Sur le contrôle d’un système quantique modèle

23/09/2017
Auteurs : Pierre Rouchon
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19913
DOI :

Résumé

Sur le contrôle d’un système quantique modèle

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Sur le contrˆole d’un syst`eme quantique mod`ele Pierre Rouchon Ecole des Mines de Paris, Centre Automatique et Syst`emes 60, Bd Saint-Michel, 75272 Paris cedex 06, France pierre.rouchon@ensmp.fr R´esum´e— Le syst`eme mod`ele est constitu´e d’une source ´electro- magn´etique coh´erente, le contrˆole u(t), d’un photo- d´etecteur, le capteur y(t), et d’une particule charg´ee qui inter-agit par les photons ´emis par la source coh´erente u et qui en renvoie une partie vers le photo-d´etecteur y. Nous supposons la source et le photo-d´etecteur loin de la par- ticule. Nous ´etudions le transfert entre u et y en fonc- tion de la nature de la description, classique ou quan- tique. Cette description s’appuie sur une version simplifi´ee des ´equations de Maxwell-Lorentz d´ecrivant une particule charg´ee en interaction avec un champ ´electro-magn´etique. Dans le cas classique, la dynamique interne se ram`ene `a celle d’un oscillateur non-lin´eaire avec frottement. Dans le cas quantique, cette dynamique interne est d´ecrite par une ´equation de Heisenberg-Langevin o`u apparaissent explici- tement les fluctuations du vide comme terme de Lange- vin. Sous les hypoth`eses de petites oscillations et pour un contrˆole r´esonnant, on montre que le transfert (en ampli- tude) entre l’entr´ee u et la sortie y reste inchang´e entre les descriptions classique et quantique : il s’agit d’un pre- mier ordre avec retard. Seuls des effets non-lin´eaires peuvent donc conduire `a des diff´erences notables. Mots-cl´es— Equations de Maxwell-Lorentz, oscillateur harmonique, ´equation des ondes, contrˆole quantique, mesure, fluctua- tions du vide, syst`emes `a retard, ´equation de Heisenberg- Langevin. I. Introduction Des travaux r´ecents (voir par exemple [1], [2], ainsi que les notes du cours de Serge Haroche [3]) montrent qu’il est maintenant possible d’utiliser des boucles de r´etro-action (feedback) pour mieux maˆıtriser les dynamiques quantiques de certains syst`emes microscopiques. En particulier, un des probl`emes cl´e pour la mise au point des calculateurs quan- tiques est de concevoir des dispositifs qui permettent de contre-carrer les effets irr´eversibles dits de d´ecoh´erence. Ces effets dissipatifs sont dus aux couplages avec un environne- ment poss´edant un tr`es grand nombre de degr´es de libert´e avec des temps caract´eristiques nettement plus courts que ceux du syst`eme (fluctuations du vide). Le but de cette communication est de consid´erer un syst`eme mod`ele avec un contrˆole scalaire u (une source la- ser de lumi`ere dans un ´etat quasi-classique) et une sortie scalaire y (un photo-d´etecteur large bande), tous les deux loin du syst`eme. Cela signifie que, si ω0 est une pulsation ca- ract´eristique du syst`eme et L une distance caract´eristique entre le syst`eme et le laser avec le photo-d´etecteur, alors ω0L c, c la vitesse de la lumi`ere dans le vide. La dyna- mique de ce syst`eme mod`ele est obtenue `a partir d’une ver- sion tr`es simplifi´ee des ´equations de Maxwell-Lorentz d’une particule charg´ee en interaction avec le champ ´electro- magn´etique. Nous ´etudions le transfert entre u et y selon la nature du mod`ele interne, classique ou quantique. Sur ce syst`eme mod`ele, nous montrons que, du point de vue entr´ee/sortie et sous l’hypoth`ese standard des petites oscillations, il n’y a pas de diff´erence entre des dynamiques internes classique et quantique : le transfert (en amplitude) peut ˆetre d´ecrit par un syst`eme du premier ordre avec un gain et un retard pur. Ainsi, des algorithmes classiques (comme le pr´edicteur de Smith combin´e avec un r´egulateur PI) pourraient ˆetre utiles pour contrˆoler certains syst`emes quantiques simples. Dans la section II, nous donnons les hypoth`eses sim- plificatrices qui, `a partir du Lagrangien 3D de Maxwell- Lorentz conduisent au Lagrangien 1D du syst`eme mod`ele. La section III est consacr´ee `a la dynamique classique : on montre avec des calculs proches de ceux utilis´es dans [4], que, apr`es ´elimination des variables de champs, le mod`ele classique (7) est celui d’un oscillateur non lin´eaire control´e avec un frottement visqueux. Dans le cas de petites oscil- lations, sous l’approximation s´eculaire et avec un contrˆole r´esonnant, la relation en amplitudes entr´ee/sortie est alors celle d’un premier ordre avec retard. La section IV aborde la quantification selon la proc´edure standard `a partir du Hamiltonien. On en d´eduit alors de mani`ere exacte et sans utiliser l’hypoth`ese de ”m´emoire courte”, les ´equations de Heisenberg-Langevin (10) (voir, e.g.,[5, page 340]). Ensuite on traite en d´etail le cas des petites oscillations (potentiel harmonique) o`u le transfert entr´ee/sortie reste celui d’un premier ordre avec retard. Tout au long du papier, nous ferons souvent r´ef´erence `a la version anglaise du trait´e ´ecrit par Claude Cohen- Tannoudji et ses collaborateurs [6], [7]. Pour une excellente introduction `a l’optique quantique, on pourra aussi consul- ter le cours d’Alain Aspect et ses collaborateurs [8]. L’au- teur remercie Michel Fliess pour de nombreuses discussions sur les notions de bruits et de mesure. II. Un mod`ele simplifi´e issu des ´equations de Maxwell-Lorentz Les ´equations de Maxwell-Lorentz d´ecrivent la dyna- mique d’une particule ponctuelle de masse m et de charge q en interaction avec le champ ´electro-magn´etique. Pour des vitesses petites par rapport `a celle de la lumi`ere, le Lagran- gien standard en dimension 3 d’espace est le suivant (voir, e.g., [9, page 100]) : L = 1 2 m˙r2 e + 0 2 R3 E2 (r) − c2 B2 (r) d3 r + [q˙re · A(re) − qU(re)] e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 39-43 o`u re est la position spatiale de la particule, 0 la perm´eabilit´e du vide, c la vitesse de la lumi`ere, E et B les champs ´electrique et magn´etique, A et U les potentiels vecteur et scalaire avec E = − U − ˙ A, B = × A. Nous supposons A et U de la forme suivante : A = (A(z, t), 0, 0)T et U = U(x) dans un rep`ere orthonorm´e (0, x, y, z). Ainsi B =   0 A (z, t) 0   , E =   −U (x) − ˙A(z, t) 0 0   . Nous supposons aussi que la particule est contrainte de se d´eplacer sur l’axe Ox et on note x son abscisse. A une constante pr`es, le Lagrangien admet l’expression simplifi´ee suivante : L = 1 2 m ˙x2 + 0 2 +∞ −∞ ˙A2 (z, t) − c2 (A )2 (z, t) dz + q ˙xA(0, t) − qU(x) (1) o`u ˙ et correspondent aux d´eriv´ees partielles en temps et en espace respectivement. Le potentiel qU(x) est suppos´e minimum en x = 0 et grand lorsque x est loin de 0. Ainsi la particule admet des ´etats localis´es autour de 0 comme un ´electron autour d’un noyau. Les hypoth`eses sur le poten- tiel vecteur A correspondent `a une onde ´electromagn´etique plane polaris´ee lin´eairement se propageant selon la direc- tion z. Nous supposons que, loin de d’origine en z = −L < 0, nous avons `a notre disposition une source d’onde ´electromagn´etique quasi-classique qui envoie le long de la direction 0z et dans le sens des z croissants une lumi`ere polaris´ee lin´eairement. Cette source quasi-classique corres- pond ici `a un contrˆole scalaire u(t) ∈ R associ´e `a la compo- sante du champ ´electrique selon la direction 0x et se propa- geant vers des z positifs. Nous avons aussi plac´e en z = −L un photo-d´etecteur qui capte les ondes arrivant de 0. On notera y(t) la valeur du courant de photo-d´etection : dans le cas classique, y n’est autre que l’intensit´e instantan´ee du champ ´electromagn´etique venant de 0 et se propageant vers les z n´egatifs. La figure ci-dessous r´esume le syst`eme consid´er´e avec son contrˆole u (l’actionneur) et sa sortie y (le capteur). Nous nous int´eressons aux relations entre l’entr´ee u et la sortie y. Comme il est usuel en th´eorie des syst`emes, nous n´egligeons les dynamiques de l’actionneur et du cap- teur suppos´ees rapides par rapport `a celle de la particule suppos´ee lente. III. La dynamique classique Comme nous allons proc´eder par la suite `a la quantifica- tion, il faut ´ecrire les ´equations sous forme hamiltonienne. Un calcul direct montre que l’hamiltonien est H = [p(t) − qA(0, t)]2 2m + qU(x(t)) + +∞ −∞ Π2 (z, t) 2 0 + 0c2 2 (A (z, t))2 dz (2) laser photo détecteur Fig. 1 Une particule de masse m et de charge q se d´eplac¸ant selon 0x, dans le potentiel statique U(x) et soumis `a une onde plane ´electromagn´etique polaris´ee lin´eairement ; loin de l’origine, en z = −L, on dispose d’une source classique u(t), le contrˆole, et d’un photo-d´etecteur, y(t), la mesure. o`u p(t) est la variable conjugu´ee de x(t) et, pour chaque z, Π(z, t) est la variable conjugu´ee de A(z, t). Un autre calcul donne les ´equations de la dynamique sous la forme de Hamilton (voir, e.g., [9, page 132]) :    m d dt x(t) = p(t) − qA(0, t) d dt p(t) = −qU (x(t)) 0 ∂A ∂t (z, t) = Π(z, t) ∂Π ∂t = 0c2 ∂2 A ∂z2 (z, t) + q m [p(t) − qA(0, t)]δ(z) (3) o`u δ(z) est la distribution de Dirac. Ainsi A et Π sont continus en z = 0 avec une discontinuit´e au niveau de leur d´eriv´ees premi`eres en z. Il est possible de simplifier notablement ces ´equations en combinant les formules de d’Alembert pour z < 0 et pour z > 0 avec des conditions de raccord en z = 0 (continuit´e de A et Π en 0 et condition de saut de A et Π en z = 0). On pose A(z, t) = φ−(t − z/c) + ψ−(t + z/c), z < 0 φ+(t − z/c) + ψ+(t + z/c), z > 0 o`u les φ± et les ψ± sont des fonctions r´eguli`eres de z et t associ´ees aux ondes se propageant selon les z positifs et n´egatifs, respectivement. La continuit´e en z = 0 donne A(0, t) = φ−(t) + ψ−(t) = φ+(t) + ψ+(t). La condition de saut sur la d´eriv´ee premi`ere en z s’´ecrit ˙φ+(t) − ˙ψ+(t) − ˙φ−(t) + ˙ψ−(t) = q[p(t) − qA(0, t)] 0mc . (4) Les conditions aux limites sur les ondes arrivant en 0 et venant de z = ±∞ sont : u(t) = − ˙φ−(t + TL), ψ+(t, z) = 0. En effet, u est le champ ´electrique transverse se propageant vers z = 0 `a partir de z = −L et TL = L/c est le d´elais de propagation de z = −L `a z = 0. Aucune onde n’arrive de z = +∞ et donc ψ+ = 0. Avec la notation A0(t) = A(0, t), e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 39-43 on d´eduit des conditions de raccord en z = 0, les relations suivantes : d dt A0(t) = q 2 0mc [p(t) − qA0(t)] − u(t − TL) ψ−(t) = A0(t) − u(t − TL) φ+(t) = A0(t) Ainsi la dynamique classique du syst`eme se r´esume aux trois ´equations diff´erentielles `a retard :    m d dt x(t) = p(t) − qA0(t) d dt p(t) = −qU (x(t)) d dt A0(t) = q 2 0mc [p(t) − qA0(t)] − u(t − TL) (5) avec comme sortie y(t) = ( ˙ψ+)2 (t − TL) = q 2 0mc (p − qA0) 2 (t − TL). (6) Lorsque u = 0, on a comme int´egrale premi`ere I = A0(t) − q 2 0c x(t) et la dynamique en boucle ouverte est celle d’un syst`eme m´ecanique avec amortissement visqueux : m d2 dt2 x = −qU (x) − q2 2 0c d dt x(t). (7) Supposons maintenant u non nul. Alors la dynamique sur x devient m d2 dt2 x = − q2 2 0c d dt x(t) − qU (x) + qu(t − TL) avec comme mesure y(t) = q 2 0c d dt x 2 (t − TL). Noter que l’´etat A0 est inobservable `a partir de y quelque soit le contrˆole u. Cela vient du fait que les potentiels sont d´efinis `a une constante pr`es et qu’ils ne sont pas des gran- deurs physiques directement observables. A partir de maintenant, on suppose x proche de 0, U (0) = 0 et U (0) > 0. On note ω2 0 = qU (0)/m et q2 2 0mc = Λ. Sous les hypoth`eses de petites oscillations au- tour du minimum de potentiel x = 0 : ¨x(t) = −Λ ˙x(t) − ω2 0x + q m u(t − TL) Nous supposons le couplage avec le champ faible, soit Λω0 1, et la source u avec le capteur y loin de la par- ticule, soit TLω0 1. Seul un contrˆole en amplitude des oscillations de x n’est possible de fa¸con robuste. Ainsi l’ob- jectif est de maintenir les oscillations `a un certain niveau en utilisant la mesure y. Pour cela on utilise un contrˆole r´esonnant u(t) = ı v(t)e−ıω0t − v∗ (t)eıω0t avec v ∈ C une amplitude complexe lentement variable |˙v| ω0|v| . Le changement d’´etat R2 (x, ˙x) → α ∈ C x = 1 ω0 αe−ıω0t + α∗ eıω0t ˙x = ı αe−ıω0t − α∗ eıω0t donne l’´equation complexe suivante 2 d dt α = −Λα + qeıω0TL m v + Λα∗ − qe−ıω0TL m v∗ e2ıω0t . Ainsi l’approximation s´eculaire (approximation du champ tournant) donne le mod`ele moyen suivant 2 d dt α(t) = −Λα(t) + qeıω0TL m v(t − TL) Regardons maintenant la mesure y(t) = q 2 0c ˙x 2 (t − TL) et consid´erons ¯y(t) ≈ 2π ω0 t t− 2π ω0 y(τ)dτ, sa valeur moyenne sur une p´eriode d’oscillation 2π/ω0. Comme TLω0 1 et Λω0 1, on a ¯y(t) = q2 2 2 0c2 |α|2 (t − TL). Avec β(t) = eıω0TL α(t − TL) nous avons le mod`ele entr´ee/sortie du premier ordre avec retard suivant 2 d dt β(t) = −Λβ(t)+ q m v(t−2TL), ¯y(t) = q2 2 2 0c2 |β|2 (t) (8) pour lequel il est possible d’utiliser un r´egulateur propor- tionnel int´egral pour maintenir ¯y `a une certaine consigne, et ce d’autant plus facilement que TLΛ est petit (retard TL pas trop grand par rapport `a la constante de temps de relaxation 1/Λ). Sous les hypoth`eses de petites oscillations, nous allons voir maintenant que la prise en compte des ef- fets quantiques tant au niveau de la particule qu’au niveau du champ ne modifie pas ce sch´ema. IV. Dynamique quantique On utilise la proc´edure usuelle de quantification `a partir du Hamiltonien (2) (voir, e.g., [9, page 118]) : x, p, A et Π deviennent les op´erateurs X, P, A(z) et Π(z) qui v´erifient les relations de commutation [X, P] = ı , [A(z1), Π(z2)] = ı δ(z1 − z2). Les autres relations de commutation entre ces op´erateurs (pris au mˆeme instant t) sont toutes nulles. Les ´equations (3) restent valables avec les op´erateurs et le point de vue de Heisenberg (voir, e.g., [9, page 176]) :    m d dt X(t) = P(t) − qA(0, t) d dt P(t) = −qU (X(t)) 0 ∂A ∂t (z, t) = Π(z, t) ∂Π ∂t = 0c2 ∂2 A ∂z2 (z, t) + q m (P(t) − qA(0, t)]δ(z) Les calculs avec les formules de d’Alembert restent aussi valables avec A(z, t) = φ−(t − z/c) + ψ−(t + z/c), z < 0 φ+(t − z/c) + ψ+(t + z/c), z > 0 et φ±, ψ± des op´erateurs. En revanche, les conditions aux limites changent car nous ne pouvons plus dire ψ+ = 0 : le fait de supposer qu’aucune onde n’arrive de z = +∞ signifie de ψ+ correspond aux fluctuations du vide qui se propagent vers les z < 0. Si on note ξ(z, t) le champ e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 39-43 d’op´erateurs qui correspondent aux fluctuations du vide, on a ξ(z, t) = φ0(t − z/c) + ψ0(t + z/c). Alors en z = −L, ˙φ−(t + TL) = −u(t) + ˙φ0(t + TL). On suppose donc que se rajoute aux fluctuations venant de −∞ le contrˆole classique u qui est ici un op´erateur sca- laire (u fois l’op´erateur identit´e). Notre actionneur est donc une source ´electro-magn´etique quasi-classique (voir, e.g., [9, page 141]). Pour ψ+, nous avons ψ+(t+z/c) = ψ0(t+z/c). Les conditions de raccord en z = 0 restent similaires au cas classique : A0(t) = φ−(t) + ψ−(t) = φ+(t) + ψ+(t) [ ˙φ+(t) − ˙ψ+(t) − ˙φ−(t) + ˙ψ−(t)] = q 0mc (P(t) − qA0(t)). Avec ˙φ−(t) = ˙φ0(t) − u(t − TL) et ψ+(t) = ψ0(t), la quan- tification de (5) devient avec ξ0(t) = ξ(0, t),    m d dt X(t) = P(t) − qA0(t) d dt P(t) = −qU (X(t)) d dt A0(t) = q 2 0mc [P(t) − qA0(t)] − u(t − TL) + ˙ξ0(t) (9) L’une des diff´erences essentielles avec (5) est le rajout de ˙ξ0(t), les fluctuations dans le vide. Le signal de photo- d´etection est associ´e `a l’op´erateur champs ´electrique venant de 0 en z = −L : ˙ψ−(t − TL) = ˙A0(t − TL) − ˙φ−(t − TL). Ainsi le photo-courant y(t) du d´etecteur se calcul grˆace `a l’op´erateur q 2 0c ˙X(t − TL) + ˙ψ0(t − TL). Un peu plus loin nous verrons comment on obtient le photo- courant y(t) `a partir de cet op´erateur. Comme pour le mod`ele classique, on peut ne garder que l’op´erateur X, ´eliminer les variables champs et avoir l’´equation du second ordre suivante : m ¨X(t) = − q2 2 0c ˙X(t)−qU (X(t))+qu(t−Tl)−q ˙ξ0(t) (10) o`u ˙ξ0 = ˙φ0 + ˙ψ0 correspond aux fluctuations du champ ´electrique dans le vide et o`u la mesure est associ´ee `a l’op´erateur q 2 0c ˙X + ˙ψ0 en t − TL. Cette ´equation est l’´equation de Heisenberg-Langevin de notre syst`eme. No- ter que nous l’avons obtenue sans aucune approximation du type temps caract´eristiques petits et/ou m´emoire courte pour la dynamique du champ ´electro-magn´etique. Faisons les mˆemes hypoth`eses de petites oscillations sur le potentiel U : ¨X(t) = −ω2 0X − Λ ˙X(t) + q m [u(t − Tl) − ˙φ0(t) − ˙ψ0(t)]. C’est l’´equation d’un filtre du second ordre o`u les op´erateurs φ0 et ψ0 peuvent ˆetre interpr´et´es comme une source stationnaire de bruits quantiques, source de bruits qui admet cependant une structure tr`es particuli`ere. En ef- fet, ˙φ0 et ˙ψ0 s’´ecrivent (voir [9]) ainsi (on a tenu compte du fait que nous sommes en dimension 1 d’espace) ı ˙φ0(t) = +∞ 0 ω 4π 0 aωe−ıωt − aω † eıωt dω ı ˙ψ0(t) = +∞ 0 ω 4π 0 bωe−ıωt − bω † eıωt dω o`u aω et bω sont les op´erateurs d’annihilation de photons d’´energie ω allant vers les z croissants et d´ecroissants, respectivement. Les seules commutations non triviales sont [aω1 , aω2 ] = [bω1 , bω2 ] = δ(ω1 − ω2). Un calcul direct montre que, avec ces commutations, nous avons bien les relations [ξ(t, z1), 0 ˙ξ(1, z2)] = ı δ(z1 − z2) o`u ξ(t, z) = φ0(t − z/c) + ψ0(t + z/c). Ainsi X = ¯X + X0 o`u l’op´erateur scalaire ¯X est solution de l’´equation diff´erentielle du second ordre scalaire ¨¯X(t) = −ω2 0 ¯X − Λ ˙¯X(t) + q m u(t − Tl) et o`u l’op´erateur X0 est une solution de ¨X0(t) = −ω2 0X0 − Λ ˙X0(t) − q m [ ˙φ0(t) + ˙ψ0(t)]. On peut prendre pour X0 la solution suivante X0(t) = ı +∞ 0 Qωe−ıωt − Qω † eıωt dω avec Qω = q m ω 4π 0 aω + bω ω2 0 − ω2 + ıΛω . Il est usuel pour interpr´eter les mesures de photo- d´etection de poser X0 = X+ 0 +X− 0 selon une d´ecomposition en fr´equences positives et n´egatives de X0 (voir, e.g., [9, page 184]) : X+ 0 (t) = ı +∞ 0 Qωe−ıωt dω et X− 0 = [X+ 0 ]† . Avec un contrˆole r´esonnant autour de ω0 et l’approximation s´eculaire, on peut faire la mˆeme d´ecomposition pour la partie scalaire ¯X. Il suffit de re- prendre les notations et les approximations utilis´ees pour la dynamique classique. On pose donc ¯X = ¯X+ + ¯X− avec ¯X+ (t) = α(t)e−ıω0t ω0 , ˙¯X+ (t) = −ıα(t)e−ıω0t avec ¯X− = [ ¯X+ ]† , ˙¯X− = [ ˙¯X+ ]† et 2 d dt α(t) = −Λα(t) + qeıω0TL m v(t − TL). La valeur moyenne sur un petit intervalle de temps de l’ordre de 2π/ω0 du courant de photo-d´etection est alors e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 39-43 donn´ee `a une constante multiplicative pr`es par la valeur moyenne de l’op´erateur1 : q 2 0c ˙X− + ˙ψ− 0 q 2 0c ˙X+ + ˙ψ+ 0 . L’´etat initial du rayonnement est celui du vide not´e sym- boliquement |0 . On a donc `a calculer < 0 q 2 0c ˙X− + ˙ψ− 0 q 2 0c ˙X+ + ˙ψ+ 0 0 > . Comme aω |0 = bω |0 = 0 on a Qω |0 = 0. Ainsi les contributions des op´erateurs ˙X+ 0 , ˙X− 0 , ˙ψ− 0 et ψ+ 0 dispa- raissent pour ne laisser que les op´erateurs scalaires ˙¯X+ et ˙¯X− . On obtient alors comme valeur moyenne q 2 0c 2 |α|2 . Ainsi d’un point de vue entr´ee/sortie il n’y a pas de diff´erence entre un mod`ele quantique et un mod`ele clas- sique. V. Conclusion Le syst`eme mod`ele consid´er´e ici est l’un des plus simples que l’on puisse imaginer en incluant les points suivants : 1. Le contrˆole u est associ´e aux photons que l’on envoie vers le syst`eme ; 2. la mesure y est associ´ee aux photons que le syst`eme nous renvoie ; 3. la dynamique s’appuie sur les ´equations de Maxwell- Lorentz quantifi´ees. Dans le cas quantique, la dyna- mique interne est donn´ee par une ´equation de Heisenberg- Langevin o`u les termes de Langevin sont exactement les fluctuations du vide. 4. le capteur et l’actionneur sont tous les deux loin du syst`eme et correspondent `a des grandeurs classiques. Nous avons vu que, sous des hypoth`eses de petites oscil- lations, il n’y a pas de diff´erence entre une description classique et une description quantique. Ce point n’est pas surprenant en regard des r´esultats sur la contrˆolabilit´e d’une famille d’oscillateurs harmoniques (voir [10], [11]), r´esultats qui sont une traduction en th´eorie des syst`emes d’un fait bien connu des physiciens : des charges classiques ne peuvent ´emettre que des ondes ´electro-magn´etiques coh´erentes. 1Physiquement, on d´etecte des clics, correspondant `a des ´electrons uniques qui viennent juste d’ˆetre mis dans un ´etat excit´e par le champs ´electrique − ˙ψ−(t − TL), et o`u ils peuvent se d´eplacer et donc ˆetre d´etectables. La valeur moyenne calcul´ee ici r´esulte d’un calcul perturbatif au premier ordre et on l’interpr`ete comme la probabilit´e qu’a un ´electron d’ˆetre excit´e. Aussi, le photo-courant est en fait un signal discret, un signal qui compte les ´electrons. Cependant, comme nous en prenons ici la moyenne sur un temps de l’ordre de 2π/ω0, nous pouvons le traiter comme un signal continu. C’est un peu comme les capteurs angulaires dont sont ´equip´es les robots : on mesure l’angle en comptant les tops associ´es `a chaque passage (devant une diode) d’une rainure de la roue codeuse. Une telle approximation continue se justifie ici car nous supposons que le capteur et l’actionneur sont loin du syst`eme avec lequel ils interf`erent en ´echangeant des photons : y est proportionnel au flux moyen de photons r´etro-diffus´es par le syst`eme. Ce syst`eme mod`ele n´ecessite d’ˆetre enrichi pour ˆetre plus proche de la r´ealit´e. On pourrait consid´erer des ef- fets non-lin´eaires avec un potentiel U non harmonique. Un calcul perturbatif prenant en compte des termes d’ordre 3 dans U, donne dans le cas classique des corrections d’ordre sup´erieur et, dans le cas quantique, des corrections d’ordre 1 directement dues aux fluctuations du vide. Un syst`eme plus proche des syst`emes manipul´es par les physiciens serait de prendre comme description de la par- ticule, un mod`ele `a deux niveaux d’´energie et sans contre- partie classique comme ici. On pourrait imaginer de traiter une variante avec contrˆole et photo-d´etecteur du syst`eme de Jaynes et Cummings[12] : un syst`eme `a deux niveaux, coupl´e `a un champ ´electro-magn´etique 1D et quantifi´e (au lieu d’un seul mode r´esonnant d’une cavit´e de grande fi- nesse) : dans l’Hamiltonien, seuls les termes associ´es `a la particule changent ; les conditions aux limites, le contrˆole u et le capteur y restent similaires. R´ef´erences [1] J.M. Geremia, J.K. Stockton, et H. Mabuchi. Real-time quantum feedback control of atomic spin-squeezing. Science, 304 :270, 2004. [2] R. Van Handel, J. K. Stockton, et H. Mabuchi. Feedback control of quantum state reduction. IEEE Trans. Automat. Control, 50 :768–780, 2005. [3] S. Haroche. 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