Commande H∞ pour la téléopération d’un véhicule via un réseau

23/09/2017
Auteurs : Olivier Sename
Publication e-STA e-STA 2007-1
OAI : oai:www.see.asso.fr:545:2007-1:19912
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Résumé

Commande H∞ pour la téléopération d’un véhicule via un réseau

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Commande H∞ pour la téléopération d’un véhicule via un réseau Olivier SENAME Laboratoire d’Automatique de Grenoble ENSIEG, BP 46, 38402 Saint Martin d’Hères Cedex, France Tel : +33 4 76 82 62 32, Fax : +33 4 76 82 63 88 Olivier.Sename@inpg.fr Résumé— Une approche H∞ pour la téléopération en pré- sence de retard de communication est ici proposée. Tout d’abord des critères de stabilité dans le cas de retard constant ou variables sont donnés. Puis la synthèse d’un contrôleur qui stabilise en présence d’incertitudes sur l’en- vironnement est réalisée dans un contexte indépendant du retard. Si celle-ci n’aboutit pas, une façon de déterminer le retard maximal qui préserve la stabilité robuste est propo- sée. La méthode est appliquée sur une plate-forme du LAG (projet NECS www.lag.ensieg.inpg.fr/canudas/necs) dédiée à la téléopération d’un véhicule depuis un poste de conduite. Mots-clés— Téléopération bilatérale, retard variable, Com- mande H∞, Stabilité robuste. I. Introduction Cet article concerne les systèmes de téléopération bilaté- reaux, représentés comme sur la Figure 1, où Fh est la force appliquée par l’opérateur humain, Fe la force de contact avec l’environnement Xm, Xs sont les positions angulaires des systèmes maître et esclave respectivement. Fig. 1. Système de téléopération Dans cette configuration, l’opérateur humain est en contact direct avec le système de commande et le système de retour, le véhicule étant contact direct avec l’environne- ment, c-a-d le sol. L’opérateur humain applique une force sur le système de commande, générant ainsi une position désirée. Cette position est envoyée par le système de com- munication au véhicule. Le véhicule exécutera la commande reçue, à travers un contrôleur local, en se déplaçant vers la position requise. Les forces exercées sur le véhicule sont renvoyées à l’opérateur humain (dans notre cas un volant avec retour de force) afin qu’il ait la bonne sensation de conduite dans l’environnement lointain. En revanche, les retards induits par le réseau de com- munication peuvent déstabiliser le système ou au mois dé- grader les performances du système en boucle fermée [1]. Parmi les approches considérées dans la littérature pour traiter ce problème, on peut citer la théorie de la passivité [2], qui a prouvé son efficacité mais pour laquelle des pré- cautions spéciales doivent être prises lors de l’implémen- tation (en particulier pour les pertes de paquets dans le réseau) [3]. Dans ce même contexte [4], [5] ont proposé des tests fréquentiels pour garantir la stabilité de contrôleurs de type PI. D’autres approches ont été employée comme une com- mande adaptative [6], ou un placement de spectre fini [7] mais pour laquelle le retard doit être connu et la robustesse est difficile à analyser. Enfin dans le cadre H∞ citons [8] où la µ-synthèse est uti- lisée mais en considérant le retard comme une incertitude, et [9], où un contrôle d’impédance de type H∞ est déve- loppé. Les travaux récents présentés dans [10] concernent la commande en poursuite d’un système de téléopération bi- latérale en présence d’incertitudes sur l’environnement et sur les retards de communication. Toutefois les résultats n’étaient illustrés qu’au travers d’exemples académiques. Rappelons que les résultats présentés dans [10] présentent une condition nécessaire et suffisante de stabilité indépen- dante du retard ainsi qu’une condition suffisante dépen- dante du retard dans le cas retard variable. Ensuite, une synthèse H∞ permet de déterminer un contrôleur qui, pour tout retard constant, garantit la robustesse en stabilité pour des incertitudes sur l’environnement. Si, comme on peut le craindre, la synthèse indépendante du retard est trop restrictive, une condition de stabilité robuste pour une variation maximale autour d’un retard constant est donnée. Cette étude est poursuivie ici et appliquée dans le cadre de la téléopération d’un véhicule depuis un poste de conduite à distance (drive-by-wire), selon le schéma suivant de la figure 2. Le contenu de cet article est le suivant. Dans la section 2, on présente le système de téléopération considéré. La section 3 concerne le développement des critères de stabi- lité et de performance. Dans la section 4, on ajoute une contrainte liée à la robustesse en stabilité vis à vis du mo- dèle de l’environnement, menant à la synthèse H∞ robuste du contrôleur. La section 5 montre comment relaxer la contrainte "stabilité indépendante du retard" permettant ainsi de prouver la robustesse en stabilité pour des incerti- tudes plus importantes sur l’environnement mais pour un retard appartenant à un intervalle. Des résultats expéri- mentaux sont ensuite montrés dans la section 6. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 33-38 II. Présentation du problème En général, trois contrôleurs sont nécessaires pour pilo- ter un système de téléopération comme sur la Fig 1. Tout d’abord deux contrôleurs locaux qui garantissent la pour- suite du système maître par l’esclave, contrôleurs que l’on suppose connus ici (cf II.B). Enfin un troisième contrôleur est ajouté pour garantir la stabilité et la robustesse de la boucle de retour de force, en présence de retard de commu- nication et d’incertitudes de modèles sur l’environnement. C’est ce problème que l’on traite ici. A. Description de la plate-forme de téléopération - Fig 2 Le système " Drive-by-Wire " consiste à diriger les roues à l’aide d’un volant et d’une colonne de direction équipée d’un capteur de couple et d’un moteur à courant continu. Le capteur de couple permet de mesurer la force appliquée par le conducteur. Le moteur à courant continu délivre lui l’entrée de commande au système maître, en particulier le retour d’effort. Cette plate-forme est utilisée pour la commande de vé- hicule ou robot mobile, par exemple le Pekee (conçu par Wanyrobotics) [11]. A cause de problèmes matériels, nous préférons ici illustrer le système esclave avec un simulateur de véhicule, RACER. Le modèle de l’environnement cor- respond ici au modèle de contact roue/sol, de type Pacejka (donc non linéaire). Ce simulateur tourne sur un PC dis- tant du PC de pilotage du volant, les deux communiquant à travers Internet. Pour cette communication, nous avons choisi le protocol UDP. L’avantage est que le retard sera plus petit comparé à TCP/IP (ce qui est le point clef de notre étude), même si des données risquent d’être perdues. Le serveur UDP est appliqué dans le PC de simulation et le client dans le PC du système Drive-by-wire. Fig. 2. Plate-forme de téléopération B. Modélisation On considère les modèles suivants pour les systèmes maître et esclave :    Mm ˙vm = Fh −Bmvm − Kmxm − Fe(t − h2) um Ms ˙vs = −Fe + Fs −Bsvs − Ksxs us (1) où – vm et vs sont les vitesses angulaires du maître et de l’es- clave respectivement, Mm et Ms sont les inerties respec- tives – Fh est le couple délivré par le conducteur, Fe le couple de l’environnement, et Fs est la sortie du contrôleur côté esclave – um l’entrée de couple côté maître (pour le moteur à cou- rant continu) et us l’entrée de couple côté esclave, sont les contrôleurs locaux, choisis selon [11]. avec Mm = 0.03, Ms = 0.04 Bm = 0.277, Bs = 2, Ks = 25.2 ; Km = 1. On considère alors les fonctions de transfert suivantes pour les maître et esclave, selon la fig. 3. Pi(s) = 1 Mis2 + Bis + Ki , i = m, s (2) L’impédance de l’environnement est choisie dans un pre- mier temps de la forme Ze = Bes + Ke, où 0 ≤ Be ≤ 1 et 0 ≤ Ke ≤ 0.2 (la valeur nominale étant Ze = 0.5s+0.1), ce qui permet d’inclure le cas du mouvement libre sans contact avec l’environnement. A partir de la section VI.B. on choi- sira Ze = Bes + Ke, où 0 ≤ Be ≤ 4 et 0 ≤ Ke ≤ 1. Ce modèle d’environnement est tout à fait classique. De plus les valeurs choisies sont cohérentes par rapport à [12] où un modèle non linéaire d’environnement est pris en compte. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 33-38 III. Analyse de stabilité On suppose à partir de maintenant que Pm et Ps sont des fonctions de transfert stables. En notant h1 ≥ 0 et h2 ≥ 0 les retards de communication aller et retour (h = h1 + h2), et C le second contrôleur côté esclave, on peut représenter le problème selon la Fig. 3. Fig. 3. Considered control structure Définition 1: Soit le système de téléopération de la Fig. 3. Ce système est dit stable si : 1. ¯Xm(s) Xs(s) est stable avec un gain unitaire 2. Fh(s) Xm(s) est stable soit pour tout retard h, soit pour un retard variable h(t) borné. On suit maintenant la démarche montrée dans [10]. A. Analyse de la Condition 1 Cette condition peut être formulée comme un problème H∞ selon la figure suivante : Fig. 4. Master → Slave positions system. Notons ¯Ps = Ps 1+PsZe , les fonctions de sensibilité s’écrivent : Ss := 1 1 + C ¯Ps ; Ts := Xs ¯Xm = C ¯Ps 1 + C ¯Ps (3) Le problème est alors de trouver un contrôleur C qui ga- rantisse la stabilité interne du système bouclé et W1Ss ∞ < 1 (4) B. Analyse de la Condition 2 Réécrivons les schémas précédents selon la Fig. 5 et no- Fig. 5. Operator force → Master position system. tons : Tm := Xm Fh = Pm 1 + PmTsZee−sh (5) Cas du retard h constant. En utilisant le critère de Tsyp- kin [13], on a montré : Proposition 1: [10] Soit le schéma de la fig 5 avec : Pm(s) = Nm(s) Dm(s) , Ts(s) = Ns(s) Ds(s) (6) Supposons que Pm et Ts sont stables et telles que degs(NmNsZe) < degs(DmDs), alors la fonction de trans- fert Tm (5) est stable pour tout retard h si et seulement si W2Ts ∞ < 1, o W2 = PmZe (7) Cas du retard h(t) variable. On utilise ici le résultat pré- senté dans [14]. Proposition 2: [14] Soit le système bouclé de la Fig 5 où h est variant dans le temps. Ce système est stable pour tout retard variable 0 ≤ h(t) ≤ δmax si NmNsZe DmDs + NmNsZe < 1 δmaxω , ∀ω ∈ [0, ∞] (8) IV. Synthèse robuste On considère ici que l’impédance de l’environnement Ze appartient à un ensemble admissible Ξ défini comme : Ξ = {Ze = Z0 e (1 + We∆)} (9) où ∆ est la matrice d’incertitudes t.q. ∆ ∞ < 1, et We la fonction de pondération des incertitudes. Définissons ˜Ps = ¯Ps : Ze ∈ Ξ (10) L’ensemble Ξ est dit admissible, si ˜P0 s (pour l’impédance nominale Z0 e ) et ˜Ps ont les même pôles instables. Proposition 3: Soit le schéma Fig. 4 avec la famille de fonctions de transfert (10) où Ξ est admissible. Supposons que le système est stable de manière interne pour l’im- pédance nominale Ze (ce qui est assuré par (4)), alors le système est stable de manière interne pour tout Ze ∈ Ξ si WIU Ts ∞ < 1 (11) où WIU est une fonction de pondération t.q. |WIU (jω)| ≥ max Ze∈Ξ ˜Ps (jω) ˜P0 s (jω) − 1 , ∀ω ∈ (12) et ˜P0 s = ˜Ps pour l’impédance nominale Ze. En considérant (4), (7) et (11), on a alors le théorème sui- vant qui garantit les performances nominales et la robus- tesse en stabilité. Théorème 1: Soit le schéma de la Fig. 3 avec la famille de fonctions de transfert (10) où Ξ est admissible. Définissons la fonction de pondération comme : |W4 (jω)| = max   |WIU (jω)| , max Ze∈Ξ |W2 (jω)|¡, ∀ω ∈ (13) e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 33-38 Alors le système de téléopération est robuste en stabilité pour tout retard selon la Définition 1 s’il existe un contrô- leur C qui garantit la stabilité interne de Ts et W1Ss W4Ts ∞ < 1 (14) ce qui est résolu comme un problème de sensibilité mixte H∞. A. Application au modèle peu incertain On applique maintenant ce théorème pour le système de téléopération décrit dans la section 2 avec Ze = Bes + Ke, où 0 ≤ Be ≤ 1 et 0 ≤ Ke ≤ 0.2 . Alors la pondération W4, représentant la contrainte de sta- bilité robuste (voir (13)), est choisie selon la Fig 6. 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Frequency Magnitude Pondération W4 Incertitude multiplicative sur Psbar, dues à Ze Variations de |P m Z e | dues aux incertitudes sur Z e Fig. 6. Pondération W4 La fonction de pondération W1 est choisie comme : W1(s) = s/Ms+wb 1+wb avec = 10−6 , Ms = 1 et wb = 0.5. En résolvant le problème H∞ (14) on obtient un contrôleur C (d’ordre 5) où les fonctions de sensibilité sont données sur la Fig 7. 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −40 −30 −20 −10 0 10 20 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −40 −30 −20 −10 0 10 20 Sensitivity S=1−T s Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) T s with weights Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) 1/W1 Pondération 1/W4 Poids nominal 1/W2 Fig. 7. Ss et Ts avec les gabarits : cas peu incertain Les fonctions respectent bien les gabarits spécifiés ce qui signifie que le contrôleur obtenu résout le problème des performances nominales et de la stabilité robuste en pré- sence d’incertitudes sur l’environnement, pour toute valeur constante du retard. En appliquant la Proposition 2, on montre que le schéma de la Fig 5 reste stable pour tout retard variable t.q.. 0 ≤ h(t) ≤ 0.3sec. (cf Fig 8). 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 Stability test for time−varying delay Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) Fig. 8. Test de stabilité avec retard variable B. Application au modèle fortement incertain Considérons maintenant que l’environnement est t.q. Ze = Bes + Ke, où 0 ≤ Be ≤ 4 et 0 ≤ Ke ≤ 1. Alors la pondération W4, représentant la contrainte de stabilité robuste (voir (13)), est choisie selon la Fig 9. 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 0 5 10 15 Frequency Magnitude Pondération W4 Fig. 9. Pondération W4 En résolvant le problème H∞ (14) on obtient un contrôleur C (d’ordre 5) où les fonctions de sensibilité sont données sur la Fig 10. On constate ainsi que la synthèse robuste n’est pas efficace, la fonction Ts ne respectant pas le gabarit 1/W4. Comme cette synthèse inclut la garantie de stabilité robuste in- dépendante du retard, ce qui peut être conservateur, on donne, dans la partie suivante, un moyen de relaxer cette contrainte par une étude de stabilité robuste pour un retard borné. V. Analyse de robustesse vis à vis d’incertitudes sur l’environnement et le retard On suppose ici qu’un contrôleur C a été conçu pour ré- soudre le problème des performances nominales pour Ts, (4) (et si possible la stabilité robuste (11)). Les incertitudes sur l’environnement sont de la forme (9) et le retard est tel que h = h0 + τ, où τ représente l’incertitude sur le retard. Comme ces dernières affectent uniquement Tm, l’analyse de robustesse en stabilité est réalisée afin de déterminer τmax qui préserve la stabilité du système de téléopération e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 33-38 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −40 −30 −20 −10 0 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −30 −20 −10 0 10 Sensitivity S=1−Ts Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) Ts with weights Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) Fig. 10. Ss et Ts avec gabarits : cas fortement incertain des Figures 3-5, en présence d’incertitudes sur l’environ- nement. Une méthode graphique, fondée sur le tracé de Nyquist, et due à [15], est considérée. Suivant le résultat de [15], on note : Wτ = PmTsZee−sh et W0 = PmTsZ0 e e−sh0 (15) Alors : Wτ = W0(1 + We∆)e−sτ (16) La procédure permettant de déterminer τmax est la sui- vante. Proposition 4: [15] Soit le schéma de téléopération de la Fig 5. Supposons que les incertitudes sur l’environnement sont de la forme Ξ et que le retard est h = h0 +τ. Alors l’in- certitude maximale autorisée τmax qui préserve la stabilité robuste (en présence des incertitudes sur l’environnement) est déterminée en suivant la procédure suivante : Step 1 : Tracer le diagramme de Nyquist pour le système nominal W0. Step 2 : Définir les cercles d’incertitudes, ∀ω ∈ : Z(ω) = C[W (|ω), |W (|ω)||W (|ω)|], (17) et tracer le diagramme de Nyquist incertain. Step 3 : Définir Ω l’ensemble des ω t.q. Z(ω) a une inter- section non nulle avec C[0, 1] et calculer l’angle minimum θ(ω) de l’intersection à l’axe réel négatif. Alors : τmax = min ω∈Ω θ(ω) ω (18) Remarque 1: Notons que trouver C qui résout la sta- bilité robuste (11) n’est pas nécessaire car la Proposition précédente garantit la robustesse en stabilité. Cette procédure est illustrée sur l’exemple précédent avec les incertitudes Ze = Bes + Ke, où 0 ≤ Be ≤ 4 et 0 ≤ Ke ≤ 1. Le problème nominal (4) est résolu comme sur la Fig 11. En appliquant la Proposition 2, on montre que le schéma de la Fig 5 reste stable pour tout retard variable t.q.. 0 ≤ h(t) ≤ 0.25sec. En revanche la solution du problème H∞ mène à W2Ts ∞ = 1.8856 (pour Ze = Zmax e ). 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −40 −30 −20 −10 0 10 20 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −60 −40 −20 0 20 Sensitivity S=1−Ts Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) Ts with weights Frequency (rad/sec) SingularValues(dB) Fig. 11. Fonctions de sensibilité Ss et Ts avec pondérations En utilisant la Proposition 4, on va montrer que le sys- tème est robuste en stabilité pour h = h0 + τmax, où τmax est l’incertitude sur le retard. On choisit h0 = 0.3sec. Dans la Fig 12 le tracé de Nyquist du modèle nominal W0 est tracé avec les cercles d’incertitudes liées à l’environnement et le cercle de stabilité C[0, 1]. −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Nyquist plot w.r.t environment uncertainties on Z e . Nominal delay h 0 =0.3 sec Nominal Nyquist plot θ Fig. 12. Tracé de Nyquist Wτ Avec la Proposition 4, l’incertitude maximale τmax qui pré- serve la stabilité robuste, autour de h0 = 0.3sec, est : τmax = 0.046sec Avant de présenter les résultats expérimentaux, on montre sur la figure 13 les résultats de simulation correspondant au schéma de la figure 3. Comme on peut le voir, la poursuite n’est pas parfaite, ce qui est normal dans le cas de contact avec l’environnement, en particulier vu l’impédance de l’environnement, impor- tante dans ce cas-ci. VI. Résultats expérimentaux Lors des expériences le retard dû au réseau est tel que : "Round Trip Time ≈ 400msec". Une image de l’influence de ce retard est donnée dans la figure 14 où on trace Fe(t − h2) − Fe. e-STA copyright © 2007 by see Volume 4 (2007), N°1 pp 33-38 0 5 10 15 20 25 30 35 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 −1 −0.5 0 0.5 1 Couple délivré par le conducteur Fh Positions angulaires X m (rouge) et X s (bleu) X m Xs Fig. 13. Résultats de simulation 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Fe (t−h2 ) −Fe Image of delay Fig. 14. Fe(t − h2) − Fe Les résultats sont alors les suivants (Fig 15). Sur la figure du haut on trace les directions angulaires du véhicule et du volant. On voit que le véhicule suit la requête du volant même si l’effet du retard est sensible. La figure du bas montre le couple du conducteur mesuré par le capteur de couple ainsi que le couple de l’environne- ment dû au contact roue/sol (modélisé par un modèle de pneu de type Pacejka dans Racer). On voit que les résultats expérimentaux confirment ceux de la simulation, tout en montrant l’application pratique de la méthode. VII. CONCLUSIONS Cet article traite le problème de la téléopération bilaté- rale en présence de retard de communication. L’application considérée est celle de la conduite à distance d’un véhicule, (Drive-by-wire). Tout d’abord des critères de stabilité dans le cas de re- tard constant et dans le cas de retard variable sont donnés. Une synthèse robuste H∞ est ensuite proposée pour tout retard de communication et en présence d’incertitudes sur l’environnement. Toutefois dans le cas où les incertitudes sur l’environnement (c-a-d sur le contact pneu/sol) sont plus importantes, la stabilité indépendante du retard n’est plus possible pour toutes les incertitudes. En considérant alors un contrôleur conçu pour les per- formances nominales, on détermine l’incertitude maximale, autour d’un retard constant, qui préserve la stabilité. Des résultats expérimentaux montrent la pertinence de la méthodologie proposée. Il reste maintenant à appliquer 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −4 −2 0 2 4 6 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −3 −2 −1 0 1 2 3 Xm : master position X s : slave position Fh : measured human torque F e : estimated tire/road contatc friction Fig. 15. Résultats expérimentaux la téléopération pour un vrai véhicule (en construction). Références [1] R. J. Anderson et M. W. Spong. Bilateral control of teleoperators with time delay. IEEE Trans. on Automatic Control, 34(5) :494– 501, 1989. [2] N. Chopra, M. Spong, S. Hirche, et M. Buss. Bilateral teleope- ration over the internet : the time varying delay problem. Proc. of the IEEE American Control Conference, Denver, Colorado, June 4-6, 2003, 2003. [3] P. Berestesky, N. Chopra, et Spong M. Theory and experiments in bilateral teleoperation over the internet. Proc. of the 2004 IEEE International Conference on Control Applications, Taipei, Taiwan, September 2-4, 2004. [4] S.-I. Niculescu, D. Taoutaou, et R. Lozano. On the closed-loop stability of a teleoperation control scheme subject to commu- nication time-delays. Proc. 41st IEEE Confer. on Decision & Control, pages 1790–1795, Las Vegas, Nevada, USA, 2002. [5] D. Taoutaou, S.-I. Niculescu, et K. Gu. 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