant : Th´eor`eme 3.2: Soient T > 0, y0 ∈ L2 (0, L) et u ∈ L2 (0, T). Alors le probl`eme de Cauchy (25)-(26)-(27) a une solution et une seule. Cette solution satisfait y(τ, ·) L2(0,L) y0 L2(0,L) + u L2(0,T ), ∀τ ∈ [0, T]. (30) On pourra trouver dans [13, Section 3.1.1] plusieurs d´e- monstrations ´el´ementaires de ce th´eor`eme. En fait pour ce probl`eme de Cauchy tr`es simple on peut donner explici- tement la solution. On effet on v´erifie facilement que la fonction y ∈ C0 ([0, T]; L2 (0, L)) y(t, x) := y0 (x − t), ∀(t, x) ∈ [0, T] × (0, L) tels que t x, (31) y(t, x) := u(t − x), ∀(t, x) ∈ [0, T] × (0, L) tels que t > x, (32) est bien solution du probl`eme de Cauchy (25)-(26)-(27). Occupons nous maintenant de la contrˆolabilit´e du sys- t`eme de contrˆole (23)-(24). On adopte la d´efinition sui- vante : D´efinition 3.3: Soit T > 0. Le syst`eme de contrˆole (23)- (24) est contrˆolable en temps T si, pour tout y0 ∈ L2 (0, L) et pour tout y1 ∈ L2 (0, L), il existe u ∈ L2 (0, T) telle que la solution y du probl`eme de Cauchy (25)-(26)-(27) satisfasse y(T, ·) = y1 . Si, pour ´etudier cette contrˆolabilit´e, on essaie une ap- proche par crochets de Lie it´er´es, on est par exemple int´eress´e par comprendre ce que vaut [f0, f1] dans ce cadre. Inspir´e par (12), on est conduit `a consid´erer le contrˆole suivant uε(t) = −1 pour t ∈ (0, ε), (33) uε(t) = 1 pour t ∈ (ε, 2ε), (34) o`u ε ∈ (0, T/2). Utilisons ce contrˆole et partons de y0 := 0. Soit yε la solution que l’on obtient alors. En utilisant (31) et (32), on obtient, si ε ∈ (0, L/2], yε (2ε, x) = 1, x ∈ (0, ε), yε (2ε, x) = −1, x ∈ (ε, 2ε), yε (2ε, x) = 0, x ∈ (2ε, L). Donc (comparer avec (12)) y(2ε, x) − y(0, x) ε2 L2(0,L) → +∞ quand ε → 0+ . Notons que pour tout φ dans C2 ([0, L]), on a, avec Iε := L 0 φ(x)(y(2ε, x) − y(0, x))dx, Iε = − 2ε ε φ(x)dx − ε 0 φ(x)dx = − ε 0 (φ(x + ε) − φ(x))dx = − ε 0 x+ε x φ (s)ds = −ε2 φ (0) + ε 0 x+ε x (φ (0) − φ (s))ds. Mais, pour tout s dans [0, 2ε], |φ (s) − φ (0)| = s 0 φ (τ)dτ √ 2ε φ L2(0,L). (35) Donc Iε ε2 → −φ (0) quand ε → 0+ , autrement dit, quand ε → 0+ , y(2ε, x) − y(0, x) ε2 δ0 faiblement dans (C2 ([0, L])) , o`u δ0 est la masse de Dirac `a 0. Donc, dans un certain sens, on pourrait dire que, pour notre syst`eme de contrˆole (23)-(24), [f0, f1] = δ0. Malheureusement on ne sait pas trop quoi faire de cette d´eriv´ee de masse de Dirac. Ceci explique que pour de nombreux syst`emes de contrˆole, mˆeme lin´eaires, l’approche par crochets de Lie marche mal (ou du moins, on n’arrive pas, pour l’instant, `a la faire marcher). Pour le cas des syst`emes lin´eaires en dimension infinie, on dispose toutefois de nombreuses m´ethodes pour ´etudier la contrˆolabilit´e. La plus utilis´ee est probablement celle qui passe par les in´egalit´es d’observabilit´e. Grosso modo, en dimension finie, elle repose sur le r´esultat classique suivant : avec les notations habituelles, le syst`eme ˙x = Ax + Bu est contrˆolable si et seulement si le syst`eme dual ˙x = Atr x, y = Btr x est observable, c’est -`a-dire si et seulement si, pour tout T > 0, il existe C > 0 tel que |x(0)|2 C T 0 |Btr x(t)|2 dt pour toute solution de ˙x = Atr x. D´etaillons cette m´ethode dans le cas de notre syst`eme de contrˆole (23)-(24) pour montrer le th´eor`eme classique suivant : Th´eor`eme 3.4: Le syst`eme de contrˆole (23)-(24) est contrˆolable en temps T si et seulement si T L. Remarque 3.5: On voit ici un point nouveau par rapport au cas des syst`emes de contrˆole lin´eaires de dimension finie : il y a des syst`emes lin´eaires de dimension infinie qui sont contrˆolables pour un temps T1 > 0 mais qui ne sont pas contrˆolables pour des temps plus petits. On verra ci-dessous que ce ph´enom`ene apparaˆıt aussi pour des syst`emes non lin´eaires de dimension finie. On va montrer ce th´eor`eme pour T = L `a l’aide de l’approche « in´egalit´e d’observabilit´e ». D´efinissons une application FT : L2 (0, T) → L2 (0, L) de la fa¸con suivante : e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 pour u ∈ L2 (0, T), soit y ∈ C0 ([0, T]; L2 (0, L)) la solution du probl`eme de Cauchy (25)-(26)-(27) avec y0 := 0. Alors FT (u) := y(T, ·). On a le lemme suivant : Lemme 3.6: Le syst`eme de contrˆole (23)-(24) est contrˆo- lable en T > 0 si et seulement si FT est surjective. Preuve du lemme 3.6 La partie « seulement si » est ´evidente. Supposons que FT est surjective et montrons que le syst`eme de contrˆole (23)-(24) est contrˆolable en T > 0. Soient y0 ∈ L2 (0, L) et y1 ∈ L2 (0, L). Soit ˜y la solution du probl`eme de Cauchy (25)-(26)-(27) avec u := 0. Comme FT est surjective, il existe u ∈ L2 (0, T) telle que FT (u) = y1 − ˜y(T, ·). Alors, la solution y du probl`eme de Cauchy (25)-(26)-(27) satisfait y(T, ·) = ˜y(T, ·) + y1 − ˜y(T, ·) = y1 , ce qui termine la d´emonstration du lemme 3.6. Pour savoir si FT est surjective, on utilise le r´esultat classique suivant d’analyse fonctionnelle, (voir par exemple [36, Theorem 4.15, page 97], ou [5, Th´eor`eme II.19, pages 29–30] pour le cas plus g´en´eral d’op´erateurs lin´eaires non continus) : Proposition 3.7: Soient H1 et H2 deux espaces de Hil- bert. Soit F une application lin´eaire de H1 dans H2. Alors F est surjective si et seulement si il existe c > 0 tel que F∗ (x2) H1 c x2 H2 , ∀x2 ∈ H2. (36) En th´eorie du contrˆole des ´equations aux d´eriv´ees par- tielles, l’in´egalit´e (36) est appel´ee une « in´egalit´e d’obser- vabilit´e ». Pour appliquer la Proposition 3.7 `a notre situation, on explicite F∗ T dans le lemme suivant : Lemme 3.8: Soit zT ∈ C1 (0, L) tel que zT (L) = dzT dx (L) = 0. (37) Soit z ∈ C1 ([0, T] × [0, L]) la solution de ∂z ∂t + ∂z ∂x = 0, (38) z(t, L) = 0, ∀t ∈ [0, T], (39) z(T, ·) = zT . (40) Alors F∗ T (zT ) = z(·, 0). (41) Preuve du lemme 3.8. On note d’abord que les condi- tions de compatibilit´e (37) assurent bien l’existence de z : changer t en T −t, x en L−x et voir l’expression (31)-(32) explicite donn´ee pour y. Soit u ∈ C1 ([0, T]) tel que u(0) = du dx (0) = 0, (42) Soit y ∈ C0 ([0, T]; L2 (0, L)) la solution du probl`eme de Cauchy ∂y ∂t + ∂y ∂x = 0, t ∈ (0, T), x ∈ (0, L), (43) y(t, 0) = u(t), t ∈ (0, T), (44) y(0, x) = 0, x ∈ (0, L). (45) L’expression (31)-(32), (42) et (45) montrent que y est de classe C1 sur [0, T]×[0, L]. Alors, utilisant (38), (39), (40), (43), (44) et (45), on obtient, apr`es des int´egrations par parties, L 0 zT FT (u)dx = L 0 zT y(T, x)dx = T 0 L 0 (zy)tdxdt = − T 0 L 0 zxy + zyxdxdt = T 0 z(t, 0)u(t)dt, ce qui, comme l’ensemble des u ∈ C2 ([0, T]) satisfaisant (42) est dense dans L2 (0, L), termine la d´emonstration du lemme 3.8. Du lemme 3.8, on d´eduit que l’in´egalit´e (36) est ´equiva- lente `a T 0 z(t, 0)2 dt c T 0 zT (x)2 dx, (46) pour tout zT ∈ C1 (0, L) satisfaisant (37), z ´etant l’unique solution de classe C1 sur [0, T] × [0, L] de (38)-(39)-(40). Supposons maintenant que T > L et montrons que l’in´egalit´e d’observabilit´e (46) est satisfaite avec c := T − L T . (47) On utilise pour cela l’approche par multiplicateurs (voir, par exemple, [31], [29], [28]). Soit zT ∈ C1 ([0, L]) tel que l’on ait (37). Soit z ∈ C1 ([0, T]×[0, L]) la solution de (38) `a (40). Multiplions (38) par z et int´egrons l’´egalit´e obtenue sur [0, L]. En utilisant (39), on obtient d dt L 0 |z(t, x)|2 dx = |z(t, 0)|2 . (48) Multiplions maintenant (38) par xz et int´egrons l’´egalit´e obtenue sur [0, L]. En utilisant (39), on obtient d dt L 0 x|z(t, x)|2 dx = L 0 |z(t, x)|2 dx. (49) Soit, pour t ∈ [0, T], e(t) := L 0 |z(t, x)|2 dx. De (49), on obtient T 0 e(t)dt = L 0 x|z(T, x)|2 dx − L 0 x|z(0, x)|2 dx L L 0 |z(T, x)|2 dx. (50) e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 De (48), on obtient e(t) = e(T) − T t |z(τ, 0)|2 dτ e(T) − T 0 |z(τ, 0)|2 dτ. (51) De (40), (50) et (51), on obtient (T − L) zT 2 L2(0,L) T T 0 |z(τ, 0)|2 dτ, (52) ce qui, avec le Lemma 3.8 et la densit´e dans L2 (0, L) des fonction zT ∈ C1 ([0, L]) satisfaisant (37), montre l’in´egalit´e d’observabilit´e (46) avec c donn´e par (47). Montrons maintenant que si T < L, l’in´egalit´e d’obser- vabilit´e (46) n’est pas satisfaite. Soit zT ∈ C1 ([0, L]) une fonction satisfaisant (37) et telle que zT (x) = 0, x ∈ [0, L − T], (53) zT = 0 (54) Soit z la solution de classe C1 de (38)-(39)-(40). En changeant t en T − t, x en L − x et en utilisant (31)-(32), on obtient facilement que z(t, 0) = 0, ∀t ∈ [0, T]. (55) L’´egalit´e (54) et (55) montrent que (46) n’est pas satisfaite. Ce qu’il faut retenir de cette section c’est que, pour de nombreux syst`emes de contrˆole mod´elis´e par une ´equation aux d´eriv´ees partielles, 1) Les crochets de Lie marchent mal, 2) On dispose de beaucoup de m´ethodes puissantes pour traiter le cas des syst`emes lin´eaires. On voit donc que l’on a du mal `a traiter le cas de la contrˆolabilit´e locale d’une ´equation aux d´eriv´ees partielles si son lin´earis´e n’est pas contrˆolable. Le but de cet expos´e est de donner quelques m´ethodes pour traiter ce cas. Pour rendre plus clair ces m´ethodes on les pr´esentera sur des syst`emes de dimension finie et on donnera seulement quelques r´ef´erences o`u elles ont ´et´e appliqu´ees pour des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Remarque 3.9: En fait le th´eor`eme 3.4 se d´emontre bien plus facilement en utilisant la formule explicite (31)-(32). Par exemple si T L et si on veut aller de y0 `a y1 pendant l’intervalle de temps [0, T], il suffit de prendre u(t) = y1 (T − t), t ∈ (T − L, T), u(t) = 0, t ∈ (0, T − L). Ce u particulier est d’ailleurs celui qui minimise la norme L2 du contrˆole sous la contrainte d’arriver `a y1 en partant de y0 . Mais l’int´erˆet des m´ethodes ci-dessus, c’est qu’elles permettent de traiter des cas o`u on ne dispose pas de solutions explicites. IV. La m´ethode du retour C’est une m´ethode que nous avons introduite dans [8] en dimension finie pour un probl`eme de stabilisation et que nous avons utilis´e pour la premi`ere fois pour la contrˆolabilit´e d’une ´equation d´eriv´ees partielles dans [9], [11] (pour l’´equation d’Euler des fluides incompressibles). Comme annonc´e dans la section pr´ec´edente, on va la pr´esenter sur des syst`emes de contrˆole de dimension finie. Soit le syst`eme de contrˆole ˙x = f(x, u) = f0(x) + m i=1 uifi(x), (56) o`u f ∈ C∞ (Rn ; Rn ), l’´etat est x ∈ Rn et le contrˆole est u = (u1, . . . , um)tr ∈ Rm . On suppose que f0(0) = 0. Comme on l’a vu ci-dessus (Th´eor`eme 2.2) si le lin´earis´e du syst`eme (56) autour de (0, 0) ∈ Rn × Rm est contrˆolable, alors le syst`eme non lin´eaire (56) est localement contrˆolable autour de (0, 0) ∈ Rn ×Rm . Supposons maintenant que le lin´earis´e autour de de (0, 0) ∈ Rn × Rm ne soit pas contrˆolable. L’id´ee est alors la suivante : au lieu de regarder le lin´earis´e autour de la trajectoire (x, u) = 0, ´etudier le lin´earis´e autour d’autres trajectoires (x, u) avec x(0) = x(ε) = 0 et |u(t)| < ε ∀t ∈ [0, ε] pour ε > 0 donn´e. Supposons que, pour tout ε > 0, il existe de telles trajectoires ayant un lin´earis´e contrˆolable. Le syst`eme non lin´eaire (56) est localement contrˆolable le long de ces trajectoires, c’est-`a- dire que pour chacune de ces trajectoires, pour tout ε1 > 0, il existe η1 > 0 tel que, pour tout a ∈ Rn et pour tout b ∈ Rn tels que |a − ¯x(0)| + |b − ¯x(ε)| = |a| + |b| < η1, il existe u ∈ L∞ ((0, ε); Rm ) tel que la solution de ˙x = f(x, u(t)), x(0) = a satisfasse x(ε) = b et tel que |u(t) − ¯u(t)| < ε1, t ∈ (0, ε). On en d´eduit alors la contrˆolabilit´e locale du syst`eme non lin´eaire (56) autour de (0, 0) ∈ Rn × Rm . Le point important c’est que l’on obtient un r´esultat de contrˆolabilit´e sans utiliser les crochets de Lie : on n’uti- lise que des r´esultats de contrˆolabilit´e pour les syst`emes lin´eaires de (0, 0) ∈ Rn × Rm . D’o`u l’int´erˆet de cette m´ethode pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles (voir la fin de la section pr´ec´edente). Essayons cette m´ethode sur le syst`eme (16) : on a alors f(x, u) = (u1, u2, x1u2 − x2u1)tr , pour tout x = (x1, x2, x3)tr ∈ R3 et pour tout u = (u1, u2)tr ∈ R2 . Soit ε > 0 ; soit u ∈ C∞ ([0, ε]; R2 ) avec |u(t)| < ε, ∀t ∈ [0, ε], u(ε − t) = −u(t), ∀t ∈ [0, ε]. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 Soit x : [0, ε] → R3 la solution de ˙x = f(x, u(x, ε)), x(0) = 0. Notons que x(ε − t) = x(t) ∀t ∈ [0, ε]. (57) La propri´et´e (57) se v´erifie facilement en notant que y(t) := x(ε − t) satisfait, comme x, ˙y = f(y, u(t)) et vaut x au temps t = ε/2. Donc y(t) = x(t) pour tout t ∈ [0, ε]. On a donc bien (57). En particulier x(ε) = x(0) = 0. Si u ≡ 0 sur [0, ε], le lin´earis´e autour de (x, u) n’est pas commandable et on ne peut pas conclure. Mais on v´erifie facilement que, si u ≡ 0 sur [0, ε], le lin´earis´e autour de (x, u) est commandable. On a ainsi montr´e que le syst`eme (16) est localement commandable autour de (0, 0) ∈ R3 × R (d’o`u l’on d´eduit d’ailleurs la commandabilit´e globale par des arguments d’homog´en´eit´e) et ceci sans utiliser les crochets de Lie comme nous l’avions fait avant dans l’exemple 2.7. La m´ethode du retour a ´et´e utilis´ee pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles suivantes : 1) Euler des fluides incompressibles dans [9], [11], et dans [21], [22], ces deux derniers articles ´etant dus `a Olivier Glass, 2) Navier-Stokes pour les fluides incompressibles dans [10], dans [15], article commun avec Andrei Fursikov et dans [20], article dˆu `a Andrei Fursikov et Oleg Imanuvilov, 3) Boussinesq par Andrei Fursikov et Oleg Imanuvilov dans [20], 4) Burgers par Thierry Horsin dans [26], 5) Saint-venant dans [12], article motiv´e par l’article ant´erieur [19] de Fran¸cois Dubois, Nicolas Petit et Pierre Rouchon (voir aussi la section suivante), 6) Vlasov-Poisson par Olivier Glass dans [23], 7) Euler isentropique monodimensionnel [24] par Oli- vier Glass, 8) Schr¨odinger par Karine Beauchard dans [1] et dans un article commun [4] avec elle (ces articles sont mo- tiv´es par l’article ant´erieur [35] de Pierre Rouchon). V. D´eformations quasistatiques On consid`ere un r´ecipient de dimension 1 (on est donc encore loin de la r´ealit´e) contenant un fluide incompres- sible non visqueux (de l’eau par exemple) et sans tourbillon (vorticit´e nulle). Le contrˆole est l’acc´el´eration horizontale du r´ecipient. On suppose que cette acc´el´eration est petite par rapport `a l’acc´el´eration de la pesanteur et que la hauteur de fluide dans le r´ecipient est petite devant la longueur du r´ecipient. Ceci motive l’utilisation des ´equa- tions de Saint-Venant [37] pour d´ecrire la dynamique du fluide. Voir, par exemple, [18, Sec. 4.2]. On arrive ainsi, comme montr´e par Fran¸cois Dubois, Nicolas Petit et Pierre Rouchon dans [19], aux ´equations suivantes : ∂H ∂t (t, x) + ∂(Hv) ∂x (t, x) = 0, (58) ∂v ∂t (t, x) + ∂ ∂x gH + v2 2 (t, x) = −u (t) , (59) v(t, 0) = v(t, L) = 0, (60) ds dt (t) = u (t) , (61) dD dt (t) = s (t) , (62) o`u (voir figure 1), – L est la longueur du r´ecipient, – H (t, x) est la hauteur du fluide au temps t et `a l’abscisse x ∈ [0, L], – v (t, x) est, au temps t, la vitesse horizontale des points `a l’abscisse x ∈ [0, L] dans un r´ef´erentiel atta- ch´e au r´ecipient (dans ce mod`ele, tous les points sur la mˆeme verticale ont la mˆeme vitesse horizontale). – u (t) est l’acc´el´eration horizontale du r´ecipient au temps t dans un r´ef´erentiel galil´een, – g est l’acc´el´eration de la pesanteur, – s est la vitesse horizontale du r´ecipient, – D est le d´eplacement horizontal du r´ecipient. Local controllability of a 1-D tank containing a uid modeled by the shallow-water equation Jean-Michel Coron Universit Paris-Sud D partement de Math matique 91405 Orsay, France Jean-Michel.Coron@math.u-psud.fr 26 April 2001 H D x v L 1 Fig. 1. Fluide dans le r´ecipient C’est un syst`eme de contrˆole, que l’on note Σ, o`u – l’´etat est Y = (H, v, s, D), – le contrˆole est u ∈ R. Notre objectif est d’´etudier la contrˆolabilit´e locale de Σ autour du point d’´equilibre (Ye, ue) := ((He, 0, 0, 0), 0), He ´etant la hauteur du fluide `a l’´equilibre. C’est un probl`eme pos´e dans [19]. Bien sˆur la quantit´e de fluide est conserv´ee pendant le mouvement, de sorte que, pour toute solution de (58) `a (60), d dt L 0 H (t, x) dx = 0. (63) (On obtient d’ailleurs (63) en int´egrant (58) sur [0, L] et en utilisant (60).) De plus, si H et v sont de classe C1 , il e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 vient de (59) et (60) ∂H ∂x (t, 0) = ∂H ∂x (t, L) (= −u (t) /g). (64) Donc on introduit l’espace vectoriel E des fonctions Y = (H, v, s, D) ∈ C1 ([0, L]) × C1 ([0, L]) × R × R telles que H (0) = H (L), (65) v(0) = v(L) = 0, (66) et on consid`ere le sous espace affine Y ⊂ E des Y = (H, v, s, D) ∈ E satisfaisant L 0 H(x)dx = LHe. (67) Avec ces notations, nous d´efinissons une trajectoire du syst`eme de contrˆole Σ de la fa¸con suivante : D´efinition 5.1: Soient T1 et T2 deux nombres r´eels tels que T1 < T2. Une fonction (Y, u) = ((H, v, s, D), u) : [T1, T2] → Y ×R est une trajectoire du syst`eme de contrˆole Σ si (i) les fonctions H et v sont de classe C1 sur [T1, T2] × [0, L], (ii) les fonctions s et D sont de classe C1 sur [T1, T2] et la fonction u est continue sur [0, T], (iii) on a (58) `a (62) pour tout (t, x) ∈ [T1, T2] × [0, L]. On a alors le r´esultat suivant de contrˆolabilit´e locale : Th´eor`eme 5.2: [12, Theorem 2]. Il existe T > 0 tel que, pour tout > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout Y0 = (H0, v0, s0, D0) ∈ Y, et pour tout Y1 = (H1, v1, s1, D1) ∈ Y tels que |H0 − He|1 + |v0|1 < η, |H1 − He|1 + |v1|1 < η, |s0| + |s1| + |D0| + |D1| < η, il existe une trajectoire (Y, u) : [0, T] → Y × R, t → ((H (t) , v (t) , s (t) , D (t)) , u (t)) du syst`eme de contrˆole Σ telle que Y (0) = Y0 et Y (T) = Y1, (68) et, pour tout t ∈ [0, T], |H (t) − He|1 + |v (t)|1 + |u (t)| . (69) Dans ce th´eor`eme et dans la suite de cet article, pour tout w ∈ C1 ([0, L]), |w|1 := Max {|w(x)| + |w (x)|; x ∈ [0, L]}. En fait [12, Theorem 2] est un peu plus pr´ecis avec, en particulier une estimation de η en terme de . Comme corollaire du th´eor`eme 5.2 on a contrˆolabilit´e entre deux ´etats d’´equilibre de la forme Y1 = (He, 0, 0, D1) , Y0 = (He, 0, 0, D0). Plus pr´ecis´ement on a le corollaire suivant : Corollaire 5.3: [12, Corollary 3]. Soit > 0. Soient D0 et D1 deux nombres r´eels. Alors, il existe T > 0 et une trajectoire (Y, u) : [0, T] → Y × R t → ((H (t) , v (t) , s (t) , D (t)) , u (t)) du syst`eme de contrˆole Σ tel que Y (0) = (He, 0, 0, D0) et Y (T) = (He, 0, 0, D1), (70) |H (t) − He|1 + |v (t)|1 + |u (t)| ∀t ∈ [0, T]. (71) Nous allons donner les id´ees principales de la d´emons- tration du th´eor`eme 5.2 sur un syst`eme tr`es simple de dimension finie, syst`eme qui poss`ede des caract´eristiques communes avec notre syst`eme Σ. Pour introduire ce syst`eme de dimension finie, com- men¸cons par quelques consid´erations simples. Pour une fonction w : [0, 1] → R, d´enotons par wp la partie paire de w et par wi la partie impaire de w : wp (x) := 1 2 (w(x) + w(1 − x)), wi (x) := 1 2 (w(x) − w(1 − x)). Alors, si h := 1 − H, on a, en utilisant (58) `a (62),    ∂hi ∂t + ∂vp ∂x = − ∂ ∂x hp vp + hi vi , vp ∂t + ∂hi ∂x = −u (t) − ∂ ∂x (vp vi ), vp (t, 0) = vp (t, 1) = 0, ds dt (t) = u (t) , dD dt (t) = s (t) , (72)    ∂hp ∂t + ∂vi ∂x = − ∂ ∂x (hp vi + hi vp ), ∂vi ∂t (t, x) + ∂hp ∂x = − 1 2 ∂ ∂x ((vp )2 + (vi )2 ), vi (t, 0) = vi (t, 1) = 0, (73) avec les conditions initiales hi (0, x) = hi 0(x), vp (0, x) = vp 0 (x), s1(0) = s1, D1(0) = D1, hp (0, x) = hp 0(x), vi (0, x) = vi 0(x). Le lin´earis´e de (72) autour de l’origine est    ∂hi ∂t + ∂vp ∂x = 0, ∂vp ∂t + ∂hi ∂x = −u (t) , vp (t, 0) = vp (t, 1) = 0, ds dt (t) = u (t) , dD dt (t) = s (t) , (74) Consid´erons (74) comme un syst`eme de contrˆole o`u le contrˆole est u et o`u l’´etat (hi , vp , s, D) ∈ C1 ([0, 1]) × C1 ([0, 1]) × R × R satisfait hi (1 − x) = −hi (x), vp (L − x) = vp (x), vp (0) = vp (L) = 0. De [19] on voit que ce syst`eme lin´eaire est contrˆolable (pour tout temps T > 1). Quand on lin´earise, autour e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 de l’origine, les deux premi`eres ´equations de (72) et les deux premi`eres ´equations de (73), on obtient les ´equations des ondes habituelles. Un analogue naturel en dimension finie d’une ´equation des ondes est l’oscillateur harmonique. Donc un analogue de notre syst`eme de contrˆole Σ est le syst`eme ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + u, (75) ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2, (76) ˙s = u, ˙D = s, (77) o`u l’´etat est x = (x1, x2, x3, x4, s, D)tr ∈ R6 et le contrˆole est u ∈ R. (Les termes quadratiques dans (75) et (76) ont besoin de quelques propri´et´es structurelles mais peuvent ˆetre beaucoup plus g´en´eraux que ceux donn´es ici `a titre d’exemple.) On voit que, quitte `a faire un changement sur le contrˆole, (75) est un oscillateur harmonique contrˆolable, alors que (76) est un oscillateur sur lequel le contrˆole n’intervient pas : il est pilot´e de fa¸con indirecte par l’´etat du premier oscillateur. Le lin´earis´e du syst`eme de contrˆole (75)-(76)-(77) autour de (0, 0) ∈ R6 × R est ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + u, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3, (78) ˙s = u, ˙D = s. (79) Le syst`eme lin´eaire (78)-(79) n’est pas contrˆolable comme on le constate en regardant la dynamique de (x3, x4)tr . Toutefois on voit que le syst`eme (78)-(79) est contrˆolable entre ´etats d’´equilibre en temps positif arbitraire. Autre- ment dit, pour tout T > 0 et pour tout (D0, D1) ∈ R2 , il existe une trajectoire ((x1, x2, x3, x4, s, D)tr , u) : [0, T] → R6 × R du syst`eme lin´eaire (78)-(79) telle que x1(0) = x2(0) = x3(0) = x4(0) = 0 s(0) = 0, D(0) = D0, x1(T) = x2(T) = x3(T) = x4(T) = 0 s(T) = 0, D(T) = D1 Mais la mˆeme propri´et´e n’est pas vraie pour le syst`eme non lin´eaire (75)-(76)-(77). En effet, soit ((x1, x2, x3, x4, s, D), u) : [0, T] → R6 × R une trajectoire du syst`eme de contrˆole (75)-(76)-(77), telle que x1(0) = x2(0) = x3(0) = x4(0) alors x4(T) = x2 1(T) − T 0 x2 1(t) sin(T − t)dt Donc si x1(T) = x4(T) = 0, D(T) = D(0), Alors T > π. On va montrer la propri´et´e de contrˆolabilit´e suivante : Proposition 5.4: Il existe T > 0 et δ > 0 tels que, pour tout a ∈ R6 et pour tout b ∈ R6 tels que |a| < δ et |b| < δ, il existe u ∈ L∞ (0, T) tel que, si x = (x1, x2, x3, x4, s, D)tr : [0, T] → R6 est solution du probl`eme de Cauchy ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + u, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2, ˙s = u, ˙D = s x(0) = a, alors x(T) = b. Essayons la m´ethode du retour d´ecrite dans la section pr´ec´edente. Cette m´ethode n´ecessite d’avoir des trajec- toires du syst`eme de contrˆole (75)-(76)-(77) telles que le lin´earis´e autour de ces trajectoires soient contrˆolables. Les « plus simples » des trajectoires sont les suivantes : ((xγ 1 , xγ 2 , xγ 3 , xγ 4 , sγ , Dγ )tr , uγ ) = ((γ, 0, 0, 0, γt, γt2 /2)tr , γ), (80) o`u γ est un r´eel quelconque et t ∈ [0, τ1] avec τ1 > 0 fix´e. Le lin´earis´e autour de la trajectoire (xγ , uγ ) := ((xγ 1 , xγ 2 , xγ 3 , xγ 4 , sγ , Dγ )tr , uγ ) est le syst`eme lin´eaire de contrˆole    ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + u, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2γx2, ˙s = u, ˙D = s. (81) En utilisant le crit`ere de Kalman, on v´erifie facilement que ce syst`eme lin´eaire est contrˆolable si et seulement si γ = 0. `A partir de maintenant on choisit un γ = 0. Alors, comme le lin´earis´e autour de (xγ , uγ ) est contrˆolable, le syst`eme non lin´eaire (75)-(76)-(77) est localement contrˆolable le long de (xγ , uγ ). Il existe donc δ1 > 0 tel que, pour tout a dans B(xγ (0), δ1) := {x ∈ R6 ; |x − xγ (0)| < δ1} et pour tout b dans B(xγ (τ1), δ1) := {x ∈ R6 ; |x − xγ (τ1)| < δ1} il existe u ∈ L∞ ([0, τ1]; R) tel que   ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + u, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2, ˙s = D, ˙D = u, x(0) = a,   ⇒ (x(T0) = b). Donc pour prouver la Proposition 5.4 il suffit de v´erifier que (i) Il existe τ2 > 0 et une trajectoire (˜x, ˜u) : [0, τ2] → R6 × R du syst`eme de contrˆole (75)-(76)-(77) tels que ˜x(0) = 0 et |˜x(τ2) − xγ (0)| < δ1. (ii) Il existe τ3 > 0 et une trajectoire (ˆx, ˆu) : [0, τ3] → R6 × R du syst`eme de contrˆole (75)-(76)-(77) tels que ˆx(τ3) = 0 et |ˆx(0) − xγ (τ1)| < δ1. En effet, d’apr`es la continuit´e de la solution du probl`eme de Cauchy par rapport `a la condition initiale, il existe δ > e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 0 tel que   ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + ˜u(t), ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2 ˙s = D, ˙D = ˜u, |x(0)| δ,   ⇒ (|x(τ2) − xγ (0)| < δ1), et     ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + ˜u(t), ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2, ˙s = D, ˙D = ˆu(t − τ2 − τ1), |x(τ2 + τ1 + τ3)| δ,     ⇒ (|x(τ2 + τ1) − xγ (τ1)| < δ1). Il suffit alors de prendre T = τ2 + τ1 + τ3. Occupons nous d’abord de (i). Pour montrer cette propri´et´e on utilise des d´eformations quasistatiques. Soit g ∈ C2 ([0, 1]; R) une application telle que g(0) = 0, g(1) = 1. (82) D´efinissons ˜u : [0, 1/ ] → R par ˜u(t) = γg( t). (83) Soit ˜x := (˜x1, ˜x2, ˜x3, ˜x4, ˜s, ˜D)tr l’application de [0, 1/ ] dans R6 d´efinie par ˙˜x1 = ˜x2 + ˜x2 ˜x3, ˙˜x2 = −˜x1 + ˜u, ˙˜x3 = ˜x4, ˙˜x4 = −˜x3 + 2˜x1 ˜x2, ˙˜s = ˜u, ˙˜D = ˜s, ˜x(0) = 0. Avec des m´ethodes usuelles sur les ´equations diff´erentielles lentement variables, on peut montrer que (˜x1(1/ ), ˜x2(1/ )) → (γ, 0) quand → 0. (84) (˜x3(1/ ), ˜x4(1/ )) → 0 quand → 0. (85) De plus ˜s(1/ ) = (γ/ ) 1 0 g(z)dz, (86) ˜D(1/ ) = (γ/( 2 )) 1 0 z1 0 g(z2)dz2dz1. (87) Donc, si 1 0 g(z)dz = 0, 1 0 z1 0 g(z2)dz2dz1 = 0, (88) on obtient, en utilisant (84), (85), (86) et (87), ˜x(1/ ) → (γ, 0, 0, 0, 0, 0)tr quand → 0, ce qui termine la d´emonstration de (i). Pour obtenir (ii), il suffit de modifier un peu la construc- tion ci-dessus de la fa¸con suivante. Soit g ∈ C2 ([0, 1]; R) une application telle que g(0) = 1 et g(1) = 0. Soit g1 ∈ C1 ([0, 1]; R) satisfaisant 1 0 g1(z)dz = τ1, 1 0 1 z1 g1(z2)dz2dz1 = 0. (89) Soit aussi g2 ∈ C0 ([0, 1]; R) une application telle que 1 0 1 z1 g2(z2)dz2dz1 = τ2 1 /2. (90) Finalement, d´efinissons ˆu : [0, 1/ ] → R par ˆu(t) = g( t) − g1( t) + 2 g2( t). (91) Alors, des calculs similaires `a ceux pour estimer ˜x montrent que |ˆx(0) − (γ, 0, 0, 0, γτ1, γτ2 1 /2)tr | → quand → 0, o`u ˆx := (ˆx1, ˆx2, ˆx3, ˆx4, ˆs, ˆD) : [0, 1/ ] → R6 est d´efini par ˙ˆx1 = ˆx2, ˙ˆx2 = −ˆx1 + ˆu, ˙ˆx3 = ˆx4, ˙ˆx4 = −ˆx3 + 2ˆx1 ˆx2, ˙ˆs = ˆu, ˙ˆD = ˆs, ˆx(1/ ) = 0, ce qui termine la d´emonstration de (ii). En fait, avec la mˆeme strat´egie, mais des calculs un peu plus longs permettant d’estimer δ1 en fonction de γ, on peut montrer la proposition suivante, qui am´eliore la Proposition 5.4. Proposition 5.5: Il existe T > 0 tel que, pour tout > 0, il existe η > 0, tel que, pour tout a = (a1, a2, a3, a4, s0, D0) ∈ R6 , et pour tout b = (b1, b2, b3, b4, s1, D1) ∈ R6 satisfaisant |a1| + |a2| + |a3| + |a4| < η, |b1| + |b2| + |b3| + |b4| < η, |s0| + |s1| + |D0| + |D1| < η, il existe une trajectoire (x, u) : [0, T] → R6 × R, t → (x1 (t) , x2 (t) , x3 (t) , x4 (t) , s (t) , D (t) , u (t)) du syst`eme de contrˆole (75)-(76)-(77) telle que x(0) = a et x(T) = b, et, pour tout t ∈ [0, T], |x1(t)| + |x2(t)| + |x3(t)| + |x4(t)| + |u(t)| . Remarque 5.6: La matrice     0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 2γ −1 0     (92) (voir (81)) a i et −i pour valeur propre. C’est (essentielle- ment) pourquoi les d´eformations quasistatiques marchent bien. Si cette matrice avait eu des valeurs propres `a partie r´eelle strictement positive les d´eformations quasistatiques ne marcheraient (g´en´eralement) pas aussi simplement. On peut toutefois dans ces cas rattraper parfois l’affaire en e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 stabilisant les points d’´equilibre avec des feedbacks conve- nables. Voir, par exemple, [16] pour un cas relatif `a une ´equation aux d´eriv´ees partielles. Les d´eformations quasistatiques ont ´et´e utilis´ees pour le contrˆole d’autres ´equations aux d´eriv´ees partielles, par exemple : 1) Saint-venant dans [12], 2) Chaleur semi-lin´eaire dans un article en collabora- tion avec Emmanuel Tr´elat [16], 3) Navier-Stokes pour des fluides incompressibles dans [38] par Michael Schmidt et Emmanuel Tr´elat, 4) Schr¨odinger par Karine Beauchard dans [1] et dans un article [4] en collaboration avec elle, 5) Ondes semi-lin´eaires dans un article en collaboration avec Emmanuel Tr´elat [17]. VI. D´eveloppements limit´es La m´ethode que nous avons utilis´ee dans la section pr´ec´edente pour montrer la Proposition 5.4 a un d´efaut majeur : du fait des d´eformations quasistatiques on est conduit `a des valeurs de T excessivement grandes. Dans cette section on pr´esente une m´ethode qui donne parfois la valeur optimale pour le temps T de contrˆolabilit´e. Cette m´ethode repose sur un d´eveloppement limit´e. Elle est classique en dimension finie (voir par exemple l’article de synth`ese [27] par Matthias Kawski). Elle a ´et´e utilis´e pour la premi`ere fois pour des ´equations aux d´eriv´ees partielles dans [14]. Elle consiste `a chercher des contrˆoles qui permettent de bouger dans les directions qui ne sont pas contrˆolables pour le lin´earis´e. Voyons comment cela fonctionne sur notre syst`eme de contrˆole non lin´eaire (75)-(76)-(77). Les directions qui ne sont pas contrˆolables pour le lin´earis´e de ce syst`eme autour de (0, 0) ∈ R6 × R (i.e. le syst`eme de contrˆole lin´eaire (78)-(79)) sont les directions ±(0, 0, 1, 0, 0, 0)tr et ±(0, 0, 0, 1, 0, 0)tr . Soient T > 0 et (ei)i∈{1,...,6} la base canonique de R6 . Pour tout i ∈ Ic := {1, 2, 5, 6}, il existe ui ∈ L∞ (0, T) tel que   ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + ui, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3, ˙s = ui, ˙D = s, x(0) = 0   ⇒ (x(T) = ei). Supposons pour l’instant que, pour tout i ∈ Iu := {3, 4}, il existe u± 1i ∈ L∞ (0, T) et u± 2i ∈ L∞ (0, T) tels que si x± 1i := (x± 11i, x± 12i, x± 13i, x± 14i, s± 1i, D± 1i) : [0, T] et x± 2i := (x± 21, x± 22, x± 23, x± 24, s± 2 , D± 2 ) sont solutions de ˙x± 11i = x± 12i, ˙x± 12i = −x± 11i + u± 1i, ˙x± 13i = x± 14i, ˙x± 14i = −x± 13i, ˙s± 1i = u± 1i, ˙D± 1i = s± 1i, x± 1i(0) = 0, et de ˙x± 21i = x± 22i, ˙x± 22i = −x± 21i + u± 2i, ˙x± 23i = x± 24i, ˙x± 24i = −x± 23i + 2x± 11ix± 12i, ˙s± 2i = u± 2i, ˙D± 2i = s± 2i, x± 2i(0) = 0, alors x± 1i(T) = 0 et x2i(T) = ±ei. L’id´ee qui est derri`ere ces conditions est d’´ecrire une trajectoire (x, u) de (75)-(76)-(77) sous la forme x ≈ x1 + x2, u ≈ u1 + u2 en consid´erant x1 et u1 comme ´etant d’ordre 1, alors que x2 et u2 sons consid´er´es comme d’ordre 2. Identifiant dans (75)-(76)-(77) l’ordre 1 et l’ordre 2 respectivement on est conduit aux ´equations suivantes : ˙x11 = x12, ˙x12 = −x11 + u1, ˙x13 = x14, ˙x14 = −x13, ˙s1 = u1, ˙D1 = s1, et ˙x21 = x22, ˙x22 = −x21 + u2, ˙x23 = x24 + 2x11x12, ˙x24 = −x23, ˙s2 = u2, ˙D2 = s2, avec x1 =: (x11, x12, x13, x14, s1, D1)tr , x2 =: (x21, x22, x23, x24, s2, D2)tr , Soit b := 6 i=1 biei. Pour i ∈ Iu, d´efinissons u1i ∈ L∞ (0, T) et u2i ∈ L∞ (0, T) par si bi ≥ 0, u1i := u+ 1i et u2i := u+ 2i si bi < 0, u1i := u− 1i et u2i := u− 2i D´efinissons maintenant u ∈ L∞ (0, T) par u := i∈Ic biui + i∈Iu (|bi|1/2 u1i + |bi|u2i). Soit x : [0, T] → R6 la solution du probl`eme de Cauchy ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + u, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2, ˙s = u, ˙D = s, x(0) = 0. Des estimations simples montrent que x(T) = b + o(b) quand b → 0. Alors, en utilisant le th´eor`eme de point fixe de Brouwer (et des estim´ees usuelles sur les solutions d’´equations diff´eren- tielles ordinaires) on en d´eduit facilement la contrˆolabilit´e locale du syst`eme (75)-(76)-(77) autour de (0, 0) ∈ R6 × R pendant l’intervalle de temps [0, T]. Il reste `a montrer l’existence de u± 1i ∈ L∞ (0, T) et de u± 2i ∈ L∞ (0, T) pour tout i dans i ∈ Iu := {3, 4}. Pour ce syst`eme particulier (ce n’est pas toujours le cas bien sˆur, voir par exemple [14]) on peut prendre simplement u± 2i = 0. e-STA copyright 2006 by see Volume 3 (2006), N°4 On a alors, quelque soit le choix de u± 1i x± 12i = ˙x± 11i =, u± 1i = −¨x± 11i − x± 11i, x± 13i = x± 14i = 0, x± 21i = x± 22i = 0, x± 23i(T) = T 0 x± 11i(t)2 cos(T − t)dt, x± 24i(T) = x± 11i(T)2 − T 0 x± 11i(t) sin(T − t)dt. On en d´eduit facilement que l’on a l’existence de u± 1i ∈ L∞ (0, T) pour tout i ∈ Iu si (et seulement si) T > π. On a ainsi montr´e la proposition suivante : Proposition 6.1: Soit T > π. Pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tels que, pour tout a ∈ R6 et pour tout b ∈ R6 tels que |a| < δ et |b| < δ, il existe u ∈ L∞ ((0, T); (−ε, ε)) tel que, si x = (x1, x2, x3, x4, s, D)tr : [0, T] → R6 est solution du probl`eme de Cauchy ˙x1 = x2, ˙x2 = −x1 + x2x3 + u, ˙x3 = x4, ˙x4 = −x3 + 2x1x2, ˙s = u, ˙D = s, x(0) = a, alors x(T) = b. Cette m´ethode de d´eveloppements limit´e a ´et´e utilis´ee pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles suivantes : 1) Korteweg-de Vries dans [14], travail en collaboration avec Emmanuelle Cr´epeau et dans [6] par Eduardo Cerpa. Ces deux travaux sont motiv´es par un article ant´erieur [34] de Lionel Rosier. 2) Schr¨odinger dans [4], travail en collaboration avec Karine Beauchard mentionn´e plus haut. R´ef´erences [1] Beauchard (Karine). – Local controllability of a 1-D Schr¨odinger equation. J. Math. Pures Appl. (9), vol. 84, n7, 2005, pp. 851– 956. [2] Beauchard (Karine). – Local controllability of a 1D beam equation. 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