Modélisation et commande d’un microdrone à ailes battantes selon l’axe vertical

23/09/2017
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19916
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Modélisation et commande d’un microdrone à ailes battantes selon l’axe vertical

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Modélisation et commande d’un microdrone à ailes battantes selon l’axe vertical Thomas Rakotomamonjy1 , Mustapha Ouladsine2 , Thierry Le Moing3 , 1 Office National d’Études et de Recherches Aérospatiales Base aérienne 701, École de l’air, 13661 Salon Air, France 2 Laboratoire des Sciences de l’Information et des Systèmes Domaine Universitaire de Saint-Jérôme, Avenue Escadrille Normandie-Niemen 13397 Marseille Cedex 20, France 3 Office National d’Études et de Recherches Aérospatiales Centre de Toulouse, 2 avenue Édouard Belin, 31055 Toulouse, France thomas.rakotomamonjy@onera.fr, mustapha.ouladsine@univ.u-3mrs.fr, thierry.le_moing@onera.fr Résumé— On présente ici un modèle de la dynamique ver- ticale d’un microdrone à ailes battantes dérivé du code de calcul OSCAB, qui est un simulateur développé à l’ONERA et destiné à l’étude de la mécanique du vol de micro-engins basés sur le vol animal. Ce système possédant des entrées périodiques, il est naturel d’envisager la représentation de celui-ci sous forme de modèle moyen, en supposant que les états restent constants au cours d’une période de battement. La commande en boucle fermée du modèle par backstepping permet par la suite d’obtenir de très bonnes performances, tant en termes de rapidité que de précision. Mots-clés— microdrone, ailes battantes, modélisation, com- mande, backsteppping Notations – λ, ν angles de battement et de rotation des ailes – φ déphasage entre λ and ν – T, f période et fréquence de battement (T = 1/f) – z altitude – w vitesse verticale – X vecteur d’état – U vecteur d’entrée – Va vitesse aérodynamique – α incidence aérodynamique – c corde moyenne – S surface de l’aile – m masse du microdrone – ˆxr position relative de l’axe de rotation – yF position en envergure du foyer aérodynamique – kCt1 , kCn1 , kC3 constantes caractéristiques des effets aérodynamiques – g accélération de la pesanteur – ρ masse volumique de l’air I. Introduction Les microdrones (engins volants autonomes d’une enver- gure inférieure ou égale à 15 cm) font l’objet d’un nombre sans cesse croissant d’études dans le domaine de l’aéronau- tique. De tels appareils peuvent en effet s’avérer extrême- ment utiles pour des applications civiles (surveillance des feux de forêt) autant que militaires («jumelles volantes» emportables par un seul fantassin). À côté des microdrones à voilures fixes (type avion) ou tournantes (type hélico- ptère), une troisième voie a vu récemment le jour : les mi- crodrones à ailes battantes, basés sur le vol animal. Les insectes et le colibri représentent une source d’inspiration particulièrement prometteuse, étant donné qu’il s’agit des seules espèces capables de vol stationnaire maîtrisé. Ce concept offrirait donc par rapport aux deux autres une agilité supérieure aux basses vitesses, en plus d’une plus grande discrétion acoustique. Les dernières découvertes dans le domaine de l’aérodynamique du vol des insectes ont mis en évidence la présence de phénomènes fortement non linéaires spécifiques à ce type de vol [1], qui se mani- festent notamment par une influence du déphasage entre les mouvements de battement et de rotation de l’aile sur la génération de portance [2]. Dans le but de développer de nouvelles méthodes et com- pétences dans le domaine des microdrones à voilure bat- tante, l’ONERA a développé au sein du Projet de Re- cherches Fédérateur REMANTA (REsearch program on Microvehicles And New Technologies Applications) [3] un modèle de simulation nommé OSCAB (Outil de Simulation de Concept à Ailes Battantes), basé sur une approche dite bidimensionnelle par tranches qui découpe l’aile en n élé- ments et calcule en chacun d’eux les efforts aérodynamiques en fonction de la vitesse et de l’incidence, elles-mêmes ob- tenues à partir des mouvements effectués par l’aile [4], [5]. On se propose ici de chercher à stabiliser et à contrôler les déplacements de ce système selon l’axe vertical. II. Présentation du modèle A. Configuration et hypothèses La configuration étudiée ici s’inspire du vol à basses vi- tesses des insectes et du colibri : les ailes battent de manière e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 56-62 symétrique dans un plan horizontal, la position instanta- née du grand axe de rotation de l’aile droite dans le plan de battement est repérée par l’angle λ(t) et la rotation de celle-ci autour de cet axe par l’angle ν(t) (voir fig. 1, et notations p. 1). Notons que l’axe vertical est dirigé vers le bas afin de respecter les conventions de la mécanique du vol [6]. * - - = ? xb yb zb λ ν Aile droite Aile gauche Corps Fig. 1 Configuration du modèle de microdrone. Les axes xb, yb et zb définissent le repère attaché au corps de l’engin En considérant le vecteur d’état X(t) = t (z(t) w(t)) et le vecteur d’entrée U(t) = t (λ(t) ν(t)), il a alors été mon- tré que la dynamique verticale du microdrone pouvait être approximativement décrite par le système d’équations non linéaires suivant [4], [5] : ˙X = f(X, U) (1) avec : f = t (f1 f2) (2) f1(X) = w (3) f2(X, U) = ρS m V 2 a (ζzs + ζzi ) + g (4) ζzs = cos ν(kCt1 cos α + kC3 cos 3α) + sin ν(kCn1 sin α + kC3 sin 3α) (5) ζzi = sin ν 2π ˙ν 1 Va cˆxr + π 2 ¨λ 1 V 2 a cyF (6) Il s’agit là d’un modèle instationnaire, étant donné que les entrées λ et ν sont par nature périodiques. Le calcul direct d’une commande en (λ, ν) à l’aide du modèle décrit par (3) et (4) ne donnerait alors pas forcément de solution périodique pour ces deux angles, et d’un autre côté la mo- délisation explicite de λ et ν par des fonctions périodiques dans (5) et (6) compliquerait l’écriture par l’introduction de non-linéarités supplémentaires. Pour franchir cette difficulté, une solution consiste à uti- liser une approche à base de modèles moyens. La méthode élaborée ici, que l’on pourrait rapprocher des techniques de moyennisation pour la commande des systèmes pério- diques en électrotechnique [7], consiste à remplacer l’équa- tion d’état par son équivalent moyenné sur une période : 1 T (k+1)T kT ˙Xdt = 1 T (k+1)T kT f(X, U, t)dt (7a) ⇔ X((k + 1)T) = X(kT) + T ¯f(X, U) (7b) avec k ∈ N. On se ramène ce faisant d’un modèle continu instationnaire à un modèle moyen stationnaire. Les entrées λ et ν sont quant à elles de formes données, et on suppose que l’on contrôle à chaque période les amplitudes λm, νm et le déphasage Φ entre celles-ci : en d’autres termes, bien que les entrées soient continues, la commande n’est calculée et appliquée qu’une fois par période, comme c’est par exemple le cas sur les hélicoptères [8]. Plusieurs raisons viennent étayer ces choix. En premier lieu, la fréquence de battement de l’ordre de 40 Hz est suffisamment rapide en regard de la dynamique propre de l’engin pour que les variables d’état (positions et vitesses) puissent être considérées comme quasiment constantes au sein d’une période. Ceci implique en particulier qu’on ne perdra pas d’information si l’on choisit de supposer que l’état reste constant sur une période, et évolue ainsi de manière discontinue : ∀t ∈ [kT; (k + 1)T[, X(t) = X(kT) (8) Par ailleurs, on peut d’ores et déjà imaginer qu’il sera très difficile de concevoir pour le microdrone réel des action- neurs capables d’être commandés librement et de générer à chaque instant t des angles λ et ν quelconques. Cette dernière considération s’avère encore plus vraie dans l’hy- pothèse où les ailes seraient entraînées par des dispositifs résonnants de type piézo-électrique, dont la fréquence et la forme temporelle des vibrations seraient imposées. Pour permettre le calcul analytique des intégrales des efforts, on suppose ici que le battement est de forme trian- gulaire, défini de la façon suivante sur une période : λ(t) =    λpt 0 ≤ t < tb1 −λp(t − T/2) tb1 ≤ t < tb2 λp(t − T) tb2 ≤ t < T (9) Ce battement est centré, par conséquent on a tb1 = T/4 et tb2 = 3T/4. λp représente la pente du triangle, et peut être relié immédiatement à la valeur maximale λm : λp = 4λm T (10) La rotation sera quant à elle assimilée à un signal carré : ν(t) =    −νm 0 ≤ t < tr1 νm tr1 ≤ t < tr2 −νm tr2 ≤ t < T (11) Ces allures sont représentées sur la figure 2. Les instants de commutation tr1 et tr2 sont corrélés à tb1 et tb2 via le déphasage Φ : tb1 − tr1 T = Φ 2π (12) tr2 = tr1 + T/2 (13) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 56-62 0 T 0 t (s) λ(t) ν(t) tb1 tb2 −λm λm tr1 tr2 −νm νm Fig. 2 Allure des entrées λ et ν pour la recherche du modèle moyen B. Écriture du modèle moyen L’équivalent moyenné de ce système est donc, en conve- nant de noter désormais X(kT) = X et X((k+1)T) = X+ : z+ = z + Tw w+ = w + T ¯f2 (14) On cherche alors à exprimer ¯f2 = T ρS m V 2 a (ζzs +ζzi )dt+g. Les composantes du vecteur vitesse aérodynamique dans le repère lié à l’aile sont données par : Vax = w cos ν + ˙λ sin νyF Vaz = w sin ν − ˙λ cos νyF (15) d’où l’expression du module Va : Va = w2 + ˙λ2y2 F (16) Or ici, ∀t ∈ [0; T], ˙λ(t) = ±λp : Va = w2 + λ2 py2 F (17) De plus, on rappelle que w reste constant sur une période. Ceci implique notamment que Va reste constant sur une pé- riode, on pourra donc par la suite l’extraire des intégrales pour le calcul des valeurs moyennes. On a par ailleurs, d’après (5) : ζzs = kCt1 + kCn1 2 cos(ν − α) + kCt1 − kCn1 2 cos(ν + α) +kC3 cos(ν − 3α) (18a) Numériquement, on a kCt1 = 0,27 kCn1 = 3,57 kC3 = 0,1. On peut alors faire l’hypothèse suivante : Hypothèse 1: kCt1 , kC3 << kCn1 Ce qui conduit à : ζzs = kCn1 2 [cos(ν − α) − cos(ν + α)] (19) D’autre part, plusieurs simulations en boucle ouverte ont conduit à l’identification des modèles suivants pour les quantités ν ± α : Hypothèse 2: ν − α =    −π/2 0 ≤ t < tb1 π/2 tb1 ≤ t < tb2 −π/2 tb2 ≤ t < T Hypothèse 3: ν + α =    cννm tr1 < t < tb1 −cννm tr2 < t < tb2 0 ailleurs si Φ > 0 ν + α =    −cννm tb1 < t < tr1 cννm tb2 < t < tr2 0 ailleurs si Φ < 0 avec cν = 3,80 Ces modèles approchés pourront éventuellement être raffi- nés par la suite. Il vient alors, pour Φ > 0 : ¯ζzs = kCn1 2 [cos(ν − α) 0 −cos(ν + α)] (20a) = − kCn1 2T [tr1 + cos(cννm)(tb1 − tr1) + (tr2 − tb1) + cos(−cννm)(tb2 − tr2) + (T − tb2)] (20b) Soit tous calculs faits d’après (12) et (13) : ¯ζzs = − kCn1 2 1 + Φ π [cos(cννm) − 1] (21) Pour Φ < 0, un calcul analogue donne : ¯ζzs = − kCn1 2 1 − Φ π [cos(cννm) − 1] (22) En ce qui concerne le terme ¯ζzi , on a supposé dans (9) que λ est de forme triangulaire. On peut donc approcher sa dérivée seconde par une combinaison d’impulsions de Dirac : ¨λ(t) = −δtb1 (t) + δtb2 (t) (23) Ce qui donne alors, d’après (6) : ¯ζzi = 2π 1 Va cˆxr 1 T [− cos ν]t+T t 0 + π 2 1 V 2 a cyF 1 T (− sin ν(tb1)+sin ν(tb2)) (24) Or, toujours d’après la définition de λ et ν (cf. fig. 2), on voit que : ν(tb1) = sign(Φ)νm (25) ν(tb2) = −ν(tb1) (26) il vient donc : ¯ζzi = −sign(Φ) πcyF TV 2 a sin νm (27) Finalement, en combinant (14), (17), (21), (22) et (27), on obtient l’expression du modèle vertical moyen : z+ = z + az1w (28) w+ = w + g(w, U) (29) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 56-62 avec : g(w, U) = az2(w2 + U1)[1 + |U3|(cos(cνU2) − 1)] +az3sign(U3) sin(U2) + az4 U1 = 16λ2 my2 F /T2 U2 = νm U3 = Φ/π az1 = T az2 = − ρSkCn1 T 2m az3 = −πρScyF m az4 = Tg III. Calcul de la commande A. Principe La structure du système ainsi dégagée suggère l’utilisa- tion de techniques inspirées du backstepping pour calculer la commande de manière récursive [9]. L’idée développée est la suivante : on souhaite atteindre l’altitude de réfé- rence (ou consigne) zc. On considère alors pour cela w comme une commande virtuelle dans (28), et on calcule la valeur wc de celle-ci telle que z → zc. Puis on cherche u tel que w → wc à travers (29). La définition de com- mandes virtuelles intermédiaires pour la stabilisation des états de manière récursive garantit donc par propagation la convergence du premier état vers la valeur désirée. Des méthodes analogues ont été employées avec succès pour le contrôle de systèmes mécaniques non-linéaires, comme des turbomachines par exemple [10]. La recherche des commandes successives assurant la convergence des états vers les états de référence peut se faire par le biais de fonctions de Lyapunov. Considérons dans le cas général l’erreur ˜X définie par : ˜X = X − Xc (30) et la fonction de Lyapunov V ( ˜X) = t ˜XP ˜X (31) avec P matrice strictement définie positive. Alors V est également strictement définie positive par construction, et la condition suivante en temps discret : V + − V < 0 (32) est une condition suffisante pour que ˜X tende vers 0, et par conséquent pour que X tende vers Xr [11], [12]. B. Application au système considéré Soit zc la consigne en altitude à atteindre. On définit alors ˜z = z − zc, et la fonction de Lyapunov associée V1 = t ˜zP1 ˜z. On est ici en dimension 1, donc P1 se ramène à un scalaire strictement positif, et pourra donc être omis par la suite, et on peut alors poser V1 = ˜z2 . On a alors : ∆V1 = V + 1 − V1 = (z+ − zc)2 − (z − zc)2 (33a) = (z+ − z)(z+ + z − 2zc) (33b) = az1w[az1w + 2(z − zc)] (33c) ∆V1 est donc un polynôme de degré 2 en w, dont les racines sont 0 et −2(z−zc) az1 . De plus az1 = T > 0, d’où l’allure de ∆V1(w), représentée sur la figure 3. 0 0 w ∆V 1 −(z−zc )/az1 −2(z−z c )/a z1 Fig. 3 Allure de ∆V1(w) On voit donc que pour w strictement compris entre 0 et −2(z−zr) az1 , ∆V1 est strictement négatif. On pourra donc poser wc = − 2αz(z − zc) az1 (34) avec αz ∈]0; 1[. On procède de même dans la deuxième étape : soit ˜w = w − wc et V2 = ˜w2 , alors : ∆V2 = V + 2 − V2 = (w+ − wc)2 − (w − wc)2 (35a) = (w+ − w)(w+ + w − 2wc)(35b) = g[g + 2(w − wc)] (35c) De même, il apparaît que g compris entre 0 et −2(w − wc) garantit ∆V2 < 0. On pourra ainsi chercher pour obtenir la commande U à résoudre l’équation : g(w, U) = −2βz(w − wc) (36) avec βz ∈]0; 1[. L’alternative choisie consiste à minimiser le critère : C = [g(w, U) + 2βz(w − wc)]2 . (37) IV. Résultats A. Commande du modèle moyen Cette commande a été testée sur le modèle moyen (28),(29) pour différentes valeurs du couple (αz, βz), en de- mandant à l’engin de rejoindre une altitude de consigne zc depuis une altitude initiale z0 nulle (ce qui correspond à une consigne en échelon). En ce qui concerne la résolution nu- mérique, l’optimisation (37) est effectuée à chaque période à l’aide de la fonction fmincon d’optimisation non-linéaire sous contraintes disponible sous Matlab r . La fréquence de battement est fixée à f = 40 Hz, et les bornes suivantes ont été choisies pour la commande (valeurs en degrés) : λm ∈ [40; 80] νm ∈ [40; 80] Φ ∈ [0; 30] (38) L’influence des paramètres αz et βz peut s’analyser de manière théorique dans un premier temps, si l’on suppose que la résolution de (36) est faite de manière exacte, et que l’on reporte cette expression dans le modèle continu. En se e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 56-62 ramenant par translation du repère terrestre à une altitude de consigne égale à 0, on obtient alors l’expression suivante de la dynamique verticale en boucle fermée : ˙z = w (39) ˙w = −2 βz az1 w + 2 αz az1 z (40) En posant ˜αz = αz/az1 et ˜βz = βz/az1, on a alors sous forme d’état : ˙z ˙w = 0 1 −4˜αz ˜βz −2˜βz z w (41) dont les valeurs propres sont −˜βz ± ˜β2 z − 4˜αz ˜βz. En no- tant en premier lieu que ˜βz > 0 et que ˜β2 z − 4˜αz ˜βz < ˜β2 z , on constate que ces valeurs propres ont une partie réelle strictement négative, ce qui confirme la stabilité incondi- tionnelle théorique du système ainsi bouclé. D’autre part, si ˜αz < ˜βz/4, ces valeurs propres sont réelles (amortissement réduit égal à 1), et si ˜αz > ˜βz/4, ce système admet une dynamique de type second ordre résonnant, de pulsation propre : ωn = ˜β2 z + 4˜αz ˜βz − ˜β2 z = 2 ˜αz ˜βz (42) et d’amortissement réduit : δ = ˜βz ωn = 1 2 ˜βz ˜αz (43) Il apparaît alors que l’amortissement est d’autant plus faible (et donc le risque d’instabilité plus élevé) que le rapport ˜βz/˜αz est réduit. Cette tendance se confirme en partie sur les résultats observés : pour αz = βz = 0,5 la réponse converge, mais avec un amortissement très faible qui se traduit par de fortes oscillations autour de la valeur de consigne (fig. 4). En augmentant αz, l’amortissement diminue encore (fig. 5), et le système peut même devenir instable. A contrario en diminuant αz le système gagne en stabilité et converge alors rapidement, comme représenté sur la figure 6 pour αz = 0,1 et βz = 0,5. On note ce- pendant un fort dépassement initial imprévu (étant donné que l’on a ici αz < βz) : cette différence vis-à-vis de l’ana- lyse théorique ci-dessus est vraisemblablement imputable au fait que la résolution de (36) ne se fait pas de manière exacte, ce que l’on pourrait traduire en rajoutant un terme d’incertitude dans (40) : ˙z = w (44) ˙w = −2 βz az1 w + 2 αz az1 z + ∆w (45) B. Commande du modèle continu Après avoir vérifié la validité de la commande obtenue sur le modèle moyen, on peut alors la mettre en œuvre sur le modèle continu initial OSCAB. Le principe est de réali- ser une boucle fermée hybride, dans laquelle l’évolution de l’état au sein d’une période est calculée à l’aide du modèle continu, et la commande est calculée au début de chaque 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 t (s) z(m) z z c (a) Altitude 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 t (s) (deg) λm ν m φ (b) Commande Fig. 4 Modèle moyen – αz = βz = 0,5 0 2 4 6 8 10 −1 0 1 2 3 4 5 z(m) t (s) z z c (a) Altitude 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 t (s) (deg) λ m ν m φ (b) Commande Fig. 5 Modèle moyen – αz = 0,5 – βz = 0,1 période grâce au modèle moyen. Le schéma montrant la boucle de commande est représenté sur la figure 7. L’une des principales différences entre les deux modèles réside toutefois dans le nombre de tranches par aile : les équations du modèle vertical (1) à (6) ont en effet été écrites en supposant que chaque aile n’était constituée que de n = 1 tranche, alors que le modèle de simulation com- plet OSCAB permet la prise en compte d’un nombre de tranches arbitraires dans le but d’obtenir une représenta- tion plus fine des efforts aérodynamiques : la boucle de commande ainsi réalisée devra donc s’avérer suffisamment robuste pour prendre en compte ces écarts entre les deux modèles. Sur la figure 8 est représentée la réponse du modèle hy- bride (modèle continu commandé par le modèle moyen) à un échelon de commande unitaire pour αz = βz = 0,5. On constate alors que le système converge rapidement (temps de réponse de l’ordre de la seconde, ce qui serait compa- tible avec le cahier des charges potentiel d’un microdrone réel), alors que le modèle moyen seul présentait pour les mêmes valeurs des paramètres αz et βz une réponse très faiblement amortie. On observe toutefois des oscillations de faible amplitude (de l’ordre de 1 à 2%) autour de la valeur de consigne en régime permanent (fig. 8(a), ainsi qu’un broutement (chattering) sensible de la commande (fig. 8(b)). Il est toutefois important de rappeler ici que la commande consiste en une modulation d’amplitude et de phase des cinématiques λ(t) et ν(t) : les signaux ici repré- sentés ne correspondent donc pas aux mouvements réelle- e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 56-62 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 t (s) z(m) z zc (a) Altitude 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 t (s) (deg) λm νm φ (b) Commande Fig. 6 Modèle moyen – αz = 0,1 – βz = 0,5 Calcul des - Consigne Résolution de (37) - 6 trajectoires de référence - U Modèle moyen Modèle continu OSCAB Évolution continue Mise à jour des états discrets z(t) w(t) X+ = X((k + 1)T ) - altitude pour t ∈ [kT ; (k + 1)T [ en zc Fig. 7 Boucle de commande du modèle continu à l’aide du modèle discret ment effectués par les ailes. Les oscillations en régime per- manent possèdent une fréquence plus faible que les mouve- ments de battement, et semblent donc bien correspondre à des modes propres du système. Les valeurs idéales en termes de performances de la ré- ponse (rapidité, dépassement et précision) semblent être αz = 0,1 et βz = 0,9 (fig. 9). Mais on remarque de ma- nière générale que le fait d’accroître la précision augmente également le chattering de la commande, et donc l’énergie consommée par les actionneurs. On peut d’ores et déjà son- ger à la définition d’un compromis entre les performances et les variations de la commande, à la manière des tech- niques de commande optimale que l’on rencontre dans le domaine linéaire. Enfin, le comportement vis-à-vis d’une 0 2 4 6 8 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t (s) z(m) z z c (a) Altitude 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 t (s) (deg) λm ν m φ (b) Commande Fig. 8 Modèle hybride (modèle continu commandé par le modèle discret), αz = βz = 0,5 0 2 4 6 8 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t (s) z(m) z z c (a) Altitude 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 t (s) (deg) λm νm φ (b) Commande Fig. 9 Modèle hybride – αz = 0,1 – βz = 0,9 0 2 4 6 8 10 −1 0 1 2 3 4 5 t (s) z(m) z zc (a) Consigne en rampe croissante 0 2 4 6 8 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t (s) z(m) z zc (b) Perturbation en accélération de 5 m.s−2 à t = 5 s Fig. 10 Modèle hybride – Réponse à une consigne en rampe et à des perturbations consigne en rampe et de perturbations a été testé. Les per- formances sont ici encore très bonnes, avec une erreur de traînage très faible lors du suivi de rampe (fig. 10(a)), et une réjection efficace des perturbations (fig. 10(b)). V. Conclusion et poursuite des travaux Une méthode de commande originale, combinant l’utili- sation d’un modèle de synthèse moyen et d’une stabilisation par backstepping a donc été développée pour le contrôle en boucle fermée selon l’axe vertical d’un microdrone à ailes battantes. La commande ainsi obtenue a été appliquée avec succès au modèle moyen (modèle de synthèse) puis au mo- dèle continu, et les performances obtenues sont parfaite- ment compatibles avec le cahier des charges potentiel d’un tel engin : montée de 1 m en un temps de réponse de l’ordre de la seconde, précision de quelques centimètres. Une tech- nique similaire a également été appliquée pour le contrôle autour de l’axe de tangage et suivant l’axe horizontal, les résultats de ces études feront l’objet de futures publica- tions. Références [1] C.P. Ellington. The aerodynamics of hovering insect flight. Phi- losophical transactions of the Royal Society of London. Biologi- cal sciences, 305(1122) :1–181, February 1984. 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